画法几何 第三章点的投影分解
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第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
画法几何 第三章 点、直线、平面的投影
A
X
aX
a〞 W
O
展开
aX
X
a
aY
a
H
Y
H
a — 点A的水平投影
a′— 点A的正面投影
a〞— 点A的侧面投影
Z
aZ a〞 W
O
aY YW
YH
一、点的三面投影（投影图）
展开后点的三面投影:
Z
V
W
a′
aZ
a〞
a′
Z
aZ
a〞
X
aX
a
O aY
aY
X
aX
YW
a
O
aY
YW
aY
H
YH
YH
点的三面投影特性：
1.点的正面投影和水平投影连线必垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴。 2.点的正面投影和侧面投影连线必垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。
一、直线的分类
投影面平行线 仅平行于一个投影面的直线。
特殊位置直线
( ∥H：水平线；∥V：正平线；∥W：侧平线)
直
投影面垂直线 垂直于一个投影面的直线。
线
( ⊥H：铅垂线；⊥V：正垂线；⊥W：侧垂线)
一般位置直线
Z
侧垂线
与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)。
c b′′ a′
X 侧平线
d′
D C
B
Ad
O ab
b b
实长
ab
β a´
a
△ZAB
△YAB
b´
b α
【例3—5】已知AB=35mm及a´和ab,求a´b´。 b´
△ZAB
a´
a
△ZAB
b
【例3—6】已知AB=35mm、α＝30°、 β ＝45°及A点的投影，求AB 的水平投影ab和正投影a´b´。
画法几何与水利制图第三章
3.1 点3.2 直线3.3 平面3.4 直线与平面、平面与平面的相对位置任何物体的表面都可以看成是由点、线和面所组成，任何复杂的空间几何问题都可以抽象成点、线、面的相互关系问题。
因此，要正确、迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题,须掌握点、线、面的表示方法和投影性质。
过空间点A的投射线与投影面P的交点a称为点A在投影面P上的投影。
仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。
点的投影a可以是过a的投射线上任一点（如A、A1、A2等）的投影。
正投影法采用多面正投影来确定点的空间位置。
点A在V/H两投影面体系中的投影:根据正投影的原理，已知点A的水平投影及正面投影则可确定点A的空间位置。
因此，点的两面投影即可完全确定点的空间位置。
1.点的三面投影2.点的投影规律投射线Aa和Aa′构成平面Aaa x a′，因Aa⊥H面，Aa′⊥V面则Aaa x a′⊥H面，又⊥V面因三平面互相垂直，其交线必互相垂直，故a′a x⊥OX，aa x⊥OX投影面展开后，得a′a⊥OX，又因Aaa x a′是一矩形，故aax=Aa′=点A至V面的距离a′a x=Aa=点A至H面的距离同理可得：a′a″⊥OZa′az=Aa″=点A至W面的距离a″a z=Aa′=点A至V面的距离2.点的投影规律综上所述，点的三面投影规律是：(1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。
即：a′a⊥OX；a′a″⊥OZ；aa x= a″a z(2)点的投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离。
即：a′a x= a″a y W= Aa (点A至H面的距离)；aa x= a″a z= Aa′(点A至V面的距离)；a′a z= aa y H= Aa″(点A至W面的距离)。
2.点的投影规律3.点的投影与直角坐标的关系互相垂直的三个投影轴构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用坐标值A（x,y,z）表示。
画法几何点、直线与平面的投影PPT课件
详细描述
在工程制图中，我们需要一种能够真 实反映物体形状和大小的投影方法。 由于正投影不改变点的形状、大小和 方向，只是改变点的可见性，因此它 成为工程制图中常用的投影方法。通 过正投影，我们可以准确地绘制出物 体的三视图，从而为后续的施工和制 造提供准确的依据。
点的斜投影
总结词
点的斜投影是指光线倾斜于投影面时，点的投影。
详细描述
当光线倾斜于投影面时，点的投影是一个线段，该线段的长度等于点到投影面的 垂直距离，方向与光线方向一致。斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点 的方向。在某些情况下，斜投影可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。
点的斜投影
总结词
斜投影可以用于表示物体的轮廓或表面纹理。
详细描述
由于斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点的方向，因此它可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。在绘制 建筑物的外观或机械零件的表面细节时，斜投影可以提供更丰富的视觉效果和更准确的表达方式。通过调整光线 的角度和距离，我们可以更好地展示物体的形态和质感。
点的中心投影
总结词
点的中心投影是指光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影。
详细描述
当光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影是一个圆或椭圆，其形状取决于点与投影面的距 离以及光线的角度。中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，例如球体或圆柱体。它也可以用于 绘制具有复杂曲面的物体，如人物或动物的面孔。
点的中心投影
要点一
总结词
中心投影可以用于绘制圆形或多边形的物体以及具有复杂 曲面的物体。
要点二
详细描述
中心投影是一种特殊的投影方法，它通过将光线通过一个 固定点投射到投影面上来形成点的投影。由于其特殊的性 质，中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，如球体 或圆柱体等。同时，它也可以用于绘制具有复杂曲面的物 体，如人物或动物的面孔等。通过调整光线角度和距离， 我们可以准确地绘制出物体的三维形态和细节特征。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
画法几何制图—投影法及点的投影
a
●
az
●
a
1.作a’a”⊥OZ； 2.通过作辅助线(45°线) 使aaz=aax.
