第三章 力系的平衡(陆)
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《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R A c oS sCD co 40 s 50
Y0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一 力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力P为什么能与M平 衡呢？
M
OR
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐 调条件来求解。
判断各图的超静定次数
P
P
P
P
P
F
F
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
FAy
FB
例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。 求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力； 2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并 确定其数值。
前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只 不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R A c oS sCD co 40 s 50
Y0 P R A si n S Cs D 4 i0 n 5 0
的代数和等于零，即 n
Mi0
i1
思考：从力偶理论知道，一 力不能与力偶平衡。图示轮 子上的力P为什么能与M平 衡呢？
M
OR
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐 调条件来求解。
判断各图的超静定次数
P
P
P
P
P
F
F
例5 例5 求图示三铰刚架的支座反力。
解：先以整体为研究对象，受力如图。
FAy
FB
例题3
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁，BC为钢索， A、处为固定铰链支座，B处为铰链约束。已知起重 电动电动机E与重物的总重力为FP(因为两滑轮之间 的距离很小，FP可视为集中力作用在大梁上)，梁的 重力为FQ。已知角度θ=30º。 求：1. 电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和 支座A处的约束力； 2. 分析电动机处于什么位置时，钢索受力最大，并 确定其数值。
前几章中，实际上已经遇到过一些简单刚体系统的问题，只 不过由于其约束与受力都比较简单，比较容易分析和处理。
力系的平衡
i =1 i =1
n
n
∑M
i =1
n
O
( Fi ) = 0
Oy
∑M
i =1
n
Ox
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
3个平衡方程 个平衡方程 平面力偶系
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 6
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
1个平衡方程 个平衡方程
E
∑F
i =1
n
F
q C a a
M D
求支承处对梁的约束力
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 14
力系的平衡/刚体系平衡
[解] 解
定研究对象： 定研究对象：梁OBD 定问题性质： 定问题性质：平面 建立参考基： 建立参考基： 受力分析 主动力简化
y
O
F
q C a
FCy
M D
A a
FAy
B a a F1 F
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 8
力系的平衡/力系的平衡方程
[例] 例
图示长为l的简支梁上作用一分布 图示长为 的简支梁上作用一分布 上作用一 载荷， 载荷，其单位长度上受力的大小 称为载荷集度 单位为牛顿/米 载荷集度(单位为牛顿 称为载荷集度 单位为牛顿 米) 其左端的集度为零， 其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向 。 ， 垂直向下。 垂直向下。 O l
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学
力系的平衡/力系的平衡方程
n
n
∑M
i =1
n
O
( Fi ) = 0
Oy
∑M
i =1
n
Ox
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
(Fi ) = 0 ,
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
3个平衡方程 个平衡方程 平面力偶系
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 6
∑M
i =1
n
Oz
(Fi ) = 0
1个平衡方程 个平衡方程
E
∑F
i =1
n
F
q C a a
M D
求支承处对梁的约束力
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 14
力系的平衡/刚体系平衡
[解] 解
定研究对象： 定研究对象：梁OBD 定问题性质： 定问题性质：平面 建立参考基： 建立参考基： 受力分析 主动力简化
y
O
F
q C a
FCy
M D
A a
FAy
B a a F1 F
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学 8
力系的平衡/力系的平衡方程
[例] 例
图示长为l的简支梁上作用一分布 图示长为 的简支梁上作用一分布 上作用一 载荷， 载荷，其单位长度上受力的大小 称为载荷集度 单位为牛顿/米 载荷集度(单位为牛顿 称为载荷集度 单位为牛顿 米) 其左端的集度为零， 其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向 。 ， 垂直向下。 垂直向下。 O l
2011年6月21日 理论力学CAI 静力学
力系的平衡/力系的平衡方程
第3章力系平衡方程
FR
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5
C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
BE CE FDC =0 0; ∑ Fix =FDB DB DC
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
工力C第三章力系的平衡方程及应用
M
静力学
第三章 力系的平衡方程及其应用
静力学
例3-3 伸臂式起重机，已知匀质梁AB 重P =4kN，吊车连 同吊起重物重P1=10kN。有关尺寸如图。
y
试求：拉索BD 的拉力及铰链 A 的约束力。
D
解：取AB梁连同重物为研究对象，
FAy
FT
C 30°
A
FAx
画受力图。 取坐标，列平衡方程。
B
x由： X 0
