辽宁省大连渤海高级中学高中数学必修5教案：2.1.2数列的递推公式
高一数学必修5同步教师用书：必修5第2章2.1第2课时数列的通项与递推公式
【精彩点拨】
【自主解答】
法一： ∵an＋1－ an＝(n＋2)
10 11
n＋1－ (n＋1)
10 11
n＝
10 11
n·9－11n，
当 n<9 时， an＋1－an>0，即 an＋1>an；
当 n＝ 9 时， an＋1－ an＝0，即 an＋1＝an；
当 n>9 时， an＋1－an<0，即 an＋1<an，
所以 a5＝ 2a4＋ 1＝ 31.
【答案】 31
n 3．已知非零数列 { an} 的递推公式为 a1＝1，an＝n－1·an－1(n>1)，则 a4＝_____.
【解析】 依次对递推公式中的 n 赋值，当 n＝2 时， a2＝2；当 n＝3 时，
3
4
a3＝2a2＝ 3；当 n＝4 时， a4＝3a3＝4.
解得 1<n<4. ∵n∈N* ，∴ n＝2,3，∴数列中有两项是负数．
(2)法一 ：∵ an＝n2－ 5n＋4＝
n－
故 a1<a2<a3<…<a9＝ a10>a11>a12>… ，
所以数列中有最大项，最大项为第 1010
即 a9＝a10＝ 119 .
9、10 项，
法二： 设 ak 是数列 { an} 的最大项．
ak≥ak－1， 则
ak≥ak＋1，
k＋ 1
10 11
k≥ k
10 11
k－ 1，
即
k＋ 1
10 11
k≥
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
2.1.2数列的递推公式 辽宁省大连渤海高级中学高中数学必修5教案
2、 经历数列知识的感受及理解运用的过程， 进而求出数列通项 节 课 的 公式与递推公式。 多媒体课件、教材，教辅 教学内容 教师行为 学生行为 设计意图 时间 重点。
课前 3 习自测》1-6 分钟 2、目标解读
课学习目 3 分钟
2. 提 出 自 主 学 标，准备 习困惑. 学习。
1、 优 化 学 案 第 1 ．巡视检查学 1、 学 生 自 己 展 验收学生 28 页例 1 和 2. 例 2. 生预习习题完 成情况， 进行及 示 预 习 习 题 自主学习 完成情况。 的结果，
2017—2018 学年度第一学期
渤海高中高二数学教案
时间：****年***月****日 课题 教学 重点 数列的递推公式 课时 一课时 课型 新授
1、 根据数列的递推公式写出数列 依据：2017 年高考大纲分析：了解数 的前 几项。 2、会用累加法和累乘法求通项公式 列的递推公式，明确递推公式与通项 公式的异同。
检查并签字），思考练习 B 组题（要求有痕迹）。 下节课所学， 2、熟记等差数列的定义和通项公式（组长检查）。 有的放矢进 3、完成预习习题卷（上课抽查） 行自主学习。
8 课 后 反 思
3. 要 对 学 生 不 2、 小 组 讨 论 并 内 在 规 同的解题过程 和答案给出准 确的评价，总 结。 展 示 自 己 组 律、发现 10 分 所 写 的 通 项 数学的本 钟 公式。 质。
an+1=2an ，写出 前 5 项，并猜 an. an+1=2n an， 求 变式： 出 an.
