排队论
排队论实验报告
《排队现象的建模、解析与模拟》
课程设计
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题目描述：排队系统的稳定性与什么有关？与系统的一步概率转移矩阵有什么关系？收敛速度快慢与什么有关？
解答过程：
（1）初始设定：
设初始状态X=(P1 P2 P3 … Pn),一步状态概率转移矩阵为P ，最终系统趋于稳定的状态为Y=(Y1 Y2 Y3 … Yn)，可知X 和Y 是一个固定不变的行向量，且P1+P2+P3+…+Pn=1，Y1+Y2+Y3+…+Yn=1。
（2）描述模型：
对排队系统最终趋于稳定的描述为：Y=X*P n
，n>N(N 是一个足够大的数)。
（3）提出假想：
由（2）中对于系统最终趋于稳定状态的描述，因为X 和Y 都是固定的向量，所以，若系统趋于稳定，则P n
收敛。假设P 最终收敛为
P σ=(a1 a2 ?an ???x1x2?xn
) ，
由概率转移矩阵的性质可知各行概率之和为1，即a1+a2+…+an=1。
因为Y* P σ= (Y1 Y2 Y3 … Yn)* (a1 a2 ?an
???x1x2?xn
)=Y=(Y1 Y2
Y3 … Yn)，故提出猜测：概率转移矩阵收敛后各列的元素值相等。
(4)MATLAB 验证猜想： ①
当n ≥73时收敛：
②
当n≥38时收敛
③
当n≥11时收敛
④
当n≥3时收敛
⑤
P本身就是收敛后的结果
(5)结论：
经过一系列验证，得出系统的稳定性只与一步转移概率矩阵P 有关，若P 收敛，则系统趋于稳定，反之系统不稳定。并且P 收敛后行和为1，每列元素值相同。
因为Y* P σ= (Y1 Y2 Y3 …… Yn)* (a1 a2 ?an
???a1a2?an
)
=((Y1+Y2+Y3+…Yn)*a1 (Y1+Y2+Y3+…Yn)*a2 … (Y1+Y2+Y3+…Yn)*an)
=(a1 a2 … an)
所以最终的概率分布的结果是矩阵收敛后的一行。
收敛速度快慢与一步概率转移矩阵每列元素值的分布有关，若每列元素值分布比较均匀，则收敛速度较快，反之收敛速度较慢。每列元素值相等的矩阵，本身就是收敛后的结果。单位阵是一个特例，它每列元素值不相等，但是单位阵收敛。与单位阵类似的一类矩阵，即
每列有且仅有一个1出现的矩阵，这类矩阵不会收敛。
排队论模型
排队论模型 随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。 排队论模型及其在医院管理中的作用 每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。 一、医院系统的排队过程模型 医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。 图1 医院系统的多级排队过程模型 二、排队系统的组成和特征 一般的排队系统都有三个基本组成部分： 1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。 2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。 3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
泊松过程及其在排队论中的应用
泊松过程及其在排队论中的应用 摘要：叙述了泊松过程的基本定义和概念，并列举了泊松过程的其他等价定义和证明并分析了泊松过程在排队论中的应用，讨论了完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布。 关键词：泊松过程；齐次泊松过程；排队论 1. 前言 泊松分布是概率论中最重要的分布之一，在历史上泊松分布是由法国数学家泊松引人的。近数十年来，泊松分布日益显现了其重要性而将泊松随机变量的概念加以推广就得到了泊松过程的概念。泊松过程是被研究得最早和最简单的一类点过程，他在点过程的理论和应用中占有重要的地位。泊松过程在现实生活的许多应用中是一个相当适合的模型，它在物理学、天文学、生物学、医学、通讯技术、交通运输和管理科学等领域都有成功运用的例子。 2. 泊松过程的概念 定义3.2 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0t >λ的泊松分布，即对任意是s, t ≥ 0，有 ! )(})()({n t e n s X s t X P n t λλ-==-+， ,1,0=n 则称计数过程{ X(t)，t ≥ 0}为具有参数0>λ的泊松过程。 注意，从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([，由于， t t X E )]([= λ表示单位时间内事件A 发生的平均个数，故称λ为此过程的速率或强度。 从定义3.2中，我们看到，为了判断一个计数过程是泊松过程，必须证明它满足条件(1)、(2)及(3)。条件(1)只是说明事件A 的计数是从t = 0时开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去验证。然而条件(3)的检验是非常困难的。为此，我们给出泊松过程的另一个定义。 定义3.3 ：设计数过程{ X(t)，t ≥ 0}满足下列条件： (1) X(0) = 0; (2) X(t)是独立平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式： o(h). 2} X(t)-h)P{X(t o(h),h 1} X(t)-h)P{X(t =≥++==+λ
排队论模型
排队论模型 排队论也称随机服务系统理论。它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。现实世界中排队的现象比比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征： 有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。 有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。 由顾客和服务员就组成服务系统。 顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。 排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。 一、排队论的一些基本概念 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的影响。 