对布里渊区和费米面的论述
材料物理（李志林）名词解析答案
自由电子近似：是指如下的近似方法：依据能带理论，可以认为固体内部电子不再束缚在单个原子周围，而是在整个固体内部运动，仅仅受到离子实势场的微扰。
状态密度：自由电子的能级密度费米能：又称费米势、费米能级。
在T=0K，电子所处的能量状态由两条基本原理确定：一是泡利不相容原理，二是能量最低原理，电子在能级上填充的最高位置，相应的能量称为费米能电子的费米－狄拉克统计分布：自由电子是费米子，自由电子的分布规律服从费米-狄拉克统计，能量为E的状态呗电子占据的几率是：f(E)=1exp E+E FkT +1，式中，E F为费米能，k是玻尔兹曼常熟，T为热力学温度，f(E)称为费米分布函数。
布洛赫定理：不管周期势场的具体函数形式如何,在周期场中运动的单电子波函数不再是平面波,而是调幅的平面波,其振幅不再是常数能带：允带和禁带统称为能带允带/禁带：在近自由电子近似下有些能量范围是允许/禁止电子占据的布拉格定律：nλ=2d sinθ，其中n为整数，λ为入射波的波长，d为原子晶格内的平面间距，而θ则为入射波与散射平面间的夹角布里渊区：指K空间中能量连续的区域等能面：三维布里渊区中能量相等的K值连接成的面称为等能面费米面：能量为费米能的等能面晶体：原子（或分子）在三维空间作有序规则的周期性重复排列的材料非晶体：原子（或分子）在三维空间作无规则排列的材料准晶体：一种介于晶体和非晶体之间的有序结构晶胞：为说明点阵排列的规律和特点，在点阵中取出一个具有代表性的基本单元作为点真的组成单元，称为晶胞同素异构现象：许多元素具有两种或者更多的晶体结构，这种现象称为元素的多晶型性或者同素异构转变合金：合金是两种或者两种以上的金属或者非金属，经熔炼、烧结或者其他方法组合而成的具有有金属特性的物质固溶体：固溶体是两种或多种元素混合所形成的单一结构的结晶相，其结构与某一组成元素相同，可以将固溶体看成固态的溶液中间相：中间相组元间形成的与任一单一组元结构都不同的新相间隙相和间隙化合物：是指过渡金属与H、B、C、N等非金属小原子形成的化合物。
什么是带隙？什么是布里渊区？
是时候来补充些固体物理知识了 —— 化学、材料的研究生们2016-11-29戴维307研之成理1. 什么是带隙（Band Gap）：回答什么是间接带隙和什么是直接带隙之前，我们首先得知道带隙是什么。
我们知道一个原子是由原子核与核外电子们组成的中性粒子。
而电子们是以一定概率形式分布在类似轨道的核外电子云上的。
但是泡利不相容原理告诉我们，相同量子态的电子不能同时出现。
因为电子是费米子，它的波函数描述是非对称的，做一个非对称操作（asymmetric operation）后就会发现，电子波函数消失，也就是说不存在两个相同量子态的电子。
如果只考虑到自旋这个自由度分为spin-up和spin-down用以区分不同的量子态，那么一个核外电子能级只能容纳两个电子。
根据原子核的电荷情况，核外电子遵循泡利不相容原理排布在不同的核外电子能级（Energy Level)上。
这是对于一个原子的情况，但是真实情况是即使是只能在显微镜下看到的一小块材料都有数以千亿计的原子。
当我们不断加入新的原子也就是说，又更多的电子被引入，从而形成更多的电子能级。
当电子能级的数量足够大，电子能级之间的间隙就会变得足够小，这个时候我们就可以认为电子能级是足够稠密的，连续的了。
我们把这些足够稠密的电子能级们叫做电子能带(Energy Band). 而固体物理告诉我们，晶格是由许多相同原子通过spatial translation获得的。
换句话说，这些原子排布具有空间周期性, 而分布在晶格里的电子能感受到来自临近原子核空间周期势（spatial periodic potential）的影响。
此时，我们不考虑电子间耦合（electron-electron coupling）或者电子声子耦合（electron-phonon coupling），就把这个时候的电子当成准自由电子（quasi-free electron）。
这个时候，我们把这个spatial periodic potential待入薛定谔方程的potential项，然后求解。
费米面的结构
1/ 2
= (2 πn )
1/ 2
波矢空间中费米面包围 的面积仅依赖于电子浓度 的面积仅依赖于电子浓度 该结论对晶格周期场中 的电子费米面同样成立 对实际的晶格， 对实际的晶格，电子费 米面并非圆（球面） 米面并非圆（球面）
3
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 9 章 费米面和金属
9.1 . 费米面的结构
通过平移适当的倒格矢可将各布里渊区平移到第一布 里渊区与其重合， 里渊区与其重合，从而得到自由电子费米面的约化能区图 式表示(将属同一区内的各个分片移入第一区 将属同一区内的各个分片移入第一区) 式表示 将属同一区内的各个分片移入第一区
