2015北京市东城区高一(上)期末数学
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末检测高三数学(理)试题答案
0,2,0)， 不妨设 AB AP 2 ，可得 B (2, 0, 0) ， C (2, 2, 0) ， D ( P( 0,0,2).
由 E 为棱 PD 的中点，得 E (0,1,1) . 向量 BD ( 2, 2,0) , PB (2,0, 2) . 设 n ( x, y , z ) 为平面 PBD 的法向量，则 n BD 0
1
解得 a1 1 所以 an 2
．
n 1
.
…………………9 分
（Ⅱ）因为 bn an 2n ， 所以
b i 1 ai i 1 2i 2 n n (n 1) 1 ． i 1 i
n n n
………………13 分
（16） （本小题共 13 分） 已知函数
P E D A
2
PA 底面 ， AB AP , E 为棱 PD 的中点.
（Ⅰ）证明: AE CD ； （Ⅱ）求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值；
C B
（Ⅲ）若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点 M ，使得 FM AC ，若存在， 求出
PM 的值，若不存在，说明理由. MC
f (x) sin2 x 2 3sin xcos x cos2 x (xR) ．
（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期和在 [0, π] 上的单调递减区间； （Ⅱ）若 为第四象限角，且 cos
2
3 7π ，求 f ( ) 的值. 2 12 5
2
解： （Ⅰ）由已知 f ( x ) sin x 2 3 sin x cos x cos x
（10）
1 ;
2 3 （11） 58
（12） 1 ; 0 （13） x y 1 0
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题(已解析)
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则A B =（A ）{}02， （B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1- 【答案】A 【解析】因为{}1,0,1,2A =-，所以{}0,2A B =故答案为：A 【考点】 集合的运算 【难度】1（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3x y = （D ）x y sin = 【答案】B【解析】选项中的函数是奇函数的是3y x =、sin y x =，是奇函数且又在(0,)+∞上为增函数的是3y x = 故答案为：B 【考点】 函数综合 【难度】1（3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】21x >，则1x >或1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件。
故答案为：A【考点】充分条件与必要条件 【难度】1（4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30【答案】C 【解析】1k =，1022S =+=； 2k =，2226S =+=； 3k =，36214S =+=； 43k =>，所以输出14故答案为：C 【考点】算法和程序框图 【难度】 1 （5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为（A ）38 （B ）38- （C （D ）【答案】D【解析】 因为02π⎛⎫-⎪⎝⎭，，所以sin 0α<，所以sin α=，所以sin 22sin cos ααα== 故答案为：D 【考点】 恒等变换综合 【难度】2（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ） ①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B 则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④ 【答案】A 【解析】选项①，在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以sin sin()B A C =+,由正弦定理得sin()sin b c A C C=+，所以sin sin()b Cc A C =+选项②，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以c =选项③，在ABC ∆中，()C A B π=-+，所以sin sin()C A B =+由正弦定理得sin sin()a cA AB =+，所以sin()sin a A B c A +=选项④，用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=解得的c ，可能有两个值。
2015北京市东城区高一(上)期末数学
2015北京市东城区高一（上）期末数 学（考试时间120分钟 满分100分）一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合}3,2,1{},4,2,1,0{==B A ，则B A ＝A. }4,3,2,1,0{B. }2,1{C. }4,0{D. }3{2. 已知0cos ,0sin ><θθ，则角θ是A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是 A. x y 1= B. 2)1(-=x y C. x y -=2 D. )1(log 2+=x y4. 22sin 15cos -︒15°＋2sin15°·cos15°的值为 A. 213+ B. 23 C. 26 D. 4321+ 5. 若函数0(log >=a x y a ，且1≠a ）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是6. 设2212,log ,log -===πππc b a ，则A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D. a b c >> 7. 为了得到函数3sin 3cos 3cos3sin ππx x y +=的图象，可以将函数x y 3sin =的图象 A. 向右平移9π个单位 B. 向右平移π个单位 C. 向左平移9π个单位 D. 向左平移π个单位8. 设函数x x x f sin )(=，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x ，且)()(21x f x f >，则 A. 21x x > B. 021>+x x C. 21x x <D. 2221x x > 9. 已知函数5))10(lg(log ),,(4sin )(23=∈++=f R b a x b ax x f ，则))2(lg(lg f 的值为A. －5B. －1C. 3D. 410. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数)(x ϕ组成的集合：对于函数)(x ϕ，存在一个正数M ，使得函数)(x ϕ的值域包含于区间],[M M -。
2015-2016年北京市东城区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm33．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．68．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=；如果|+|=|﹣|，那么y=．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n（n＞1，n∈N*）成立；﹣1②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的．（写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁U A={2}，∴（∁U A）∩B={2}．故选：A．2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选：A．3．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【解答】解：由（1﹣2i）z=5i，得．∴z的虚部为1．故选：B．4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵m∈（0，1），则a=log m2＜0，b=m2∈（0，1），c=2m＞1，那么a，b，c之间的大小关系为a＜b＜c．故选：C．5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l的倾斜角为α，斜率为k，当＞，∴k=tanα＞；当时，k=tanα＜0．