排队规则 即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是服务台被占用时，顾客便排队等候服务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论先到先服务的系统。 服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，且我们总是假定服务时间的分布是平稳的。若以ξ 表示服务员为 n }，n=1，2，…第n个顾客提供服务所需的时间，则服务时间所构成的序列{ξ n 所服从的概率分布表达了排队系统的服务机制，一般假定，相继的服务时间ξ ， 1ξ2，……是独立同分布的，并且任意两个顾客到来的时间间隔序列{T n}也是独立的。 如果按服务系统的以上三个特征的各种可能情形来对服务系统进行分类，那么分类就太多了。因此，现在已被广泛采用的是按顾客相继到达时间间隔的分布、服务时间的分布和服务台的个数进行分类。 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统的结构是否合理，设计改进措施等。所以，必须确
排队论
排队论大作业 学院名称：信息工程与自动化学院专业班级：通信092 姓名：罗鹏飞 学号：200910404214
论排队论在信息系统中的应用 ——论排队论在医疗排队系统中应用 罗鹏飞200910404214 在我国，医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象，它每天以这样或者是那样的形式出现在我们面前，患者对于一般常见病、多发病通常选择在门诊就诊，往往需要排队等待接受某种服务。门诊业务流程具有一下特点：病人流量大、随机性强、患者经历门诊环节多，反复排队等待，形成综合性大医院“”三长一短”的现象。“三长一短”的核心是服务时间及排队的问题。经过调查研究发现，不同于基于经验的管理方法，排队论能较为科学、量化地分析医院的排队系统，并提出合理的整改意见。而中国正处于医院应用阶段的排队论系统，大多都是凭经验建立的单一的门诊、体检、取药、检验、住院、结算等各环节的独立系统。这时就需要一个能够辅助患者贯穿整个就诊流程的全程排队解决方案，以缩短病人就诊时间，提高看病效率。排队论就是对排队现象和拥挤现象进行定量研究的理论。 本研究通过测量案例医院门诊挂号和收费窗口患者到达的规律、服务台的设置以及服务时间的规律等，应用排队论的理论、方法与模型，分析评价门诊挂号、收费窗口服务流程效率等，并对该服务系统提出优化措施，从而得出基本结论及具体措施：医院要通过义务分流来控制客户流，减少客户亲自到医院办理义务的次数，从而达到不排队或少排队的目的。 关键词：等待时间；服务强度；排队模型；概率分布 正文： 一个特定的模型可能会有多种假设，同时也需要通过多种数量指标来加以描述。由于受实际所处情况的影响，我们只需要选择那些起关键作用的指标作为模型求解的对象。尽管我们希望得到关于系统行为的详细信息，但研究中所能给出的一切结果都只能是一个稳态指标。稳态指标并不意味着系统以某种固定的方式有规律地运转，他们所提供的仅仅是这个系统经历长期运转所反映的数学期望值。在
排队论练习题
第9章排队论 9.1 判断下列说法是否正确： （1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、 3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 M/M/1 9.2、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时 间服从负指数分布，平均需6小时，求： （1）理发店空闲时间的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率； （4）在店内顾客平均数； （5）在店内平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待服务时间； （8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。 9.3、某修理店只有一个修理工，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4 人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求： （1）修理店空闲时间的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内顾客平均数； （4）店内等待顾客平均数； （5）顾客在店内平均逗留时间； （6）平均等待修理时间。
排队论
排队论实验报告
《排队现象的建模、解析与模拟》 课程设计 姓名： 学号： 班级：
题目描述：排队系统的稳定性与什么有关？与系统的一步概率转移矩阵有什么关系？收敛速度快慢与什么有关？ 解答过程： （1）初始设定： 设初始状态X=(P1 P2 P3 … Pn),一步状态概率转移矩阵为P ，最终系统趋于稳定的状态为Y=(Y1 Y2 Y3 … Yn)，可知X 和Y 是一个固定不变的行向量，且P1+P2+P3+…+Pn=1，Y1+Y2+Y3+…+Yn=1。 （2）描述模型： 对排队系统最终趋于稳定的描述为：Y=X*P n ，n>N(N 是一个足够大的数)。 （3）提出假想： 由（2）中对于系统最终趋于稳定状态的描述，因为X 和Y 都是固定的向量，所以，若系统趋于稳定，则P n 收敛。假设P 最终收敛为 P σ=(a1 a2 ?an ???x1x2?xn ) ， 由概率转移矩阵的性质可知各行概率之和为1，即a1+a2+…+an=1。 因为Y* P σ= (Y1 Y2 Y3 … Yn)* (a1 a2 ?an ???x1x2?xn )=Y=(Y1 Y2 Y3 … Yn)，故提出猜测：概率转移矩阵收敛后各列的元素值相等。 (4)MATLAB 验证猜想： ① 当n ≥73时收敛：
② 当n≥38时收敛 ③ 当n≥11时收敛
④ 当n≥3时收敛 ⑤ P本身就是收敛后的结果
(5)结论： 经过一系列验证，得出系统的稳定性只与一步转移概率矩阵P 有关，若P 收敛，则系统趋于稳定，反之系统不稳定。并且P 收敛后行和为1，每列元素值相同。 因为Y* P σ= (Y1 Y2 Y3 …… Yn)* (a1 a2 ?an ???a1a2?an ) =((Y1+Y2+Y3+…Yn)*a1 (Y1+Y2+Y3+…Yn)*a2 … (Y1+Y2+Y3+…Yn)*an) =(a1 a2 … an) 所以最终的概率分布的结果是矩阵收敛后的一行。 收敛速度快慢与一步概率转移矩阵每列元素值的分布有关，若每列元素值分布比较均匀，则收敛速度较快，反之收敛速度较慢。每列元素值相等的矩阵，本身就是收敛后的结果。单位阵是一个特例，它每列元素值不相等，但是单位阵收敛。与单位阵类似的一类矩阵，即 每列有且仅有一个1出现的矩阵，这类矩阵不会收敛。
