轴向受力杆件
二建考试必备-建筑结构与设备(7) 杆件的基本变形与组合变形
第二节杆件的基本变形与组合变形一、轴向拉伸与压缩1．轴力与轴向变形轴向拉（压）杆件横截面上的内力只有轴力，轴力可采用截面法求得。
轴力的正负号一般规定为：拉力为正，压力为负。
轴力沿杆轴方向的变化采用轴力图表示。
依据平面假设，轴向拉（压）杆件的变形沿整个横截面是均匀的，因而应力在横截面上也是均匀分布的（图3-8）。
横截面上应力的计算式为：式中N 一轴力；A ―横截面面积。
在弹性变形范围内，轴向拉（压）杆的伸长（缩短）量与杆所受轴力、杆的长度成正比，与杆的抗拉（压）刚度EA 成反比，即【例3-4】计算图3-9（a）时所示轴向受力杆件的内力，作出内力图，并判断整个杆件的变形是伸长还是缩短。
E A=常数。
在BC段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3-9b ) ，由平衡条件可得：同理，在AB 段内任一截面处截开，取右侧部分为隔离体（图3 -9c），由平衡条件可得因整个杆件的EA=常数，AB 段的杆长虽为BC 段的一半，但其所受的拉力为BC 段的3 . 5 / 1 . 5 ≈2 . 3 倍，因此AB 段的伸长量大于BC 段的缩短量，整个杆件的变形是伸长的。
2．温度改变的影响自然界中的物体普遍存在热胀冷缩的现象，杆件结构也是一样。
例如图 3 -10 ( a ）所示的杆件，若其温度升高Δt，因没有多余约束（即为静定），故杆件可以自由地伸缩，并不会产生内力或反力。
在温度改变作用下，杆件的伸长量△l 与杆长l及温度改变量△t 成正比，即：式中α——材料的线膨胀系数。
对于图3 一10 ( b ）的杆件，若温度升高△t，由于杆件两端固定（即为超静定），阻止了杆件的自由伸缩，这样杆内将产生温度应力。
显然，如果该杆温度升高（△t＞0 ) ，则杆内将产生压力；若温度降低（△t < 0 ），则杆内将产生拉力。
二、剪切当杆件的某一截面受一对相距很近，方向相反的横向力作用时，杆件在该截面处将发生剪切变形。
例如图3-11所示的螺栓连接件，当钢板受拉力P 作用时，螺栓将在截面m-m处承受剪力，并产生剪切变形。
模块5 构件内力计算及荷载效应组合(建筑力学与结构)
F x0 F A x0
Fy 0
FAy V112gkl0 0
解得：MV A1 00M M 11 V1 8 1 g k ll 00 2 2 1 8 18 g1 k3 l. 023 3 2 0 5 .1 2 4 3 .3 4 6 k N m
X 0
求得：N2 10kN，负值说明假设方向与实际方向相反，BC杆的轴力 为压力。
2．梁的内力计算
例5.2 图5.12a为案例一砖混结构楼层平面图中简支梁L2的计算简图，计算
跨度
，已知梁上均布永久荷载标准值
，计算梁
跨中及支座处截面的内力。
(a)
(b)
(c)
图5.12简支梁L2
解：（1）求支座反力 取整个梁为研究对象，画出梁的受力图，如图5.12b，建立平衡方程求 解支座反力：
正应力有拉应力与压应力之分，拉应力为正，压应力为负。
(a)
(b)
图5.4轴向压杆横截面上的应力分布
3．矩形截面梁平面弯曲时横截面上的应力 一般情况下，梁在竖向荷载作用下产生弯曲变形，本书只
涉及平面弯曲的梁。平面弯曲指梁上所有外力都作用在纵向 对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内弯曲，如 图5.5所示。
（4）根据脱离体受力图建立静力平衡方程，求解方程得 截面内力。
1．轴向受力杆件的轴力 ， F杆1 件25受k，N力F如2 图355k.1，N1a求所F截3示面1，01k在N-1和力2-、2F 上1 的F、2 轴作F力3 用。下处于平衡。已知
图5.11 轴向受力杆件的内力
解：杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将 不相同，因此要分段求出杆的力。
轴向拉压杆件内力计算公式
轴向拉压杆件内力计算公式在工程力学中，轴向拉压杆件是一种常见的结构元件，它在工程实践中被广泛应用于各种机械设备和建筑结构中。
轴向拉压杆件内力计算公式是用来计算轴向拉压杆件在受力作用下内部产生的拉力或压力的公式，它是工程设计和分析中非常重要的一部分。