3、 其 他 组 给 予 加深对递 评价（主要是 推公式的 找错，纠错） 理解。
1 、巡视学生的 1、 学 生 先 独 立 在具体问 完成情况。 2 、对学生的展 示和评价要给 予及时的反馈。 完 成 教 辅 例 题中，探 题，然后以小 索量与量 组 为 单 位 统 之间的关 一答案。 系，挖掘
高中数学必修5《数列的递推公式》教学设计
普通高中课程标准实验教科书(人教A版数学必修五)§2.1 数列的概念与简单表示方法第2课时数列递推公式的教学设计一.教学内容数是刻画静态下物体的量，按一定顺序排列着的一列数称为数列。
在日常生活中，人们经常遇到需要用有关数列知识来解决的问题。
在数学中，数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
数列的知识也是学生将来学习高等数学的基础。
由于数列这部分知识与以前所学知识具有较强的联系，特别与函数等知识有密切联系，新教材安排数列在函数之后教学，有利于用函数的观点来认识数列本质，也有利于加深巩固对函数概念的理解。
数列的递推公式这一节，是在前面学习了数列的有关概念后，介绍的另一种确定数列的办法。
本节的许多教学情境来源与生活实际，体现新课标的应用特点，加强学生对数列概念的感性认识。
本节的学习需要学生不断地观察、分析、归纳、猜想，还要综合应用前面知识解决数列中一些问题，培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，有助于学生数学能力的提高。
二．教学目标本节课通过对谢宾斯基三角形的分析，让学生体会递推思想，了解从特殊到一般的归纳方法。
具体目标为：1．要求学生了解递推公式是给出数列的一种方法。
2．学生会根据数列的递推公式写出数列的前几项,利用递推思想解决一些实际问题，3．培养学生推理能力，严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。
通过课内外知识的介绍，开阔学生的眼界。
本节课教学重点:利用递推思想求出递推关系。
本节课教学难点:利用递推关系求出数学通项公式。
三．教学情况分析在本节之前，学生已经对函数知识有了一定程度的理解与掌握。
数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。
在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。
函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。
由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。
2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：2.1.2 数列的递推公式 Word版含答案
2.1.2数列的递推公式(选学)明目标、知重点 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能依据递推公式写出数列的前n项.3.把握由一些简洁的递推公式求通项公式的方法．1．递推公式假如已知数列的第一项(或前几项)，且从其次项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的递推公式思考1观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n＝2a n－1＋1(n>1且n∈N＋)．思考2观看下面两个数列如何用首项及相邻两项的关系表示出这两个数列？(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，…；(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos(cos(cos 1))，….答(1)a1＝2，从第2项开头，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式表示：a1＝2，a n＝2a n－1 (n＝2,3,4，…)；(2)a1＝1，a n＝cos(a n－1) (n＝2,3,4，…)．小结像上面那样，假如已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．例1已知数列{a n}的第1项是2，以后各项由公式a n＝a n－11－a n－1给出，写出这个数列的前5项．解a1＝2，a2＝21－2＝－2，a3＝－21－(－2)＝－23，a4＝－231－(－23)＝－25，a5＝－251－(－25)＝－27.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.例2已知直线l：y＝x与曲线C：y＝(12)x(如图所示)，过曲线C上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3，……，设点P1，P2，…，P n，…的纵坐标分别为a1，a2, …，a n，…，试求数列{a n}的递推公式．解由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1＝12，点Q n＋1与P n的纵坐标相同，都是a n，同时点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，点P n＋1在曲线C：y＝(12)x上，由横坐标得它的纵坐标为1()2na即a n＋1＝1()2na这就是数列{a n}的递推公式．反思与感悟解答本例的关健是在读懂题意的前提下，通过具体的点P2与点Q2的横坐标相等及点Q2与点P1的纵坐标相同，抽象出一般性的点Q n＋1与P n的纵坐标相同，点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，从而找到了a n＋1与a n的关系．跟踪训练2 数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( ) A ．直线上，且直线的斜率为－2 B ．抛物线上，且抛物线的开口向下 C ．直线上，且直线的斜率为2 D ．抛物线上，且抛物线的开口向上 答案 C解析 ∵a n －a n －1n －(n －1)＝a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 在斜率为2的直线上．故选C.探究点二 数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)()(1)212222112 1.n n n -=+++⋅⋅⋅+-+=-个＝思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n＝1n .例3 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95.(2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n (n ∈N ＋)．反思与感悟 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n . (3)当a n a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1来求a n .已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解 由于f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 所以22log log 222nn a a n －－＝－，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.由于a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又由于a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2(1)(1)(1)n +-+-+⋅⋅⋅+-共(-1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n .[呈重点、现规律] 1．