排队论习题及答案
《运筹学》第六章排队论习题 1. 思考题 （1）排队论主要研究的问题是什么； （2）试述排队模型的种类及各部分的特征； （3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义； （4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分 布的主要性质； （6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系 与区别。 2．判断下列说法是否正确 （1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间 服从负指数分布； （2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分 顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布； （3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序， 则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大 量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理； （6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后， 系统将进入稳定状态； （7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响； （8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的 平均等待时间少于允许队长无限的系统； （9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有 关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人 看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。 3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负 指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间； （7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。 4．设有一个医院门诊，只有一个值班医生。病人的到达过程为Poisson 流，平均到达时间间隔为20分钟，诊断时间服从负指数分布，平均需12分钟，求： （1）病人到来不用等待的概率； （2）门诊部内顾客的平均数； （3）病人在门诊部的平均逗留时间； （4）若病人在门诊部内的平均逗留时间超过1小时，则医院方将考虑增加值班医生。问 病人平均到达率为多少时，医院才会增加医生？ 5．某排队系统只有1名服务员，平均每小时有4名顾客到达，到达过程为Poisson 流，，服务时间服从负指数分布，平均需6分钟，由于场地限制，系统内最多不超过3名顾客，求： （1）系统内没有顾客的概率； （2）系统内顾客的平均数；
课程设计 银行排队论分析
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：课程设计 论文题目：银行服务数据的统计分析 姓名：李其然 学号：1111850114 成绩： 任课教师评语： 签名： 年月
【摘要】 排队论是运筹学的一个重要分支，又称随机服务系统理论，是研究由随机因素的影响而产生拥挤现象的科学。它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决服务系统的最优设计与最优控制问题。随着社会文明的发展与进步，排队已成为和我们生活密不可分的话题。去银行、商场等随机性服务机构购物，如在结算时出现长时排队等待现象，是件让人头痛的事情，有时会因此取消购物计划。身为商家，如何在最低成本运营的情况下最大化的为顾客提供优质服务，减少顾客无谓的等待时间，是重多经营者亟待解决的问题。因此，根据排队论的知识来优化银行的排队系统是具有现实意义的。 计算机模拟就是利用计算机对所研究系统的内部结构、功能和行为进行模拟。由于排队论的应用已越来越广泛，排队特征、排队规则和服务机构也变得 越来越复杂，解析方法已无法求解，而计算机模拟是求解排队系统和分析排队 系统性能的一种非常有效的方法，并且计算机模拟具有成本低，运行速度快， 准确度高的优点。将排队论与计算机模拟结合起来，是今后排队论发展的必然趋势。 在银行中客户排队是一个常见的现象，特别是近年来随着客户规模的不断,扩大以及营业厅扩建速度跟不上客户需求增长的矛盾愈显突出。因此，为平稳波动的客户，需求与移动营业厅有限的服务能力之间的矛盾，提升客户满意度，开展缩短客户等待时长，优化营业厅服务的项目刻不容缓。本文基于需求管理的理论，运用现代项目管理工具，针对南京交通银行营业厅进行顾客达到时间（间隔）、服务员完成服务时间等资料的收集和对客户进行问卷调查、访谈的基础上，对数据进行统计分析，包括数据的均值、众数、中位数、方差指标，并做经验分布函数、拟合数据分布、分布参数的估计、分布假设检验，来反映目前交通银行营业厅排队现状。之后，从客户角度出发，分析了造成移动营业厅排队问题的原因，进而从缴费类型和对时间与价格敏感度两个角度对客户的需求进行了分析，总结出适合缩短客户等待时长的项目管理方案。并在此基础上提出基于需求管理的解决移动营业厅排队问题。 【关键词】：统计特征；分布假设；分布检验
排队论1
