余弦函数的图像及其性质
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余弦函数的图像及性质
§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
余弦函数的性质解析及其几何意义
余弦函数的性质解析及其几何意义余弦函数是数学中一种常见的三角函数，广泛应用于数理科学中。
本文将对余弦函数的性质进行解析，并探讨其在几何学中的意义。
一、余弦函数的定义及性质余弦函数（cosine function）是指在单位圆上，取角度的正弦值。
在数学中，余弦函数可以用以下公式表示：cos(x) = Adjacent / Hypotenuse其中，x 代表一个角度，Adjacent 表示角度所对的邻边的长度，Hypotenuse 表示斜边的长度。
余弦函数的主要性质包括以下几点：1. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个完整的圆周上，余弦函数的取值将重复一次。
这意味着对于任意实数 x，有cos(x + 2π) =cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(x) = cos(-x)。
这说明余弦函数关于 y 轴对称，图像在 y 轴上是对称的。
3. 范围：余弦函数的取值范围是[-1, 1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这意味着余弦函数的图像在 y 轴的上方不会超过1，下方不会低于-1。
4. 最值点：余弦函数的最大值是1，最小值是-1。
在单位圆上，最大值对应于角度为0度或360度的点，最小值对应于角度为180度的点。
二、余弦函数的几何意义余弦函数在几何学中有着重要的意义，它可以帮助我们理解和描述不同角度下的几何形状与变化。
1. 角度与直线的关系：余弦函数可以描述角度与直线之间的关系。
当我们知道一个角度的大小时，可以利用余弦函数计算出该角度与x轴正方向之间的夹角，从而确定直线的倾斜程度。
2. 三角形的角度关系：余弦函数在三角形中有着重要的应用。
三角形的任意一个内角都可以表示为余弦函数的反函数。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的边长比例，进而确定三角形的形状和大小。
3. 圆的性质：余弦函数也与圆的性质密切相关。
在单位圆上，余弦函数的取值等于圆上某一点的横坐标。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的点的坐标，从而在平面上画出圆的形状。
三角函数余弦函数的性质与图像
3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期
正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
余弦函数的图象与性质(中华版)
余弦函数，正切函数的图象和性质
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
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3 2
2k
2k
2
3
3
x
x
2k 2k 4
3
2 3
，
2k x 2k 2 , k Z
3
3
函数的定义域为{x | 2k x 2k 2 }.
3
3
经典例题
考点二：余弦函数与二次函数结合求值域 例2． 求函数y cos2x 2 cos x 2的值域.
做对了吗——答案
解析 令 cos x t，则t [1,1], 则y t 2 2t 2 (t 1)2 1, 由二次函数的性质可知， 当t 1时，y取得最大值，ymin 1, 当t 1时，y取得最大值，ymax 5, 函数y的值域为[1,5].
余弦函数的图像及其性质
开篇点题——自主梳理
1．余弦函数图像画法
（1）把y=sinx图像向左平移 2 个单位得到y=cosx的图像，
正余弦函数图像形状相同，位置不同。
（2）余弦函数使用五点作图时，五个点分别为，（0,1）
（ ，0），（，-1），（3 ，0），（2，1）
2
2
开篇点题——自主梳理
2．余弦函数的性质
5
x
2k
2，
由数轴可知原函数定义域为
[5, 3 ] [ , ] [3 ,5]
2
22 2
变式训练
变式1．求函数y 1 2 cos x lg(2sin x 3)的定义域
做对了吗——答案
由题意可知x应满足条件
1 2 cosx 0
,即c
os
x
1 2
，
2sin x 3 0
sin x
则a
a
b
b
71，解得ba
4 .
3
y 3 absin x 3 12sin x,
y的最大值为15.
做对了吗——答案
解析 [分析]利用函数奇偶性定义，判断奇偶性步骤：
1.定义域2. f (x)与f (x)的关系3得出奇偶性.
(1)当x
时，f
(
)
1,当x
-
时，f
(-
)无意义，
2
2
2
2
则f (x)的定义域不对称，则f (x)为非奇非偶函数.
(2) f (x)定义域为R,
f (x) sin4 (x) cos4 (x) cos(2x)
变式训练
变式2． 要使cosx 2a 3 有意义，求a的取值范围. 4a
做对了吗——答案
解析 函数y cosx的值域为[1,1] | 2a 3 | 1 4a 即3a2 4a 7 0 解得-1 a 7 3 综上所述，a的取值为[1, 7]. 3
经典例题
考点三：三角函数图像
例3． 利用图像变换做出下列函数的简图：
(1) y 1 cosx, x [0,2 ]. (2) y | sin x |, x [0,4 ].
做对了吗？——参考答案
解析 (1)首先用五点作图法作出函数y cosx, x [0,2 ]的图像，
再做出y cosx关于x轴对称的对称图像y - cosx，最后将 图像向上平移1个单位，得到如图函数图像(1).
做对了吗？——参考答案
(2)首先用五点作图法作出函数y sin x, x [0,4 ]的图像，
再做出y sin x关于x轴下方的部分对称到x轴上方，得到 如图函数图像(2).
经典例题
考点四：三角函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性： (1) f (x) 1 sinx cosx 1 sinx cosx (2) f (x) sin4 x cos4 x cos2x
（5）单调性：y=cosx在 [- 2k ,2k ](k Z)单调递 增；在[2k， 2k ](k Z) 单调递减.
经典例题
考点一：函数图像应用
例1．求函数y cosx 25 x2的定义域
做对了吗？——答案
解析 由题意可知x应满足条件
cos x
25
x
2
0
即Байду номын сангаасk
0 - 5
x
2
f (x) sin 4 x cos4 x cos2x
f (x)
f (x)为偶函数
随堂演练
若函数y a cosx b(a、b为常数)最大值为1，最小值为- 7，求 y 3 absin x的最大值.
做对了吗——答案
解析 当a 0时，
则a
a
b
b
1
7，解得ba
4 .
3
当a 0时，