∵“”是“”的必要而不充分条件，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，，∵ln2，∴结合图象可知，k≥；故选：B．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．6【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，∵，∴cos∠BCF==，∵|BF|=3，∴|AF|=1，故选：A．8．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；②MENF的面积s=f（x）=（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x=时，MN最短，此时面积最小．故正确；③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，故正确．④多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x）=V ABCD=为常数函数，故错误；﹣A′B′C′D′故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．【解答】解：在△ABC中，∵B=30°，C=105°，∴A=45°．由正弦定理可得：，∴b====，故答案为：2．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=1；如果|+|=|﹣|，那么y=﹣．【解答】解：∵•=5，∴1×2+3y=5，解得y=1．∵|+|=|﹣|，∴⊥，∴1×2+3y=0，解得y=﹣．故答案为．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为58．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，7）；联立方程组，解得：B（6，4）．|OA|=，|OB|=．坐标原点O到直线x+y=10的距离d=．∴z=x2+y2的最大值为58．故答案为：58．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= 1；f（﹣t）=0．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a ﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．即数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＞（n﹣1）（a2﹣a1）+a1；取d=a2﹣a1，即可说明命题正确．故答案为：①④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，∴．∵4a1，3a2，2a3成等差数列，∴6a2=4a1+2a3，即q2﹣3q+2=0．解得q=2，q=1（舍）．又它的前4和S4=15，得，解得a1=1．∴．（Ⅱ）∵b n=a n+2n=2n﹣1+2n，∴数列{b n}的前n项和=+=2n﹣1+n（n+1）．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知=．∴最小正周期；由，得．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．∴==．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．因为AD⊥CD，AD∩AP=A，所以CD⊥面PAD．由于AE⊂面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．由E为棱PD的中点，得E（0，1，1）．=（0，1，1）向量，．设为平面PBD的法向量，则=0，即∫﹣2x+2y=0．不妨令y=1，可得=（1，1，1）为平面PBD的一个法向量．设直线AE与平面PBD所成角为θ，则sinθ===，所以，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为．…（11分）（Ⅲ）解：向量，，．由点M在棱PC上，设．故．由FM⊥AC，得=0，因此，（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2=0，解得．所以．…（13分）18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）因为F2（1，0），当直线的斜率不存在时，，，则，不符合题意．当直线y=k（x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设，，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以，所以所以==当k2=0时，|AF2|•|F2B|取最大值为3，所以|AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF2|•|F2B|取值为．所以|AF2|•|F2B|的取值范围．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，f′（1）=0，f（1）=e﹣1．∴方程为y=e﹣1．（Ⅱ）==．当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）==0在（0，1）内有解，∴e x﹣ax=0在（0，1）内有解，即y=e x和y=ax在（0，1）上有交点，如图示：，x=1时，y=e x=e，故a＞e．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【解答】（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，其图象分别如图：由图可知，S 2=π；（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．由于曲线C n具有对称性，只需证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．，现在考虑曲线C n与C n+1∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，此时必有y2＞y1．∵当x0∈（0，1）时，∴．两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）这就得到了y2＞y1，从而是关于n递增的；（Ⅲ）证明：由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．则由|x|n+|y|n=1可得，．即|qs|n+|pt|n=|ps|n．这时qs，pt，ps就是x n+y n=z n（n＞2，n∈N*）的一组解，这与方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．。
北京市东城区2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版) .doc
2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项，选出符合题目要求的一项并填在答题卡．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}2．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2 D．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π4．下列函数，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=ae x+b C．f（x）=e ax+b D．f（x）=alnx+b7．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C．D．8．已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A．[﹣1，5]B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，5]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在相应题目横线上．9．函数y=log2（2x+1）定义域．10．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．11．已知函数，则f（x）的最大值为．12．若a=log43，则4a﹣4﹣a=．13．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．14．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．16．设θ为第二象限角，若．