2015年中科院811量子力学考研真题解析讲义
2018年811量子力学考研真题解析讲义
1
i，Lz 0
0
0
0 0 0
0 0 , 1
（1）求 Lx 矩阵的本征值和本征矢量 （2）求联系 (Lˆ2 , Lˆz ) 表象和 (Lˆ2 , Lˆx ) 表象的幺正变换矩阵 S （3）利用幺正变换矩阵 S，求出 (Lˆ2 , Lˆx ) 表象中的矩阵表示
2
即Lx的本征值为：，0，-
相应的本征矢量为：
1 2
1 2 ， 0 1
1 2
1 0 ， 1
1 2
1 1
2
，
（2）s 矩阵：
1/ 2 S 1/ 2
1/ 2
1/ 2 0
1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 0 i 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2
3
1/ 2 1/ 2
2 1/ 2
1/ 2 0
1/ 2
1/ 2 i / 2 1/ 2 0
1/ 2 i / 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2
（3） 算符变换： F ' SFS
1/ 2
L'x
SLxS
1/ 1/
2 2
1/ 2 0
1/ 2
1/ 2 1/ 2
0 1
1/ 2 2 0
1 0 1
0 1/ 2 11/ 2 0 1/ 2
中国科学院大学
2018 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试参考答案
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
811《量子力学》 - 中国科学院
811《量子力学》中科院研究生院硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
2015中科院理论物理考研(物理学院)参考书、历年真题、报录比、研究生招生专业目录、复试分数线
定
。
（三）复试名单以及复试时间、地点、科目、方式等由各培养单位在复试前通过培养单
位网页等形式向考生公布。
（四）报考的培养单位在复试前对复试考生的有效身份证件、学历证书、学生证等报名
材料原件及考生资格再次进行严格审查，对不符合教育部规定者，不予复试。对考生的学历
（学籍）信息仍有疑问的，可要求复试考生在规定时间内提供权威机构出具的认证证明。
01 核反应与核分析技术
彭光雄 郭璐
①101 思想政治理论②201 英语一 ③302 数学二④811 量子力学
同上
02 核技术及应用
郑阳恒 吕晓睿
同上 同上
专注中国名校保（考）研考博辅导权威
03 核聚变工程与技术
倪明玖
①101 思想政治理论②201 英语一 ③301 数学一④808 电动力学或 810 理论力学或 812 流体力学
同上
乔从丰
同上
晏启树
同上
06 粒子宇宙学
朴云松
①101 思想政治理论②201 英语一 ③601 高等数学(甲)④811 量子力 学
07 星系结构和演化
杜翠花
①101 思想政治理论②201 英语一 ③601 高等数学(甲)或 617 普通物 理(甲)④808 电动力学或 811 量子 力学08 量子场论和引力理论
080103 流体力学
01 气动热力学，生物运动力学
2020年中科院811量子力学考研真题解析讲义
(3) 用升降算符和基态波函数描述第一激发态；
（4）对于三维谐振子，第一激发态三重简并，此时受微扰 H bxˆyˆ ，微扰矩阵可写成
H
b 2m 2
0 1 0
1 0 0
0 0 ，写出能级分裂. 0
中国科学院大学
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．考虑一维束缚态，
（1）证明 (x, t) (x, t) 不随时间变化，此时的 不必是定态；
（球谐函数： Y00
1, 4
Y10
3 4
cos
,
Y11
3 sin ei 8
）
1
(1) 求粒子的总角动量；
(2) 求角动量 Lˆz 的期望值及测得 Lz 的概率；
(3) 求发现粒子在 ( ,) 方向上 d 立体角内的概率.
四 ． (1) 一 个 电 子 在
H aˆ1z bˆ2z c0ˆ1 ˆ2 ，其中 a, b, c0 为常数，ˆi 为泡利算符，前两项为粒子处于磁场
中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能，求系统能级.
