人教A版高中数学必修二+3.2.2+直线的两点式方程 ppt课件 (共22张PPT)
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高中数学必修二人教A版课件：3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2
直线的两点式方程
目标导航
课标要求
1.了解直线方程的两点式的推导过程. 2.会利用两点式求直线的方程. 3.掌握直线方程的截距式,并会应用. 通过直线方程的两点式的学习,锻炼了学生的数形 结合思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心 素养的达成.
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
当直线 l 不过原点时,设直线的截距式方程为 又因为直线过点 P(4,3),所以 所以直线方程为
4 3 + =1,所以 a=7.………………………………………………………10 分 a a
x y 3 + =1,即 x+y=7.综上,直线 l 的方程为 x+y=7 或 y= x.………………………12 分 7 7 4
解:因为点 A(3,2)关于 x 轴的对称点为 A′(3,-2), 所以可得直线 A′B 的方程为 即 2x+y-4=0. 同理,点 B(-1,6)关于 x 轴的对称点为 B′(-1,-6), 由两点式可得直线 AB′的方程为
y2 x3 = , 6 2 1 3 y 6 x 1 = , 2 6 3 1
x y + =1 2 2
x y + =1 2 2
x y + =1 4 2
x y - =1 4 2
4.(中点坐标公式)已知M(-1,2),N(3,-4),线段MN的中点坐标是 答案:(1,-1)
.
5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是
答案:x-y-1=0
.
课堂探究·素养提升
即时训练1-1:若点P(6,m)在过点A(3,2),B(4,3)的直线上,则m=
.
直线的两点式方程
目标导航
课标要求
1.了解直线方程的两点式的推导过程. 2.会利用两点式求直线的方程. 3.掌握直线方程的截距式,并会应用. 通过直线方程的两点式的学习,锻炼了学生的数形 结合思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心 素养的达成.
素养达成
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
当直线 l 不过原点时,设直线的截距式方程为 又因为直线过点 P(4,3),所以 所以直线方程为
4 3 + =1,所以 a=7.………………………………………………………10 分 a a
x y 3 + =1,即 x+y=7.综上,直线 l 的方程为 x+y=7 或 y= x.………………………12 分 7 7 4
解:因为点 A(3,2)关于 x 轴的对称点为 A′(3,-2), 所以可得直线 A′B 的方程为 即 2x+y-4=0. 同理,点 B(-1,6)关于 x 轴的对称点为 B′(-1,-6), 由两点式可得直线 AB′的方程为
y2 x3 = , 6 2 1 3 y 6 x 1 = , 2 6 3 1
x y + =1 2 2
x y + =1 2 2
x y + =1 4 2
x y - =1 4 2
4.(中点坐标公式)已知M(-1,2),N(3,-4),线段MN的中点坐标是 答案:(1,-1)
.
5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是
答案:x-y-1=0
.
课堂探究·素养提升
即时训练1-1:若点P(6,m)在过点A(3,2),B(4,3)的直线上,则m=
.
人教A版高中数学必修二课件3.2.2直线的两点式
课堂小结
1.两点式、截距式、中点坐标. 2.到目前为止，我们所学过的直线方程 的表达形式有多少种？它们之间有什 么关系？ 3.要求一条直线的方程，必须知道多少 个条件？
高中数学课件
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3.2.2直线的两点式
复习引入
1.直线的点斜式方程及其注意事项； 2.直线的斜截式方程及其注意事项； 3.若l1:y＝k1x＋b1,l2:y＝k2x＋b2， 则l1//l2与l1⊥l2应满足怎样的关系?
讲授新课
探究1：已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两 个点的直线方程呢？
已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、 C、D按逆时针方向排列）。
y
.A
D
D
..
BO
C
x
注意：
⑴P为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关
y °°°°P°°°1 °°P
°
直线上任意一点P与这条直线上
°O
x
一个定点P1所确定的斜率都相等。 °
探究2:如图，已知直线l与x轴的交点 为A(a,０)，与y轴的交点为B(0,b)，其中 a≠0，b≠0，求直线l的方程.
y
B(0,b) l
O A(a,0) x
2、直线方程的截距式 若直线L与x轴交点为(a,0)，与y轴交点为
(0,b),其中a≠0，b≠0，由两点式，得
y0 xa
b0 0a
新课
1、直线方程的两点式
若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并且
x1≠x2，则它的斜率
k y2 y1
x x
人教A版高中数学必修二课件3.2.2直线的两点式方程(共28张PPT)
题型三 直线方程的应用
例3 某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出 一块长方形地面(不改变方位)，进行开发(如图所示)，问如 何设计才能使开发的面积最大？最大面积是多少？(已知BC ＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
跟踪训练
3．如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身 携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李 票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB 的方程表示．试求： (1)直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少行李？
答案：B
想一想
截距式方程
想一想2.过原点的直线能写为截距式吗？ 提示：不能．因为此时a＝0，b＝0.