求（Ⅰ）tanθ的值；（Ⅱ）的值．17．已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称心为（，0），求θ的最小值．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b （e=2718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33℃的保鲜时间．20．若实数x，y，m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（Ⅰ）比较log206与206哪一个远离0；（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项，选出符合题目要求的一项并填在答题卡．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查了集合的并集的运算，是一道基础题．2．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2 D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的定义，求出值即可【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴tanα=﹣2．故选：C．【点评】本题考查三角函数的定义，利用公式求值是关键．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【考点】正弦函数的图象．【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可．【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键．4．下列函数，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论．【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础．5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=ae x+b C．f（x）=e ax+b D．f（x）=alnx+b【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．【解答】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于档题．7．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C．D．【考点】终边相同的角．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据角α与角β的终边关于y轴对称，即可确定α与β的关系．【解答】解：∵π﹣α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π﹣α的终边相同，即β=2kπ+（π﹣α）∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π，故答案为：α+β=（2k+1）π或α=﹣β+（2k+1）π，k∈z，故选：B．【点评】本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础．8．已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A．[﹣1，5]B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，5]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x2+2x∈[﹣1，+∞）；当x∈[0，+∞）时，f（x）=ln（x+1）∈[0，+∞）．所以f（x）∈[﹣1，+∞），所以只要g（x）∈（﹣∞，1]即可，即（x﹣2）2﹣8∈（﹣∞，1]，可得（x﹣2）2≤9，解得x∈[﹣1，5]．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在相应题目横线上．9．函数y=log2（2x+1）定义域．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接由对数式的真数大于0求解不等式得答案．【解答】解：由2x+1＞0，得x＞﹣．∴函数y=log2（2x+1）定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．10．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值的应用，属于基础题．11．已知函数，则f（x）的最大值为2．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．12．若a=log43，则4a﹣4﹣a=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由a=log43，可得4a==3，4﹣a=．即可得出．【解答】解：∵a=log43，∴4a==3，4﹣a=．则4a﹣4﹣a=3﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质．考查了推理能力与计算能力，属于档题．13．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于档题．14．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其，“保序同构”的集合对的序号是②③④（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数y=f（x）即可判断出结论．【解答】解：①由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对．②令f（x）=x+1，x∈S=N，f（x）∈T；③取f（x）=x﹣，x∈S，f（x）∈T，“保序同构”的集合对；④取f（x）=tan，x∈S，f（x）∈T．综上可得：“保序同构”的集合对的序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于档题．三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合B的元素，根据并集的运算，求出a的值即可．【解答】解：∵B={x|x2﹣ax=0}，∴B={x|x=0或x=a}，由A∪B=A，得B={0}或{0，1}．当B={0}时，方程x2﹣ax=0有两个相等实数根0，∴a=0．当B={0，1}时，方程x2﹣ax=0有两个实数根0，1，∴a=1．【点评】本题考查了集合的并集的定义，考查分类讨论思想，是一道基础题．16．设θ为第二象限角，若．求（Ⅰ）tanθ的值；（Ⅱ）的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算求值．（Ⅱ）由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，sinθ的值，利用诱导公式，二倍角公式化简所求后即可计算求值．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）∵，∴．∴解得…（Ⅱ）∵θ为第二象限角，，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，…∴…【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）可看出f（x）的定义域为{x|x≠0}，并可求出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f （x）是奇函数；（Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，证明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；；∴f（x）是奇函数；（Ⅱ）设x1＞x2＞0，则：=；∵x1＞x2＞0；∴x1x2＞0，x1﹣x2＞0，x1x2+1＞0；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式x1﹣x2．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称心为（，0），求θ的最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据表已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πxAsin（ωx+φ）0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b （e=2718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33℃的保鲜时间．