• 空间任意力系平衡方程：基本形式、四矩式、五矩式 和六矩式。
• 应当注意：每一种形式最多只能列6个独立平衡方程， 解6个未知数，任何多于6个的方程都是这些方程的线性 组合。
• 空间任意力系平衡方程是平衡方程的一般形式。汇交 力系、平行力系、力偶系及平面力系是其特殊形式。
第三章 力系的平衡方程及其应用
对图（d）:
FT1
由 M B (F ) 0 0.4FT cos 1YH 0
(d)
X H
H
由 X 0
FT sin X H X B 0
(e)
YH
FT2 由 Y 0
FT cos YH YB 0
(f )
(c)
YB E X B
B
F'T
但若系统的n物体中，有n1个物体为二力构件或受平面 力偶系， n2个受平面汇交力系或平面平行力系、n3个受平 面任意力系作用，则最多可列的独立平衡方程的数目m为
m n1 2n2 3n3
可解m个未知数。
第三章 力系的平衡方程及其应用
静力学
设k为物体系统的未知量数目
若k = m，未知量数目等于可列独立平衡方程的数
FB
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解得:
FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
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=
=
=
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二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
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如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
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例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
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例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
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② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
Fx 超静定结构 Fy
M
q
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如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的 数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类 问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate problem）。
独立平衡方程个数6；未知 量个数7。称1次超静定。
P 3 FAy qa 4 2
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已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图.
其中:
1 F1 q 3l 30kN 2 FAx F1 F sin 600 0 Fx 0
MC 0
FBy 2a 0
解得： FBy 0 2.取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
得： FE sin 45 2 F
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
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§3－２
力偶系的平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
F
x
0 : FAx FCx 0
解得： FCx 20kN
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2.取BDC杆（带着轮）：
M 0:
iB
4aF F 3a F a F 4a 0
Cy T T1 Cx
解得： FCy 15kN
3. 对整体受力图：
Fiy 0
3 5
FDC 4 M 0
解得：FDC=-25kN （3）分析节点D
Fix 0 :
F
iy
0:
4 4 FDC FED FAD 0 5 5 3 3 FAD FBD FDC 0 5 5
解得：FAD =80kN，FBD=-33kN
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F 0 基本型 Ⅰ F 0 M ( F ) 0
x y o i
x
Fx 0 Ⅱ M A 0 二力矩式 M 0 B
A、B两点连线不得与投影 轴垂直。
M A 0 Ⅲ M B 0 M 0 C
三矩式
ix iy
F 0
iz
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
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空间汇交力系平衡方程
F 0 F 0
ix iy
F 0
iz
平面汇交力系平衡方程 平衡方程应用的注意点： 1、求解未知量个数； 2、投影轴的选取；
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例题：已知：物重P=10kN，C,D,B高度一样，CB=DB且互相 垂直，θ =300。 求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F F
z
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
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物体系统的平衡问题：
1、分析未知量的个数；
2、分析能建立的独立平衡方程的个数。
方法——受力分析
物体系统平衡问题，由于包含的未知量较多，为简化计 算，常进行适当的分析。
1、研究对象顺序的选取；
2、平衡方程的选取。
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例题 已知: F=20kN, q=10kN/m,M=20kNm， L=1m。 求: A,B处的约束力. 解: ① 取CD梁,画受力图.
FAy FCy FT P 0
解得：FAy 10kN
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取BDC 杆（不带着轮）。
取ABE（带着轮）。 取ABE杆（不带着轮）。
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例题 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 、E铰处约束反力.
