线性递推数列的特征方程
人教A版高中数学必修五 特征方程法求解递推关系中的数列通项
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;xb a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征根法
(45) 特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
数列递推关系
数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。
数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。
线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。
比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。
非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。
线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。
这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。
非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。
比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。
这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。
比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。
在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。
在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。
总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。
数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
数列特征根和不动点法解题原理
数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。
- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。
数列递推公式的特征方程
数列递推公式的特征方程数列递推公式的特征方程，这个听上去就有点高大上的东西，实际上是数学中的一块“蛋糕”。
咱们平时生活中，也许没太注意，但它就像是你身边那块潜力巨大的蛋糕，稍微用心一挖，就能挖出不少甜蜜来。
嘿，想想啊，数列不就是一个个数字排成的队伍吗？有时候它们像是跟随在老师后面的小学生，个个都得听话；有时候又像是在比赛的运动员，拼命想超越前面的选手，特别刺激。
咱们先从简单的数列说起。
比如斐波那契数列，那可是数学界的明星。
你看看，前两个数加起来就能得到第三个数，简直是合作无间。
数列的每一步都是在遵循某种规则，就像是舞蹈的每一个动作，得配合得当，才能跳得美丽。
可要是跳错了，那可真是“丢人现眼”了。
数列的递推公式就是帮助我们找到这些规则的钥匙，它帮我们搞清楚，下一步应该怎么走。
说到特征方程，别急，听我慢慢来。
它就像是你在玩拼图，拼出一个完整的画面。
你需要先找到每一块的形状和位置，才能把它们完美组合。
特征方程就是这种形状的指引，让你知道如何去把数列的每一个部分都组合起来。
用点数学术语来说，就是把数列的递推关系转化成一个多项式，之后再寻找它的根，这样一来，数列的行为就一目了然了，真是个“聪明”的方法。
特征方程也不是随便就能搞定的。
就像你想要吃到那块蛋糕，首先得知道它在哪。
首先要搞清楚方程的形式，得把数列的递推关系整理成标准的形式，这可是一门“艺术”。
有些方程可能比较简单，像是1、2、3，直接就能找出规律；而有些方程可就复杂了，像是“九九乘法表”那样，得花些功夫才行。
不过，没关系，努力总是会有回报的，对吧？再说了，解特征方程就像是解谜游戏，找出根的过程充满了惊喜和挑战。
每当你找到一个根，心里那种成就感，简直就像是找到藏在沙发缝里的硬币，嘿嘿，那种感觉太妙了！找到所有根之后，咱们就可以写出数列的通项公式了，简直像是打开了宝藏的门，里面全是金灿灿的数字和规律，闪闪发光。
不过呀，有些数列的特征方程可能还涉及到复数，听起来有点吓人，其实也没啥大不了的。
利用特征方程巧解分式递推数列问题
x2 + 3 2 ， 即 x + 2x － 3 = 0， 得 x1 = － 3 ， 2（ x + 1）
x2 = 1 ．
∴
{
an +1 + 3 = an +1 － 1 =
a2 （ a n + 3） 2 n + 3 +3 = ， 2（ an + 1） 2（ an + 1） a2 （ a n － 1） 2 n + 3 －1 = ． 2（ an + 1） 2（ an + 1） a +3 (a － 1)
第5 期
高中数学教与学
利用特征方程巧解分式递推数列问题
方志平
（ 广东省惠州市第一中学， 516007 ）
采用数学归纳法可以解分式递推数列问 然而解法过于繁琐 ， 而且在猜想通项公式 题， 时也易出错 ． 本文提出一种易于掌握的解法 — — — 特征方程法 （ 又称不动点法 ） ． 命题 一、 分式线性递推数列 如果数列 ｛ a n ｝ 满足下列条件 ： 已
由于特征方程 x =