引言 自从有战争之日起，战争主要由进攻方和防御方两方构成。而在现代战争中，进攻方将可能实施大规模的导弹袭击。面对这种大量导弹来袭，防御方需要拥有强大的防御系统。 防御系统是一个随机服务的系统，对每一枚进攻的导弹进行防御服务，在不考虑战场电子干扰的前提下，雷达将探测所有的进攻导弹数据，对导弹的攻击目标进行预测。本文根据排队论建立多层导弹防御服务模型，研究防御系统的概率规律性，为防御过程提供最优决策依据。 摘要： 基于排队论的基本理论，建立对于实际的导弹防御阵地与被攻击单位的实际问题的处理和解析模型，详细的讨论了多层部署的方法进行防御的实际的可能性和作用。并对实际的导弹防御问题中多层次的设施分配与服务的概率进行了作战假设和模拟并评价实际的作战效能，具有一定的现实的参考性和实用性。 关键词：排队论；服务概率；效能评估；导弹防御系统 排队论 假设： （1）假设目标的进入防御阵地的过程符合排队论的基本理论，即时损失制排队系统，在此假设中我们假设敌方目标为顾客，我方防御阵地为服务台，分别对于顾客进行服务来进行对于模型的简化处理。 （2）我方的防御阵地分为远中近三个不同的层次对于敌方的目标进行拦截，我们可以认为我方的三层的防御阵地的防御范围是不相重叠的，即对于进入区域的目标只指定一个通道（一架防御设施）进行拦截。 （3）服务（防御）的规则是先到先行服务，不考虑被拦截的目标的优先级。如果当前的防御系统都在进行防御行动，则此时的敌方单位不受我方的防御限制进行突破，而在此敌方单位离开防御范围之前有空闲的通道，则系统同样对此目标进行服务。 （4）敌方单位在经过我方防御阵地时，不会对于我方的防御阵型造成冲击，即防御系统将保持良好，可以继续使用，可以继续对后继的敌方单位拦截。防御阵地模型的建立： 防御阵地拦截敌方单位在排队论的角度来看，是顾客接受串联服务台服务的过程，当一级服务台无法满足顾客的需求或者无法对顾客进行服务时，顾客则进入下一级的服务台。并且每一层的拦截能力相同。 数学模型： 防御阵地系统由第一层防御、第二层防御、第三层防御组成，这三层防御雷达探测到信号就进行拦截，假设这三层防御的雷达只对该层服务，即超越该层不进行探测。因此用图表示防御阵地系统如下： 防御系统的拦截服从泊松分布，又因为是串联服务的过程，防御过程表示为：A。期中第一项A表示相继到达时间间隔分布是指数分布，第二项M /M /1/1/
排队论(queuing theory)
排队论 排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 1.定义 排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。 1、排队模型的表示 X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时间的分布； Y—服务时间的分布； M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔兰分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为∞）； B—顾客源数目（默认为∞）； C—服务规则（默认为先到先服务FCFS)。 2、排队系统的衡量指标 队长Ls—系统中的顾客总数； 排队长Lq—队列中的顾客数；
逗留时间Ws—顾客在系统中的停留时间； 等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间； 忙期—服务机构两次空闲的时间间隔； 服务强度ρ； 稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。 3、到达间隔时间与服务时间的分布 泊松分布； 负指数分布； 爱尔兰分布； 统计数据的分布判断。 排队系统的构成及应用前景 排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。 一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列，且这两个序列也相互独立。 评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢？顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标：队长、等待时间、服务台的忙期（简称忙期）都很关心。因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。 2.组成部分 排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。
排队论论文
摘要：本文首先对排队论中的基本建模与相关知识点进行了总结，然后对生活中排队论的运用的例子进行了讲解,接下来对无线通信中排队论的运用进行了相关的说明。最后进行了总结。 关键词：排队论,随机过程，泊松分布 一、排队论中的基本建模与相关知识点 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得服务而又允许排队等待,则加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开系统。 各个顾客由顾客源(总体)出发,到达服务机构(服务台、服务员)前排队等候接受服务,服务完成后离开。 排队结构指队列的数目和排列方式,排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。 排队过程的一般模型 实际的排队系统虽然千差万别,但是它们有以下的共同特征: (１)有请求服务的人或物——顾客; (2)有为顾客服务的人或物,即服务员或服务台； (3)顾客到达系统的时刻是随机的,为每一位顾客提供服务的时间是随机的,因而整个排队系统的状态也是随机的。排队系统的这种随机性造成某个阶段顾客排队较长,而另外一些时候服务员(台)又空闲无事。 排队系统由三个基本部分组成：①输入过程②排队规则③服务机构。 输入过程: 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程。
(１)顾客总体数,又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的,也可以是无限的。 (2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。 (3)顾客流的概率分布,或称相继顾客到达的时间间隔的分布。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流）、爱尔朗分布等若干种。 服务规则： (1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。 (２）等待制。这是指当顾客来到系统时,所有服务台都不空,顾客加入排队行列等待服务。 ①先到先服务。 ②后到先服务。 ③随机服务。 ④优先权服务。 (3)混合制。这是等待制与损失制相结合的一种服务规则,一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。 ①队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务,即系统的等待空间是有限的。 ②等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度Ｔ，当等待时间超过Ｔ时,顾客将自动离去,并不再回来。 ③逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。 