【资料】近世代数课件--2.3理想与商环汇编
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近世代数第二章
同理可得 (b c) a b a c a 。 所以， （
m
, , ) 构成有单位元的交换环。
例4. 设 R 是一个有单位元的交换环， x 为 R 上的一个未定元（定义见后面）或字母，
R[ x] {a0 a1x
an x n | ai R，n }
是系数在 R 上的一元多项式的集合。按通常多项式的加法和乘法定义 R[ x ] 中的加法和乘 法，则 R[ x ] 构成一个有单位元的交换环。 例5. 设 R {0} ，规定 0 0 0,0 0 0 ，则 R 构成环，称为零环（zero ring） 。零环是唯 一的一个有单位元且单位元等于零的环，并且零元也可逆的环。零环太简单了，意义不大， 今后在对环讨论时，将其排除在外。 例6. 设 ( A, ) 是任一加群，规定乘法如下：对任意 a, b A ， a b 0 ，则 ( A, ) 作成一个 环。通常也称之为零环。这样的环意义也不大，因为这时 ( A, ,) 的结构主要取决于加群
x [0,1]) ，零元为零函数 0 ，即 0( x) 0( 任 x [0,1]) 。
由于一个环 R 首先是一个加群，因而加法结合律与结合律成立。对于加群 ( R, ) ，存在 零元 0 ，即任 a R ， 0 a a ，且存在 a R 使 a ( a ) 0 。其次，环 R 对乘法是一 个半群，乘法满足结合律以及乘法对加法满足分配律。由这些运算定律可推得环 R 的一些 常用运算性质。 定理 2.1.1. 设 R 是一个环， a, b R ，则 （1） a 0 0 a 0 ； （2） ( a ) a ； （3） a ( b) ( a) b ab ； （4） ( a ) (b) ab ； （5） x a a x 0 ； （6） a x 0 x a ； （7） a b a c b c 。 证明.（1） 因为 a 0 a 0 a (0+0） a 0 a 0 0 ，故由加法消去律得 a 0 0 。同 理可证 0 a 0 。 （2） 因为 a 是 a 的负元，即 a ( a ) 0 ，故 a 也是 a 的负元。即 ( a ) a 。 （3） 因为 a (b) a b a (b b) a 0 0 ，所以， a ( b) 是 a b 的负元。因此， 我们有 a ( b) ab 。 同理可证： ( a ) b ab 。 （4） 由（3）得 (a) (b) ( a (b)) ( ab) ab 。 （5） 、 （6） 、 （7）由加群运算性质可得证。 利用环 R 中加法与乘法运算的性质，还可证明下面一些法则成立。 移项法则： （8） 对任意 a, b, c R ，有 a b c a c b ； （9）乘法对减法满足分配律：对任意 a, b, c R ，我们有
m
, , ) 构成有单位元的交换环。
例4. 设 R 是一个有单位元的交换环， x 为 R 上的一个未定元（定义见后面）或字母，
R[ x] {a0 a1x
an x n | ai R，n }
是系数在 R 上的一元多项式的集合。按通常多项式的加法和乘法定义 R[ x ] 中的加法和乘 法，则 R[ x ] 构成一个有单位元的交换环。 例5. 设 R {0} ，规定 0 0 0,0 0 0 ，则 R 构成环，称为零环（zero ring） 。零环是唯 一的一个有单位元且单位元等于零的环，并且零元也可逆的环。零环太简单了，意义不大， 今后在对环讨论时，将其排除在外。 例6. 设 ( A, ) 是任一加群，规定乘法如下：对任意 a, b A ， a b 0 ，则 ( A, ) 作成一个 环。通常也称之为零环。这样的环意义也不大，因为这时 ( A, ,) 的结构主要取决于加群
x [0,1]) ，零元为零函数 0 ，即 0( x) 0( 任 x [0,1]) 。
由于一个环 R 首先是一个加群，因而加法结合律与结合律成立。对于加群 ( R, ) ，存在 零元 0 ，即任 a R ， 0 a a ，且存在 a R 使 a ( a ) 0 。其次，环 R 对乘法是一 个半群，乘法满足结合律以及乘法对加法满足分配律。由这些运算定律可推得环 R 的一些 常用运算性质。 定理 2.1.1. 设 R 是一个环， a, b R ，则 （1） a 0 0 a 0 ； （2） ( a ) a ； （3） a ( b) ( a) b ab ； （4） ( a ) (b) ab ； （5） x a a x 0 ； （6） a x 0 x a ； （7） a b a c b c 。 证明.（1） 因为 a 0 a 0 a (0+0） a 0 a 0 0 ，故由加法消去律得 a 0 0 。同 理可证 0 a 0 。 （2） 因为 a 是 a 的负元，即 a ( a ) 0 ，故 a 也是 a 的负元。即 ( a ) a 。 （3） 因为 a (b) a b a (b b) a 0 0 ，所以， a ( b) 是 a b 的负元。因此， 我们有 a ( b) ab 。 同理可证： ( a ) b ab 。 （4） 由（3）得 (a) (b) ( a (b)) ( ab) ab 。 （5） 、 （6） 、 （7）由加群运算性质可得证。 利用环 R 中加法与乘法运算的性质，还可证明下面一些法则成立。 移项法则： （8） 对任意 a, b, c R ，有 a b c a c b ； （9）乘法对减法满足分配律：对任意 a, b, c R ，我们有
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数主要知识点PPT32页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
近世代数主要知识点
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 Nhomakorabea克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
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近世代数课件--2.3理想与商环
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
2019/7/21
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
2019/7/21
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§3 理想与商环
