第一章 数制和码制
数制与码制
【例】将十进制整数27转换为二进制数。 用除2取余法进行转换的操作示意图如图所示。 排列出转换的结果为(27)D=(11011)B
商
0
1/2
3/2 6/2 13/2 27/2 1 3 6 13 27
余数 1
1
0
1
1
14
【例】将十进制数0.21转换为二进制数，要求转
换误差小于2 。 用乘2取整法进行转换的操作示意图如图1-3所示。
第一章 数制和码制
学习目标 • 了解模拟信号和数字信号的处理特点 • 了解常用的数制及其之间的转换 • 了解常用的码制 • 了解文字符号在计算机中的表示
1
第一章 数制和码制
1.1 模拟信号和数字信号的处理特点 1.2 数制 1.2.1 十进制 1.2.2 二进制 1.2.3 数字技术中二进制的优点 1.3 数制间的转换 1.3.1 二进制转换为十进制 1.3.2 十进制转换为二进制 1.3.3 其他数制的转换 1.4 数字电路中数的表示方法与格式 1.4.1 码的概念 1.4.2 十进制数的表示 1.5 文字符号表示方法
1 0
1
d 2 1 0
2
d m 10
m
d
m
n ）称为十进制数的按权展开式。
6
1.2.2 二进制
• 二进制就是权为2的进位制，其基数为2，它只有两个 数码，即0和1，做加、减运算时“逢二进一，借一当 二”。这样，两个二进制数的加法和减法运算如下：
3．运算规则简单 • 以加法为例，二进制的加法规则只有3条： 0+0=0，0+1=1和1+1=10； • 而十进制的加法规则却有55条。运算规则的繁 简也会影响到电路的繁简。结合上述设备用量 比较可知，二进制较十进制具有极大的优势。 • 相对于十进制而言，在数字电路中使用二进制 的优势十分突出，所以现在的数字电路基本都 采用二进制。
1章数制与编码1
按权展开法：
例如：(11010.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+0×20 +1×2-1+0×2-2+1×2-3
=16+8+2+0.5+0.125 =(26.625)10 十进制数转换成二进制数时，将待转换的数分成整数部
分和小数部分，并分别加以转换。一个十进制数可写成： (N)10=(整数部分)10 . (小数部分)10 转换时，首先将(整数部分)10转换成(整数部分)2； 然
具体转化法：
2 58
2 29
2 14
27
23
21
0
k0=0 k1=1 k2=0 k3=1 k4=1 k5=1
632.45 = 6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2 一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置
计数表示如下： （N）10=( kn-1kn-2 … k1k0 .k-1k-2 … k-m ）10
按权展开
的表示法：
(N)10=kn-1×10n-1+kn-2×10n-2+ … k1×101+k0 ×100 + K1 ×10-1 … K-m ×10-m
十进制数的表示
原则上说，一个数可以用任何一种进位计数制来 表示和运算，但不同数制其运算方法及难易程度 互不相同。选择什么样的进位计数制来表示数， 对数字系统的性能影响很大。例如：
632.45 = 6x102+3x101+2x100+4x10-1+5x10-2 一般说来，对于任意一个十进制数N，可用位置
=∑ki×10i (i=-m ∼ n-1） 1.1.2 二进制数的表示
第1章 预备知识(数制与码制)
1.2
二进制数的运算
1.2.1二进制数的算术运算
二进制数不仅物理上容易实现，而且算术运算
也比较简单，其加、减法遵循“逢2进1”、“借1当2” 的原则。 以下通过4个例子说明二进制数的加、减、乘、 除运算过程。
1. 二进制加法
续2
2. 二进制减法
1位二进制数减法规则为: 1－0＝1 1－1＝0 0－0＝0 0－1＝1 例2: 求10101010B－10101B。 解: 被减数 10101010 (有借位)
减数
借位 －) 差
10101
00101010 10010101
则10101010B－10101B＝10010101B。
它代表计数制中所用到的数码个数。
如：二进制计数中用到0和1两个数码； 八进制计数中用到0～7共八个数码。 一般地说，基数为R的计数制(简称R进制)中，包 含0、1、…、R-1个数码，进位规律为“逢R进1”。
续1
(2)位权W(Weight):
进位计数制中,某个数位的值是由这一位的数码值 乘以处在这一位的固定常数决定的,通常把这一固定常数 称之为位权值,简称位权。各位的位权是以R为底的幂。 如：十进制数基数R=10，则个位、十位、百位上的位
2D07.AH＝2×163＋13×162＋0×161＋7×160
＋10×16-1
＝8192＋3328＋7＋0.625＝11527.625
续2
2.十进制数转换为二、八、十六进制数
任一十进制数N转换成q进制数，先将整数部分与 小数部分分为两部分，并分别进行转换，然后再用小数 点将这两部分连接起来。
1)整数部分转换
第1章 数和码制