五．考虑一维谐振子的哈密顿量为 Hˆ pˆ 2 1 k xˆ2 ： 2m 2
（1）用不确定关系计算体系能量下限；
20 同样插入完备性公式：
eipˆ / x eipˆ / p dp p x
1 2
ei( x) p /
(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
ˆ和J ˆ 间夹角的可能值，并画出 L ˆ和S ˆ, S ˆ 的矢量模型图。 (3) 确定（2）中 L 五、求在一维常虚势场 iV (V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚 势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示） 。
试题名称：1990 量子力学（实验型） 第1页 共1页
试题名称：1992 量子力学（理论型）
第1页
共1页
6
中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
中国科学技术大学量子力学考研内部讲义二(07-12)
第三部分 表象1. 波函数的归一化粒子存在于整个空间内，故粒子在整个空间内出现的几率和等于1，为了满足这个要求，我们需要将波函数归一化，即2(,,)1C x y z d ψτ∞=⎰。
但是并不是所有的波函数都可以按照这个式子的要求进行归一化的，因为上述归一化过程要求2(,,)x y z d ψτ∞⎰必须是有限的，这样的话如果这一要求得不满足，即2(,,)x y z d ψτ∞⎰是发散的，这样求得的归一化系数就是零，显然没有意义。
这样的粒子是有的，如自由粒子的波函数（平面波）()(,)ip r Et p r t Aeψ⋅-=。
我们假设粒子在一维方向的运动，/()ipx p x Ce ϕ=，此时p 可以取(,)-∞+∞中连续变化的一切实数值，所以只要0C ≠，则22()p x dx Cdx ϕ+∞+∞-∞-∞==∞⎰⎰。
所以为了处理这一连续谱本征函数的“归一化”问题，我们引用Dirac 的δ函数定义为0000, (), x x x x x x δ≠⎧-=⎨∞=⎩0000()() 1 (0)x x x x dx x x dx εεδδε++∞--∞-=-=>⎰⎰δ函数还可以表示成0()01()2ik x x x x dke δπ+∞--∞-=⎰所以若取/()ipx p x ϕ=，则(')/'(,)(')i p p x p p dxe p p ϕϕδ+∞--∞==-⎰动量算符的本征函数为就是/()ipx p x ϕ=，故其“归一化”也满足上式！同样的道理，坐标算符的本征态也是不能归一化的，也可以类似处理，利用δ函数的性质()0x x δ=有(')(')0x x x x δ--=即 (')'(')x x x x x x δδ-=-所以(')x x δ-正是坐标算符的本征态，本征值为'x ，记为'()(')x x x x ϕδ=-再利用δ函数的性质，有'''()(')('')(''')x x x x x x dx x x ϕϕδδδ=--=-⎰。
中科院2015考研量子力学(811)真题.pdf
中国科学院研究生院2015年招收硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学（811）考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计为180分钟。
所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、一个质量为µ的粒子在一个一维的盒匣()0x L <<里自由运动，波函数()x ψ满足条件()()()()0'0'L L ψψψψ==，1）求系统的能级2）将第一激发态写成归一化动量本征态的组合形式，并给出当p <>为0时，组合系数满足的条件二、一个三维简谐振子受到微扰()22'H xyz x y y x λ=++的作用，试用微扰论求系统的基态能量，并精确到2λ量级。
三、两个粒子的自旋分别为12,s s ，相对取向为n ，设两个粒子的相互作用为()()1212=3H s n s n s s ××-×，记12s s s =+，证明：1）2212s 3=24s s ×-ℏ，()()()22121=24s n s n s n ×××-ℏ2）[]0H s =，四、一个质量为µ的粒子在势场(){ 0 0x V x Bx x ¥£=>中运动1)用变分法求基态的能量可以选取下列的哪个作为近似波函数，并说明理由a)/x a e -，b)/x a xe -，c)/1x a e --()a 为变分参数2)用所选的近似波函数求基态能量。
五、一个二能级系统，哈密顿量为：()()01020=0E H E éùêúêúëû()()()0012E E <当0t =，系统处于基态，当0t >时，开始受到的微扰0'=0H λλéùêúêúëû1）求0t >时，系统跃迁到激发态的概率()02()E P t （精确值）2）用含时微扰论重求上题的概率，与精确值对比，指出结果成立的条件。
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1. 求体系能级
2. 将第一激发态归一化波函数表示为动量本征态的线性组合，并求动量平均值为 0 时组合系数满
足的条件.（个人感觉这个问题表述不合理，存有疑问，我的理解是：把第一激发态的二重简并线
性组合，怎样组合才能使动量平均值为 0）
解析：1.薛定谔方程：
k 2 0，k
2mE
由于
pˆ n
i L
d dx
ei 2nx / L
2n LL
ei 2nx / L
2n L
n
，所以n 也是
pˆ
的本征态，
本征值为
pn
2n L
1
p
c1
2
2 L
c2
2
2 L
要使 p 0 ，则
c1 c2
1. 2
二 ． 粒 子 在 球 对 称 谐 振 子 势 阱 V (r) 1 2 (x2 y2 z 2 ) 中 运 动 ， 受 到 微 扰 作 用 2
/ 2 )3
n (1,0,0) n (1,2,0)
E (2) 0
n1 ,n2 ,n3
H
0
m
2
E (0) 0
E (0) m
2 H 0,100 2
E (0) 0
E (0) 1
2 H 0,120 2
E (0) 0
E (0) 3
H 0,111 2
E (0) 0
中国科学院大学
2015 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试参考答案
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．一质量为 的粒子限制在长度为 L 的一维匣子 (0 x L) 中自由运动，在 x 0 与 x L 处其 定态波函数满足条件 (0) (L) ， (0) (L) .