做一做 2.在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
答案：A
做一做 4.若已知A(1,2)及AB中点(2,3)，则B点的坐标是______． 答案：(3,4)
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线的两点式方程
4．已知直线l经过点(2，－3)，且在两坐标轴上的截距相 等，求直线l的方程．
知能演练轻松闯关
本部分内容讲解结束
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【方法感悟】
1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线方程时，通常 用两点式，如例1. 但若x1＝x2，则直线方程为x＝x1， 若y1＝y2，则直线方程为y＝y1. 2．由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距 ，反之，若已知直线在x轴、y轴上的截距(都不为0)也可 直接由截距式写出方程．如例2，例3.但过原点或垂直于 坐标轴的直线不能用截距式表示．
例1 三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)， C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．
2.2.2直线的两点式方程 课件(共20张PPT)
所以所求直线方程为： + − 3 = 0或 = 2.
(，0)
Байду номын сангаас
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 并求其方程．
解：三条
①当直线的两截距相等过原点时， = 2
②当直线的两截距相等不过原点时， + − 3 = 0
典例剖析
例3 三角形的顶点分别是(−5,0), (3, −3), (0,2)，求边所在直线的方程，以及该边上
中线所在直线的方程.
变式1 求边上的垂直平分线所在直线的方程.
：5 + 3 − 6 = 0 = −
=
1
3
M ,
2
2
+
（1）在轴上的截距为2，在轴上的截距是3；
由截距式得：
x y
1
2 3
整理得：3x 2 y 6
0
（2）在轴上的截距为-5，在轴上的截距是6；
由截距式得：
x
y
1
5 6
整理得： 6 x 5 y 30 0
典例剖析
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
斜截式
斜率, 在轴上的纵截距
y kx b
斜
率
必
须
存
在
斜率不存在时，
直线方程为：x x0
思考：已知直线上两点1(1, 1), 2(2, 2)（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ），如何求出通过这两点的
高中数学人教A版必修二 3.2.2 直线的两点式方程 课件(42张)
(2)求过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线方程．
【解析】 ①当 m＝2 时，过点 M(m，0)和点 N(2，1)的直线斜 率不存在，其方程为 x＝2.
②当 m≠2 时， 方法一：直线的斜率为 k＝m0－－12＝－m－1 2， 又∵直线过点 N(2，1)， ∴直线方程的点斜式为 y－1＝－m－1 2(x－2)． 即 x＋(m－2)y－m＝0.
D．4
3.直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( )
A.34x－y2＝1
B.x1－y1＝4 32
C.34x－－y2＝1 答案 D
D.x4＋－y2＝1 3
4．已知△ABC 的顶点 A(0，5)，B(1，－2)，C(－6，4)，则 BC 边上的中线所在直线方程为________．
答案 8x－5y＋25＝0 解析 设 BC 的中点为 D(x，y)，则x＝－52，
则可设 l 的方程为xa＋ya＝1， 由已知 l 过点 A(4，1)，∴4a＋1a＝1，得 a＝5. l 的方程为x5＋y5＝1，即 x＋y－5＝0.
(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距为 0(或者说直线 l 过原点)， 则可设 l 的方程为 y＝kx.
代入点 A 的坐标，得 k＝14. l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. ∴所求直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 x－4y＝0.
y＝1. ∴D(－52，1)，∴kAD＝45＝85，∴y＝85x＋5.
2 即 8x－5y＋25＝0.
请做：课时作业（二十）
思考题 1 (1)求满足下列条件的直线方程：
①经过点 A(－3，－3)，斜率是 4； ②斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； ③斜率是－3＝4(x＋3)，得 4x－y＋9＝0. ②由斜截式，得 y＝3x－3，即 3x－y－3＝0. ③在 x 轴上的截距是 3，即过点(3，0)，由点斜式，得 y－0 ＝－3(x－3)，即 3x＋y－9＝0.
高中数学【人教A版必修】二：3.2.2 直线的两点式方程 课件
∵ k y2 y1 由点斜式方程得 x2 x1
2
yy1xy22 xy11(xx1).