递推公式的理解与应用(1)与全部的数列不愿定都有通项公式一样，并不是全部的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，假如用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不简洁了解数列的全貌，计算也不便利，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58答案 B3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N ＋都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.则a 3，a 5分别等于________． 答案 6,20解析 由题意，令m ＝2，n ＝1则a 3＋a 1＝2a 2＋2，所以a 3＝6，令m ＝3，n ＝1则a 5＋a 1＝2a 3＋2×4， 所以a 5＝20.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于____________．答案 12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．依据下列各个数列{a n }的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式； (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，n ∈N ＋.解 (1)由于a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； 所以，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16， 归纳出它的通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝13，归纳出它的通项公式是a n ＝2n ＋1.二、力气提升8．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.10．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．解 (1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(2)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n.11．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝(1)12111n -+++⋅⋅⋅+个＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 12．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝nn －1. 把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1， 即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n . 三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式． 解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n . ∴a n a 1＝1n .又a 1＝1，∴a n ＝1n.。
高一数学人教A版必修5学案：2.1 第2课时 数列的通项与递推公式 【含解析】
第2课时数列的通项与递推公式学习目标核心素养1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：已知a n＋1＝2a n，a1＝2，a5的值是什么？[提示]a5＝32.2．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系表示a n与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列{a n}的关系式a n＝a n－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．1．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是()A.1，2，3，4，…B．1, 2，2，22，…C.2，2, 2，2，…D．0, 2，2，22，…[答案]B2．数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2－a n，a1＝2，a2＝5，则a5＝() A.－3B．－11 C．－5D．19D[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]3．已知a1＝1，a n＝1＋1a n－1(n≥2)，则a5＝．85[a2＝1＋1a1＝1＋1＝2，a3＝1＋1a2＝1＋12＝32，a4＝1＋1a3＝1＋23＝53，a5＝1＋1a4＝1＋35＝85.]4．数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2 022－a2 021＝________．2 021[由a n＋1－a n＝n，得a2 022－a2 021＝2 021.]由递推关系写出数列的项【例1】已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n＝a na n＋1构造一个新的数列{b n}，写出数列{b n}的前4项．[解](1)∵a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8. (2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故{b n }的前4项依次为b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a n ＝2a n ＋1＋1.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如a n ＋1＝a n －12.[跟进训练]1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法【例2】已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1011n，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．思路探究：①a n＋1－a n等于多少？②n为何值时，a n＋1－a n>0？a n＋1－a n<0?[解]法一：(单调性法)∵a n＋1－a n＝(n＋2)⎝⎛⎭⎪⎫1011n＋1－(n＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝⎛⎭⎪⎫1011 n·（9－n）11，当n<9时，a n＋1－a n>0，即a n<a n＋1；当n＝9时，a n＋1－a n＝0，即a n＝a n＋1；当n>9时，a n＋1－a n<0，即a n>a n＋1；故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝1010119.法二：(最大项法)设a k是数列{a n}的最大项．则⎩⎨⎧a k≥a k－1，a k≥a k＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧（k＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k⎝⎛⎭⎪⎫1011k－1，（k＋1）⎝⎛⎭⎪⎫1011k≥（k＋2）⎝⎛⎭⎪⎫1011k＋1，整理得⎩⎨⎧10k ＋10≥11k ，11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为 a 9＝a 10＝1010119.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．二是设a k 是最大项，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N *且k ≥2都成立，解不等式组即可．