*微机组成：CPU、MEM、I/O微机的基本结构微机原理(一)：第一章数制和码制§1.1 数制(解决如何表示数值的问题)一、数制表示1、十进制数表达式为：A ＝∑-=•110 nmi iAi如：（34.6）10＝ 3×101 + 4×100 + 6×10-1 2、X进制数表达式为：B ＝∑-=•1 NM iiX Bi如：（11.01）2＝ 1×21 + 1×20 + 0×2-1+ 1×2-2（34.65）16＝ 3×161 + 4×160 + 6×16-1+ 5×16-2X进制要点：X为基数，逢X进1，X i为权重。
（X个数字符号：0，1，…，X-1）区分符号：D-decimal (0-9)，通常D可略去，B-binary (0-1)，Q-octal (0-7)，H-hexadecimal (0-9, A-F)常用数字对应关系：D: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11，12， 13，14，15B：0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111H: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， A， B， C， D， E， F二、数制转换1、X →十方法：按权展开，逐项累加。
如： 34.6 Q＝ 3×81 + 4×80 + 6×8-1 = 24 + 4 + 0.75 = 28.75 D2、十→X即：A十进制＝B X进制令整数相等，即得：A整数＝（B N-1·X N-1 + … + B1·X1）+ B0·X0此式一次除以X可得余数B0，再次除以X可得B1，…，如此直至得到B N-1令小数相等，即得：A小数＝B-1·X-1 +（B-2·X-2 + … + B-M·X-M）此式一次乘X可得整数B-1，再次乘X可得B-2，…，如此直至得到B-M.归纳即得转换方法：除X取余，乘X取整。
第一章数制和码制二进制正负数的表示法二进制正负数的表示法
电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics 电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics 电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics 电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics 电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics-循环二进制码(2m-1→0 仅一位之差)电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics循环二进制码电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics十进制符号“8”电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics 电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics电子科学与应用物理学院School of Electronic Science & Applied Physics。
第1次课——第1章 数制和码制
27. 125 10 1B.216
第1章 逻辑代数基础
二进制转换成十进制的方法：
将二进制数按权展开后，按十进制数相加。 【例】 将二进制数（11001101.11）2 转换为等值的十进制数。 解: 二进制数（11001101.11）2 各位对应的位权如下: 位权:27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 二进制数:1 1 0 0 1 1 0 1. 1 1 等值十进制数为: 27 + 26 + 23 + 22 + 20 + 2-1 + 2-2 =128 + 64 + 8 + 4 + 1 + 0.5 + 0.25 = (205.75)10
第1章 逻辑代数基础
例如：
. 110110012 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2-1 0 2-2 1 2-3 27.12510
八进制转换成十进制的方法：
将八进制数按权展开后，按十进制数相加。 例如：
33.18 3 81 3 80 1 8-1 27.12510
思考(0.0376)10 转换为十进制数？（保留小数点后8位有效数字）
第1章 逻辑代数基础
十进制转换成八进制的方法：
整数部分除以8，取余数，读数顺序从下往上； 小数部分乘以8，取整数，读数顺序从上至下。
例： (27.125) 10 ＝ (33.1) 8
第1章 逻辑代数基础
十进制转换成十六进制的方法：
解：转换过程如下: 二进制数： 1110
01第一章 数制和码制
系数
位权 .