化简为
y
y 1
x
x1
y y
2
1
x2 x1
——直线方程的两点式
高中数学【人教A版必修】二：3.2.2 直线的两点式方程 课件【精品】
直线方程的两点式：y
y 1
x
x1
y y
2
1
x2 x1
(y1y2且 x 1x2)
跟踪训练1：
1.写出过下列两点的直线的两点式方程： （1）P1(2, 1)， P2(0, －3)；（2）A(0, 5)， B(5, 0). 答案：（1） y1 x2 即 2xy30
31 02
（2）
y5 x0 05 50
即
xy50
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小试牛刀：
例2. 已知A(－3，2)、B(5，－4)、C(0， － 2)，在 ABC
中， (1)求BC所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程；
解： (1)由已知得，直线BC过两点B(5，－4)、
C(0， － 2) ∴由两点式得
（1）在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3； （2）在x轴上的截距是－5，在y轴上的截距是6.
y
答案：（1） x y 1 23
即 3x2y60 （2） x y 1
5 6
O
x
y
即 6x5y3 00
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Ox
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3.2-3.2.2 直线的两点式方程 秋学期高中数学必修2(人教A版)PPT课件
第三章 直线与方程
3．2.2 直线的两点式方程 3．2.3 直线的一般式方程 [学习目标] 1.理解直线的两点式、截距式及一般式 的特征． 2.理解直线方程几种形式之间的内在联系，能 从整体上把握直线的方程(重点)． 3.掌握直线方程各种 形式之间的相互转化，并能根据条件熟练地求出满足已 知条件的直线方程(重点、难点)．
B．6
C．12
D．14
解析：直线x3＋4y＝1 与两坐标轴的交点分别为(3，0)，
(0，4)，因此与两坐标轴围成的三角形周长为 3＋4＋
32＋42＝12.
答案：C
4．以点 P(5，8)和 Q(3，－4)为端点的线段的方程是 ________．
解析：过两点 P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是 －y－4－88＝x3－ －55，
又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，得直线 l′的斜率为43， 又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝43(x＋1)， 即 4x－3y＋13＝0.
[巧妙解法] (1)由 l′与 l 平行， 可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 m＝－9. 所以直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 n＝13. 所以直线 l′的方程为 4x－3y＋13＝0.
又 l1 与 l2 平行，
a＋b（a－1）＝0，
所以4b≠－2，
因此 a＝4.
所以 a＝4，且 b＝－43.
类型 4 直线方程的综合应用 [典例 4] 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． (1)证明：将直线 l 的方程整理为 y－35＝ax－15， 所以 l 的斜率为 a，且过定点 A15，35. 而点 A15，35在第一象限，故 l 必过第一象限．
3．2.2 直线的两点式方程 3．2.3 直线的一般式方程 [学习目标] 1.理解直线的两点式、截距式及一般式 的特征． 2.理解直线方程几种形式之间的内在联系，能 从整体上把握直线的方程(重点)． 3.掌握直线方程各种 形式之间的相互转化，并能根据条件熟练地求出满足已 知条件的直线方程(重点、难点)．
B．6
C．12
D．14
解析：直线x3＋4y＝1 与两坐标轴的交点分别为(3，0)，
(0，4)，因此与两坐标轴围成的三角形周长为 3＋4＋
32＋42＝12.
答案：C
4．以点 P(5，8)和 Q(3，－4)为端点的线段的方程是 ________．
解析：过两点 P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是 －y－4－88＝x3－ －55，
又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，得直线 l′的斜率为43， 又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝43(x＋1)， 即 4x－3y＋13＝0.
[巧妙解法] (1)由 l′与 l 平行， 可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 m＝－9. 所以直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 n＝13. 所以直线 l′的方程为 4x－3y＋13＝0.
又 l1 与 l2 平行，
a＋b（a－1）＝0，
所以4b≠－2，
因此 a＝4.
所以 a＝4，且 b＝－43.
类型 4 直线方程的综合应用 [典例 4] 已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． (1)证明：将直线 l 的方程整理为 y－35＝ax－15， 所以 l 的斜率为 a，且过定点 A15，35. 而点 A15，35在第一象限，故 l 必过第一象限．
人教A版必修2 3.2.2 直线的两点式方程 课件
题型一
题型二
题型三
题型一
利用两点式求直线方程
【例1】 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线所在直线的方程.
解:(1)直线 BC 过点 B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得
������ +3 1+3
= -2-0 , 化简得2x+y+3=0. (2)由中点坐标公式,得 BC 的中点 D 的坐标为 , , 即D(-1,-1).又直线 AD 过点 A(-4,0),由两点式方程
������ -������ 1
2 -������1
= ������
������ -������ 1
2 -������ 1
,
两点的坐标哪一个为(x1,y1),哪一个为(x2,y2),并不影响最终 的结果,但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式 的减数为同一点的横、纵坐标. (2)要注意方程
������ -������ 1 ������ 2 -������1
������ +1
������ -0
0-2 -3+1 2 2 ������ +1
得 0+1 = -4+1 , 化简得x+3y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思已知两点求直线的方程,可利用两点式直接写出其方程;求中 线所在的直线方程,联想到中点坐标公式即可求出中点.在没有特 殊要求的条件下,以后求出的直线方程化为Ax+By+C=0的形式,且 尽量满足:①A>0;②A,B,C均是整数时,最大公约数为1.