定义 3.2 设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集. (1)我们称 I 是环 R 的一个左(右)理想,是指 I 满足条 件: Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , aI . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左(右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
§3 理想与商环
注意 (1)若 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集,则
R' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'.
(2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意
I J {a b | a I, b J}
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也就是说,对于 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,总有 IJ K.
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
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§3 理想与商环
定义 3.2 设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集. (1)我们称 I 是环 R 的一个左(右)理想,是指 I 满足条 件: Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , aI . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左(右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
§3 理想与商环
注意 (1)若 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集,则
R' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'.
(2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意
I J {a b | a I, b J}
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也就是说,对于 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,总有 IJ K.
近世代数(抽象代数)课件
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
CHENLI
§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
11
CHENLI
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c
简写成 ab c .
6
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
23
CHENLI
§1 代数运算
事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
17
CHENLI
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
2
CHENLI
近世代数学习课件
注：X上的一元和二元代数运算均满足 运算的封闭性。
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
定义4 结合律：设“”是X上的一个
二元代数运算。如果a,b, c X
有：(a b) c a (b c)
则称此二元代数运算适合结合律。
交换律：若对a,b X 有： ab ba
则称此二元代数运算适合交换律。
定义5 设“”是非空集合S上的一个
近世代数 课件
教材：离散数学引论 王义和，哈工大出版社
参考教材： 1）近世代数， 熊全淹，武大
2）近世代数基础习题指导，北师大
3）离散数学及其在计算机中的应用
4）代数结构与组合数学
引言
一、近世代数的研究对象
代数最初主要研究的是数，以及由数所衍 生出来的对象，如代数方程的求根。数的 基本特征是可以进行加法、乘法等运算， 其共同点是对任两个数，通过相应法则可 唯一求得第三个数。而对于很多抽象的对 象也都具有类似数的这一特征，因此对于 它们的结构和性质的研究就导致了近世代 数的产生和发展。
同理：A为 M , , e 的非空子集，则
包含A的所有子幺半群的交成为由A生 成的子幺半群。
注：根据集合交的性质知道 由A生成的子（幺）半群 (A) 是包含A的所有子（幺）半群 中最小的，即对任意包含A的
子（幺）半群 A 有：A A
定义4 左（右）理想：半群 S ,
的一个非空子集A为S的一个左（右）
定义乘法“”：N N N
a b a b 1, a,b N,
其中*为普通乘法
定义6 设(S,,) 是具有两个二元
代数运算“”和“+”的代数系。
如果a,b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c)
则称“”对“＋”满足左分配律。
如果a,b, c S 有：
近世代数精品课程25页PPT
近世代数精品课程
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
6பைடு நூலகம்最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
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近世代数课件--2.3理想与商环
§3 理想与商环
设 R 是一个环, S 是 R 的一个非空子集.如果 S 关于环 R 的加法“”和乘法“ ”都封闭,那么,将“”和“ ”限制在 S 上,便得到 S 上的加法“”和乘法“ ”.显然,作为 S 上加法 和乘法,“ ”对“”仍适合分配律.
