非线性递推数列
诱导公式知识点总结笔记
诱导公式知识点总结笔记一、数列与递推关系数列是指一系列按照特定顺序排列的数，这些数之间具有一定的关系。
通常表示为 {an}，其中n为序号。
数列的递推关系即指每一项与前一项之间的数学关系式，通常用来定义数列中各项的取值方式。
递推关系可以用来表示数列的通项公式，即该数列中每一项的一般形式。
数列的递推关系可以通过诱导公式来表示。
在数列 {an} 中，如果对每一个自然数n都有一个确定的数与之对应，则该数列 {an} 称为定义域中的递推数列。
递推数列的一般形式可以通过递推关系来定义。
例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列，其递推关系为：a1 = 1a2 = 1an = an-1 + an-2, (n ≥ 3)这个递推关系定义了斐波那契数列中每一项的取值方式，通过这个递推关系我们可以求得斐波那契数列中任意一项的值。
二、诱导公式基本概念诱导公式（或称递推公式）是数列中每一项与前一项之间的关系式。
它可以把数列中的一般项用之前的项表达出来，从而方便地求解数列中的任意一项。
诱导公式一般可以分为线性递推公式和非线性递推公式两类：1. 线性递推公式：数列中每一项与前一项之间的关系是线性的，形式通常为 an = c1*an-1 + c2*an-2 +...+ ck*an-k。
其中c1, c2,..., ck 为常数，k 为递推的步数。
2. 非线性递推公式：数列中每一项与前一项之间的关系是非线性的，其形式比较复杂，通常为 an = f(an-1, an-2, ..., an-k)。
其中f为一个非线性函数。
在应用中，我们通常通过求解递推关系来获得数列的通项公式，从而得到数列中任意一项的值。
通过诱导公式，我们可以方便地计算数列中任意一项的值，简化了数学问题的求解过程。
三、诱导公式的性质诱导公式具有以下几个基本性质：1. 唯一性：对于同一个数列，其递推关系（诱导公式）是唯一的。
也就是说，确定一个数列的递推关系，就能唯一确定该数列。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
数列的递推公式及通项公式
数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。
本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。
一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。
递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。
1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。
其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。
例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。
根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。
1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。
例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。
斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。
根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。
二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。
通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。
2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。
其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。
以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。
2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。
例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。
数列递推关系
数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。
数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。
线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。
比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。
非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。
线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。
这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。
非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。
比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。
这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。
比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。
在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。
在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。
总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。