【考点】函数的值．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程，求出，再计算x=33时的y值即可．【解答】解：由题意知，，所以e22k•e b=48，所以，解得；所以当x=33时，．答：该食品在33℃的保鲜时间为24小时．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，也考查了指数运算的应用问题，是基础题目．20．若实数x，y，m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（Ⅰ）比较log206与206哪一个远离0；（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．【考点】不等式比较大小；对数的运算性质．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用，即可得出．（Ⅱ），可得f（x）的性质：奇偶性，周期性，单调性，最值，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）．∵，∴，∴，∴206比log206远离0．（Ⅱ）f（x）的性质：①f（x）既不是奇函数也不是偶函数；②f（x）是周期函数，最小正周期T=2π；③f（x）在区间，单调递增，f（x）在区间，，（k∈Z）单调递减；④当x=2kπ或时，f（x）有最大值1，当x=2kπ+π或时，f（x）有最小值﹣1．【点评】本题考查了新定义“x比y远离m”、对数函数的单调性、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于档题．2016年3月14日（2020年10月最新下载到博学网）。
北京市东城区高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}2．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2 D．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=ae x+b C．f（x）=e ax+b D．f（x）=alnx+b7．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C．D．8．已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A．[﹣1，5] B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，5]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在相应题目横线上．9．函数y=log2（2x+1）定义域．10．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．11．已知函数，则f（x）的最大值为．12．若a=log43，则4a﹣4﹣a= ．13．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ．14．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．16．设θ为第二象限角，若．求（Ⅰ）tanθ的值；（Ⅱ）的值．17．已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33℃的保鲜时间．20．若实数x，y，m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（Ⅰ）比较log20.6与20.6哪一个远离0；（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】根据并集的运算性质计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查了集合的并集的运算，是一道基础题．2．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）A．B．C．﹣2 D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的定义，求出值即可【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴tanα=﹣2．故选：C．【点评】本题考查三角函数的定义，利用公式求值是关键．3．正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【考点】正弦函数的图象．【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可．【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键．4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论．【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础．5．函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选A．【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握．6．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=ae x+b C．f（x）=e ax+b D．f（x）=alnx+b【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．【解答】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若角α与角β的终边关于y轴对称，则（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C．D．【考点】终边相同的角．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】根据角α与角β的终边关于y轴对称，即可确定α与β的关系．【解答】解：∵π﹣α是与α关于y轴对称的一个角，∴β与π﹣α的终边相同，即β=2kπ+（π﹣α）∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π，故答案为：α+β=（2k+1）π或α=﹣β+（2k+1）π，k∈z，故选：B．【点评】本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础．8．已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A．[﹣1，5] B．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，5]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可．【解答】解：当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x2+2x∈[﹣1，+∞）；当x∈[0，+∞）时，f（x）=ln（x+1）∈[0，+∞）．所以f（x）∈[﹣1，+∞），所以只要g（x）∈（﹣∞，1]即可，即（x﹣2）2﹣8∈（﹣∞，1]，可得（x﹣2）2≤9，解得x∈[﹣1，5]．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在相应题目横线上．9．函数y=log2（2x+1）定义域．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接由对数式的真数大于0求解不等式得答案．【解答】解：由2x+1＞0，得x＞﹣．∴函数y=log2（2x+1）定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题．10．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．11．已知函数，则f（x）的最大值为 2 ．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．12．若a=log43，则4a﹣4﹣a= ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由a=log43，可得4a==3，4﹣a=．即可得出．【解答】解：∵a=log43，∴4a==3，4﹣a=．则4a﹣4﹣a=3﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b= ．【考点】指数型复合函数的性质及应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1， =0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．