已连通
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固体物理导论 固体物理导论 物理
第 9 章 费米面和金属
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9.1 . 费米面的结构
9. 1. 1
近自由电子的情况
对近自由电子的费米面，有以下四个事实： 对近自由电子的费米面，有以下四个事实： 1. 电子与晶体周期势场的相互作用在布里渊区边界 处产生能隙 2. 费米面几乎总是与布里渊区边界垂直地交截 3. 晶体周期势场使费米面的尖锐角隅圆滑化 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度， 4. 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，而 与晶格相互作用的具体情况无关
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 9 章 费米面和金属
9.1 . 费米面的结构
费米面
v 费米面是波矢 k 空间中能量为费米能 εF 的曲面
在绝对零度下，费米面将未被填满和被填满的轨道 在绝对零度下， 分隔开 金属的电学性质由费米面的体积和形状决定， 金属的电学性质由费米面的体积和形状决定，因为 电流是由于费米面附近能态占据状况的变化引起的
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固体物理导论 固体物理导论 物理
费米面画法
费米面画法费米面画法（Fermi surface plot）是一种用于描述固体材料中电子行为的可视化方法。
费米面是在能带理论中定义的一个重要概念，它描述了在零温下，电子占据的能级与动量空间之间的关系。
费米面画法通过绘制能带结构和费米面形状，可以帮助我们理解材料中电子的行为和性质。
能带结构在固体材料中，电子由于受到晶格周期性势场的作用，其能量将分裂成离散的能级。
这些能级在动量空间中形成一条又一条曲线，被称为能带。
能带结构描述了材料中不同能级随着动量变化的情况。
费米面费米面是指在零温下，填充态电子占据的最高能级所对应的动量空间曲线。
根据泡利不相容原理，每个自旋态只能容纳一个电子。
因此，在填充态下，所有自旋态都被占据，并且填充态电子占据的最高能级就是费米面。
费米面对于理解固体材料中电子行为非常重要。
它决定了材料的导电性、磁性以及其他一些物理性质。
例如，在导体中，费米面通常是一个闭合曲面，而在绝缘体中，费米面则是一些离散的点。
费米面画法费米面画法通过将能带结构和费米面形状可视化，提供了一种直观的方式来理解材料中电子行为。
下面是一些常用的费米面画法方法：1. 倒格子方法倒格子方法是最早用于描述费米面的方法之一。
它基于倒格子和布里渊区的概念，通过计算能带结构和填充态电子占据情况来确定费米面形状。
2. 三角剖分方法三角剖分方法将能带结构离散化成三角网格，并根据填充态电子占据情况来确定网格边界上的费米面形状。
这种方法可以用于处理复杂的能带结构和非常规形状的费米面。
3. 等能级曲线法等能级曲线法通过绘制等能级曲线（等能量面）来描绘费米面形状。
等能级曲线是指在某个固定能量下，电子在动量空间中的分布情况。
通过绘制多个等能级曲线，可以得到费米面的形状。
4. 密度泛函理论（DFT）计算密度泛函理论是一种用于计算固体材料电子结构的方法。
通过DFT计算，可以得到材料的能带结构和费米面形状。
这种方法在实际研究中非常常用，可以提供高精度的费米面结果。
固体物理答案第五章1
∑ f ( x la )
∞
为某一确定的函数） （ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。 试求电子在这些状态的波矢。
r r r r r ir Rn 解： 由式 ψk r + Rn = e ψk (r )
(
)
可知， 可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψ k ( x + a ) = e ikna ψ k ( x )
v* a =
1 v i o 2A v* 1 v b = j o 4A
v* v* 以 a ,b
为基矢构成的倒格子
B3
ky
B2
A2
b
B1
A1
如图6-11所示 图中“。” 所示,图中 如图 所示 图中“
A3
o
代表倒格点。由图可见， 代表倒格点。由图可见， 矩形晶格的倒格子也是 矩形格子。 矩形格子。 第一区
(s = 0,1,2...
n = ±1,±2...)