ax
a
●
三峡大学
四、点的投影和坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标 轴，则点的空间位置可用（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影 就反映了点的坐标值。
点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax 点A到H面的距离= z = a’ax
V
不能确定点的空间位置。
B3
●
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
三峡大学
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
设互相垂直的正立投影面(V 面)和水平投影面(H面)，组成两投 影面体系。 V面与H面相交于投影轴OX， 将空间划分为四个分角。着重 讲第一分角的投影。
2、点在两投影面体系中的投影
4.判断重影点的可见性时，需要看重影点
在另一投影面上的投影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见.即:上遮下，左遮右，
前遮后。
作业P3，提示4：3.5倍 三峡大学
小结：点的投影
后 a 上 Z 下 后 前 a
●
前 a
V
Z a z
Z a ● ax Y
●
●
●
az
●
Z
A X
O
X
ax
Y
●
a
W
ay
X
Y
三峡大学
例：已知点的坐标(15,12,16)，作三面投影图。
Z
a
●
az
●
a
Z= 16
●
az
●
a
1.作a’a”⊥OZ； 2.通过作辅助线(45°线) 使aaz=aax.
ax
a
●
三峡大学
四、点的投影和坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标 轴，则点的空间位置可用（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影 就反映了点的坐标值。
点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax 点A到H面的距离= z = a’ax
V
不能确定点的空间位置。
B3
●
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
三峡大学
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
设互相垂直的正立投影面(V 面)和水平投影面(H面)，组成两投 影面体系。 V面与H面相交于投影轴OX， 将空间划分为四个分角。着重 讲第一分角的投影。
2、点在两投影面体系中的投影
4.判断重影点的可见性时，需要看重影点
在另一投影面上的投影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见.即:上遮下，左遮右，
前遮后。
作业P3，提示4：3.5倍 三峡大学
小结：点的投影
后 a 上 Z 下 后 前 a
●
前 a
V
Z a z
Z a ● ax Y
●
●
●
az
●
Z
A X
O
X
ax
Y
●
a
W
ay
X
Y
三峡大学
例：已知点的坐标(15,12,16)，作三面投影图。
Z
a
●
az
●
a
Z= 16
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
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20
13
点的投影与直角坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
a
Z
A
X Y
X H
O
a
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
3
2、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴
2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的 水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。
点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面
b X 8 b 5 a
b
O
YW
YH
17
两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影 面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐 标值大的点在左； Y坐标值大的点在前； Z坐 标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、 前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作 出其三面投影。
18重影点：ZFra biblioteka 点A的正面投影
V
a●
●
a
点A的水平投影
A o
X
●
a
W
a 点A的侧面投影
a●
H
Y
空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。
6
投影面展开
不动
Z Z
向右翻
V
a
●
az
O
●
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
A O
●
a W
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
7
Z
a●
X
Z
az
14
各种位置点的投影
空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个 投影都不在投影轴上。
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影 与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。
投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与 所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都 与原点重合。
W
水平投影 a 反映A
点X和Y的坐标； X
y A x z
H
a"
O
正面投影 a'反映A
点X和Z的坐标； 侧面投影a"反映A 点Y和Z的坐标。
a
9
Y
画出A点投影图和举例
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二:
a● az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
10
特殊位置点：
11
例：已知点的两投影，求其第三投影
z
d’ f’ d’’ f’’ e’’
YW
x
d
a’ e’ a
a’’ 0
f
e
YH
12
点的投影规律
一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一 个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相 邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时，应保证做到:点的V面投 影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a'a上0X ；点 的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a' a"上 0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。
的距离.