不难注意到,损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形,如记ｓ为系统中服务台的个数,则当Ｋ=ｓ时，混合制即成为损失制；当Ｋ=∞时，混合制即成为等待制。 服务台情况: (1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。（2) 服务方式。这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。（3) 服务时间的分布。一般来说,在多数情况下,对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布（所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。 排队系统的描述符号与分类 为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型进行描述或分类,可给出很多排队模型。为了方便对众多模型的描述,肯道尔（D．G．Ｋendall)提出了一种目前在排队论中被广泛采用的“Kendall记号”,完整的表达方式通常用到６个符号并取如下固定格式： Ａ/B/C/D/E/Ｆ 各符号的意义为： A—表示顾客相继到达间隔时间分布,常用下列符号： Ｍ—表示到达过程为泊松过程或负指数分布; D—表示定长输入； Eｋ—表示ｋ阶爱尔朗分布; G—表示一般相互独立的随机分布。 B—表示服务时间分布,所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。
排队论
排队论简介 研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 排队系统模型的基本组成部分 服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。如果服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的，则这个服务系统称为派对系统。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 输入过程 对于排队系统，顾客到达时输入。输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为 其中λ>0为一常数。
排队论例题
几种典型的排队模型 （1）M/M/1/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率n P 01P ρ=-，/1ρλμ=<为服务强度；(1)n n P ρρ=-。 系统运行指标 a.系统中的平均顾客数（队长期望值） .s n i L n P λμλ ∞ == = -∑ ； b.系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） (1).q n i L n P ρλμλ ∞ == -= -∑ ； c.系统中顾客停留时间的期望值 1 []s W E W μλ== -； d.队列中顾客等待时间的期望值 1 q s W W ρμ μλ =- = -。 (2) M/M/1/N/∞/FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率n P 01 1,11N P ρρρ +-= ≠-； 1 1,1n n N P n N ρρρ +-= <- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值） 1 1 (1)11N s N N L ρρρ ρ +++= - -- b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） 0(1)q s L L P =-- c ．系统中顾客停留时间的期望值 0(1) s s L W P μ= - d ．队列中顾客等待时间的期望值 。1 q s W W μ =- (3) M/M/1/∞/m/FCFS （或M/M/1/m/m/FCFS ）单服务台排队模型 系统的稳态概率n P
00 1 ! ( ) ()! m i i P m m i λμ == -∑； 0! ( ),1()!n n m P P n m m n λ μ =≤≤- 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值） 0(1)s L m P μ λ =- - b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） 00() (1)(1)q s L m P L P λμλ +=--=-- c ．系统中顾客停留时间的期望值 01 (1) s m W P μλ = - - d ．队列中顾客等待时间的期望值 1 q s W W μ =- (4) M/M/c/∞/∞/FCFS 单服务台排队模型 系统的稳态概率n P 1 00 111[()()!!1c k c k P k c λλμρμ-==+-∑ ； 001(),!1(),!n n n n c P n c n P P n c c c λμλμ-?≤?? =? ?>?? 系统运行指标 a ．系统中的平均顾客数（队长期望值）： s q L L λ μ =+ b ．系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值）： 02 1 ()(1)!(1) c q n n c c L n P P c ρρρ∞ =+= -= -∑ c ．系统中顾客停留时间的期望值： s s L W λ= d ．队列中顾客等待时间的期望值： q q L W λ = [典型例题精解] 例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。求： (1)顾客来理发不必等待的概率；(2)理发馆内顾客平均数；
运筹学经典案例