解：1.取整体，画受力图。
独立平衡方程个数6；未知 量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
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超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不能仅用平 衡方程来解决的问题。问题之所以成为超静定的，是因为静 力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方 程，问题也就可以解决。
例题 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,θ =450，各构件自 重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:① 取整体,画受力图.
5 M E 0 FA 2 2l P 2 l 0 5 2 解：得 FA P 8
Fix 0
绳中拉力FK=P/2。 解：得 FDB
3 2 P (拉) 8
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例已知：P=10kN , a ,杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：1.取整体，画受力图。
M
C
0 : 4aFAx 8.5aP FT a 0
其中FT=P/2。 解得： FAx 20kN
F F /2
B
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平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
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例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图.
例题 已知：P，q，a，M=qa。
求：支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAx FAy FB
Fx 0
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得:
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
解得:
FAy q 2a P FB 0
M M M M M 0
1 2 n i
空间力偶系：
z
M
i
M 0 平衡方程： M 0 M 0
ix iy iz
y x
平面力偶系： M i 0
Mi
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例题 三铰拱的左半部上作用一力偶，其矩为M ，转向如图所 示，求铰A和B处的反力。 解：选择研究对象，受力分析画示力图。
解：得 FEx
5 P 8
FEx FA cos 450 0
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F
iy
0
FEy P FA sin 450 0
13 解：得 FEy P 8
② 取DCE杆,画受力图.
MC 0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
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第三章
§3－１ 汇交力系的平衡
力系的平衡
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即： F F F F F 0
R i 1 2 n
平衡几何条件：力的多边形闭合。 平衡的代数方程条件：
F 0 F 0
立平衡方程求解。
M
i
0
FA 2a cos 45 M 0
FA FB M /( 2a)
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FAx 316.4kN
FAy P F cos 60 0 FAy 300kN
Fy 0
解得:
M
A
0
MA M F 1 l F cos 60 l F sin 60 3l 0
解得:
MA 1188kN m
固定端
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=
=
=
返回
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二、物体系的平衡· 静定和超静定问题
Fx Fy
M
q
Fx
M
q
FB
Fy
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如果所考察的问题的未知量数目恰好等于独立平衡方程的 数目，那些未知数就可全部由平衡方程求得，这类问题称为静 定问题（statically determinate problem）。
F 0 F 0
ix iy
3、研究对象选取次序。
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例题： 对于共面不平行的三个力成平衡，有如下结论：若不平行 的三个力成平衡，则三力作用线必汇交于一点。这就是所谓的 三力平衡定理。 F2 FR
o
F1 F3
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例题 梁支承和受力情况如图所示，求支座A、B的反力。
M 0
c
l FB sin 60 l ql F cos 300 2l 0 2
0
解得: FB=45.77kN
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② 取整体,画受力图.
F 0
ix
FAx FB cos 600 F sin 300 0
解得： FAx 32.89kN
Fx 超静定结构 Fy
M
q
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如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的 数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类 问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate problem）。
独立平衡方程个数6；未知 量个数7。称1次超静定。
P 3 FAy qa 4 2
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已知：P=100kN, M=20kNm, F=4kN, q=20kN/m, l=1m.
求：固定端A处约束力.
解：取T型刚架，画受力图.
其中:
1 F1 q 3l 30kN 2 FAx F1 F sin 600 0 Fx 0
MC 0
FBy 2a 0
解得： FBy 0 2.取DEF杆，画受力图
MD 0
FE sin 45 a F 2a 0
得： FE sin 45 2 F
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
结果： F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
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§3－２
力偶系的平衡
力偶系平衡的必要与充分条件是： 合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零 .
