第26章 量子力学基础
量子力学基础知识
量子力学基础知识量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它揭示了微观粒子的性质和行为，与经典力学有着本质的区别。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
1. 波粒二象性量子力学的起源可以追溯到20世纪初，当时物理学家们发现光既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
这一观察结果引发了对物质微粒也具有波粒二象性的思考。
根据波粒二象性，微观粒子既可以被视为粒子，也可以被视为波动。
例如，电子和光子既可以像粒子一样在空间中传播，又可以像波动一样干涉和衍射。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心概念之一，由德国物理学家海森堡提出。
它指出，在测量一个粒子的位置和动量时，这两个物理量的精确测量是不可能的。
简而言之，我们无法同时准确地知道粒子的位置和动量。
这意味着测量的结果是随机的，存在一定的误差。
3. 量子态量子力学中，量子态描述了一个系统的所有信息。
量子态可以用波函数表示，波函数是描述粒子在空间中分布和运动的数学函数。
根据波函数的模的平方，我们可以得到一个粒子出现在空间中某个位置的概率。
量子态还包括诸如自旋、能量等其他信息。
4. 测量问题在量子力学中，测量是一个重要的概念。
测量会导致量子态的塌缩，即系统从一个可能的量子态跃迁到一个确定的量子态。
然而，测量结果是随机的，我们只能得到一定的概率性结果。
这与经典物理学中的确定性测量有所不同。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，由奥地利物理学家薛定谔提出。
它描述了量子体系的演化规律，可以用于求解系统的量子态和能量。
薛定谔方程是量子力学的数学基础，可以解释波粒二象性、不确定性原理和量子态等现象。
总结：量子力学是一门奇特而又挑战性的学科，它已经对人类的科学认知产生了深远的影响。
本文简要介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、不确定性原理、量子态和测量等重要概念。
了解和理解这些基础知识对于进一步深入学习量子力学以及应用量子技术具有重要意义。
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是一门研究微观世界的物理学科，其研究对象是原子，分子以及更小的粒子。
相比经典力学而言，量子力学更加深奥、多变，虽然被数学化的描述形式非常精致，但仍然存在着一些难以理解的问题。
1. 粒子的波粒二象性：偏振实验回归到物理学的起点，我们会想到牛顿第一定律、摩擦力等经典概念，这些概念结合起来就可以很好地解释力学现象，却无法解释一些现象如光学实验中的偏振现象，也就是说，光具有波动性质，这丝毫不起眼的光子却颠覆了科学家们对物质的认识。
波粒二象性既是一种直观表现，又是一种对量子粒子行为的描述。
最著名的实验就是二十世纪初由英国科学家Thomas Young首次提出的杨氏双缝干涉实验，这个实验在光学和其他领域都被广泛用于解释量子力学基础概念，它不仅欧洲牛津大学的量子力学教材中出现，而且出现在了《生活大爆炸》等大众文化中。
这项实验能够说明光实际上是由一系列能够相互干扰的波构成的，而同样可以得出这一结论的实验不仅仅局限于光学，例如，Young实验也在微观粒子的电子双缝干涉实验中被重复实现，这一实验表明了量子粒子行为上的奇异性质。
2. 物理量的不确定性：海森堡测不准原理在粒子的量子状态下，物理特征指标可以发生变化，并且量子比经典物理学更复杂得多。
海森堡测不准原理是量子力学中的一个基本概念，它断言在某些物理实验中，同时测量粒子的两个或更多个性质（例如，位置和动量）是不可能获得一个完全准确的结果的。
例如，我们试图通过测量粒子的位置来确定其精确的动量，我们需要测量粒子位置的变化，这样粒子就不能在特定时间的某个位置上。
这种粒子位置和动量之间的不确定性，是一种基本的量子现象，可以在许多实验中观察到。
3. 量子纠缠：特别的量子机制量子纠缠也是量子力学基础领域的一个重要现象，可以帮助我们更好地理解量子领域中的基本概念。
粒子的量子状态能够纠缠，这意味着，当两个或更多粒子在某种特定的方式下存在时，它们的抽象量子状态将是相互依存的。
量子力学的基础理论
量子力学的基础理论量子力学是一门描述原子和分子等微观物体行为的理论，它提供了一种新的描述物质运动方式的框架，引领了现代物理学的发展。
在20世纪初，物理学家发现了一些实验违背了经典物理学的基本理论，这些实验结果推动了量子力学的发展。
量子力学的基础理论有三个方面，分别是波粒二象性、不确定关系和量子纠缠。
本文将重点介绍这三个方面的基础理论。
波粒二象性波粒二象性是指物质具有波动性和粒子性两种本质特征。
在物理学中，波动性和粒子性是互相排斥的概念，因此波粒二象性的存在对物理学的观念体系带来了巨大的冲击。
根据量子力学的理论，微观粒子（如电子、光子等）具有同时存在波动性和粒子性的特征。
波动性是指物质通过波的传播方式进行运动的一种特性。
光、电磁波等都是具有波动性的物质，它们能够传播，具有频率和波长等参数。
而粒子性则是指物质的一种离散化状态，例如一个电子、一个质子等都是原子微观粒子的具体表现。
光子是典型的具有波粒二象性的例子，实验证明，光子在表现为电磁波时，具有光速、频率和波长等特性，但在一些情况下，它又表现出光子的粒子性，例如光电效应等现象。
其他粒子也表现出了波粒二象性，例如电子在光栅上的衍射实验中，实验证明电子也具有波动性。
不确定关系不确定关系是指对于粒子的某些性质，如位置和动量，我们无法同时精确地进行测量。
这是由于量子力学的公理确定的基本关系，也称为测不准原理。
根据不确定关系的原理，若对微观粒子某一性质进行测量，另一个性质将变得不确定。
例如，在对电子测量其位置的同时，它的动量就会变得不确定。
或者在对电子测量其动量时，其位置也将变得不确定。
由于这种原理存在，当精确地知道宏观物体的位置和速度时，我们就无法确定粒子的位置和动量，因此也不可能精确地预测微观粒子的运动状态。
量子纠缠量子纠缠是量子物理学中的一个重要现象，它是指两个粒子之间有一种非常奇特的联系。
这种联系不是通过传统的物质流动、电磁场等方式实现的。
它的本质是非局域的，一旦发生，两个粒子之间将会产生不可分割的联系，不管它们相隔多远，这种联系都不会随着距离的增大而减弱。
物理化学-量子力学基础
04 量子力学的应用
量子计算
量子计算
量子计算机
利用量子力学原理进行计算，具有经典计 算无法比拟的优势，如加速某些算法、实 现更高级别的加密等。
利用量子比特作为计算基本单位，能够实 现并行计算，大大提高计算效率。
量子算法
量子纠错码
基于量子力学原理设计的算法，如Shor算 法、Grover算法等，能够解决经典计算机 无法有效解决的问题。
不确定性原理
总结词
指在量子力学中，无法同时精确测量某些对立的物理量，如位置和动量、时间和能量等。
详细描述
不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明微观粒子的某些物理量无法同时被精确测量。这是因为测量 一个物理量可能会对另一个物理量产生干扰，从而影响其测量精度。这一原理限制了人们获取微观粒子精确信息 的可能性。
量子态和叠加态
总结词
量子态是指微观粒子所处的状态，可以 用波函数来描述；叠加态是指一个量子 系统可以同时处于多个状态的叠加。
VS
详细描述
在量子力学中，微观粒子的状态由波函数 来描述。波函数是一个复数函数，其模方 的物理意义是粒子处于某个状态的概率幅 。当一个量子系统可以同时处于多个状态 时，这些状态被称为叠加态。叠加态是量 子力学中的基本概念之一，它解释了微观 粒子的一些奇特性质，如干涉和纠缠等。
利用量子力学原理设计的错误纠正码，能 够提高量子计算机的稳定性。
量子通信
01
02
03
04
量子密钥分发
利用量子力学原理实现密钥分 发，能够保证通信的安全性。
量子隐形传态
利用量子纠缠实现信息传输， 能够实现无损、无延迟的通信
。
量子雷达
利用量子力学原理实现探测， 能够探测到传统雷达无法探测
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
《结构化学》量子力学基础
结构化学量子力学基础量子力学是一门用于研究微观领域的物理学理论，它在结构化学中发挥着重要的作用。
本文将介绍一些结构化学中使用的量子力学基础知识，包括波粒二象性、波函数、薛定谔方程以及量子力学算符。
波粒二象性波粒二象性是量子力学的核心概念之一。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的特性，例如位置和动量，又可以表现出波动的特性，例如干涉和衍射。
这个概念最早由德布罗意提出，后来由实验证实。
在结构化学中，波粒二象性对于理解原子和分子的行为很重要。
例如，当光照射到分子上时，它可以通过波动模式与分子相互作用，从而导致分子的电子发生相应的变化。
这种相互作用不仅仅可以解释电子态的变化，还可以解释光谱的形成。
波函数波函数是描述量子力学体系的数学工具。
它是一个复数函数，可以用来描述系统中微观粒子的状态。
波函数的平方的模的平方给出了找到粒子在不同位置上的概率分布。
在结构化学中，波函数被用来描述原子和分子的电子态。
通过求解薛定谔方程，可以得到这些波函数。
波函数的形状决定了电子的分布，进而决定了原子和分子的性质。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学体系演化的基本方程。
它将体系的总能量与波函数联系起来，并描述了波函数随时间的演化。
薛定谔方程可以写为：Schrödinger equationSchrödinger equation这个方程包括了哈密顿算符和波函数的关系。
通过求解这个方程，可以得到波函数的时间演化情况。
在结构化学中，薛定谔方程被用于计算原子和分子的能级和振动态。
通过求解薛定谔方程，可以得到分子的光谱和电子态信息。
量子力学算符量子力学算符是描述量子力学体系性质的数学工具。
算符是一种操作，可以对波函数进行操作，从而得到相关的物理量。
量子力学算符包括了位置算符、动量算符、哈密顿算符等。
在结构化学中，量子力学算符被用于计算原子和分子的性质。
例如，位置算符可以用来计算电子的平均位置；动量算符可以用来计算电子的平均动量。
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波函数
自由粒子波函数
0 0
0
自由粒子的
0
波函数
自由粒子的能量和动量为常量， 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 罗意波是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子， 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同， 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。 不相同。
– 31
的 称节点位置 kg 极大的 称最概然位置
看，
置间隔变小。 很大， 置间隔变小。 很大，概 算得 × 37.7 eV 能量量子化明显 好比驻波 率密度趋近均匀分布。 率密度趋近均匀分布。 – 2 m ( 宏观尺度)的势阱中 处在宽度 10
归纳
例
例
例
例
电子束 缝 宽
例
电子束
缝 宽
例
例
不确定关系
海森伯
第三节
经典理论的困难 根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。 根源：微观粒子具有明显的波粒二象性。 由于微观粒子具有明显的波动性， 由于微观粒子具有明显的波动性，导致了不确定关 同方向的位置和动量不能同时确定, 系 , 同方向的位置和动量不能同时确定 , 使得我们不能 用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态. 用坐标和动量来描述微观粒子的运动状态. 那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢? 那么用什么物理量来描述微观粒子的运动状态呢 既然微观粒子具有明显的波动性， 既然微观粒子具有明显的波动性，使我们自然地想 用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。 到,用一个函数(波函数)来描述微观粒子的运动状态。
微观客体的运动状态可用波函数来描述， 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是 量子力学的一个基本假设。 量子力学的一个基本假设。
概率密度
1926 年提出了对 波函数的统计解释
波函数归一化
因概率密度 故在 矢端的体积元 发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子， 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。 子出现的概率为 。 内
量子力学初步
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。 电子学及高新技术等许多领域。 本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理， 原理，并通过几个具体事例的讨论来说明 量子力学处理问题的一般方法。 量子力学处理问题的一般方法。
第一节
新思想的形成背景
普朗克、 普朗克、爱因斯坦等人的能量子和光量子理论取得的 成功，实际上反映了光具有波粒二向性． 成功，实际上反映了光具有波粒二向性．波尔纯粹用 粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展， 粒子的观点去解决原子问题虽有较大进展，但又遇到 了困难． 了困难． 这些启示了德布罗意，提出了一个很发人深省的 这些启示了德布罗意 问题。他认为： 整个世纪以来， 问题。他认为：“整个世纪以来，在光学中比起波的 研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话， 研究方法来，如果说是过于忽视粒子的研究的话，那 么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误， 么在实物粒子的理论上，是不是发生了相反的错误， 把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？ 把粒子的图象想得太多，而过分忽视了波的图象呢？” 于是， 年他提出了一个大胆的假设： 于是，在1924年他提出了一个大胆的假设：不仅辐射 年他提出了一个大胆的假设 具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。 具有波粒二象性，一切实物粒子也具有波粒二象性。
对坐标的一阶导数存在且连续（ 定态薛定谔方程成立）。 对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
若已知势能函数 可求解出
，应用定态薛定谔方程 应用定态薛定谔方程
，并得到定态波函数 并得到定态波函数
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。 定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
得
概率密度最大的位置
求极大值的 x 坐标 积分得
解得 另外两个解
处 处题设
最大
得到归一化波函数：
概率密度
第四节
薛定谔方程引言
薛定谔方程
定态薛定谔方程
若粒子所在的 势场只是空间函数 即 则粒子的每个状态 能量具有确定值
续上
连续、单值、有限的标准条件； 连续、单值、有限的标准条件；
归一化条件； 归一化条件；
德布罗意
1923年他提出电子既具 年他提出电子既具 有粒子性又具有波动性。 有粒子性又具有波动性。 1924年正式发表一切物质 年 都具有波粒二象性的论述。 都具有波粒二象性的论述。 并建议用电子在晶体上做 衍射实验来验证。 衍射实验来验证。1927年 年 被实验证实。 被实验证实。他的论述被 爱因斯坦誉为 “ 揭开了 巨大面罩的一角 ”。 德布罗意为此获得1929 德布罗意为此获得 年诺贝尔物理学奖。 年诺贝尔物理学奖。
NaCl晶体的中子衍射 NaCl晶体的中子衍射
要点1
要点2
第二节
不确定关系
海森伯
1927年，德国物理学家海森伯提出 年 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 位 置 的 不 确 定 量 的关系 同一时刻 该方向动量的不确定量
称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。
不确定关系
从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系
电子束 缝 宽
单缝衍射一级暗纹条件 电子通过单缝时发生衍射，
概略地用一级衍射角所对应 的动量变化分量 粗估其 动量的不确定程度
续上
德布罗 意波长
缝宽 可用来粗估 电子通过单缝时其位 置 x 的不确定程度。 的不确定程度。 为了减小位置测量 衍 的不确定程度，可以 的不确定程度， 射 减小缝宽 ，但与 此同时， 图 此同时，被测电子的 样 动量的不确定量 却变大了。 却变大了。 根据右图可粗估 与 的关系。 的关系。
8,9,10,14,15,16,18,19
教学基本要求
了解德布罗意假设及电子衍射实验 德布罗意假设及电子衍射实验. 一 了解德布罗意假设及电子衍射实验 了解实 物粒子的波粒二象性. 物粒子的波粒二象性 理解描述物质波动性的物理量 波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、 （波长、频率）和描述粒子性的物理量（动量、能 之间的关系. 量）之间的关系 二 了解坐标和动量、时间和能量的不确定关系 . 了解坐标和动量 坐标和动量、 了解波函数及其统计解释 了解一维定态的 三 了解波函数及其统计解释 . 了解一维定态的 薛定谔方程， 掌握量子力学中用薛定谔方程处理一 薛定谔方程， 掌握量子力学中用薛定谔方程处理一 维无限深势阱等微观物理问题的方法 .
钨晶体薄片对电子的衍射
氧化锌晶体对电子的衍射
电子及中子衍射图片
电子衍射、中子衍射、 电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表 面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。 面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒 子具有波粒二象性的理论得到了公认。 子具有波粒二象性的理论得件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件： 波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
波函数标准条件
波函数的三个标准条件： 波函数的三个标准条件：
连续 单值 有限
因概率不会在某处发生突变， 因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续； 须处处连续； 因任一体积元内出现的概率只有一种， 因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的； 波函数一定是单值的； 因概率不可能为无限大， 因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的； 有限的；
戴-革实验
汤姆孙实验
电子衍射图片
由于电子进入到晶体内部时容易被吸收， 由于电子进入到晶体内部时容易被吸收， 人们通常采用极薄的晶片， 人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以 掠入射的形式从晶体表面掠过， 掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只 与晶体最外层的原子产生衍射， 与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功 地观察到多种晶体的电子衍射图样。 地观察到多种晶体的电子衍射图样。 电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射
得
即
考虑到高于一级 仍会有电子出现
取
和
不可能
通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式， 通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明
同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定， 同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中， 客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克 常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。 常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。
因此， 因此，将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍， 倍 则各处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度 分布状态。 分布状态。
德布罗意波 不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方） 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间 各点波强的比例， 各点波强的比例，并非取 决于波强的绝对值。 决于波强的绝对值。
因此， 因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C 倍，不影响粒子 的概率密度分布， 的概率密度分布，即 和 C 所描述德布罗意波的状态相同。 所描述德布罗意波的状态相同。