[跟进训练]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2，3，∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎨⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎨⎧n 2－5n ＋4≤（n ＋1）2－5（n ＋1）＋4，n 2－5n ＋4≤（n －1）2－5（n －1）＋4， 解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2或3，∴a 2＝a 3且最小． ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.由递推公式求数列的通项公式 [探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{a n }，满足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？[提示] 由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22， a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…， 由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N *，n ≤30).2．对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，你能求出它的通项a n 吗？[提示] 对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋＝1＋2(n －1)＝2n －1.3．若数列{a n }中的各项均不为0，等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n 成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1a n＝2，则它的通项a n 是什么？[提示] 等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2.则a na 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *).【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *，求通项公式a n ；(2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .思路探究：(1)先将a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)变形为a n a n －1＝n －1n ，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1），∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1（n －1）n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ， ∴a n ＝－1n (n ≥2).又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴a n ＝－1n (n ∈N *).(2)∵a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ， a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n .又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n (n ∈N *).1．(变条件)将例题(2)中的条件“a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)”变为“a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)”写出数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] 由a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，得： a 2＝3a 1＝3×2，a 3＝3a 2＝3×3×2＝32×2， a 4＝3a 3＝3×32×2＝33×2， a 5＝3a 4＝3×33×2＝34×2， …，猜想：a n ＝2×3n －1，证明如下：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3.因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3.将上面的n －1个式子相乘可得 a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1. 即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.2．将例题(1)中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），n ∈N *”变为“a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)”求数列{a n }的通项公式．[解]∵a n a n－1＝a n－1－a n，∴1a n－1a n－1＝1.∴1a n＝1a1＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a1＋(1a3－1a2)＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n－1＝＝n＋1.∴1a n＝n＋1，∴a n＝1n＋1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n＋1＝a n＋f(n)或a n＋1＝g(n)·a n，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n＝a n－1＋f(n)时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．(2)累乘法：当a na n－1＝g(n)时，常用a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1求通项公式．1．{a n}与a n是不同的两种表示，{a n}表示数列a1，a2，…，a n，…，是数列的一种简记形式．而a n只表示数列{a n}的第n项，a n与{a n}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列a n与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.1．判断正误(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． ( ) (2)有些数列可能不存在最大项． ( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法． ( ) (4)所有的数列都有递推公式． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[提示] 并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式． 2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B ．a n ＝2a n －1(n ≥2) C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)C [A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．]3．数列{a n }中，a n ＝n － 2 021n － 2 022，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50C [a n ＝n － 2 021n － 2 022＝1＋2 022－ 2 021n － 2 022.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝ 2 022－ 2 021x － 2 022的图象(图略)，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min＝a 44.]4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求a n .[解] 由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ， ∴a n －a n －1＝lnnn －1(n ≥2)，a n－1－a n－2＝ln n－1 n－2，…，a2－a1＝ln 2 1.∴当n≥2时，a n－a1＝ln (nn－1·n－1n－2·…·21)＝ln n，∴a n＝2＋ln n(n≥2).当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n＝2＋ln n(n∈N*).- 11 -。