14．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是②③④（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数y=f（x）即可判断出结论．【解答】解：①由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对．②令f（x）=x+1，x∈S=N，f（x）∈T；③取f（x）=x﹣，x∈S，f（x）∈T，“保序同构”的集合对；④取f（x）=tan，x∈S，f（x）∈T．综上可得：“保序同构”的集合对的序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={0，1}，B={x|x2﹣ax=0}，且A∪B=A，求实数a的值．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合B中的元素，根据并集的运算，求出a的值即可．【解答】解：∵B={x|x2﹣ax=0}，∴B={x|x=0或x=a}，由A∪B=A，得B={0}或{0，1}．当B={0}时，方程x2﹣ax=0有两个相等实数根0，∴a=0．当B={0，1}时，方程x2﹣ax=0有两个实数根0，1，∴a=1．【点评】本题考查了集合的并集的定义，考查分类讨论思想，是一道基础题．16．设θ为第二象限角，若．求（Ⅰ）tanθ的值；（Ⅱ）的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算求值．（Ⅱ）由已知利用同角三角函数关系式可求cosθ，sinθ的值，利用诱导公式，二倍角公式化简所求后即可计算求值．【解答】（本题满分9分）解：（Ⅰ）∵，∴．∴解得…（Ⅱ）∵θ为第二象限角，，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，…∴…【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．已知函数．（Ⅰ）证明：f（x）是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）可看出f（x）的定义域为{x|x≠0}，并可求出f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）是奇函数；（Ⅱ）根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，证明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；；∴f（x）是奇函数；（Ⅱ）设x1＞x2＞0，则：=；∵x1＞x2＞0；∴x1x2＞0，x1﹣x2＞0，x1x2+1＞0；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式x1﹣x2．18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：π2且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．19．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间为192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，求该食品在33℃的保鲜时间．【考点】函数的值．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，列出方程，求出，再计算x=33时的y值即可．【解答】解：由题意知，，所以e22k•e b=48，所以，解得；所以当x=33时，．答：该食品在33℃的保鲜时间为24小时．【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，也考查了指数运算的应用问题，是基础题目．20．若实数x，y，m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m．（Ⅰ）比较log20.6与20.6哪一个远离0；（Ⅱ）已知函数f（x）的定义域，任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）．【考点】不等式比较大小；对数的运算性质．【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用，即可得出．（Ⅱ），可得f（x）的性质：奇偶性，周期性，单调性，最值，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）．∵，∴，∴，∴20.6比log20.6远离0．（Ⅱ）f（x）的性质：①f（x）既不是奇函数也不是偶函数；②f（x）是周期函数，最小正周期T=2π；③f（x）在区间，单调递增，f（x）在区间，，（k∈Z）单调递减；④当x=2kπ或时，f（x）有最大值1，当x=2kπ+π或时，f（x）有最小值﹣1．【点评】本题考查了新定义“x比y远离m”、对数函数的单调性、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b <<（5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = .（10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ； ()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π(212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.关注课外100网，及时获得最新教研资料东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共5页，150分。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则{}12A x x =∈-≤≤Z {}420，，=B A B =（A ） （B ） {}02，{}420，，（C ）（D ）{}4,2,0,1-{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是(0+)∞， （A ） （B ） x y ln =3y x =（C ）（D ）3xy =xy sin =（3）设，则“”是“”的x ∈R 1x >21x >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）当时，执行如图所示的程序框图，3n =输出的值为S （A ） （B ） 68（C ） （D ）1430（5）已知，，则的值为3cos 4α=(,0)2απ∈-sin 2α（A ）（B ） （C （D ）3838-（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，某同学首先选定了与，不A B A B 共线的一点，然后给出了四种测量方案：（△的角，，所对的边C ABC A B C 分别记为，，）a b c①测量，， ②测量，， ③测量，， ④测量，，A C b a b C A B a a b B 则一定能确定，间距离的所有方案的序号为A B （A ）①②③（B ）②③④（C ）①③④ （D ）①②③④（7）已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为(1,3)=a (,23)m m =-b c ，则实数的取值范围是+λμ=c a b (,)λμ∈R m （A ） （B ） (,0)(0,)-∞+∞ (,3)-∞（C ）（D ）(,3)(3,)-∞--+∞ [3,3)-（8）已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△(1,0)M -(1,0)N (2)yk x =-P 是直角三角形，则实数的取值范围是MNP k （A ） （B ） 11[,0)(0,33- [,0)(0, （C ） （D ）11[,33-[5,5]-第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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x
2 2
ax3 b sin x 4(a,b R), f (lg(log 2 10)) 5 ，则 f (lg(lg 2)) 的值为
A. － 5
B. －1
C. 3
D. 4
10. 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数 ( x) 组成的集合：对于函数
一个正数 M ，使得函数 ( x) 的值域包含于区间 [ M , M ] 。例如，当 1( x) x3, 2 ( x) sin x 时，
36
16. 对于任意两个实数 x1, x2 ，定义 max(x1, x2 )
x1 , x1
x2 ,
若
f
(x2 .