在本文中，我们将介绍轴向拉压杆件内力计算公式的推导和应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的工程知识。
一、轴向拉压杆件的受力分析。
轴向拉压杆件是一种受拉或受压的结构元件，它通常由材料制成，具有一定的截面形状和尺寸。
当轴向拉压杆件受到外部力的作用时，内部会产生拉力或压力，这种内力的大小和方向是由外部力和结构本身的特性共同决定的。
在进行轴向拉压杆件的内力计算时，需要先进行受力分析，确定受力情况和受力方向。
通常情况下，轴向拉压杆件受到的外部力可以分为两种情况，拉力和压力。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部拉力的方向相同；对于受压的轴向拉压杆件，外部力的方向和内部压力的方向相反。
在受力分析的基础上，可以得到轴向拉压杆件内力计算的基本公式：N = A σ。
其中，N为轴向拉压杆件的内力，A为截面积，σ为应力。
根据受力分析的结果，可以确定σ的正负号，从而确定N的正负号，进而确定内力的方向。
二、轴向拉压杆件内力计算公式的推导。
1. 受拉的轴向拉压杆件。
对于受拉的轴向拉压杆件，外部拉力的方向和内部拉力的方向相同，因此内力的大小可以直接由外部拉力计算得到。
假设外部拉力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
因此，受拉的轴向拉压杆件内力计算公式为：N = P。
2. 受压的轴向拉压杆件。
对于受压的轴向拉压杆件，外部压力的方向和内部压力的方向相反，因此内力的大小需要考虑结构的稳定性。
假设外部压力为P，截面积为A，根据胡克定律，可以得到应力σ=P/A，进而得到内力N=P。
然而，受压的轴向拉压杆件在实际应用中往往需要考虑结构的稳定性，因此需要引入材料的材料的屈服强度和稳定性系数，从而得到更加精确的内力计算公式。
工程力学中的杆件受力分析和应力分布
工程力学中的杆件受力分析和应力分布工程力学是研究物体在受力作用下的力学行为及其工程应用的学科。
在工程力学中，对于杆件的受力分析和应力分布是非常重要的内容。
杆件是指在力的作用下只能沿着轴向伸缩的直细长构件，通常用来承受拉力或压力。
在本文中，我们将探讨杆件受力分析的方法以及应力分布的计算方式。
一、杆件受力分析在杆件受力分析中，主要考虑的是杆件所受的外力作用以及杆件内部所存在的支反力。
首先，我们需要明确杆件所受的外力有哪些类型。
常见的外力包括拉力、压力、剪力和扭矩等。
在分析杆件受力时，我们通常采用自由体图的方法，即将杆件与其它部分分开，将作用在该部分上的所有外力和内力用矢量图表示出来。
对于杆件受力分析，我们需要应用平衡条件，即受力平衡和力矩平衡条件。
受力平衡条件要求受力杆件在平衡状态下，合力为零，合力矩为零。
力矩平衡条件要求受力杆件在平衡状态下，合力矩为零。
通过应用这些平衡条件，我们可以得到杆件内部的支反力以及所受外力的大小和方向。
二、应力分布计算一旦我们确定了杆件所受的外力以及杆件内部的支反力，接下来我们需要计算杆件上的应力分布情况。
应力是指杆件某一截面上内部单位面积上所承受的力的大小。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力等。
在杆件内部，由于受力的存在，会导致杆件内部存在正应力和剪应力。
正应力是指作用在截面上的力沿截面法线方向的分量，而剪应力是指作用在截面上的力沿截面切线方向的分量。
根据杆件破坏的准则，我们通过计算截面上的应力分布来评估杆件的强度是否满足要求。
在计算杆件的应力分布时，一种常用的方法是应用梁弯曲理论。
根据梁弯曲理论，我们可以通过计算杆件的弯矩和截面形状来确定截面各点上的应力分布。
杆件的弯矩可以通过受力分析和力矩平衡条件来计算，而截面形状可以通过测量或者根据设计参数确定。
另外，我们还可以利用有限元分析方法来计算杆件的应力分布。
有限元分析是一种数值计算方法，通过将复杂的结构分解为许多小的单元，然后通过数值模拟的方式来计算每个单元上的应力分布。
直杆的基本变形
直杆的基本变形
1、 轴向拉伸与压缩
拉伸： 在轴向力大作用下，杠杆产生伸长变形 压缩： 在轴向力大作用下，杠杆产生缩短变形