F
x
0 : FAx FCx 0
解得： FCx 20kN
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2.取BDC杆（带着轮）：
M 0:
iB
4aF F 3a F a F 4a 0
Cy T T1 Cx
解得： FCy 15kN
3. 对整体受力图：
Fiy 0
3 5
FDC 4 M 0
解得：FDC=-25kN （3）分析节点D
Fix 0 :
F
iy
0:
4 4 FDC FED FAD 0 5 5 3 3 FAD FBD FDC 0 5 5
解得：FAD =80kN，FBD=-33kN
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F 0 基本型 Ⅰ F 0 M ( F ) 0
x y o i
x
Fx 0 Ⅱ M A 0 二力矩式 M 0 B
A、B两点连线不得与投影 轴垂直。
M A 0 Ⅲ M B 0 M 0 C
三矩式
ix iy
F 0
iz
即力系中各力在x、y、z三轴中的每一轴上的投影之代 数和均等于零。这三个方程称为汇交力系的平衡方程 。
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空间汇交力系平衡方程
F 0 F 0
ix iy
F 0
iz
平面汇交力系平衡方程 平衡方程应用的注意点： 1、求解未知量个数； 2、投影轴的选取；
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例题：已知：物重P=10kN，C,D,B高度一样，CB=DB且互相 垂直，θ =300。 求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F F
z
y
0 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
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物体系统的平衡问题：
1、分析未知量的个数；
2、分析能建立的独立平衡方程的个数。
方法——受力分析
物体系统平衡问题，由于包含的未知量较多，为简化计 算，常进行适当的分析。
1、研究对象顺序的选取；
2、平衡方程的选取。
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例题 已知: F=20kN, q=10kN/m,M=20kNm， L=1m。 求: A,B处的约束力. 解: ① 取CD梁,画受力图.
FAy FCy FT P 0
解得：FAy 10kN
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取BDC 杆（不带着轮）。
取ABE（带着轮）。 取ABE杆（不带着轮）。
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例题 已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 、E铰处约束反力.
解：1.取整体，画受力图。
独立平衡方程个数6；未知 量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
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超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不能仅用平 衡方程来解决的问题。问题之所以成为超静定的，是因为静 力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑 到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方 程，问题也就可以解决。
例题 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, P,θ =450，各构件自 重不计. 求: A,E支座处约束力及BD杆受力. 解:① 取整体,画受力图.
5 M E 0 FA 2 2l P 2 l 0 5 2 解：得 FA P 8
Fix 0
绳中拉力FK=P/2。 解：得 FDB
3 2 P (拉) 8
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例已知：P=10kN , a ,杆，轮重不计；
求： A ,C支座处约束力. 解：1.取整体，画受力图。
M
C
0 : 4aFAx 8.5aP FT a 0
其中FT=P/2。 解得： FAx 20kN
F F /2
B
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平衡的几何条件是：力多边形闭合。
解得： FA 3F / 2,
F F /2
B
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例题：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；
求：系统平衡时，杆AB、BC受力.
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图.
例题 已知：P，q，a，M=qa。
求：支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
FAx FAy FB
Fx 0
FAx 0
M
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
解得:
3 1 FB P qa 4 2
Fy 0
解得:
FAy q 2a P FB 0
M M M M M 0
1 2 n i
空间力偶系：
z
M
i
M 0 平衡方程： M 0 M 0
ix iy iz
y x
平面力偶系： M i 0
Mi
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例题 三铰拱的左半部上作用一力偶，其矩为M ，转向如图所 示，求铰A和B处的反力。 解：选择研究对象，受力分析画示力图。
解：得 FEx
5 P 8
FEx FA cos 450 0
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F
iy
0
FEy P FA sin 450 0
13 解：得 FEy P 8
② 取DCE杆,画受力图.
MC 0
FDB cos 450 2l FK l FEx 2l 0
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第三章
§3－１ 汇交力系的平衡
力系的平衡
汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零 。
即： F F F F F 0
R i 1 2 n
平衡几何条件：力的多边形闭合。 平衡的代数方程条件：
F 0 F 0
立平衡方程求解。
M
i
0
FA 2a cos 45 M 0
FA FB M /( 2a)
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