微波技术基础-传输线理论(4)

Γ1
Zg
Vg
Zin
Vin
Z0, β
ZL
z = −l
源端看进去的负载阻抗
0z
Zin
=
Z0
1+ 1−
Γle− Γle−
j2βl j2βl
= Z0
Zl + Z0 +
jZ0 tan β l jZl tan β l
Γl
=
Zl Zl
− +
Z0 Z0
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13
源和负载失配
¾ 功率匹配与行波匹配 Zg , ZL, Z0 ??
Rin = Z0, X in = 0
传给负载的功率为
P
=
1 2
| Vg
|2
(Z0
+
Z0 Rg )2
+
X
2 g
特点：传输线上为行波，无反射波；所有输入功率均传给
负载。
V (z)
= V0+e− jβ z
= Vg
Z0 Z0 + Zg
e− jβle− jβ z
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注意l与z 的区别！
共轭匹配
输出功率为
P = |Vg |2 8Rg
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19
源和负载失配
¾“源”的处理
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20
有耗传输线
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21
有耗传输线
¾ 低耗线及近似参数
考虑损耗时复传播常数一般表达式
γ = (R + jωL)(G + jωC)
jβ
z
⋅
T1Γ32Γ2
⋅
−
e
−V0+e−
jβ
z
⋅
T1Γ32Γ2
⋅
−
e
jβ
jβ
λ 2
jβ
λ 4
=
λ 4
V0+e−
jβ
z
⋅
T1Γ32Γ2
分界处透射波 A3 = V0+e− jβ z ⋅ T1Γ32Γ2 ⋅ T2
等效反射系数 T1T2Γ2Γ32
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10
四分之一波长变换器
¾ 多次反射观点
(1)信号源输出功率最大—— “功率匹配”
Zin
=
Z
* g
?
(2)负载吸收全部功率—— “行波匹配”
ZL = Z0
(3)无耗传输线，什么时候“匹配”？
⎧⎪ZL = Z0
⎨ ⎪⎩
Zin
=
Z
* g
ZL = Zg = Z0
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14
Γ Iin
Γ1
Zg
Vg
Zin
Vin
源和负载失配 Z0, β
24
有耗传输线
¾ 端接的有耗传输线
Zin
z = −l
V (z), I (z)
Z0, α, β
V (z) = V0+[e−γ z + Γeγ z ]
ZL
I (z) = V0+ [e−γ z − Γeγ z ] Z0
Γ(l) = Γe−2γ l = Γe−2 jβle−2αl
0z
Zin
=
V (−l) I (−l)
| Γ(l) |=| ΓL | e−2αl
负载上的功率 线上功率损耗
PL
=
1 2
Re{V
(0)I ∗(0)}
=
|V0+ |2 2Z0
[1−
|
Γ
|2 ]
Ploss
=
Pin
−
PL
=
|V0+ |2 2Z0
[(e2αl
− 1)+
|Γ
|2
(1 −
e−2αl )]
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26
有耗传输线
特征阻抗 Z1 = Z0RL = 50 ⋅100 = 70.71 Ω
根据线长及l =λ/4可求得工作频率f0（β = λ / 2π = 2π f0 LC）
反射系数幅值与频率关系
|Γ|
0.3
Γ = Zin − Z0 Γ(l) = Γ(0) ⋅ e−2 jβl Zin + Z0 为什么幅值会变化？
βl
=
ZL
存在多次反射时
z = −l
0z
¾ 源端输入电压分析
总的等效电压： 入射波与反射波
线上电压可表示为
的叠加
V (z) = V0+ (e− jβ z + Γle jβ z )
则源端电压为 V (−l) = V0+ (e jβl + Γle− jβl )
由电路规律 因此有
V (−l) = Vg
Zin Zin + Z g
为什么会有Γ=0 ？
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7
四分之一波长变换器
¾ 多次反射观点
Γ
T
仅由分界面两侧的阻抗决定 Γ：入射到变换器的总反射系数 Γ1：由Z0入射到Z1的部分反射系数
Z0 T2
T1
Γ2：由Z1入射到Z0的部分反射系数
Z1
RL Γ3：由Z1入射到RL的部分反射系数
T1：由Z0进入Z1的部分传输系数
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9
四分之一波长变换器
¾ 多次反射观点
分量3：
Z0Z1分界处 −V0+e− jβ z ⋅ T1 ⋅ Γ3