受力特点：沿杆件轴向作用一对等值、反向的拉力或
压力
变形特点：杆件沿轴向伸长或者缩短。
公式：
Fn 表示横截面轴力 A 表示横截面积
2、 剪切 剪切：杆件受到一定垂直于杆轴方向的大小相等、方
向相反、作用线相距很近大外力作用做引起大变形。
受力特点：截面两侧受一对等值、反向、作用线相近
的横向力
变形特点：截面沿着力的作用方向很对错动。
3、 扭转
扭转：直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向
想法大力矩（扭矩）作用，则发生扭转。
受力特点：在很截面内作用一对等值、方向的力偶 N F A σ=
变形特点：轴表面的纵线变成螺旋线。
4、弯曲
弯曲：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线大轴线变成曲线的变形
受力特点：受垂直于梁轴线的外力或在轴线平面内作用的力偶
变形特点：使梁的轴线由直变弯。
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
轴向拉压杆是一种受到拉力或压力作用的杆件。
其受力特点主要
有两点：
1. 受力方向：轴向拉压杆受力方向与其轴线方向相同或相反。
当受到拉力时，轴向拉压杆会向外展开；当受到压力时，轴向拉压杆
会向内收缩。
受力方向与轴线方向共线，使得杆件能够承受较大的拉
力或压力。
2. 受力均匀：轴向拉压杆受力均匀分布在其截面上。
由于受力
方向与轴线方向相同或相反，杆件内部的各个截面上的应力相对均匀。
这样的受力特点能够保证杆件的强度和刚度。
轴向拉压杆的变形特点主要有两点：
1. 长度变化：轴向拉压杆在受到拉力或压力作用时会发生长度
的变化。
当受到拉力时，轴向拉压杆会发生伸长变形；当受到压力时，轴向拉压杆会发生缩短变形。
杆件的长度变化与受力的大小成正比。
2. 弯曲变形：轴向拉压杆在受力作用下有可能发生弯曲变形。
当受到较大的压力或拉力时，杆件可能会产生塑性弯曲或弹性弯曲。
这种变形可能会影响杆件的稳定性和工作性能。
综上所述，轴向拉压杆的受力特点是受力方向与轴线方向相同或
相反，受力均匀；变形特点是发生长度变化和有可能出现弯曲变形。
这些特点需要在杆件的设计和使用过程中进行考虑，以保证其性能和
安全。
杆件的轴向受力与位移
杆件的轴向受力与位移杆件是工程结构中常见的构件之一，它承受着来自外部作用力的作用。
在工程分析中，了解杆件的轴向受力与位移是非常重要的。
本文将介绍杆件受力的基本原理以及计算方法。
一、杆件受力的基本原理杆件受力的基本原理是基于牛顿第三定律，即一个杆件受到的作用力等于其对外部其他物体的反作用力。
具体来说，当外部施加一个轴向力到杆件上时，杆件会同时施加一个相等大小、相反方向的反作用力。
这个反作用力将作用在外部物体上，进而使外部物体发生位移。
二、杆件受力的计算方法杆件受力的计算需要考虑杆件的几何形状、材料特性以及受力方式等因素。
下面将介绍常见的几种杆件受力计算方法。
1. 张力与压力杆件受力的最常见情况是受到拉力或压力。
当杆件处于拉伸状态时，受力方向与杆件轴线方向一致，我们称其为张力。
当杆件处于压缩状态时，受力方向与杆件轴线方向相反，我们称其为压力。
根据杆件的几何形状和受力特点，可以使用梁力学等方法计算杆件的张力或压力。
2. 杆件位移与伸长量杆件在受力作用下会发生位移，这是由于杆件的弹性变形所导致的。
根据胡克定律，杆件伸长量与受力成正比，与杆件材料的弹性模量和杆件的几何形状有关。
通常可以使用杆件的受力-位移关系来计算杆件的位移。
三、杆件受力分析的实际应用杆件受力与位移的分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用案例：1. 桥梁结构分析桥梁中的杆件起到支撑和承载的作用。
通过对桥梁杆件的受力与位移进行分析，可以评估桥梁的结构稳定性和安全性。
这对于桥梁的设计和施工至关重要。
2. 柱式建筑结构设计柱式建筑结构中的立柱是承受垂直荷载的重要组成部分。
通过对立柱受力与位移的分析，可以确定立柱的尺寸和材料，确保其能够承受设计荷载并保持结构的稳定性。
3. 机械设计中的轴承分析机械设备中的轴承承受着旋转部件的轴向受力与位移。