它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。
数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。
非线性递推数列
二、非线性递推数列掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为低阶线性递推数列；主要方法：变形换元、不动点法、数归法、母函数法等） 2.1 分式递推数列：b aa dca a n n n ++=+1 ⑴变形换元： 若0=d ，则caca b ca b aa a n n n n +=+=+11 令其为ca b cbb n n +=+1 （一阶线性……） ⑵ 不动点法若0,0≠≠cd ， 例1、1,1211=+=+a a a a n n n n ，求n a解：n nn a a 2111+=+即n n n b b 21+=+ 则()121122212121211-=∴-=+-=--+=-n n n n n n a b b 例2、1,924111==+-++a a a a a n n n n ，求n a 解：变形：()49211-+-+=+=++αααn n n n b b b a()()496221-++---=+ααααn n n b b b令0962=+-αα（化为⑴型） 321==αα 则111111-=--=++nn n n n b b b b b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是等差且常…125621221111--=∴-=∴-=-=∴n n a nb n n b b n n n 题中α恰好是x x x =--492的根，即α为()492--=x x x f 的不动点 TH9 P166TH10 P166 ()() dcn ban n f -+=则① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21ααn n u u 是等比……② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p u n 1是等差…… 2.2 其他非线性递推数列恒等变形，换元，迭代，阶差法，周期性，数学归纳法，母函数法，练习题1已知{}()0120,1,111=-+->=--n n n n n n a a a a n a a a ，，求n a 2、已知{}0,1,1>=n n a a a ，()011221=+-+++n n n n a a na a n ，求n a3、已知{}n a 满足：11=a ，{}n a 单调递增，且()21114-+=--n n n n a a a a ，求n a4、已知{}n a 满足：11=a ，411++=+n n n a a a ，求n a 5、已知{}n n n n n n a a a a a a a a 21,21201=-==---，，求n a 例10、{}()33,2,1,211321≥+====--+n a a a a a a a a n n n n n ，求n a解：变形1213--++=n n n n a a a a 2133---+=n n n n a a a a211321-----+-=-⇒n n n n n n n n a a a a a a a a ()()11231-+---+=+⇒n n n n n n a a a a a a即：23111----++=+n n n n n n a a a a a a （为常数列）()4321311==+=+∴-+n a a a a a a n n n113-+-=∴n n n a a a 二阶常线性齐次…… =∴n a （特征根法）例12、()310,10,1312221≥===--n a a a a a n n n解：变形212110---⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n a a a a ，即：11210--==n nn n n a a b b b 迭代()()2221221412141221211101010101010--⋅⋅====∴--n n b b b b n n n()21212112112211101010102222b b a a n n n n n →=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-------111010--==∴n n n a a例11、{}()1211102,25,2,u u u u u u u n n n n --===-+求证：[]()3122nn n u --=解：（猜测后证明）适用于递推关系复杂，不便求n a （或证明n a ）1=n 时，()()312312122222222------+=+=n u 2=n 时，()()3123121333332288------+=+=u1）猜测：()()31231222nn nn n u -----+=（再证：()3122nn --为整数，则()3122nn ---为（0，1）内的纯小数）2）数学归纳法证明，设()()312nn n f --= n=0、1、2显然成立假设n=k 时，结论成立，则n=k+1时 由()12112u u u u k k k --=-+()()()()()()2522221212-++=----k f k f k f k f()()()()[]()()()()25222212121212-+++=-+----+--+k f k f k f k f k f k f k f k f 又()()()()()()⎩⎨⎧-=-+-+=-+k k f k f k f k f k f 112112 则()()()()252222111111-+++=--+-+++kk k f k f k u （()()kk 11221--++ =25） ()()1122+-++=k f k f 猜测成立2）再证()n f 为整数()()()()3221231221 +-+=--=--n n nn n f()n f ∴为整数，()n f -2为（0，1）内的纯小数 ∴对任意自然数n ，[]()3122nn n u --=练习1、,10,121==a a ()()()11211-+---=+n n n a n a n n a n n求51502110a a a a a a ++ 2、 已知110==x x ，n n n n n n x x x x x x x x x 2011110=+++-- ，求n