高中数学人教B版必修五教案：2.1+《数列的递推公式》新授课1
2018—2019学年度第一学期渤海高中高二教案主备人：使用人：时间：2018年9月25日课题数列的递推公式课时第一课时课型新授课教学重点1、根据前几项猜想通项公式2、根据递推公式求通项公式依据：数学课程标准教学难点求数列的通项公式依据：教参，教材学习目标一、知识目标1、理解递推公式的意义，递推公式是数列的另一种表示方法2、学生能根据几项猜想数列的通项公式3、学生由递推公式求出数列通项公式二、能力目标能归纳证明等差数列及求等差数列通项公式的方法理由：依据本节课重难点制定教具多媒体课件、教材，教辅教学环节教学内容教师行为学生行为设计意图时间1.课前3分钟1数列的递推公式：条件与结论2.数列递推公式与通项公式的关系评价总结预习情况结果独立完成课前检测明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟2.承接1、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n－1＋1(n≥2)，则a5＝________1、评价学生的展示结果2、巡视学生的完成情况1、展示等差数列的定义式2、小组讨论等差数列公式解决学生自主学习中遇到的困惑，加深8分钟数列{a n}满足：a1＝1，a na n－1＝n－1n(n≥2，n∈N＋)，求通项a n.4．总结提升形如a n＋1－a n＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n(n≥2，n∈N＋)求通项公式，这种方法叫做“叠加法”；形如a n＋1a n＝f(n)的递推公式，可以利用a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝a n(n≥2，n∈N＋)求通项公式，这种方法叫做“叠乘法”.引导学生归纳总结本节课解题方法及注意事项1、讨论思考2、抽签小组展示讨论的结果。
3、提出的问题。
强化学生知识储备及养成良好的学习习惯，加强数学思维的培养3分钟5．目标检测检测题1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
高中数学必修五第二章2-1-2数列的通项公式与递推关系学案 精品
2.1.2 《数列的通项公式与递推关系》学案一、学习目标：1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项;经历数列知识的感受及理解运用的过程;3.通过本节课的学习,体会数学来源于生活,从而提高学习数学的兴趣.二、学习过程一、设计问题,创设情境1.回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数,有些数列能够写出一个通项公式a n=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表示?2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型.自上而下: 第1层钢管数为4; 第2层钢管数为5; 第3层钢管数为6;第4层钢管数为7; 第5层钢管数为8; 第6层钢管数为9;第7层钢管数为10.若用a n表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n=n+3(1≤n≤7),相邻两层之间有没有关系?即a n+1与a n有没有关系?3.国际象棋中的每个格子中依次放入1,2,22,23,24,…,263这样的麦粒数排成一列数,相邻两数之间有没有关系?即a n+1与a n有没有关系?二、信息交流,揭示规律数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示数列.4.通项公式法；如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列0,1,2,3,4,…的通项公式为;1,1,1,1,…的通项公式为;1,,…的通项公式为.5.图象法从函数的观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数a n=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点.我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象.具体方法是以项数n为横坐标,相应的项a n 为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点以前面提到的数列1,,…为例,作出一个数列的图象,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在y轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.6.列表法数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用a1表示第一项,用a2表示第二项,……,用a n表示第n项,依次写出a1,a2,a3,a4,….记为{a n}.7.递推公式法知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.模型一:自上而下:第1层钢管数为4,即1↔4=1+3; 第2层钢管数为5,即2↔5=2+3;第3层钢管数为6,即3↔6=3+3; 第4层钢管数为7,即4↔7=4+3;第5层钢管数为8,即5↔8=5+3; 第6层钢管数为9,即6↔9=6+3;第7层钢管数为10,即7↔10=7+3.若用a n表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n=n+3(1≤n≤7).运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地求出每一层的钢管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便.继续看此图片,是否还有其他规律可循?模型二:上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多.即a1=4; a2=5=4+1=a1+1; a3=6=5+1=a2+1; 依此类推:a n=a n-1+1(2≤n≤7).对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项.递推公式:如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为:a1=3,a2=5,a n=a n-1+a n-2(3≤n≤8).8.数列的分类；(1)根据数列项数的多少分；①有穷数列: ;②无穷数列:.(2)根据数列项的大小分；①递增数列:;②递减数列:;③常数数列:;④摆动数列:.三、运用规律,解决问题；9.设数列{a n}满足a n=写出这个数列的前5项.10.已知a1=2,a n+1=2a n,写出前5项,并猜想a n.四、变式训练,深化提高；11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.(1)a1=0,a n+1=a n+(2n-1)(n∈N*);(2)a1=1,a n+1=(n∈N*);(3)a1=3,a n+1=3a n-2(n∈N*).五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境3.有关系.a n+1=2a n二、信息交流,揭示规律4.a n=n-1(n∈N*);a n=1(n∈N*);a n=(n∈N*)5.(n,a n)8.