通过对轴承的受力与位移进行分析，可以评估轴承的工作状态和寿命，并选择合适的轴承型号和润滑方式来保证设备的正常运行。
杆件的轴向应变和轴向力计算
杆件的轴向应变和轴向力计算杆件是工程中常见的构件之一，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在设计和分析杆件时，了解轴向应变和轴向力的计算方法是非常重要的。
一、轴向应变的定义和计算方法轴向应变是指杆件在受到轴向力作用时，单位长度的变形量。
轴向应变可以用公式表示为：ε = ΔL / L其中，ε表示轴向应变，ΔL表示杆件在受到轴向力作用后的长度变化量，L表示杆件的原始长度。
轴向应变的计算方法主要有以下几种：1. 直接测量法：通过使用应变计等测量仪器，直接测量杆件在受力后的长度变化量，然后根据上述公式计算轴向应变。
2. 应变计法：在杆件上粘贴应变计，应变计的电阻值会随着杆件受力而发生变化，通过测量电阻值的变化，可以计算出轴向应变。
3. 数值模拟法：通过有限元分析等数值方法，对杆件的受力情况进行模拟计算，从而得到轴向应变的数值结果。
二、轴向力的定义和计算方法轴向力是指作用在杆件上的沿着杆件轴线方向的力。
轴向力可以用公式表示为：N = A * σ其中，N表示轴向力，A表示杆件的横截面积，σ表示轴向应力。
轴向力的计算方法主要有以下几种：1. 直接测量法：通过使用力传感器等测量仪器，直接测量作用在杆件上的轴向力。
2. 应力计算法：根据杆件受力情况和材料的力学性能参数，计算轴向应力，然后通过上述公式计算轴向力。
3. 数值模拟法：通过有限元分析等数值方法，对杆件的受力情况进行模拟计算，从而得到轴向力的数值结果。
三、轴向应变和轴向力的关系轴向应变和轴向力之间存在一定的关系。
根据胡克定律，轴向应变和轴向力之间的关系可以表示为：σ = E * ε其中，σ表示轴向应力，E表示杆件的弹性模量，ε表示轴向应变。
根据上述公式，可以通过已知轴向应变或轴向力，计算出轴向应力。
同时，也可以通过已知轴向应力和轴向应变，计算出杆件的弹性模量。
四、轴向应变和轴向力的应用轴向应变和轴向力的计算在工程设计和分析中有着广泛的应用。
通过对轴向应变和轴向力的计算，可以评估杆件的受力状态和变形情况，从而确定杆件的安全性和可靠性。
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第五章 轴向受力杆件工程中有许多结构中的杆件仅承受轴向拉伸或压缩载荷。
例如图5－1中起重机，其起重杆受轴向压力。
这一类杆件受力的特点是杆端外力的作用线与杆的轴线重合，称为轴力杆件。
建筑结构中的钢屋架，空间网架等都由细长杆件连接而成。
虽然杆件的连接处采用焊接或铆接，但受载时杆件产生的弯矩只局限在节点附近区域，杆件可以近似认为是轴力杆，结构可以看作是桁架。
这一章将分析轴力杆的应力、应变和变形，轴力杆的强度条件，连接件的强度条件，简单桁架的节点位移，以及拉压静不定问题。
109§5－1 拉压杆的应力与变形一、拉压杆的应力与变形 如图5－2a 和b 所示，等截面杆在作用于两端的轴向拉力F 作用下产生拉伸变形。
从分离体的平衡条件可知，截面上的轴力F N = F （图5－2c ）。
那么截面上的应力是怎么分布的？是不是均匀分布？我们需要作进一步的分析。
截面上应力分布与变形有关。
为此，考虑变形前等间距的一系列杆段‘ab ’、‘bc ’，…（图5－2d ），这些单元处于相同的受力条件，它们的变形也应相同。
假如单元‘ab ’的aa ′截面变形后成为向外凸起的形状（见图5－2d ），根据‘ab ’单元对自身中间截面的对称性，bb ′截面也应向外凸起。
‘bc ’单元的情况应该与‘ab ’相同。
可见变形后的几何协调条件被破坏。
由此推断，杆件横截面在变形后仍然保持为平面，并且与轴线垂直。
这一叙述在许多材料力学教材中称图5－1(d)F F N(c)(a)F (b)为平面截面假设（plane cross-section hypothesis ）。
在轴向拉压问题中杆件内各点都处于单向应力状态，x σ是唯一非零的应力分量。
根据平面截面的几何关系可以推断，截面上各点的轴向正应变为常数。