a母函数法将数列n n n n C C C ,,,10 作为多项式函数()n n n nn x C x C C x f ++=10的系数 一般：多项式n n x a x a a +++ 10称为数列n a a 0的母函数（有限、无限均可）而母函数∑∞=0n n n x a （无穷级数）可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项例15、()265,2,12110≥-=-==--n a a a a a n n n 解：（显然特征根法可求n a ）现用母函数法令() ++++=nnn x a x a a x f 10 ① ∴=+---06521n n n a a a 设法求出()x f ，即可求n a寻求()n n n n x a a a 6,51--由() -----=--n n x a x a x a x xf 12105555 ② () +++=-n n x a x a x f x 2202666 ③①+②+③得：()()()()20120102655651x a a a x a a a x f x x +-+-+=+-()x x a a a n n n n 716521-=++-++--()x x x b x a xx x x f 3142153121651712---=-+-=+--=∴ ()()()∑∑∑∞∞∞⋅-⋅=-=034253425n n n nnx x x n n n a 3425⋅-⋅=∴。
数列中的递推关系与递推式——数列知识要点
数列中的递推关系与递推式——数列知识要点数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列的研究对于数学的发展和应用有着重要的作用。
而数列中的递推关系和递推式是数列研究中的核心内容，通过它们可以描述数列中数值之间的关系，并找到数列中的规律。
一、数列的定义和基本性质数列是按照一定顺序排列的一系列数值。
通常用字母表示数列的一般项，例如an 表示数列的第 n 项。
数列可以有无穷多项，也可以有有限项。
数列中的每一项都有其特定的位置，称为项数。
数列中的递推关系和递推式描述了数列中每一项与前一项之间的关系。
二、递推关系递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系。
通过递推关系，我们可以通过已知的前一项或前几项计算出下一项的值。
递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系可以用线性方程表示的情况。
一般形式为 an = an-1 + d，其中 d 为常数。
这种线性递推关系常见于等差数列，即数列中每一项与前一项之间的差值是恒定的。
例如，等差数列 1, 3, 5, 7, ... 中，每一项与前一项的差值都为 2。
2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系无法用线性方程表示的情况。
这种递推关系常见于等比数列和斐波那契数列等。
例如，等比数列 2, 4, 8, 16, ... 中，每一项与前一项的比值都为 2。
三、递推式递推式是通过递推关系得到的数列的通项公式。
递推式可以用来直接计算数列中任意一项的值，而无需通过前一项或前几项进行计算。
递推式的推导可以通过观察数列中的规律或利用数学方法得到。
1. 线性递推式线性递推式是指递推关系可以用线性方程表示的情况。
对于线性递推关系 an = an-1 + d，递推式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的首项，d 表示数列的公差。
这种递推式常见于等差数列。
非线性递推关系举例
n
定义：若 t n S(n,k)[t]k , k0
则系数S(n,k)称为第二类Stirling数。
这与前面的第二类Stirling数的定义是等价的。
注意到： [t]k1 [t]k (t k),
n
n
t n1 t S(n,k)[t]k S(n,k)([t]k1 k[t]k )
k0
k0
若设n个元素的错排数为Dn，则第一种途径得到的 错排数为(n-1)Dn-2；第二种途径的错排数为(n-1)Dn-1。 因此我们可以得到递推关系：
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)， D1=0, D2=1。
问题在于这两种途径是否无重复、无遗漏的给出了 所有n个元素的错排？ 答案是肯定的。
首先说明无重复：
例如考虑把红、黄、蓝、白、绿五个球放到无区别 的两个盒子里。
根据递推关系：S(5,2)=2S(4,2)+S(4,1)=2×7+1=15。 这15种方案可分为2类，如下表所示：
第 1 盒子
rg yg bg wg ryg rbg rwg
g 不独占一盒
第 2 盒子 第 1 盒子
ybw
r
rbw
y
ryw
b
ryb
这些错排中，第一列的可以看成是4与1，2，3互换 位置，剩下的两个数字错排。
第二列可以看成是4与3 1 2中每一个互换位置得到。 注意3 1 2是1 2 3的一个错排。
第三列则是4与2 3 1(1 2 3的另一个错排)中的每一个 互换位置得到。
似乎可以看出得到n个元素错排有两种途径： (1) n与某个元素互换，剩下的n-2个元素错排； (2) 前n-1个元素错排，然后对每一个错排，n与某个 元素互换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、非线性递推数列 目的要求：掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为：一阶线性、恒等变形、 不动点法、数归法、母函数法等） 重点：（难点）根据其特点采用相应方法求n a 1、分式递推数列：b
aa d
ca a n n n ++=+1
⑴ 若0=d ，则
c
a
ca b ca b aa a n n n n +=+=
+1
1 令其为c
a
b c b b n n +=+1 （一阶线性……）
⑵ 若0,0≠≠c d ，用不动点法（P166 TH10） 例1、1,1
211=+=
+a a a a n n
n n ，求n a
解：n n
n a a 21
11
+=
+即n n n b b 21+=+ 则()
1
21
122212
12121
1-=
∴-=+-=--+
=-n n n n n n a b b 例2、1,924111==+-++a a a a a n n n n ，求n a 解：变形：()4
9
211-+-+=