(1)①项数有限的数列②项数无限的数列(2)①从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列②从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列③各项相等的数列④从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、运用规律,解决问题9.解:由题意可知,a1=1,a2=1+=2,a3=1+,a4=1+,a5=1+.10.解:a1=2,a2=2a1=2×2=22,a3=2a2=2×22=23,a4=2a3=2×23=24,a5=2a4=2×24=25,观察可得a n=2n.四、变式训练,深化提高11.解:(1)∵a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,∴a n=(n-1)2;(2)∵a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,∴a n=;(3)∵a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32, a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,∴a n=1+2×3n-1.五、反思小结,观点提炼（略）。
人教版高中必修5(B版)2.1.2数列的递推公式(选学)课程设计
人教版高中必修5(B版)2.1.2数列的递推公式(选学)课程设计一、教学目标1.了解数列的递推公式的概念及其作用；2.掌握求解数列的递推公式的一般方法；3.能够应用数列的递推公式解决实际问题。
二、教学重点、难点1.教学重点：数列的递推公式的概念及其作用；2.教学难点：求解数列的递推公式的一般方法。
三、教学准备1.教材：人教版高中必修5(B版)；2.PPT；3.教师讲义；4.学生练习册。
四、教学过程第一步：导入1.教师出示三个数列：a1=1,a2=3,a3=5，b1=2,b2= 4,b3=6，c1=1,c2=2,c3=4；2.让学生尝试继续写出数列的后面几项；3.引导学生发现数列的规律，找出这些数列的递推公式。
第二步：讲解1. 数列的递推公式的概念及其作用1.数列的递推公式是指数列中每一项都是前面一项的某种函数值；2.数列的递推公式可以用来求解数列的后面的项。
2. 求解数列的递推公式的一般方法1.一次求差法：对数列进行一次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；2.二次求差法：对数列进行二次求差，直到得到一个常数数列，进而得到数列的通项公式；3.代数求解法：使用递推公式中的前几项，列方程组求解，得到递推公式。
第三步：例题讲解1.已知数列a n满足a1=1,a2=2,a n=2a n−1−a n−2+2(n>2)，求a3,a4,a5；2.已知数列b n满足b1=1,b2=2,b n=b n−1+2b n−2,n>2，求b5；3.已知数列c n满足c1=k,c2=2k,c3=3k，且对于n>3，有c n=c n−2−c n−3，求c4,c5,c6。
第四步：练习1.自己设计一个递推公式，求解该数列的第n项；2.将一个给定的数列进行多种递推公式的推导，并验证其正确性。
第五步：小结1.数列的递推公式是数列中每一项都是前面一项的某种函数的表达式；2.根据不同的数列，可以采用不同的方法求解其递推公式；3.数列的递推公式可以用来求解数列的后续项。
高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的通项公式与递推公
2.1.2数列的通项公式与递推公式一、教学目标：1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；a的关系。
3.理解数列的前n项和与n二、教学重点难点：教学重点：数列及其有关概念通项公式及其应用教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学策略及设计“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
设计流程如下:四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1、复习引入：（1）数列及有关定义（2）数列的表示方法通项公式法如数列0，1，2，3，4，5，…的通项公式为na=n－1(∈n*N)；列表法图象法学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
2、分析归纳，形成数列概念。
问题1. 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用na表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=nan≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
高中数学必修五导学案 数列的递推公式二
必修五 数列的递推公式（二）【学习目标】1.能根据给出的递推公式求数列的通项公式；2.学会分析递推公式的形式特点，选取求通项公式的方法，求数列的通项公式【重点和难点】教学重、难点：通过构造辅助数列求数列的通项公式；【使用说明及学法指导】从观察具体数列引入，探究并得出最佳求通项公式的方法。
通过小组讨论、交流、反馈、展示从而完成本节课的学习目标。
预习案一．问题导学1.构造辅助数列的目的是什么?二．知识梳理常见辅助数列法4．若数列有形如11,(1,0,)n n n a A a pa p p p -==+≠≠的递推形式，两边同除n p 构造等差数列5．若数列有形如111,,0,n n n a a A a q p q p qa --==≠≠+的递推形式，两边取倒数转化为（3）题型 6.待定系数法，11,()(1,0,)n n a A a pa g n p p +==+≠≠假设与()g n 与()f n 为相同的函数类型，构造1(1)(())n n a f n p a f n +++=+，并且用()(1)()pf n f n g n -+=待定()f n 中的系数。
三.预习自测1.已知数列{}n a 中，101=a ，且n n n n a N n n a a 求且)2(,22*1∈≥+=-2.已知数列}{n a 中，12,111+==+n n n a a a a ，求出n a 的通项公式。
3. 已知数列{}n a 中，101=a ，且n n n a N n n a a 求且)2(,2-n 2*1∈≥+=-探究案一． 合作探究探究1.已知数列}{n a 中，22,111+==+n n n a a a a ，求出n a 的通项公式。
探究2 已知数列{}n a 中，101=a ，且n n n n a N n n a a 求且)2(,32*1∈≥+=- 小结：你有几种方法可以求出n a 呢？训练案一、课堂训练与检测1.（2009惠州三调理20）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．求n a2. 已知数列{}n a 中，101=a ，且n n n a N n n a a 求且)2(,n 2*1∈≥+=-3. 已知数列{}n a 的首项11a =，1n 22n n n a a a +=+，12n =L ，，．求n a。
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组 为 单 位 统 之间的关
讲 评 an+1=an-4n,求 an
予及时的反馈。 一答案。
系，挖掘
2、 已 知 a1=2 ， 3. 要 对 学 生 不 2、 小 组 讨 论 并 内 在 规
an+1=2an，写出 同 的 解 题 过 程
展 示 自 己 组 律、发现 10 分
前 5 项，并猜 和 答 案 给 出 准 所 写 的 通 项 数 学 的 本 钟难点系 Nhomakorabea式
2、 会用累加法和累乘法求通项
一、 知识目标：
理由：利
1.能用自己的语言说出递推公式与通项公式的异同；
用递推
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
公式试
二、能力目标：
求通项
自主
1、利用通项公式能具体的写出数列的各项。
公式本
学习
2、经历数列知识的感受及理解运用的过程，进而求出数列通项 节 课 的
8 课后 反思
目标 公式与递推公式。
重点。
教具 多媒体课件、教材，教辅
教学 教学内容
教师行为
学生行为
设计意图 时间
环节
1.