i=−m
ki × 10 i ∑
n −1
(D)10=
基数
( D )10 = k n −1k n − 2 ⋯ k 0 k −1 ⋯ k − m = k n −1 × 10 n −1 + ⋯ + k o × 10 0 + k −1 × 10 −1 + ⋯ + k − m × 10 − m =
②初级阶段： ④第三阶段年代中期以后： ③第二阶段： 产生： ①初级阶段年代中期以后： 产生： 阶段 20世纪 第四阶段： 世纪80年代中期以后 ⑥第三阶段： ⑤第二阶段： 第四阶段 世纪 20世纪 年代在通讯技术（电报、 世纪70年代中期集成电路的出 世纪60年代晶体管的出现， 年代中期集成电路的出 年代晶体管的出现 世纪 年代电子计算机中的应用， 年代中期 年代晶体管 年代中期， 20世纪40年代在通讯技术（电报、， 世纪30年代在通讯技术 ，使 世纪70年代中期到 的出现 年代中期到80年代中期 年代中期到 年代中期 世纪40年代电子计算机中的应用 20世纪40年代电子计算机中的应用 产生一些专用和通用的集成芯片， 产生一些专用和通用的集成芯片， 此时以电子管（真空管）作为基本器件 得数字技术有一个飞跃发展，除了计算 使得数字技术有了更广泛的应用， 现，）首先引入二进制的信息存储技术 此时以电子管（真空管）作为基本器件。 得数字技术有一个飞跃发展，基本器件。 电话）首先引入二进制的信息存储技术。 以及一些可编程的数字芯片，并且制作 微电子技术的发展， 可编程的数字芯片 电话使得数字技术有了更广泛的应用， 以及一些可编程的数字芯片 除了计算 微电子技术的发展，使得数字技术得到 而在1847年由英国科学家乔治等领域都 年由英国科学家乔治.布尔 而在通讯领域应用外，在其它如也有应 年由英国科学家乔治 在各行各业医疗 使得数字电路的设计模 另外在电话交换和数字通讯方面也有应 在各行各业医疗、雷达、卫星 布尔 机、通讯领域应用外 在其它如测量领 另外在电话交换和数字通讯方面测量领 技术日益成熟， 迅猛的发展，应用外， 技术日益成熟产生了大规模和超大规模 迅猛的发展医疗、雷达、卫星等领域都 ，， 得到应用 域 用得到应用 创立布尔代数。 (George Boole)创立布尔代数。 创立布尔代数 块化和可编程的特点， 的集成数字芯片， ，提高了设备的性 块化和可编程的特点 的集成数字芯片，应用在各行各业和我 们的日常生活并降低成本，这是数字电 适用性， 能、适用性，并降低成本， 在电子电路中的得到应用， 并在电子电路中的得到应用，形成 路今后发展的趋势。 路今后发展的趋势。 开关代数， 开关代数，并有一套完整的数字逻辑电 路的分析和设计方法
数字电子技术基础第一章-数制和码制
05
结束语
本章总结
01 02
数制和码制的概念理解
通过本章的学习，我们深入理解了数制和码制的概念，掌握了二进制、 八进制、十进制和十六进制等数制的表示方法和转换规则，同时了解了 不同码制的特性和应用场景。
数制转换的实际操作
通过实例和实践操作，我们学会了如何进行不同数制之间的转换，包括 二进制、八进制、十进制和十六进制之间的转换，以及补码表示法等。
03
码制的优缺点分析
对比分析了二进制、八进制、十进制和十六进制等不同码制的优缺点，
理解了不同码制在计算机科学和技术中的重要性和应用范围。
下章预告
数字逻辑基础
在下一章中，我们将学习数字逻辑基础，了解逻辑门电路 的基本概念和原理，掌握逻辑代数的基本运算和逻辑函数 的表示方法。
逻辑门电路及其应用
进一步了解不同类型逻辑门电路的特性和工作原理，如与 门、或门、非门等，并探讨其在计算机硬件系统中的应用 和实践。
二进制转十进制
总结词
将二进制数转换为十进制数需要采用乘权求和法，即将二进制数的每一位乘以对应的权 值（2的幂次方），然后求和得到十进制数。
详细描述
将二进制数转换为十进制数的过程称为"乘权求和法"。具体步骤如下
二进制转十进制
2. 将得到的积相加，即为该 二进制数的十进制表示。
0 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 0 + 4 + 0 +1=5
例如，将二进制数1010转换 为十进制数的计算过程如下
因此，二进制数1010等于十 进制数5。
八进制转十进制
总结词
将八进制数转换为十进制数需要采用乘权求 和法，即将八进制数的每一位乘以对应的权 值（8的幂次方），然后求和得到十进制数 。
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第一章 数制和码制本章教学目的、要求：1．掌握二进制、八进制、十进制、十六进制及其相互转换。
2．掌握原码、反码、补码的概念及转换，了解二进制补码的运算。
3．理解常用8421BCD 码和可靠性代码。
重点：不同进制数间的转换。
难点：补码的概念及二进制补码的运算。
第一节 概述(一)数字量与模拟量数字量：物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。
它们数值的大小和每次变化的增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍，而小于这个最小数量单位的数值没有任何物理意义。
例如：统计通过某一个桥梁的汽车数量，得到的就是一个数字量，最小数量单位的“1”代表“一辆”汽车，小于1的数值已经没有任何物理意义。
数字信号：表示数字量的信号。
如矩形脉冲。
数字电路：工作在数字信号下的电子电路。
模拟量：物理量的变化在时间上和数值上都是连续的。
