精选残差分析讲义.
什么是残差分析如何利用残差分析来检验回归模型的适用性
什么是残差分析如何利用残差分析来检验回归模型的适用性残差分析是统计学中一种常用的方法，用于评估回归模型的适用性。
在回归分析中，我们希望通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
残差分析则是用来检验模型是否能准确地描述实际数据。
残差（residual）是指观测值与回归方程预测值之间的差异。
回归方程可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1、X2、...、Xn是自变量，β0、β1、β2、...、βn是回归系数，ε是误差。
残差计算公式为：残差 = 观测值 - 预测值。
当回归模型适用性良好时，残差应该随机分布在零附近，没有明显的模式或趋势。
接下来，我们将介绍如何利用残差分析来检验回归模型的适用性。
1. 绘制残差图（Residual Plot）残差图是一种展示残差分布的可视化方式。
在横轴上绘制观测值或预测值，纵轴上绘制残差。
如果残差图中的点随机分布在零附近，并且没有明显的模式，则说明回归模型适用性较好。
如果残差图中存在模式或趋势，那么回归模型可能存在问题，需要重新评估模型的可靠性。
2. 检查残差的正态性回归模型通常假设误差项（ε）满足正态分布。
我们可以通过绘制残差的直方图或概率图来检查残差是否服从正态分布。
如果残差近似服从正态分布，则说明回归模型的适用性较好。
3. 检查残差的独立性残差的独立性是指残差之间没有相关性。
我们可以通过绘制残差的自相关图（Autocorrelation Plot）来检验残差是否独立。
如果残差之间没有显示出明显的相关性，则说明回归模型的适用性较好。
4. 检查残差的等方差性等方差性是指残差的方差在自变量的不同取值范围内是恒定的。
我们可以绘制残差的散点图，以观察残差的方差是否与预测值相关。
如果散点图呈现出均匀分布且没有明显的锥形或漏斗形状，则说明回归模型的适用性较好。
总结来说，残差分析是用于检验回归模型适用性的重要方法。
残差分析
5
0
0
20
40
存在高杠杆率观测值的散点图
x 60
19
13
异常值 (OUTLIER)
1. 如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合， 这个点就有可能是异常点，或称为野点
■ 如果异常值是一个错误的数据，比如记录错误造成的， 应该修正该数据，以便改善回归的效果
■ 如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大， 应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型
不良贷款对贷款余额回归的残差图
7
残差
X Variable 1 Residual Plot
5
0
0
2
4
6
8
-5
X Variable 1
火灾损失数据的残差图
8
标准化残差(standardized residual)
ZREi
ei
ˆ
标准化残差使残差具有可比性，ZREi 3 的相应观测值即判定为异常值，但没有解
计算公式为
1
hii n
(xi x )2 (xi x )2
表h示ii ，其
3. 如果一个观测值的杠杆率 识别为有高杠杆率的点
hii就可6以n将该观测值
4. 一个有高杠杆率的观测值未必是一个有影响的观测 值，它可能对回归直线的斜率没有什么影响
18
高杠杆率点 (图示)
y
25
20
高杠杆率点
15
10
■ 如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保 留该数据
2. 在处理异常值时，若一个异常值是一个有效的观 测值，不应轻易地将其从数据集中予以剔除
14
异常值 (识别)
1. 异常值也可以通过标准化残差来识别 2. 如果某一个观测值所对应的标准化残差较
第十六讲 残差分析
变量变换
• 线性模型假设 E(y|x)的线性性, 和误差方差齐性： E(y|x)=a+b’x var(y|x)=常数 • 我们知道（y，x）联合正态分布时，该假设是正确的。 • 实际问题中，若x，y都是连续变量，通常对x或y或两者做 变换，使得变换之后(x,y)近似服从正态分布。 • 若某些自变量是因子（x1)，其它自变量(x2)是连续型，那 么, 变换，使得(y,x2)|x1～正态。
变换的一般原则
• 总的原则是变换后每个变量都比较对称、均衡，换言之联合分布接近 正态。变换包括
– – – – Log变换 或 Box-Cox变换， 连续变量离散化， 有次序的因子变量的连续化， 无次序因子变量的合并
•
log 原则 如果一个非负变量的取值不在一个尺度或量级(magnitude)上,则取对数 后分析可能是有益的. 如果一个变量的取值在一个尺度或量级内,任何变换都可能无益. 不容易确定何种变换时，采用Box-Cox变换。
(b) 若x, z不独立 ⇒ var( y | x)一般依赖于x，除非 var( z | x)不依赖于x ⇒ var( y | x) = 常数 若( z , x) ~ 正态, 则