1、教辅第 27 页《预 检查，评价总结 1. 小考：《预习 明确本节
课前 3 习自测》1-6
小考结果。
测评》1-6 课学习目 3 分钟
分钟 2、目标解读
2. 提 出 自 主 学 标，准备
习困惑.
an an 2
(n∈N)；
5．
1、 巡 视 学 生 1、 小 考 卷 上 作 检查学生
目标
作答情况。
答。
对本课所 3 分钟
检 测 随堂测试小卷 2、 公布答案。 2、 同桌互批。 学知识的
3、 评 价 学 生 3、 独 立 订 正 答 掌 握 情
作答结果。
案。
况。
6
布置
1、阅读教材 35-38 页，完成课后练习 A 组（同桌 让学生明确
4． 首项和递推公式，写 达成？
果。
之间的联
总 结 出它的前五项，并归 2、引导学生累 3、总结并记录累 系 。 会 累 5 分钟
提 升 纳出通项公式.
加法和累乘法 加法和累乘法求 加法和累
(1)a1＝0，an+1＝an＋ 求通项公式。
(2n-1)(n∈N)；
通项公式
乘法求通 项公式
(2)a1 ＝ 1 ， a n+1 ＝
现的漏洞。
生 对 所 展 示 习中遇到
3. 解 决 学 生 的 习 题 进 行 评 的困惑。
问题，并达成共 价。
识。
3、 质疑、解答。
设 数 列 {an} 满 足 1、 展示课件 1、独立完成课件 通 过 具 体
a1 an
1 1
1 an1
,
n＞1
写出这个数列的前
五项.
2、 巡 视 学 生 完成情况， 让学生更准 确的认识递 推公式。
an.
确 的 评 价 ， 总 公式。
质。
变式：an+1=2n an， 求 结。
3、 其 他 组 给 予 加深对递
出 an.
评价（主要是 推公式的
找错，纠错） 理解。
1、总结本课内容 1、提问:本节课 1、独立完成
训练学生
2. 根据各个数列的 学 习 目 标 是 否 2 、 抽 签 展 示 结 数 学 知 识
例题。 2、抽象归纳出数 列递推公式的概 念。
数列递推 公式求出 数列各项
2 分钟
1、 已 知 a1=2 ， 1、巡视学生的 1、 学 生 先 独 立 在 具 体 问
an+1=an-4, 求 完成情况。
完 成 教 辅 例 题中，探
3.
an
2、对学生的展 题，然后以小 索量与量
做 议 变 式 ： a1=2 ， 示 和 评 价 要 给
学习。
1、 优 化 学 案 第 1．巡视检查学 1、 学 生 自 己 展 验收学生
28 页例 1 和 生 预 习 习 题 完 示 预 习 习 题 自主学习
2.
例 2.
成情况，进行及 完成情况。 的结果，
承 接 2、学生提出的困 时评价。
2、 其 余 学 生 互 并解决学 15 分
结 果 惑.
2．补充学生出 相 补 充 并 学 生自主学 钟
下节
检查并签字），思考练习 B 组题（要求有痕迹）。 下节课所学，
课自
2 分钟
2、熟记等差数列的定义和通项公式（组长检查）。 有的放矢进
主学
3、完成预习习题卷（上课抽查）
行自主学习。
习任
务
2.1.2 数列 的递推公式
例题展示：
7
例 1：
板 书 1、 累积法：
例 2：
设 计 2、 累乘法
3、 数列的通项公式与递推公式的关系：
2017—2018 学年度第一学期
渤海高中高二数学教案
时间：****年***月****日
课题
数列的递推公式
课时 一课时 课型 新授
教学 1、 根据数列的递推公式写出数列 依据：2017 年高考大纲分析：了解数
重点
的前
列的递推公式，明确递推公式与通项
几项。
公式的异同。
2、会用累加法和累乘法求通项公式
教学 1、 理解递推公式与通项公式的关 依据：会用累加法和累乘法求通项公