例如：热电偶工作时输出的电压或电流信号就是一种模拟信号，因为被测的温度不可能发生突跳，所以测得的电压或电流无论在时间上还是在数量上都是连续的。
模拟信号：表示模拟量的信号。
如正弦信号。
模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。
这个信号在连续变化过程中的任何一个取值都有具体的物理意义，即表示一个相应的温度。
(二)数字信号的一些特点数字信号通常都是以数码形式给出的。
不同的数码不仅可以用来表示数量的不同大小，而且可以用来表示不同的事物或事物的不同状态。
tu t第二节 几种常用的数制数制：把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。
在数字电路中经常使用的计数进制有十进制、二进制和十六进制。
有时也用到八进制。
一、十进制数(Decimal)十进制是日常生活中最常使用的进位计数制。
在十进制数中，每一位有0~9十个数码，所以计数的基数是10。
超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的进位关系是“逢十进一”。
任意十进制数 D 的展开式：i i k D 10∑= k i 是第 i 位的系数，可以是0~9中的任何一个。
例：将十进制数12.56展开为：21110610510210156.12--⨯+⨯+⨯+⨯=二、二进制数（Binary ）二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数R=2， 每位数码的取值只能是0或1，每位的权是2的幂。
任何一个二进制数，可表示为：i i k D 2∑=例如：三、八进制数(Octal)八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数R =8，采用的数码是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的权是 8 的幂。
任何一个八进制数也可以表示为：i i k D 8∑=例如：四、十六进制数(Hexadecimal)十六进制数的特点是：① 采用的 16 个数码为0、 1、 2、 …、 9、 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 。
符号A~F 分别代表十进制数的10~15。
② 进位规则是“逢十六进一”，基数R =16，每位的权是16的幂。
任何一个十六进制数， 可以表示为：i i k D 16∑= 例如：1032101232)375.11(21212021212021)011.1011(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=---1010128)5.254(5.068764384868783)4.376(=++⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=-10211216)0664.939(16116116111610163)113(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅--AB任意 N 进制数展开式的普遍形式：i i N k D ∑=其中 k i 是第 i 位的系数；k i 可以是 0 ~ N-1 中的任何一个；N 称为计数的基数； N i 称为第 i 位的权。
五、不同进制数的对照表第三节 不同数制间的转换一、二—十转换二进制数转换成十进制数时，只要将二进制数按权展开，然后将各项数值按十进制数相加，便可得到等值的十进制数。
例如：同理，若将任意进制数转换为十进制数，只需将数(N )R 写成按权展开的多项式表示式，并按十进制规则进行运算， 便可求得相应的十进制数(N )10。
二、十—二转换① 整数转换——除2取余法。
例如：将(57)10转换为二进制数：10211242)75.22(2121212121)11.10110(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=--② 小数转换——乘2取整法。
例如：将(0.724)10转换成二进制小数。
可见，小数部分乘2取整的过程，不一定能使最后乘积为0，因此转换值存在误差。
通常在二进制小数的精度已达到预定的要求时，运算便可结束。
将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，必须将整数部分和小数部分分别按除2取余法和乘2取整法进行转换，然后再将两者的转换结果合并起来即可。
同理，若将十进制数转换成任意R 进制数(N )R ，则整数部分转换采用除R 取余法；小数部分转换采用乘R 取整法。
三、二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数，它们之间的相互转换是很方便的。
二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右，将二进制数按每三位一组分组(不足三位的补0)，然后写出每一组等值的八进制数。