=
������ -������ 1 ������ 2 -������ 1
直线的两点式方程 人教版数学必修二全册课件
y
y1 y 2 2
x
P0的坐标为
(
x1
2
x2
,
y1
2
y2
)
例2 已知三角形的三个顶点 A（-5，0），B（3， -3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该 边上中线所在直线的方程.
y
C
A
o
Mx
B
例3.求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程.
y P
o x
斜率 k y2 y1
x2 x1
y
l
P1(x1，y1)
代入y y0 k(x x0 )得
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
P2(x2，y2)
x
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式方程
例1. 已知直线经过点A（a，0），B（0，b）， a0，b0，求直线方程
例4 求经过点P(0，3)，且在两坐标轴上的截距 之和为2的直线方程.
例5. 已知直线 l 经过点P(1，2)，并且点 A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l 的距离相等，求直 线l 的方程.
y
A
P
o
x
B
直线方程小 y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
x y 1 ab
作业
P97练习：1，2. P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1x2 ,y1y2),如何求出这两个点的直线方程呢？
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2的直
线l的方程为：
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
（x1≠x2，y1≠y2）
记忆特点：
1.左边全为y，右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
思考2：是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出 直线方程 y y1 x x1 呢？
y2 y1 x2 x1
不是当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程. (因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有意义)
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：43
k b， 2k b，
k 1， 解方程组得：b 2，
待定系数 法
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
思考：还有其他做法吗？
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.2 直线的两点式方程 课件
法二： 已知直线上两点，由斜率公式得：k 4 3 2 1
再由直线的点斜式方程可得： y 3 4 3 x 1,
5
当截距均不为0时，设直线方程为
x
5y
1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
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3.掌握中点坐标公式.(重点)
4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）, 求通过这两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
y y1 y2 y1 , 所以 x x1 x2 x1
y -0 x - a = b -0 0 - a
x
O
x y 即 + = 1. a b
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
x y 1. a b
在x轴上 的截距
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
x y 1 a b
a a
5
5
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0.
截距为零 不容忽视
综上：直线方程为 y
4 x 5
或 x y 1 0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段 PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(
3.2.2 直线的两点式方程
知识回顾：
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 不含与x轴 y y0 k( x x0 ) 垂直的直线 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距 为b,且斜率为k
y kx b
不含与x轴 垂直的直线
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
ห้องสมุดไป่ตู้
3 1 y -0 x +5 过A(-5,0),M（ ， - ）的直线方程为 = , 1 3 2 2 - -0 +5 2 2 整理得x + 13y + 5 = 0. 这就是BC边上的中线所在直线的方程.
中点坐标公式
以P （ 1 x1，y1 ),P2(x 2 ,y 2 ) 为端点的线段的中点坐标为 x1 + x 2 y1 + y 2 （ , ). 2 2
不是! 当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程. (因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有 意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
注意：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标
轴重合的直线的方程．即两点式方程不能表示：斜
率为0或斜率不存在的直线
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2,
还有其他的方法吗？
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)，
P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k PP1 = k P1P2
y3 43 即： ， x 1 2 1
得: y=x+2.
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. (重点)
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
3 k b， 由已知得： 4 2k b，
待定系数 法
， k 1 解方程组得： b 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
还有其他做法吗？
43 解：由斜率公式得到斜率k . 2 1 43 再由直线的点斜式方程得y 3 ( x 1)， 2 1 化简可得x y 2 0.
(a 0, b 0)
思考1：直线的截距式方程有什么特征？ x项 分母对应的是横截距，y项 分母对应的是纵截 距，中间以“+”连接，等式右边为1
x y 例如， 1是直线的截距式方程吗 ？ 2 3
思考2：直线的截距式方程有什么优点？ 由直线的截距式方程可直接得到直线与x轴、y轴 的交点,容易作图 解决求三角形的面积问题很简便
例3
求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等
的直线方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx,
O
y
截距均不为0时，
x
设为截距式求解.
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4) 4 4 代入上式得 k , 即直线方程为 y x.
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
例2
已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),
C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所
在直线的方程. 解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：
y -2 x -0 = ， -3 - 2 3 - 0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
这就是BC边所在直线的方程.