4
三、点的三面投影
Z
◆正面投影面（简称 正面或 V 面） 投 影 ◆水平投影面（简称水 X 平面或H面） 面
V
o
W
◆侧面投影面（简称 侧面或W面）
H
Y
投 OX轴 V面与H面的交线 影 OY轴 H面与W面的交线 轴 OZ轴 V面与W面的交线
三个投影面互 相垂直
5
空间点A在三个投影面上的投影
O
a ●
Y
X
V
a
●
az
●
ax
ay
ax
A O
●
a
W
a
点 的 投 影 规 律:
●
Y
ay
a
●
ay
H Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离
aay= aaz=x=A到W面的距离
8
Z
点的三面投影和坐标 的关系为：
V a'
15
四、两点的相对位置
两点的相对位置指 两点在空间的上下、前后、 左右位置关系。 判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、 之右、之下。
16
a
X
●
Z a
●
b
●
●
b YW
a
●
b
●
YH
例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。 Z a 9 a
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
19
重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则 这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影 面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投 影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的 投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看 重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可 见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
第三章 点的投影
1
3· 1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投影 面P的交点即为点A在P面上的 A 投影。
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
解决办法？
B3
●
P
●
a
●
P
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
2
二、点在两投影面体系中的投影
1、点在两投影面体系中的投影 V
13
点的投影与直角坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
a
Z
A
X Y
X H
O
a
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
3
2、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴
2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的 水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。
点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面
b X 8 b 5 a
b
O
YW
YH
17
两点的相对位置 两点的相对位置是根据两点相对于投影 面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐 标值大的点在左； Y坐标值大的点在前； Z坐 标值大的点在上。 根据一个点相对于另一点上下、左右、 前后坐标差，可以确定该点的空间位置并作 出其三面投影。
18重影点：ZFra biblioteka 点A的正面投影
V
a●
●
a
点A的水平投影
A o
X
●
a
W
a 点A的侧面投影
a●
H
Y
空间点用大写字母表示， 点的投影用小写字母表示。
6
投影面展开
不动
Z Z
向右翻
V
a
●
az
O
●
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
ax
A O
●
a W
ay
Y
a 向下翻
●
ay
Y
H
7
Z
a●
X
Z
az
14
各种位置点的投影
空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个 投影都不在投影轴上。
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个投影 与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。
投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投影与 所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都 与原点重合。
W
水平投影 a 反映A
点X和Y的坐标； X
y A x z
H
a"
O
正面投影 a'反映A
点X和Z的坐标； 侧面投影a"反映A 点Y和Z的坐标。
a
9
Y
画出A点投影图和举例
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二:
a● az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
10
特殊位置点：
11
例：已知点的两投影，求其第三投影
z
d’ f’ d’’ f’’ e’’
YW
x
d
a’ e’ a
a’’ 0
f
e
YH
12
点的投影规律
一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一 个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相 邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时，应保证做到:点的V面投 影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a'a上0X ；点 的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a' a"上 0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。
的距离.
4
三、点的三面投影
Z
◆正面投影面（简称 正面或 V 面） 投 影 ◆水平投影面（简称水 X 平面或H面） 面
V
o
W
◆侧面投影面（简称 侧面或W面）
H
Y
投 OX轴 V面与H面的交线 影 OY轴 H面与W面的交线 轴 OZ轴 V面与W面的交线
三个投影面互 相垂直
5
空间点A在三个投影面上的投影
O
a ●
Y
X
V
a
●
az
●
ax
ay
ax
A O
●
a
W
a
点 的 投 影 规 律:
●
Y
ay
a
●
ay
H Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离
aax= aay=z=A到H面的距离
aay= aaz=x=A到W面的距离
8
Z
点的三面投影和坐标 的关系为：
V a'
15
四、两点的相对位置
两点的相对位置指 两点在空间的上下、前后、 左右位置关系。 判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 B点在A点之前、 之右、之下。
16
a
X
●
Z a
●
b
●
●
b YW
a
●
b
●
YH
例题2 已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。 Z a 9 a
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
19
重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则 这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影 面的重影点。 重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投 影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的 投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看 重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可 见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
第三章 点的投影
1
3· 1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投影 面P的交点即为点A在P面上的 A 投影。
点在一个投影面上的投 影不能确定点的空间位置。
解决办法？
B3
●
P
●
a
●
P
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
2
二、点在两投影面体系中的投影
1、点在两投影面体系中的投影 V