例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数： 二进制 001 101 111 010 ．101 100二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进制数的转换相似，从小数点开始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位补0)，然后写出每一组等值的十六进制数。
例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数：八进制数、十六进制数转换为二进制数的方法可以采用与前面相反的步骤，即只要八进制 1 5 7 2 ．. 5 4 二进制 001 101 111 010 ． 101 100 所以 (01101111010.1011)2=(1572.54) 800 11 01 10 10 11 . 10 103 6 B . A按原来顺序将每一位八进制数(或十六进制数)用相应的三位(或四位)二进制数代替即可。
例如，分别求出(375.46)8、(678.A5)16的等值二进制数：二进制011 111 101 . 100 110二进制0110 0111 1000.1010 0101所以(375.46)8=(011111101.100110)2, (678.A5)16=(011001111000.10100101)2第四节二进制算数运算算术运算：当两个数码分别表示两个数量大小时，它们可以进行数量间的加、减、乘、除等运算。
这种运算称为算术运算。
一、二进制算数运算的特点：逢二进一二进制算术运算的两个特点：二进制的乘法运算可以通过若干次的“被乘数（或0）左移1位”和“被乘数（或0）与部分积相加”这两种操作完成；二进制数的除法运算能通过若干次的“除数右移1位”和“从被除数或余数中减去除数”这两种操作完成。
二、原码、反码和补码和补码运算二进制数的正、负表示方法通常采用的是在二进制数的前面增加一位符号位。
这种形式的数称为原码。
原码：符号位为0表示这个数是正数，符号位为1表示这个数是负数。
以下各位表示数值。
在做减法运算时，如果两个数是用原码表示的，则首先需要比较两数绝对值的大小，然后以绝对值大的一个作为被减数、绝对值小的一个作为减数，求出差值，并以绝对值大的一个数的符号作为差值的符号。
这个操作过程比较麻烦，而且需要使用数值比较电路和减法运算电路。
如果用两数的补码相加代替上述减法运算，则计算过程中就无需使用数值比较电路和减法运算电路了，从而使减法运算器的电路结构大为简化。
10-5的减法运算可以用10+7的加法运算代替。
因为5和7相加正好等于产生进位的模数12，所以称7为-5对模12 的补数，也称为补码（complement)。
在舍弃进位的条件下，减去某个数可以用加上它的补码来代替。
这个结论同样适用于二进制数的运算。
1011-0111=0100的减法运算，在舍弃进位的条件下，可以用1011+1001=0100的加法运算代替。
1001是0111对模16的补码。
对于有效数字（不包括符号位）为n 位的二进制数N ，它的补码(N)COMP 表示方法为⎩⎨⎧-=)(2)()(为负数当为正数当N NN N N nCOMP正数的补码与原码相同，负数的补码等于2n -N 。
为避免在求补码的过程中做减法运算，通常是先求出N 的反码，然后在负数的反码上加1而得到补码。
⎩⎨⎧--=)(12)()(为负数当为正数当N NN NN nINV反码：正数的反码等于原码，负数的反码：符号位不变，以下各位按位取反。
补码：正数的补码等于原码，负数的补码：符号位不变，以下各位按位取反，加1。
例1：写出带符号位二进制数00011010（+26）、10011010（-26）、00101101（+45）、和10101101（-45）的反码和补码。
解： 原码 反码 补码0001101000011010 0001101010011010 11100101 11100110 00101101 00101101 00101101 101011011101001011010011例2：用二进制补码运算求出13+10、13-10、-13+10、-13-10。
解：先分别求出补码，再按补码运算。
注意：在两个同符号数相加时，它们的绝对值之和不可超过有效数字位所能表示的最大值，否则会得出错误的计算结果。
第五节 几种常用的编码不同的数码不仅可以表示数量的大小，而且还可以表示不同事物或事物的不同状态在用于表示不同事物的情况下，这些数码已经不再具有表示数量大小的含义了，它们只是不同事物的代号而已。
这些数码称为代码。
例如：一位运动员编一个号码。
为了便于记忆和查找，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。
一、十进制代码用四位二进制码的10 种组合表示十进制数0~9，简称BCD 码(Binary Coded Decimal)。
这种编码至少需要用四位二进制码元，而四位二进制码元可以有 16种组合。
当用这些组合表示十进制数0~9时， 有六种组合不用。
由 16 种组合中选用 10 种组合。
表：几种常用的BCD 码1． 8421 BCD 码8421 BCD 码是最基本和最常用的BCD 码， 它和四位自然二进制码相似， 各位的权值为8、 4、 2、 1， 故称为有权BCD 码。
和四位自然二进制码不同的是， 它只选用了四位二进制码中前 10 组代码，即用0000~1001分别代表它所对应的十进制数， 余下的六组代码不用。
2． 5211 BCD 码和2421 BCD 码5211 BCD 码和2421 BCD 码为有权BCD 码，它们从高位到低位的权值分别为5、 2、 1、 1和2、4、2、1。