分界处反射波 负载处入射波 负载处反射波 Z0Z1分界处入射
−V0+e− jβ z ⋅ T1 ⋅ Γ3 ⋅ Γ2
−V0+e−
jβ z
⋅
T1Γ3Γ2
⋅
−
e
−V0+e−
¾计算衰减常数α的微扰法
线上传输功率
Pin
=
|V0+ |2 2Z0
[1−
| Γ(l)
|2 ]e2αl
不存在反射时，线上传输功率
P
=
|V0+ |2 2Z0
e2αl
=
P0e2αl
=
P0e−2α z
单位长度功率损耗
Pl (z)
=
−∂P ∂z
=
2α P0e−2αz
=
2α P(z)
衰减常数为 α = Pl (z) = Pl (z = 0)
Γ1
源和负载失配 Z0, β
ZL
z = −l
0z
¾ 源端输出功率分析
2
P
=
1 2
Re{Vin
I
∗ in
}
=
1 2
| Vin
|2
Re{ 1 Zin
}
=
1 2
| Vg
|2
Zin Zin + Zg
Re{ 1 } Zin
令
Zin = Rin + jX in , Zg = Rg + jX g
功率可以表示为
P
=
Γ1
Γ2 Γ3
T2：由Z1进入Z0的部分传输系数
Γ1
=
Z1 Z1
− +
Z0 Z0
Γ2
=
Z0 Z0
− +
Z1 Z1
=
−Γ1
Γ3
=
RL RL
− +
Z1 Z1
T =1+Γ
T1
=1+
Γ1
=
2Z1 Z1 + Z0
T2
=
1+
Γ2
=
2Z0 Z1 + Z0
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8
四分之一波长变换器
¾ 多次反射观点
Z = Zin = Z0 1
Z 0 RL
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5
频常率数变β化也，在导变致化四相！移分之一波Zin 长= Z变0 ZZ1换L ++ j器jZZL1 ttaann
βl βl
也变化！
¾四分之一波长变换器的频率响应
负载电阻RL=100Ω,用四分之一波长变换器匹配到50Ω的传输线上。求匹配 段特征阻抗，反射系数幅值与归一化频率f/f0关系（f0为四分之一波长频率）
每次反射仅由分界面两侧的阻抗决定
λ/4
入射波：A0 = V0+e− jβ z
分量1：A1 = V0+e− jβ z ⋅ Γ1沿传播方向
V0+e− jβ z
T1
分量2：
相位滞后！
Γ1 −T1T2Γ3
T1T2Γ32Γ2
#
T2
T2 Γ2
#Γ2
Z0
Z1
#Γ3
Γ3 Γ3
透射波 V0+e− jβ z ⋅ T1 负载处入射波 V0+e− jβ z
= Vin
V0+ (e jβl
将Zin代入得
+
Γle− jβl )
= Vg
Zin Zin + Z g
V0+
= Vg
Z0 Z0 + Zg
e− jβl (1 − ΓlΓge−2 jβl )
向源看进去的反射系数
Γg
=
Zg Zg
− +
Z0 Z0
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15
Γ Iin
Zg
Vg
Zin
Vin
四分之一波长变换器
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3
四分之一波长变换器
¾ 阻抗观点
l
Z0
传输线的阻抗变换作用
ZL
Zin
=
Z0
ZL Z0
+ +
jZ0 jZ L
tan tan
βl βl
z=0
Zin
无耗线
Z0 =
L C
β = ω LC
负载阻抗 ZL 特征阻抗 Z0 传输线长 l
传播常数β
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LC
⎡⎢⎣1
−
j 2
(ωRL
+
G
ωC
)⎤⎥⎦
从而得到低耗线的衰减因子和传播常数
传输线的高 频、低耗近
似
α ≈ 1 (R
2
C +G L
L C
)
=
1 2
(R Z0
+
GZ0 )
β ≈ ω LC
Z0 =
R + jωL ≈ G + jωC
L C
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23
有耗传输线
¾ 无畸变传输线
不同频率分量的相速
2π λ
⋅ λ0
4
=
⎛ ⎜⎜⎝
2π f υp
⎞ ⎟⎟⎠
⋅
⎛ ⎜ ⎝
υp
4 f0
⎞ ⎟ ⎠
=
π
2
⋅
f0 f
0.2
0.1
0.0 0.0
1.0
2.0
3.0
4.0 f f0
反射系数幅度与归一化频率关系
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6
四分之一波长变换器
Γ
λ /4
Z0
Zin
Z1
RL Z1 = Z0RL
z=0
输入阻抗
Zin
4
四分之一波长变换器
¾ 阻抗观点
Γ
λλ //44
传输线长度——特定频率下波长 的四分之一（或奇数倍）
βl =(2π/ λ) (λ /4)= π/ 2
Z0
Z1
RL
tanβl →∞
z=0
Zin
Zin
=
Z0
RL + Z1 +
jZ1 jRL
tan βl tan βl
?