∴ 实根 x1 = x2 = 2 ，
{ a 1－ 2 }是等差数列．
n
二、 分式非线性递推数列 分式非线性递推式 关系 a n +1 = aa + b 2 aa n + c
2 n
x2 是由递推 若 x1 ，
2 （ a， b， c 均不为 0 ， 且c +
4 ab ＞ 0 ） 所作的特征方程 x = 不相等的 实 根 ， 则 数 列 lg
2 t = 即 rt + st = pt + q，
px + q 2 ， 即 rx + （ s － p） x － q = 0 ． rx + s
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理特征根法是解线性递推方程的一种重要方法，可以用于求数列通项。
在本文中，我将详细介绍特征根法的原理，并展示如何利用此方法求解数列的通项。
一、特征根法的基本原理特征根法基于以下核心思想：解线性递推方程，一般需要首先找到数列的通解，然后根据已知初始条件来确定特定的通解。
特征根法通过构造特征方程，寻找数列的特征根，进而求解通解的方法。
设数列的通项表示为：an = c1 * λ1^n + c2 * λ2^n + ... + ck * λk^n其中，c1, c2, ..., ck是待定系数，λ1, λ2, ..., λk是数列的特征根。
现在，让我们来详细讨论特征根法的求解步骤。
二、求解步骤1.根据已知的递推关系式，得到数列的特征方程。
对于一般的线性递推方程，形如：an = a1 * an-1 + a2 * an-2 + ... + ak * an-k其特征方程可表示为：x^k - a1 * x^(k-1) - a2 * x^(k-2) - ... - ak = 02.求解特征方程的根。
通过求解特征方程的根来得到数列的特征根。
这里需要用到一些代数求根的方法，比如因式分解、配方法等。
3. 根据特征根，构造数列的通解。
特征根λ1, λ2, ..., λk 对应的解分别为c1 * λ1^n, c2 * λ2^n, ..., ck * λk^n。
由于特征根可能为复数，所以通解可能包含实部和虚部。
4. 利用已知的初始条件，确定数列的具体通解。
根据已知的初始条件（比如前几项的值），代入数列的通解方程，并解出待定系数 c1,c2, ..., ck。
这样，我们就得到了数列的特定通解。
三、一个具体的求解例子为了更好地理解特征根法的求解步骤，我们来看一个具体的例子。
假设数列的递推关系为：an = 2 * an-1 - 3 * an-2，其中a0 = 2, a1 = 5步骤1：得到特征方程。
特征方程为：x^2-2x+3=0。
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具有形如
21n n n
x ax bx ++=+ ①的递推公式的数列{}n x 叫做
线性递推数列
将①式两边同时加上1n yx +-，即：
2111
n n n n n x yx ax bx yx ++++-=+-
整理得：
211()()n n n n b
x yx a y x x y a +++-=--
-
令1n n n F x yx +=-为等比数列，则其公比q a y =-且满足
b
y y a =
-
即满足：2y ay b =+
②
设②式具有两个不相等的实数根r ，s ，则：
1n n n
Y x rx +=- ③ 1n n n
Z x sx +=- ④
分别是公比为a r -，a s -的等比数列，并得：
1
21()()n n Y x rx a r -=-- 1
21()()n n Z x sx a s -=--
且由③、④可得：
()n n n
Y Z s r x -=-
又由韦达定理可得：
r s a +=
rs b =-
于是有：
11
212111
2121
11
21221212
2121()()()() () () n n n n n n n n n n n
n n Y Z x rx a r x sx a s x s r s r x rx x x rx x sx s r s b r b C sx a r a s s r s r x rx x sx s r
s b s b r r r C s ------------==
----=-------=-+---++++-=
= ⑤
由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、
二项和方程2y ay b =+的两根有关。
也就是说，只需知道1x ，2x 和方程2
y ay b =+的两根r ，s ，即可得出线性递推数列的通项公式。
可见方程2
y ay b =+包含了线性递推数列的重要信息，故将之称为
线性递推数列的特征方程。
例：（斐波拉契数列）已知数列{}n x 满足：
121
x x ==且
21 (1,)
n n n x x x n n N +++=+≥∈.求数列{}n x 的通项公式。
解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：2
1x x =+
解之得：
12
r =
，
12
s =
故可设数列的通项公式为
121122n
n
n x C C ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
又1121x C C =+=⎝⎭⎝⎭
，2
2
21211122x C C ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：
1C =
2C =.故所求通项公式为：
n n
n x ⎤⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.。