定义 3.1 设 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集.我们 称 R' 是环 R 的一个子环,是指 R' 满足如下条件:
的理想,记作 (S) .
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§3 理想与商环
(2)设 I 是环 R 的一个理想.若 S 是 R 的非空子集, 使得 I (S) ,则称 S 为理想 I 的一个生成集.若存在 R 的 有限子集{a1, a2 , , an} ,使得 I ({a1, a2 , , an}) ,则称 I
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
I J {a b | a I, b J}
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也就是说,对于 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,总有 IJ K.
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§3 理想与商环
证明 (1)设{Iα}αΑ 是 R 的一族理想.于是, αΑ Iα 是 加 群 (R, ) 的 子 群 . 对 于 任 意 的 r R 和 任 意 的 a αΑ Iα ,我们有
ra, ar Iα , α Α, 从而,
平凡子环.
若 R' 是环 R 的子环并且 R' 是 R 的真子集,则称 R' 为环 R 的真
子环.
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§3 理想与商环
下面的一些例子告诉我们,当 R' 是一个环 R 的子 环时, R 有单位元,不意味着 R' 有单位元;即使子环 R' 有单位元,子环 R' 的单位元未必就是环 R 的单位 元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R' 一定没有单位 元.
对于环 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,由 I 和 J 都是加群 K 的子集可知 I J K .所以 I J 是环 R 的包含 I 和 J 的最 小理想.□
有了命题 3.4(1),我们可以引入如下定义: 定义 3.5 (1)设 R 是一个环.对于 R 的任意非空子集 S ,我们将环 R 的包含 S 的最小理想称为环 R 的由 S 生成
例 1 整数环 Z 有单位元1.令 R 表示偶数环.则 R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环{0} 以 0 为自己的单位元,{0}是环 R 的子环.
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§3 理想与商环
定义 3.2 设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集. (1)我们称 I 是环 R 的一个左(右)理想,是指 I 满足条 件: Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , aI . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左(右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
ra, ar αΑ Iα . 所以 αΑ Iα 是环 R 的理想.
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§3 理想与商环
(2)设 I 和 J 都是 R 的理想. 首先, I 和 J 都是环 R 的加群的子群.由于交换群的子群 都是正规子群,因此根据第一章§5 习题第 6 题可知, I J 环 R 的加群的子群. 其次,考察任意的 rR 和任意的 uI J :不妨设 u a b ,其中 aI , b J .于是, ra, ar I , rb, br J ,从而,
Ⅰ. R' 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ab R', a, b R' ,即 R' 关于环 R 的乘法“ ”封闭.
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§3 理想与商环
注意 (1)若 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集,则
R' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'.
(2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意
元素 a 在 R' 中的负元就是 a 在 R 中的负元.
(3)任何环 R 都有子环,例如,{0} 和 R .{0} 和 R 都称为环 R 的
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§3 理想与商环
注意 (1)环 R 的左理想和右理想都是环 R 的子环. (2)任何环 R 都有理想,例如,{0} 和 R ,它们分别称 为环 R 的零理想和单位理想,统称为环 R 的平凡理想. 没有非平凡的理想的环都称为单环.
ru r(a b) ra rb I J , ur (a b)r ar br I J . 因此 I J 是环 R 的理想.
