线性递推数列的特征方程

具有形如

21n n n

x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做

线性递推数列

将①式两边同时加上1n yx +-，即：

2111

n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+-

整理得：

211()()n n n n b

x yx a y x x y a +++-=--

-

令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足

b

y y a =

-

即满足：2y ay b =+

②

设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则：

1n n n

Y x rx +=- ③ 1n n n

Z x sx +=- ④

分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得：

1

21()()n n Y x rx a r -=-- 1

21()()n n Z x sx a s -=--

且由③、④可得：

()n n n

Y Z s r x -=-

又由韦达定理可得：

r s a +=

rs b =-

于是有：

11

212111

2121

11

21221212

2121()()()() () () n n n n n n n n n n n

n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r

s b s b r r r C s ------------==

----=-------=-+---++++-=

= ⑤

由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、

二项和方程2y ay b =+的两根有关。也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2

y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程2

y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为

线性递推数列的特征方程。

例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足：

121

x x ==且

21 (1,)

n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。

解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：2

1x x =+

解之得：

12

r =

，

12

s =

故可设数列的通项公式为

121122n

n

n x C C ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

又1121x C C =+=⎝⎭⎝⎭

，2

2

21211122x C C ⎛⎫⎛⎫

=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

解得：

1C =

2C =.故所求通项公式为：

n n

n x ⎤⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

.