x ，则
max( f ( x), g( x)) 的最小值为 ___________。
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 46 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
, 上的最大值和最小值。 64
19.（本题满分 9 分）
已知函数 f ( x) ＝ ex
e x ，其中 e 是自然对数的底数。
2/6
（Ⅰ）证明： f (x) 是 R 上的偶函数； （Ⅱ）判断 f ( x) 在 (0, ) 上的单调性，并证明。
20.（本题满分 9 分） 如图，半径为 4m 的水轮绕着圆心 O 做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转
12. 已知 tan(3
cos( ) cos( )
1
)
，则
2
的值是 ___________。
2 sin( ) 2cos( )
3
16 4
13. 求值：
81
5
4
log 3 4 log 3 5 ＝ ___________。
14. 若 tan(
) 1 ，则 tan ＝ ___________ 。 42
1 15. 函数 y 2 sin( x ) 的单调递减区间是 ___________。
2015 北京市东城区高一（上）期末数
学
（考试时间 120 分钟 满分 100 分） 一、选择题：共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若集合 A { 0,1,2,4}, B {1,2,3} ，则 A B ＝
A. { 0,1,2,3,4} B. {1,2}
17.（本题满分 10 分）
已知集合 A { x | x2 5x 6 0} ， B { x | mx 1 0} ，且 A B A ，求实数 m 的值组成的集合。
18.（本题满分 10 分）
已知函数 f ( x) 3 sin 2x 2 cos2 x 1。 （Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；
（Ⅱ）求 f ( x) 在区间
1/6
( x) ，存在
1 (x) A, 2 ( x) B 。现有如下结论： ①设函数 f ( x) 的定义域为 D ，若对于任何实数 b，存在 a D ，使得 f (a) b ，则 f (x) A ； ②若函数 f ( x) B ，则 f (x) 有最大值和最小值； ③若函数 f ( x) ， g( x) 的定义域相同，且 f (x) A, g(x) B ，则 f ( x) g (x) B ；
3/6
数学试题答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。 1. B 2. D 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C 10. B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11. { x | x 1或 x 15. [6k 2 ,6k
④若函数 f ( x) ＝ a ln( x 2)
x x2
(x 1
2, a R) 有最大值，则 f ( x) B 。
其中正确的是
A. ②③④
B. ①③④
C. ②③
D. ①③
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11. 已知全集 U R ，集合 P { x | x2 1} ，那么 CU P ＝ ___________。
C. { 0,4}
D. { 3}
2. 已知 sin 0,cos 0 ，则角 是
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角
3. 下列函数中，在区间 ( 0, ) 上为增函数的是
D. 第四象限角
1 A. y
x
B. y ( x 1)2 C. y 2 x
4. cos 2 15 sin 2 15°＋ 2sin15°· cos15°的值为
1 1} 12.
3 5 ]( k z)
27
13.
8
16. － 1
1
14.
3
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 46 分。
17.（本题满分 10 分）
解： A ＝ { x | x 2 5x 6 0} { 2,3} ，
当水轮上的点 P 从离开水面的时刻（ P0）起开始计算时间。
（Ⅰ）求点 P 到水面的距离 y(m) 与时间 t (s) 满足的函数关系；
（Ⅱ）求点 P 第一次到达最高点需要的时间。
4 圈，水轮圆心 O 距离水面 2m，如果
21.（本题满分 8 分）
已知函数 f ( x) x 2 4x a 3, a R 。 （Ⅰ）若函数 y f ( x) 的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）若函数 y f ( x) 在 [ 1,1] 上存在零点，求 a 的取值范围； （Ⅲ）设函数 g (x) bx 5 2b, b R 。当 a 0 时，若对任意的 x1 [1,4] ，总存在 x2 [1,4] ，使得 f (x1) g (x2 ) ，求 b 的取值范围。
D. y log 2 (x 1)
31
A.
2
3
B.
2
6
C.
2
13
D.
24
5. 若函数 y log a x(a 0 ，且 a 1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是
6. 设 a log 2 ,b log 1 ,c
2
2
，则
A. a b c B. b a c C. a c b
D. c b a
7. 为了得到函数 y sin 3x cos cos3x sin 的图象，可以将函数 y sin 3x 的图象
3
3
A. 向右平移 个单位
9
B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位
9
D. 向左平移 个单位
8. 设函数 f (x) xsin x ，若 x1 , x2
, ，且 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 22
A. x1 x2 9. 已知函数 f ( x)
B. x1 x2 0 C. x1 x2
D. x12