根据单向拉伸的胡克定律可知x x E σε=可见截面上应力也为常数，即截面上的正应力为均匀分布力，所以 Nx F Aσ=（5－1） 式中A 是截面面积。
由于各截面的轴力都等于F ，所以对于等截面杆，x σ沿轴向也是常数。
由此，沿轴向的应变x ε也是常数。
原长为l 的杆的总伸长 0d lxN x x F l l x l l l F EEA EAσεεΔ=====∫ （5－2）110上式表明拉（压）杆的总伸长量Δl 与轴向力F 之间呈线性关系。
如果将/EA l 比作弹簧系数，轴力杆件的力学行为与弹簧完全类似。
二、轴力杆的应变能图5－3所示轴力杆，由于外力f 与伸长δ 成线性关系，假设f k δ=，力f 在微伸长d δ上做功d f δ。
如果最终力达到F 时的伸长为Δ，那么力F 做的功为 l ΔΔ0Δ1d d Δ22l lk l Δk l F l δδδ====∫∫W f （5－3） 外力做功等于图5－3的()f δ曲线下的面积。
这部分功全部转换为杆的应变能，即211Δ22F lU W F l EA==⋅=（5－4）三、圣维南原理一般情况下外力将通过夹具、销钉、铆钉、焊接等方式从端部传递给杆件。
式（5－1）对于外力F 作用点附近的区域并不适用。
在F 力的作用点附近应力分布并不均匀。
然而，只要作用于杆端的分布力的合力的作用线与杆的轴线重合，则可近似地用轴力杆的模型对杆件做力学分析。
法国力学家圣维南（Saint-Venant ）指出，作用在弹性体某一局部区域内的外力系可以用等效力系来代替，这种代替仅仅对原力系作用区域附近的应力有影响。
这就是圣维南原理（Saint-Venant’s principle ）。
对轴力杆来说，外力作用于杆端的方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内的应力分布受到影响，在较远距离处应力分布不受影响。
δ图5－4所示的等直矩形截面杆，F 以集中力方式作用于杆件端部表面。
图上给出了在距离端点h /4、h /2和h 处的1－1、2－2和3－3截面上正应力的分布。
在1－1截面上最大正应力为2.575倍平均值，应力集中在力的作用点附近。
随着与端点的距离增加，应力分布逐渐趋于均匀。
在3－3截面上，应力已经基本上均匀分布。
111例5－1 图5－5a 所示为一同轴变截面圆杆，所用材料的弹性模量E ＝210GPa 。
已知轴向力F 1＝25kN ，F 2＝45kN，F 3＝65kN ，长度l 1＝l 3＝300mm ，l 2＝400mm 。
三段圆杆直径依次为d 1＝16mm ，d 2＝20mm ，d 3＝24mm 。
求杆的最大正应力max σ，杆的总伸长Δ。
l 解：对图示的结构和载荷情况可以做如下假设：（1）集中力F 1，F 2 ，F 3 表示作用在A 、B 、C 处的合力，其作用点在截面中心，方向与轴线一致。
外载荷具体施加方式及对局部应力分布的影响忽略不计。
（2）轴向拉压变形的平面截面假设成立，应力和应变逐段均匀分布。
先利用分离体平衡条件，求各段轴向力F N ，并将结果用轴力图表示(图5－5b)。
三段相应的正应力为3112212510N124.34MPa 0.016m 4N F A σπ×===× 3222222010N63.66MPa 0.02m 4N F A σπ−×===−× 图5－4F 1x−20kN图5－5(b)3332234510N99.47MPa 0.024m 4N F A σπ×===× 所以最大正应力在AB 段，max 124.34MPa σ=。
杆的总伸长31122331239212333222242510N 0.ΔΔΔΔ(21010Pa 0.016m 20100.4m 4510N 0.3m)0.198mm0.020m 0.024m N N N F l F l F l l l l l EA EA EA N π××=++=++=××××××−+=23m§5－2 轴力的平衡微分方程在一般情形下，杆件横截面积A (x )可以是x 的函数，沿杆的轴线也可以有轴向分布载荷f (x )（图5－6）。
假定此时平面截面假设仍然成立，由此可以推断同一截面上的应力仍为均匀分布，但不同截面上的应力是变化的，即112()x x σ是x 的函数。