运筹学经典案例 案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪 30 年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935 年，英国科学家沃森—瓦特（ R．Watson-Wart ）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的 Bawdsey 建立了一个秘密的雷达站。当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞 17 分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160 公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939 年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的 P.M.S.Blachett 为首，组织了一个小组，代号为“ Blachett 马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“ Blackett 马戏团”是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operatio nal Research” 一词，意指作战研究”或"运用研究"。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。
最新合理安排时间、排队论练习题
《数学广角》练习题2 1、丽丽长大了，想和妈妈学做菜，星期天要学做一个炒鸡蛋，妈妈告诉她这道菜有以下几项工序：敲蛋（1分钟）搅蛋（1分钟）切葱（1分钟）洗锅（2分钟）烧 热锅（2分钟）烧热油（1分钟）炒蛋（4分钟）请你帮丽丽想一想怎样合理安排呢？最少需要多长时间？ 2、一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟。（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？ 3、小刚、小明、小强3人各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 4、妈妈怎样安排所用的时间最少？ 杀鱼、洗鱼5分钟烧鱼10分钟淘米2分钟做米饭15分钟5、小明帮妈妈做家务，需要做：用洗衣机洗衣服（20分钟）、扫地（10分钟）、整理书桌（10分钟）、晾衣服（5分钟）。帮小明想一想怎样合理安排呢？最少需要多长时间？ 6、小明需要完成的作业：上网查资料（10分钟）、打印资料（5分钟）、读英语故事（4分钟）、练口算（3分钟），他应该如何合理安排完成各项作业呢？最少需要多长时间？ 7、妈妈中午做饭的工序是：淘米1分钟，煮饭8分钟，洗菜、切菜2分钟，洗碗4分钟，擦桌子3分钟。请你为妈妈设计一下，怎样做更省时，最少要几分钟？最少需要多长时间？ 精品文档
8、妈妈用一只平底锅煎鱼，每次只能放两条鱼，煎一条需要2分钟（正、反两面各需1分钟），煎9条鱼至少需要几分钟？ 9、甲、乙、丙、丁四位同学拿着暖瓶去打开水，热水龙头只有一个，甲接满水要5分钟，乙接满水要2分钟，丙接满水要1分钟，丁接满水要4分钟，怎么安排他们打水的顺序，才使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少？ 10、小明每天早晨起床后要做如下事情︰洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播15分钟，吃早飯8分钟。要完成這些事情，小明至少要花费多长时间？ 11、在火炉上烤烧饼，烤好一个烧饼需要4分钟，每烤完一面需要2分钟，炉上只能同时烤2个饼，現在要烤201个烧饼，至少需要多长时间？12、小美招待客人，要烧水沏茶。洗水壶要3分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用5分钟，拿茶叶要用1分钟。小美估算了一下，完成这些工作最多要用21分钟。为了使客人早点喝上茶，应该怎样安排？要用多少分钟？ 13、理发室有1个理发师，同时来了5位顾客，根据顾客所要的发型，分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟。怎样安排他们理发的顺序，才能使这5个人理发及等候所用时间的和最少，最少需要多少分钟？ 14、班级大扫除，甲、乙、丙、丁四位同学各提一只水桶同时到一个水龙头接水，他们接满一桶水所需时间分别是4分钟、6分钟、7分钟、5分钟。怎样安排才能使四人等候时间的总时间最少？ 15、桌子上散放着30枚棋子，现在由甲、乙两个人轮流拿，但每次只能拿1~3枚， 精品文档
基于MMS排队论的病床安排模型
CUMCM2009 B 题眼科病床的合理安排 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们 面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等 待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。 我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。 该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床 79 张。该医院眼科手术主要分 四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了20 08 年7 月13 日至2008 年9 月11 日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术， 此类病人的术前准备时间只需1、2 天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些， 大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。 外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排 手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3 天内就可以 接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一 般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限 制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急 症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希 望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院 资源的有效利用。 问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型 的优劣。
排队论模型