H (xyz x2 y xy2 ) ， 为常数，求准确到二级微扰修正的基态能量。
（提示：粒子数表象下， nx xˆ nx
2
(
nx 1 nx ,nx 1
nx ) nx ,nx 1 ）.
解析：设 H 0 能量本征态用 n n1, n2 , n3 n1 n2 n3 表示，即表示为 xyz 三个方向的独立谐振
E (0) 3
2[
2( /
2
)3
4( /
2)3 ( 3
/
2)3
]
11()2 24 3 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
三．两个自旋为 1/2 的粒子组成的体系， Sˆ1和Sˆ2 分别表示两个粒子的自旋算符， Sˆ 为两个粒子的总
自 旋 算 符 ， nˆ 表 示 两 个 粒 子 相 对 运 动 方 向 的 单 位 矢 量 。 设 系 统 的 相 互 作 用 哈 密 顿 量 为
Hˆ 3(Sˆ1 nˆ)(Sˆ2 nˆ) Sˆ1 Sˆ2
1. 证明
（a）
Sˆ1
Sˆ2
1 2
Sˆ 2
3 4
2
（b）
(Sˆ1
nˆ)(Sˆ2
nˆ)
1 2
(Sˆ
nˆ)2
1 4
2
2. 证明[Hˆ , Sˆ 2 ] 0
解析：
1. 证明：
（a） Sˆ Sˆ1 Sˆ2 ，对两边平方得：
nx (nx 1) nx ,nx 2 )
2
0 xˆ nx
2
n x 0,nx 1
2
0
nx 1 nx 1
0 xˆ 2 nx
2
[(2nx
1) 0,nx
2
nx (nx
1) 0,nx 2 ]
2
(
nx 1 nx ,nx 1
n ) 及 x nx ,nx 1 nx nx nx ,nx 可得：
xˆ nx
2 (
nx 1 nx 1
nx nx 1
xˆ 2 nx
2
(
nx 1xˆ nx 1
nx xˆ nx 1
2
[
nx 1(
0
n (n1, n2 , n3 ) (1,1,1) 其他
( / 2 )3
000 x2 y n1, n2 , n3
2(
/ 2 )3
n (0,1,0) n (2,1,0)
( / 2 )3
000 xy2 n1, n2 , n3
2(
2
0
nx 0
nx 2 其他
H0m 0 H m ( 000 xyz n1, n2 , n3 000 x2 y n1, n2 , n3 000 xy2 n1, n2 , n3 )
( / 2 )3
000 xyz n1, n2 , n3
子直积态
能级
E (0) n
(n1
n2
n3
3 ) 2
(n
3 ) 2
基态能量一阶修正：
E (1) 0
0 H 0
( 000 xyz 000
000 x2 y 000
000 xy2
000 ) 0
二阶修正首先计算微扰矩阵元 H 0m ：
首先，由 nx xˆ nx
2
方程有特解：
eikx
边界条件
1 eikL ， ik ikeikL ，
kL
2n，kn
2n L
其中 n 0,1,2,3，...
则此时能级为
En
2 2m
kn2
22 2mL2
(2n)2
归一化波函数 n
1 ei2nx / L L
1. 第一激发态二重简并， n 1 ，设 1 c11 c21 ，
nx 2 nx 2
nx 1 nx )
nx (
nx nx
nx 1 nx 2 )]
2
[
(nx 1)(nx 2) nx 2 (2nx 1) nx )
nx (nx 1) nx 2 ]
nx xˆ 2 nx
2
(
(nx 1)(nx 2) nx ,nx 2 (2nx 1) nx ,nx
Sˆ 2
(Sˆ1
Sˆ2 )2
Sˆ12
Sˆ2 2
2Sˆ1
Sˆ2
3 2
2
2Sˆ1
Sˆ2
从而
Sˆ1
Sˆ2
1 2
Sˆ 2
3 4
2
（b）
(Sˆ nˆ)2 (Sˆ1 nˆ Sˆ2 nˆ)2 (Sˆ1 nˆ)2 (Sˆ2 nˆ)2 2(Sˆ1 nˆ)(Sˆ2 nˆ)