+=++αααn n n n b b b a
()()
4
9
6221
-++---=
+ααααn n n b b b 令0962=+-αα（化为⑴型） 321==αα 则11
11
1
1-=
--
=++n
n n n n b b b b b ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1是等差且常…
1
25
6212
2
1111--=
∴-=
∴-=-=∴
n n a n
b n n b b n n n 题中α恰好是x x x =--492的根，即α为()4
9
2--=x x x f 的不动点 TH9 P166
TH10 P166 ()() d
cn b
an n f -+=
则① ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧--21ααn n u u 是等比……
② ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-p u n 1是等差……
2、其他非线性递推数列
恒等变形后 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧母函数法数归迭代分式线性等差（等比）
（书上例10、11、12）
例10、{}()33,2,1,2
1
1321≥+=
===--+n a a a a a a a a n n n n n ，求n a
解：变形1213--++=n n n n a a a a （21,-+n n a a 非连续二项） 2133---+=n n n n a a a a
211321-----+-=-⇒n n n n n n n n a a a a a a a a ()()11231-+---+=+⇒n n n n n n a a a a a a 即：
2
3
111----++=
+n n n n n n a a a a a a （为常数列） ()43
2
1
311==+=+∴-+n a a a a a a n n n
113-+-=∴n n n a a a 二阶常线性齐次…… =∴n a （特征根法）
例12、()310,10,13
1
2221≥===--n a a a a a n n n
解：变形212
110---⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n n n a a a a ，即：1
12
10--==n n
n n n a a b b b 迭代()()2
2
2
1
221
4
12
14
122
12
1
1101010101010--⋅⋅====∴--n n b b b b n n n
()212
1
2
1121
122
1110
1010
10
2
2
2
2
b b a a n n n n n →=⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=--
-
----
111010--==∴n n n a a 例11、{}()
1211102,2
5,2,u u u u u u u n n n n --===-+ 求证：[]()3
122
n
n n u --=
解：（猜测后证明）适用于递推关系复杂，不便求n a （或证明n a ）
1=n 时，()()3
12312122
2
22
222---
---+=+=n u 2=n 时，()()3
123
12133
33
32
2
88---
---+=+=u
1）猜测：()()3
123
122
2n
n n
n n u ---
--+=
（再证：()3
122
n
n --为整数，则()3
122
n
n ---
为（0，1）内的纯小数）
2）数学归纳法证明，设()()3
12n
n n f --= n=0、1、2显然成立
假设n=k 时，结论成立，则n=k+1时
由()
12
112u u u u k k k --=-+
()()()()()()2
5
22221212-
++=----k f k f k f k f ()()()()[]()()()()2
5222212121212-
+++=-+----+--+k f k f k f k f k f k f k f k f 又()()()()()()⎩⎨⎧-=-+-+=-+k k f k f k f k f k f 112112 则()()()()2
5
2222111111
-
+++=--+-+++k
k k f k f k u （()()k k 11221--++ 为记k 取 ()()1122+-++=k f k f 奇、偶数，恒为2
5
）
猜测成立
2）再证()n f 为整数
()()()()
3
221231221 +-+=
--=--n n n
n n f ()n f ∴为整数，()n f -2为（0，1）内的纯小数 ∴对任意自然数n ，[]()3
122n
n n u --=
例15、母函数法
将数列n n n n C C C ,,,10 当多项式函数()n
n n n n x C x C C x f ++=10
联系是研究组合数性质的有效方法之一
一般：多项式n n x a x a a +++ 10称为数列n a a 0的母函数（有限、无限均可） 而母函数∑∞
=0n n n x a 可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项
例15、()265,2,12110≥-=-==--n a a a a a n n n 解：（显然特征根法可求n a ）现用母函数法
令() ++++=n n n x a x a a x f 10 ①
∴=+---06521n n n a a a 设法求出()x f ，即可求n a
寻求()n n n n x a a a 6,51--
由() -----=--n n x a x a x a x xf 12105555 ② () +++=-n n x a x a x f x 2202666 ③
①+②+③得：()
()()()20120102655651x a a a x a a a x f x x +-+-+=+- ()x x a a a n n n n 716521-=++-++-- ()x
x x b x a x x x x f 314
2153121651712---=-+-=+--=
∴
()()()
∑∑∑∞∞∞⋅-⋅=-=0
34253425n n n n
n
x x x n n n a 3425⋅-⋅=∴。