排队论模型 研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方 法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初， 美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论 基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 排队系统模型的基本组成部分 排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）
都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 输入过程 输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为 排队规则 排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，
2005年中国大学生数学建模竞赛论文(排队论模型解决出租车最佳数量预测)I
目录 1问题的提出----------------------------------------------------------------------------------------------3 2模型建立与求解----------------------------------------------------------------------------------------3 2.1问题1：居民出行强度和出行总量预测-----------------------------------------------------3 2.1.1问题分析-------------------------------------------------------------------------------------3 2.1.2符号约定-------------------------------------------------------------------------------------4 2.1.3居民消费支出预测-------------------------------------------------------------------------5 2.1.4城市居民人口预测-------------------------------------------------------------------------8 2.1.5出行强度预测-------------------------------------------------------------------------------8 2.1.6出行总量预测------------------------------------------------------------------------------11 2.1.7出租车人口预测模型---------------------------------------------------------------------14 2.2问题2：出租车最佳数量预测---------------------------------------------------------------16 2.2.1问题分析------------------------------------------------------------------------------------16 2.2.2符号约定------------------------------------------------------------------------------------17 2.2.3服务系统模型------------------------------------------------------------------------------18 l 2.2. 3.1来客速率---------------------------------------------------------------------------18 m 2.2. 3.2服务速率---------------------------------------------------------------------------19 b 2.2. 3.3单车对单人服务速率-----------------------------------------------------------19 2.2. 3.4状态及状态转移---------------------------------------------------------------------19 2.2. 3.5模型建立------------------------------------------------------------------------------21 2.2. 3.6模型求解------------------------------------------------------------------------------22 2.2.4最优化模型---------------------------------------------------------------------------------24 2.2.4.1模型建立------------------------------------------------------------------------------24 2.2.4.2模型求解------------------------------------------------------------------------------26 2.2.5模型的验证---------------------------------------------------------------------------------26 2.3问题3：价格调整方案模型------------------------------------------------------------------28 2.3.1问题分析------------------------------------------------------------------------------------28 2.3.2符号约定------------------------------------------------------------------------------------29