(3) δ = y-{α + β ' x} = a + b' x + c' z − {α + β ' x} = a − α + (b − β )' x + c' z
δ与x是否相关可通过 (1), (2)部分地检查，但一般无 法完全验证。
注：通常我们只有“工作模型”而不知道完全模型，只能通过 工作模型的残差探讨其拟合好坏。
残差分析
• 残差分析：拟合线性回归模型之后，通过 分析残差特征，检查拟合的好坏，即检查 数据是否满足模型假设
2025年高考数学一轮复习 第十章 -第二节 -第3课时 残差分析与决定系数【课件】
第3课时 残差分析与决定系数
题型一 残差分析
典例1 树木根部半径与树木的高度呈正相关,即树木根部越粗,树木的高度也就越高.某
块山地上种植了树木,某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系,
从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵树木,调查得到树木根部半径
15
20
25
30
7.25
8ห้องสมุดไป่ตู้12
8.95
9.90
10.9
11.8
（1）作出散点图并求回归直线方程；
解 画出散点图,如图所示.
样本点分布在一条直线附近,与具有线性相
关关系.
1
6
由表中数据,得 = × (5 + 10 + 15 + 20
+ 25 + 30) = 17.5,
1
6
= × (7.25 + 8.12 + 8.95 + 9.90 + 10.9
∑ −ෝ
题型二 决定系数 = − =
∑ −
=
典例2 已知某种商品的价格（单位:元/件）与需求量（单位:件）之间的关系有如下
五组数据:
14
16
18
20
22
12
10
7
5
3
求关于的回归直线方程,并说明回归模型拟合效果的好坏.
1
5
1
5
解 = × 14 + 16 + 18 + 20 + 22 = 18, = × 12 + 10 + 7 + 5 + 3 = 7.4,
第5章 残差分析
异常值的原因是由自变量异常与因变量异常两个原因共同引起的。
异常值与强影响值
异常值原因
异常值消除方法
1.数据登记误差，存在抄写或录入 重新核实数据 的错误
第5章 残差分析
一、残差概念与残差图
e
e
0
0
(a)
e
0
x
e
x
(b)
1 3 57
0 2 46 8
x (c)
x
(d)
残差分析
一、残差概念与残差图
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
1
2
3
4
5
6
7
X
火灾损失数据残差图
残差分析
二、残差的性质
性质1 E (ei)=0
证明: E(ei ) E( yi ) E( yˆi )
chii=杆值 chii的平均值是
i 1
ch
1 n
n
chii
i 1
p n
异常值与强影响值
二、关于自变量x的异常值
虽然强影响点并不总是y的异常值点，不能单纯根据 杠杆值hii的大小判断强影响点是否异常，但是我们对强影 响点应该有足够的重视。为此引入库克距离，用来判断强 影响点是否为y的异常值点。库克距离的计算公式为：
i 1
残差分析
三、改进的残差
标准化残差
ZREi
ei
ˆ
学生化残差
SREi ˆ
残差分析
一、残差概念与残差图
e
e
0
0
x
(a)
(b)
x
e
1 3 2 4 5 6 7 8
e
0
0
x
(c)
x
(d)
残差分析
一、残差概念与残差图
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 0 1 2 3 4 5 6 7
X
火灾损失数据残差图
残差分析
二、残差的性质
性质1 E (ei)=0
ˆ 证明: E ( e i ) E ( y i ) E ( y i ) ( 0 1 x i ) E ( ˆ 0 ˆ1 x i ) 0
异常值与强影响值
采用加权最小二乘回归后，删除学生化残差SRE（i）的绝 对值最大者为|SRE（13）|=1.7424，库克距离都在0.5至1.0之 间，说明数据没有异常值。
ei 0 xiei 0
i 1
残差分析
三、改进的残差 标准化残差
ZRE
i
ei
ˆ
ei
学生化残差
SRE
i
ˆ
1 h ii
异常值与强影响值
二、关于自变量x的异常值
在 D(ei)=(1-hii)σ 2 中，hii 是帽子矩阵中主对角线的第 i 个元素，它是调节 ei 方差 大小的杠杆，因而称 hii 为第 i 个观察值的杠杆值。类似于一元线性回归，多元线性 回归的杠杆值 hii 也是表示自变量的第 i 次观测值与自变量平均值之间距离的远近。 较大的杠杆值的残差偏小，这是因为大杠杆值的观测点远离样本中心，能够把回归 方程拉向自己，因而把杠杆值大的样本点称为强影响点。
实用回归分析课件(残差与及残差图)
残差的基本概念
定义
残差是指观测值与通过回归模型预测的值之间的 差异。
计算方法
残差 = 观测值 - 预测值。
重要性
残差用于评估回归模型的拟合效果，可以帮助我 们发现异常值、模型的不确定性和误差来源。
02
残差的性质与计算
残差的定义与计算方法
残差
观测值与回归方程预测值之差。
计算方法
实际观测值 - 预测值。