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最后,显而易见, I I {0} I J , J {0} J I J ;
命题 3.3 设 R 是一个环, I 是 R 的非空子集.则 I 为环 R 的理想的充分必要条件是:
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
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§3 理想与商环
§3 理想与商环
设 R 是一个环, S 是 R 的一个非空子集.如果 S 关于环 R 的加法“”和乘法“ ”都封闭,那么,将“”和“ ”限制在 S 上,便得到 S 上的加法“”和乘法“ ”.显然,作为 S 上加法 和乘法,“ ”对“”仍适合分配律.
定义 3.1 设 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集.我们 称 R' 是环 R 的一个子环,是指 R' 满足如下条件:
的理想,记作 (S) .
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(2)设 I 是环 R 的一个理想.若 S 是 R 的非空子集, 使得 I (S) ,则称 S 为理想 I 的一个生成集.若存在 R 的 有限子集{a1, a2 , , an} ,使得 I ({a1, a2 , , an}) ,则称 I
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
I J {a b | a I, b J}
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也就是说,对于 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,总有 IJ K.
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证明 (1)设{Iα}αΑ 是 R 的一族理想.于是, αΑ Iα 是 加 群 (R, ) 的 子 群 . 对 于 任 意 的 r R 和 任 意 的 a αΑ Iα ,我们有
ra, ar Iα , α Α, 从而,
平凡子环.
若 R' 是环 R 的子环并且 R' 是 R 的真子集,则称 R' 为环 R 的真
子环.
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下面的一些例子告诉我们,当 R' 是一个环 R 的子 环时, R 有单位元,不意味着 R' 有单位元;即使子环 R' 有单位元,子环 R' 的单位元未必就是环 R 的单位 元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R' 一定没有单位 元.
对于环 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,由 I 和 J 都是加群 K 的子集可知 I J K .所以 I J 是环 R 的包含 I 和 J 的最 小理想.□
有了命题 3.4(1),我们可以引入如下定义: 定义 3.5 (1)设 R 是一个环.对于 R 的任意非空子集 S ,我们将环 R 的包含 S 的最小理想称为环 R 的由 S 生成
例 1 整数环 Z 有单位元1.令 R 表示偶数环.则 R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环{0} 以 0 为自己的单位元,{0}是环 R 的子环.
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定义 3.2 设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集. (1)我们称 I 是环 R 的一个左(右)理想,是指 I 满足条 件: Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , aI . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左(右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
ra, ar αΑ Iα . 所以 αΑ Iα 是环 R 的理想.
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(2)设 I 和 J 都是 R 的理想. 首先, I 和 J 都是环 R 的加群的子群.由于交换群的子群 都是正规子群,因此根据第一章§5 习题第 6 题可知, I J 环 R 的加群的子群. 其次,考察任意的 rR 和任意的 uI J :不妨设 u a b ,其中 aI , b J .于是, ra, ar I , rb, br J ,从而,
Ⅰ. R' 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ab R', a, b R' ,即 R' 关于环 R 的乘法“ ”封闭.
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注意 (1)若 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集,则
R' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'.
(2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意
元素 a 在 R' 中的负元就是 a 在 R 中的负元.
(3)任何环 R 都有子环,例如,{0} 和 R .{0} 和 R 都称为环 R 的
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注意 (1)环 R 的左理想和右理想都是环 R 的子环. (2)任何环 R 都有理想,例如,{0} 和 R ,它们分别称 为环 R 的零理想和单位理想,统称为环 R 的平凡理想. 没有非平凡的理想的环都称为单环.
ru r(a b) ra rb I J , ur (a b)r ar br I J . 因此 I J 是环 R 的理想.
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最后,显而易见, I I {0} I J , J {0} J I J ;
命题 3.3 设 R 是一个环, I 是 R 的非空子集.则 I 为环 R 的理想的充分必要条件是:
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
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