= Z0
Zin
→
Z12 RL
=
Z0
ZL Z0
+ +
Z0 ZL
tanh γ tanh γ
l l
衰减因子
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25
有耗传输线
¾ 端接的有耗传输线
线上传输功率
Pin
=
1 2
Re{V (−l)I ∗(−l)} =
|V0+ |2 2Z0
[e2αl −
| ΓL
|2
e−2αl ]
= |V0+ |2 [1− | Γ(l) |2 ]e2αl 2Z0
(
−
Γ
2
Γ
3
)n
∑∞ xn = 1
n=0
1− x
| x |< 1
Γ
=
Γ1
−
T1T2Γ3 1+ Γ2Γ3
=Biblioteka Baidu
Z12 Z12
RL − Z0 RL + Z0
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11
源和负载失配
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12
源和负载失配
¾ 源和负载失配的传输线电路 关心: 功率传输效果
Γ Iin
2P(z) 2P0
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27
第一章小结
¾微波信号频率范围 ¾“长线”、分布参数 ¾传输线方程/电报方程 ¾传输线参数：特征阻抗、输入阻抗、反射系
数、驻波比 （表达式、相互转化关系） ¾传输线工作状态条件 ¾Smith圆图组成及应用（工作参数）
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1 2
| Vg
|2
( Rin
Rin + Rg )2 + ( X in
+
X g )2
关心的是功率问题—— 何时源端输出功率最大？
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16
Γ Iin
Zg
Vg
Zin
Vin
Γ1
源和负载失配 Z0, β
ZL
z = −l
0z
¾ 负载与传输线匹配
此时有
Zl = Z0, Zin = Z0
整理得到
γ = jω
LC
1−
j(ωRL
+
G
ωC
)
−
RG
ω 2 LC
低耗线满足
R << ωL, G << ωC
得到
γ ≈ jω
LC
1−
j(
R
ωL
+
G
ωC
)
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22
有耗传输线
利用泰勒级数展开公式
1+ x =1+ x /2 − x2 /4 +"
保留一次项，忽略高次项，得到
γ ≈ jω
总反射波 A = A1 + A2 + A3 + " = V0+e− jβ z (Γ1 − T1T2Γ3 + T1T2Γ2Γ32 − T1T2Γ22Γ33 + ")
总反射系数
Γ = Γ1 − T1T2Γ3 + T1T2Γ2Γ32 − T1T2Γ22Γ33 + "
∑ = Γ1 − T1T2Γ3
∞ n=0
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18
Γ Iin
Zg
Vg
Zin
Vin
Γ1
源和负载失配 Z0, β
ZL
z = −l
0z
¾ 共轭匹配
目标——源的输出功率（向负载传送的功率）最大
∂P ∂Rin
=0⇒
Rg2
− Ri2n
+ ( X in
+
X g )2
=0
∂P ∂X in
=
0⇒
X in
+
Xg
=
0
解得 Rin = Rg , X in = − X g
17
Γ Iin
Zg
Vg
Zin
Vin
Γ1
源和负载失配 Z0, β
ZL
z = −l
0z
¾ 源与带负载的传输线匹配
此时有
Zin = Zg
Rin = Zg , X in = X g
传给负载的功率为
P
=
1 2
| Vg
|2
Rg 4(Rg + X g )2
特点：没有反射波进入电源；源端与负载之间的传输线上 发生多次反射。
微波技术基础
北京邮电大学无线电与电磁兼容实验室 刘凯明 副教授
（明光楼718室，62281300） Buptlkm@sohu.com 2011
第2章 传输线理论
§ 2.5 四分之一波长变换器
阻抗观点 多次反射观点
§ 2.6 源和负载失配 § 2.7 有耗传输线
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2
γ = jω
LC
1−
j(
R
ωL
+
G
ωC
)
−
RG
ω 2 LC
υp
=
ω β
色散——β不是频率的线性函数。如果各频率分量的相
速不同，传输的延时不同，到达接收端的时间不同，信
号产生畸变
无畸变传输线条件 β = K ⋅ω β是频率的线性函数！
R=G LC
γ = R C + jω LC
L
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⋅ T1
⋅
−
e
jβ
λ 4
负载处反射波
V0+e−
jβ z
⋅ T1
⋅
−
e
jβ λ 4
⋅
Γ3
Z0Z1分界处
V0+e−
jβ z
⋅ T1
−
⋅e
jβ λ 2
⋅ Γ3
RL 入射波
= −V0+e− jβ z ⋅ T1 ⋅ Γ3
分界处波透射
等效反射系数 −T1T2Γ3
A2 = −V0+e− jβ z ⋅ T1 ⋅ Γ3 ⋅ T2