如果残差分布符合正态分布，那 么残差图上的点应该大致呈钟形 分布。通过观察残差图的分布形
状，可以检验残差的正态性。
残差图的用途与限制
01
辅助模型诊断
通过观察残差图，可以对模型的假设条件进行检验，如线性关系、误差
项的正态性等。
02
改进模型
根据残差图的观察结果，可以对模型进行调整和改进，如添加或删除解
详细描述
在案例一中，我们将使用一组线性回归模型的数据，通过计算残差、绘制残差图等方法，分析模型的 拟合效果。我们将重点关注残差的分布、正态性、独立性和同方差性等方面，以评估模型的可靠性。
案例二：时间序列数据的残差分析
总结词
时间序列数据具有时序依赖性和波动性，因此在进行回归分析时需要特别注意残差的分 析。
自相关性诊断方法
通过计算自相关图、使用自相关 系数、偏自相关系数等方法，可 以诊断出自相关性。
自相关性处理方法
处理自相关性可以采用差分、季 节性差分、指数平滑等方法，消 除自相关性对回归分析的影响。
异方差性诊断与处理
异方差性定义
异方差性是指回归模型的残差项的方差不恒 定，即随着预测变量的变化，残差的方差也 会发生变化。
指残差之间存在相关性，通常表现为 时间序列数据的滞后相关性。
第四节__残差分析
第四节残差分析、预报和控制一、残差分析前面咱们介绍了线性回归方程的成立和查验。
在实际问题中，由于观察人员的粗心或偶然因素的干扰。
常会使咱们所取得的数据不完全靠得住, 即出现异样数据。
有时即便通过相关系数或F查验证明回归方程靠得住，也不能排除数据存在上述问题。
残差分析的目的就在于解决这一问题。
所谓残差是指实际观察值与回归估量值的差，即(2-1-26)显然，有多少对数据，就有多少个残差。
残差分析就是通过残差所提供的信息，分析出数据的靠得住性、周期性或其它干扰。
第一介绍如何检查异样数据。
异样数据是指与其它数据产生的条件有明显不同的数据，因此异样数据的残差会特别的大。
一旦发觉异样数据应及时剔除，用剩余数据从头成立回归方程，以提高回归方程的质量。
发觉异样数据主要从技术上找原因，当技术上无法找到原因时，就得借助于数理统计方式。
由数理统计方式能够证明(2-1-27) 或记为(2-1-28)这说明残差的方差D(e)是x的函数，且二者呈曲线关系。
以回归方程及方程和作图。
见方开泰《实用回归分析》P45图考虑到较小，当n较大时(2-1-29) 现在图中的两条曲线可近似于两条平行直线。
从而有(2-1-30) 或近似地(2-1-31)这表明，当n较大时y i落在图2-1-3的长条形带子中的概率约为95%，只要明白，就可以够取得残差的置信区域。
一般是未知的，通常常利用残差标准差来估量。
可用下式求得(2-1-32) 由此可得残差置信带(2-1-33)对残差在置信带之外的数据都要进行检查，以区别是不是是异样数据，若是是异样数据就要剔除掉。
此刻咱们对例1做残差检查。
由式(2-1-32)残差置信带为,。
计算5个实验点的预报值与残差值(见表2-1-4)，并作出残差检查图(见图2-1-4)表2-1-4 例1的残差值图2-1-4 例1的残差图由图2-1-4可见，例1中全数数据的残差都在置信带内，没有异样数据。
除此之外，残差图还能够为咱们提供许多有效信息。
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1 165 48
-6.373
2 165 57
2.627
3 157 50
2.419
4 170 54
-4.618
5 175 64
1.137
6 165 61
6.627
7 155 43
-2.883
8 170 59
0.382
我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为 样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2 较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
例 关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30 40 60 50 70
有如下的两个线性模型：
（1） yˆ 6.5x 17.5 ；（2） yˆ 7x 17.
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
收集了7组观测数据列于表中：
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并 预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？
1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；
2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。
编号 身高/cm 体重/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
165 165 157 170 175 165 155 170
48 57 50 54 64 61 43 59
试比较哪一个拟合效果更好。