公式（2－9）已给出轴力的平衡微分关系d ()d NF f x x=− （2－9） 由于同一截面上的应力均匀分布，因此 ()()()N x F x x A x σ=这里我们仍然近似地假设x σ是杆件中唯一的非零应力分量。
根据单向应力的胡克定律可以将应变表示为()()()()x N x x F x x EEA x σε==根据平面截面假设，位移u 仅为x 的函数。
根据轴线方向的应变－位移关系，我们有 ()d ()d (N x )F x u x x EA x ε=＝ （5－5） 上式的积分可以得到轴向位移u （x ）。
对于等截面杆，A 为常数。
将上式微分一次，并将方程（2－9）代入，可以得到关于轴向位移u 的微分方程：22d ()d 11()d d N F x u f x x EA xEA =＝－ （5－6）当轴向力F N 是x 的函数时，由式（5－2）可知，长度为d x 的杆段产生伸长()d d NF x x EAΔ= 这段杆单元的应变能2()1d ()d 22N N F x U F x EA=Δ=d x （5－7） 整个杆的应变能20()d 2l NF x U （5－7’） x EA=∫例5－2涡轮机的叶片在涡轮旋转时受离心力作用（图5－7）。
设叶片的截面积为常数A ，弹性模量为E ，密度为ρ，涡轮转动的角速度为ω。
涡轮的变形忽略不计。
试计算叶片横截面上的正应力、叶片的位移和总伸长。
113解：1，计算横截面的应力在距离涡轮轴心x 处，取长度为d x 的一段叶片，其质量为d d m A x ρ=，涡轮旋转时受到的离心力为d * 22d d F x m Ax x ωωρ==图5－7叶片x 处的轴向分布力2d *()d F f x A xx ωρ== 可见离心力沿叶片轴向线性分布。
根据x 处截面以外分离体的平衡可知，x 处的截面上的轴力为222()d *d ()2ooR R N o xxA2F x F A x x R ωρωρ===−∫∫x （a ）该截面上的应力222()()2o x R x ωρσ=−所以，最大应力在叶片根部：222max ()(2i o )i x R R ωρσσ===−R2，计算位移和伸长 根据式（5－5）232()()d ()()23N o F x x u x x C R x C EA x E ωρ=+=−∫+()0i u R =由边界条件 可以得到322(23i o i R C R R E ωρ=−− 22332()(33)6o i o i R x x R R R Eωρ=−+−u x所以轴向位移 2332()(23)6o o i o i R R R R Eωρ=+−u R (b)叶片外端x =R o 处位移 因为叶片根部的位移为零，所以即为叶片的总伸长Δl 。
()o u R 总伸长也可直接从公式（5－2）来求。
考虑x 处的长度为d x 的微段，其伸长量等于()d d(Δ)NF x xl EA= 轴力由式（a ）确定，所以2222332()Δd ()d (2326o o ii R R No o i R R F x l x R x x R R EA E Eωρωρ==−=+−∫∫)o i R R 结果与式（b ）一致。
§5－3 应力集中杆件受轴向拉（压）时，在杆端力的作用点附近，应力分布一般说来是不均匀的。
在离杆端较远的横截面上的应力才均匀分布。
然而，杆端并不是应力不均匀分布的唯一可能场所。
由于工程应用上的需要，杆件上经常开有孔、槽；由于设计的需要，圆轴的不同部位往往有不同的直径，在过渡的区域，截面直径发生突变。
理论和实验都证明，在截面形状突变的部位，其应力分布不再是114图5－8 （a ）均匀的。
以一开有小孔的受拉薄板为例（图5－8a ），圆孔所在的截面处的应力分布并不是均匀的。
事实上，在离小孔较远的地方应力基本上均匀分布，接近小孔时应力骤然增大（图5－8b ）。
这种由于杆件截面突然变化或局部不规则而引起的局部应力骤然增加现象称为应力集中（stress concentration ）。
与名义应力（nominal stress ）σ应力集中的程度用截面上的局部最大应力σmax 0之比来表示：maxK σσ= （5－8） 00F A σ=，A 式中0为开孔处截面的净面积。
K 称为应力集中系数（stress concentration factor ）。
它与截面突变处的几何形状有关。