3 +0 -3 + 2 3 1 设BC的中点为M,则M的坐标为（ ， ），即（ ， - ）. 2 2 2 2
1 A. 3 1 B.3 3 C.2 2 D. 3
)
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有 a + 7 = 2， a 5, 解得 b + 1 = -2， b 3, -3 - 1 1 =- . 从而可知直线l的斜率为
7+5 3
2.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
因为kPP1= kP1P2,
y y1 x x1 可得直线的两点式方程：y y x x . 2 1 2 1
记忆特点： 1.左边全为y，右边全为x. 2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方
y y1 x x1 程 呢？ y2 y1 x 2 x1
1 2 ab _____.
3.求经过下列两点的直线方程:
(1)P(2 ，1),P(0 ， -3).(2)A(0，5),B(5，0). 1 2
解：（1）2x-y -3 = 0.（2）x+y = 5.
4.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
此时过这两点的直线方程是什么? 当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2
当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
例1
已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交
点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程. 解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代
y l B(0,b) A(a,0)
入两点式得：
4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）, 求通过这两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
y y1 y2 y1 , 所以 x x1 x2 x1
y -0 x - a = b -0 0 - a
x
O
x y 即 + = 1. a b
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
x y 1. a b
在x轴上 的截距
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
x y 1 a b
a a
5
5
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0.
截距为零 不容忽视
综上：直线方程为 y
4 x 5
或 x y 1 0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段 PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(
3.2.2 直线的两点式方程
知识回顾：
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 不含与x轴 y y0 k( x x0 ) 垂直的直线 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距 为b,且斜率为k
y kx b
不含与x轴 垂直的直线
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
ห้องสมุดไป่ตู้
3 1 y -0 x +5 过A(-5,0),M（ ， - ）的直线方程为 = , 1 3 2 2 - -0 +5 2 2 整理得x + 13y + 5 = 0. 这就是BC边上的中线所在直线的方程.
中点坐标公式
以P （ 1 x1，y1 ),P2(x 2 ,y 2 ) 为端点的线段的中点坐标为 x1 + x 2 y1 + y 2 （ , ). 2 2
不是! 当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程. (因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有 意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
注意：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标
轴重合的直线的方程．即两点式方程不能表示：斜
率为0或斜率不存在的直线
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2,
还有其他的方法吗？
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)，
P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k PP1 = k P1P2
y3 43 即： ， x 1 2 1
得: y=x+2.
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. (重点)
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
3 k b， 由已知得： 4 2k b，
待定系数 法
， k 1 解方程组得： b 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
还有其他做法吗？
43 解：由斜率公式得到斜率k . 2 1 43 再由直线的点斜式方程得y 3 ( x 1)， 2 1 化简可得x y 2 0.
(a 0, b 0)
思考1：直线的截距式方程有什么特征？ x项 分母对应的是横截距，y项 分母对应的是纵截 距，中间以“+”连接，等式右边为1
x y 例如， 1是直线的截距式方程吗 ？ 2 3
思考2：直线的截距式方程有什么优点？ 由直线的截距式方程可直接得到直线与x轴、y轴 的交点,容易作图 解决求三角形的面积问题很简便
例3
求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等
的直线方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx,
O
y
截距均不为0时，
x
设为截距式求解.
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4) 4 4 代入上式得 k , 即直线方程为 y x.
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
例2
已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),
C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所
在直线的方程. 解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为：
y -2 x -0 = ， -3 - 2 3 - 0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
这就是BC边所在直线的方程.
3 +0 -3 + 2 3 1 设BC的中点为M,则M的坐标为（ ， ），即（ ， - ）. 2 2 2 2
1 A. 3 1 B.3 3 C.2 2 D. 3
)
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有 a + 7 = 2， a 5, 解得 b + 1 = -2， b 3, -3 - 1 1 =- . 从而可知直线l的斜率为
7+5 3
2.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
因为kPP1= kP1P2,
y y1 x x1 可得直线的两点式方程：y y x x . 2 1 2 1
记忆特点： 1.左边全为y，右边全为x. 2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方
y y1 x x1 程 呢？ y2 y1 x 2 x1
1 2 ab _____.
3.求经过下列两点的直线方程:
(1)P(2 ，1),P(0 ， -3).(2)A(0，5),B(5，0). 1 2
解：（1）2x-y -3 = 0.（2）x+y = 5.
4.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
此时过这两点的直线方程是什么? 当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2
当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
例1
已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交
点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程. 解：将A(a，0），B（0，b)的坐标代
y l B(0,b) A(a,0)
入两点式得：