5.2 电子在周期场中得势能
1 2 2 2 mω b ( x na ) V (x) = 2 0
[
]
当na b ≤ x ≤ na + b
当(n - 1)a + b ≤ x ≤ na b
是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 且 a = 4b, ω 是常数。 试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。 V(x) 解：
r k ya kza k xa at E k = E s A 8J cos cos cos 2 2 2
并求能带宽度。 并求能带宽度。 用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点 用紧束缚方法处理晶格的 态电子， 解： 态电子 的相互作用时，其能带的表示式为 的相互作用时，
布里渊区
见黄昆书图4－13 （p179)
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因 此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的 第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。
布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应
的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区 里依然可以划分为几个完全等同的区域。
由于布里渊区界面是某倒格矢
r
ur G
的垂直平分面，如果
用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程：
k G
1
G2
2
该方程称作布里渊区的界面方程
正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有
倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原
点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点
的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类
推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同
样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布 里渊区和所有较高的布里渊区Hale Waihona Puke 间的全等性。六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
Kittel （p28) 黄昆书图4－12（p179)
见黄昆书图4－12 （p179)
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
布里渊区的名词解释
布里渊区的名词解释布里渊区是指在光学和无线电工程中，光纤或导波管中因材料非线性而产生的相位调制现象。
这个现象是由于不同频率的光波在光纤中传播时，会发生频率的混合与干涉，导致光波的相位发生变化。
在布里渊区内，光纤中的光波与光纤内部的声波相互作用产生布里渊散射。
布里渊散射是指当光纤中的光波与声波相互作用时，部分光能被散射出去。
这种散射现象是由光波与光纤中声波的相互作用引起的。
光纤中的声波可以由光波引导产生。
当光波在光纤中传播时，由于光纤材料的非线性特性，光波的电场强度会随着光纤中的声波的存在而发生变化。
这种变化会导致光波的相位发生调制。
在布里渊区内，声波的频率与光波的频率非常接近，使得声波与光波发生有效的相互作用。
布里渊区的大小取决于光纤的参数以及传输信号的频率。
对于光纤通信系统来说，布里渊区的存在会对信号的传输产生一定的影响。
当信号频率位于布里渊区时，光纤中的声波与光波的相互作用会导致信号的相位失真和功率损耗。
因此，在设计和实施光纤通信系统时，需要考虑布里渊散射对信号传输的影响，并采取相应的措施来减小布里渊区对信号质量的影响。
布里渊区的现象不仅存在于光纤中，还可以在其他一些导波管（如微纳米波导）中观察到。
这些导波管中的布里渊散射现象也会对波导中传输的信号产生影响。
除了在通信领域中的应用，布里渊区的现象还在光纤传感、光子晶体等领域有着广泛的应用。
通过利用布里渊区的特性，可以设计出基于布里渊散射的传感器，用于测量温度、压力等物理量。
此外，在光子晶体中，布里渊散射也起着重要的作用，可以用于控制和调制光子的传输和储存。
总的来说，布里渊区是光纤或导波管中由于材料非线性而产生的相位调制现象。
它在光纤通信、光纤传感和光子晶体等领域都有着重要的应用。
在光纤通信领域，布里渊散射的存在对信号的传输质量产生一定的影响，因此需要在系统设计中考虑并采取相应的措施来减小布里渊区对信号的影响。
布里渊区文档
布里渊区什么是布里渊区？布里渊区（BZ）是固体物理学中一个重要的概念，其最早由法国物理学家列昂·布里渊（León Brillouin）在20世纪20年代提出。
布里渊区是借助倒晶格空间来描述晶体中电子和光子的行为的一种方法。
在晶体中，原子排列周期性地重复组成晶格结构。
而倒晶格则是指晶体中的电子和光子在晶格结构的倒数上的重复。
布里渊区即为倒晶格的第一布里渊区，或称为第一布里渊区（First Brillouin Zone，简写为BZ）。
布里渊区的特性布里渊区具有一些重要的特性：1.紧密堆积：布里渊区是以最紧密堆积的原则生成的。
最紧密堆积是指在给定的晶体结构中，原子之间的距离最接近，空隙最小。
2.对称性：布里渊区具有一定的对称性。
这是因为晶体结构在倒晶格上也应当具有一定的周期性。
3.边界：布里渊区是由一系列平面所围成的多面体。
这些边界平面的位置和形状决定了布里渊区的形状。
4.特征矢量：布里渊区内存在一系列称为特征矢量（eigenwave vectors）的矢量。
特征矢量描述了晶格中的固有振动和电子的运动行为。
布里渊区与能带结构布里渊区在研究晶体的能带结构时扮演着重要的角色。
能带结构是指在固体中，能量与波矢之间的关系。
布里渊区的形状和大小直接影响着能带结构和材料的物理特性。
晶体中的电子在能带间跃迁时，受到能量和动量守恒定律的限制。
这意味着电子只能在布里渊区内跃迁。
因此，布里渊区可以看作是晶体中允许电子跃迁的特定动量范围。
通过绘制能带图，我们可以清楚地看到布里渊区内的能带结构。
能带图可以帮助我们理解晶体的电子行为和导电性质。
应用领域布里渊区的概念在固体物理学和材料科学的研究中有着广泛的应用。
一些典型的应用领域包括：1.半导体器件设计：在半导体器件的设计和优化中，布里渊区的概念可以帮助工程师理解晶体中电子的行为，从而指导材料的选择和器件性能的调整。
2.光学材料：布里渊区的理论框架为研究光学材料的光学性质提供了基础。