n
( yi yi )2
i 1
第一个好
n
( yi yi )2
R2
1
i 1 n
( yi y)2
i 1
一般地，建立回归模型的基本步骤为：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预 报变量。
（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之 间的关系（如是否存在线性关系等）。
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系， 则选用线性回归方程y=bx+a）.
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差 过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常， 则检查数据是否有误，或模型是 否合适等。
例如，编号为6的女大学生，计算残差为：
61 (0.849165 85.712) 6.627
对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号
n
表示为： ( yi yi )2 称为残差平方和， 类似于方差的定义 i 1
在例1中，残差平方和约为128.361。
残差分析与残差图的定义：
残差图的制作及作用。
•几点坐说标明纵：轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 的错第•误一。个若如样果模本数点据型和采选第集6有择个错样的误本，点正就的确予残以差，纠比残正较，大差然，图后需再要中重确新的认利在点用采线应集性过该回程归中分模是布型否拟有在合人以数为 据；如果横数据轴采集为没心有错的误带，则形需区要寻域找；其他的原因。 样的另•带外状，对区残域差于的点宽远比度较离越均窄横匀，地轴说落明的在模水点型平拟，的合带要精状度区特越域别高中，，注回说归意明方选。程用的的预模报型精计度较越合高适。，这
3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是 在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。
我们可以用下面的线性回归模型来表示：
y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，
e称为随机误差。
思考
产生随机误差项e 的原因是什么？
思考 产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
（优选）残差分析
1、求回归直线方程的步骤：
（1）画散点图
(2)求均值x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
i
b i1 n
（3）代入公式
(xi x)2
i1
i1 n
xi2 nx2
,
i1
^
a y bx,......(1)
（4）写出直线方程为y^=bx+a,即为所求的回归直线方程。
探索新知
选变量
线性模型
方案1
解：选取气温为解析变量x，产卵数
350
为预报变量y。
300
250
画散点图
200
150
100
选模型 估计参数
50
0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
身
高
异
与
常
体 重
点
残
差
• 错误数据
图
• 模型问题
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是 n
R2
1
( yi yi )2
i 1
n
( yi y)2
1
残差平方和 。 总偏差平方和
i 1
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1， 表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归
假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散 点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落 在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从 回归直线上“推”开了。
因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异(yi yi ) 是随机误差的效应， 称 ei =yi yi 为残差。
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线 性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。
然后，我们可以通过残差 e1, e2, , en 来判断模型拟合的效果，判断原始
数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg