第四章部分习题解答

第四章部分习题解答
习题一 （P215）
4．已知从曲线的切线到切点的向径所成的角为定角α，
求该曲线所满足的微分方程。

解：设所求曲线的方程为)(x f y =，切点为),(y x M ，
则有x
y y y x y ⋅'+'-=α1tan ，即α+α-='tan tan y x x y y 。

5．设有一质量为m 的质点作直线运动，假定有一个和时间成正比的拉力作用在它上面，同时质点又受到与速度成正比的阻力作用，试求速度随时间变化的微分方程。

解：质点在运动过程中所受的力有两个： 一个是t k F 11=（1k 为正的常数）； 一个是v k F 22-=（2k 为正的常数），2F 的方向与质点运动的方向相反。

因此作用在质点上的力v k t k F F F 2121-=+=。

另一方面，由牛顿第二定律可知，dt
dv m
ma F ==， 故得微分方程：v k t k dt dv m 21-=。

习题二
6.一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线线段被切点所平分, 求此曲线的方程。

解：设所求切线方程为)x (f y =，切点为)y ,x (M ，则由题意可知： 切线与x 轴的交点为)0 ,x 2(A ，切线与y 轴的交点为)y 2 ,0(B ， 故得微分方程：
x 200y 2dx dy --=，即x y dx dy -=，且3y 2x ==。

分离变量，得x
dx y dy -=，两端积分得C xy =。

代入初始条件3y 2x ==，得6C =，故所求曲线的方程为6xy =。

7．一汽船在h km 10的速度运动时停止了发动机，经过s 20后船的速度减至h km 6，已知水的阻力与汽船运动的速度成正比，试问发动机停止min 2后船的速度是多少？
解：设汽船在发动机停止t 小时后的速度为)h km (v ，则有 kv dt
dv m -=，且10v 0t ==。

解方程得通解：t m k Ce v -=， 把10v 0t ==代入上式，得10C =，故t m k e 10v
-=。

把6v 360020
t ==代入上式，得360020m k e 106⋅-=，
解得35ln 18035ln 360020m k =⋅=，故t 35
ln 180e 10v -=。

当)h (301602t ==时，35
ln 630135ln 180e 10e 10v -⋅-==467.0)5
3(106≈=)h km (。

8．镭的衰变规律是：衰变速度与镭的剩余量成正比，已知镭的原有量为o m ，经过1600年后，只剩下原有量的一半，求镭的衰变规律。

解：设镭的衰变规律为)t (m m =，则有
km dt dm -=，o 0t m m ==，o 1600t m 21m ==。

解之得方程的通解k t Ce m -=，
把o 0t m m ==代入通解得o m C =，故k t o e m m -=。

把o 1600t m 2
1m ==代入上式，得k 1600o o e m m 21-=， 16002ln k =， 故镭的衰变规律为t 16002ln o e m m -=，即1600t o )2
1(m m =。

习题三
5．一质量为m 的物体，一倾角为α的斜面上由静止下滑，磨擦力为Lp kv +，其 中v 为速度，p 为物体对斜面的正压力，L ,k 为常数，求速度的变化规律。

解：将物体的重力mg 按与斜面平行和垂直两方向分解成两个分力，与斜面平行 的分力为αsin mg ，与斜面垂直的分力为αcos mg ， 则磨擦力α+=+=cos Lmg kv Lp kv ， 由牛顿第二定律可得 α--α=cos Lmg kv sin mg dt dv m ， 故得初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=α-α=+=
0v )cos L (sin g v m k dt dv 0t 。

]C dt e )cos L (sin g [e v dt m k dt m k +⎰⋅⎰α-α⎰=- ]C dt e )cos L (sin g [e t m k t m k +α-α=⎰-
]C e )cos L (sin k mg [e t m k t m k +α-α=- t m k Ce )cos L (sin k mg -+α-α=。

把初始条件0v 0t ==代入通解，得)cos L (sin k mg C α-α-=， ∴特解为)e 1)(cos L (sin k mg t m k --α-α=。

6．设)y ,x (P 是连接)0,1(B 和)1,0(A 两点的一条上凸曲 线上的任一点，已知曲线与弦AP 之间的面积为3x ， 求此曲线方程。

解：设曲线方程为)x (f y =，则有 3 x
0 x 2
x ]1)x (f [f (t)dt =⋅+-⎰， 将方程两边对x 求导，得
2x 3]1)x (f )x (f x [2
1)x (f =++'-，且0)1(f =。

1x 6)x (f )x (f x 2--=-'， x
1x 6)x (f x 1)x (f --=-'， ]C dx e )x 1x 6([e )x (f dx x 1dx x 1+⎰--⎰=-⎰ ]C x
1x 6[x ]C dx )x 1
6([x 2++-=+--=⎰， 即1Cx x 6)x (f 2++-=。

把初始条件0)1(f =代入，得5C =， 故所求曲线方程为1x 5x 6)x (f 2++-=。

7．（3）设可微函数)x (f 对任何x ，y 恒有)y (f e )x (f e )y x (f x y +=+，且2)0(f ='， 求)x (f 。

解法1：令0y x ==，得)0(f 2)0(f =，故0)0(f =。

y )x (f )y (f e )x (f e lim y )x (f )y x (f lim )x (f x y 0
y 0y -+=-+='→→ y )]0(f )y (f [e ]1e )[x (f lim x y 0
y -+-=→
y )]0(f )y (f [e lim y ]1e )[x (f lim x 0
y y 0y -+-=→→ )0(f e )x (f x '+=，
故得初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+='
0)0(f e 2)x (f )x (f x ]C dx e e 2[e )x (f dx x dx ⎰+⎰⋅⎰=- ]C x 2[e ]C dx e e 2[e x x x x +=+⋅=⎰-， 把初始条件0)0(f =代入上式，得0C =， ∴x xe 2)x (f =。

解法2：在)y (f e )x (f e )y x (f x y +=+中，令0y x ==，得0)0(f =。

把)y (f e )x (f e )y x (f x y +=+的两边对y 求导， 得)y (f e )x (f e )y x (f x y '+=+'， 令0y =，得)0(f e )x (f )x (f x '+=' ∵2)0(f ='，
∴x e 2)x (f )x (f =-'。

下面的步骤同解法1。