排队论(queuing theory)
运筹学第五章排队论
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
排队论上课 !
（2）
与时间有关的随机变量的概率，是一个随机过程， 即泊松过程。 6
在一定的假设条件下 一个泊松过程。
顾客的到达过程就是
若设N(t)表示在时间区间[0,t)内到达的顾客数 (t>0),Pn(t1,t2) 表 示 在 时 间 区 间 [t1,t2)(t2>t1) 内 有 n(≥0)个顾客到达的概率。即：
第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
k0
2
1
1 1 1 0.9197 2
∴ 破碎物品少于3件的概率为91.97 破碎物品多于3件的概率为:
p 3 1 e k!
3 k k0
1 0.98 0.02
3.至少有一件破碎的概率为
P{k1}=1-(1k/k!)e-=1-(10/0!)e-1=0.632
令f(t|n+1)表示wn的概率密度，这是在系统中已有n个顾客 时的条件概率，故T的概率密度为:
f (t ) pn f (t | n 1)
n 0
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因此wn服从爱尔朗分布
f (t | n 1)
(nt ) n e t
n!
n t
所以：
f (t ) (1 )
系统处于空闲状态的概率： P0 1
第八章排队论
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
指在某一时刻接受服务的顾客数，有单个服 务和成批服务两种。
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
3、服务机制
① 服务员的数量及构成形式
② 服务方式
③ 服务时间的分布 •定长分布(D) 指每个顾客接受服务的时间是一个确定的常数。
7.4、排队论与生灭过程
排队系统的例子
顾客 1．借书的学生 2．打电话 3．提货者 4．待降落的飞行器 5．储户 6．河水进入水库 7．购票旅客 8．十字路口的汽车 要求的服务 借书 通话 提货 降落 存款、取款 放水、调整水位 购票 通过路口 服务台 图书管理员 交换台 仓库管理员 指挥塔台 储蓄窗口、ATM取款 机 水库管理员 售票窗口 红绿灯或交警
7.4、排队论与生灭过程--（生灭过程排队论）
1. 生灭过程
生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队 模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：M/M/C和 M/M/C/R，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中， 一个新顾客的到达看作“生”，一个顾客服务完之后离开系统看作是 “死”，设N(t)的任意时刻t排队系统的状态（即排队子系统中的总顾客 数），则对M/M/C/K系统N(t)具有有限个状态0，1，…,k,对M/M/C来说
7.4、排队论与生灭过程
排队过程的组成部分
2、排队规则
① 排队系统
排队分为有限排队和无限排队两类。前者是指系统的空 间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统；后者是指系统中的顾客数可以是无限的，队 列可以排到无限长，顾客到达后均可进入系统排队或接 受服务。具体又分为：
运筹学-排队论
（接受服务）
5
二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的 无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的 成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的 随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的 关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的 非平稳的
6
14
9、其他常用数量指标
s —— 系统中并联服务台的数目；
—— 平均到达率；
1/
—— 平均到达间隔。
—— 平均服务率；
1/ —— 平均服务时间。
—— 服务强度，
每个服务台单位时间内的平均服务时间；
一般有 s ；当s=1时：
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对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时， 若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不 一定全部进入系统，为此引入：
例如：某排队问题为
M / M / s / ∞ / ∞ /FCFS
则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时 间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无 限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M / M / s
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四、排队系统的参数(分析结果)
1、队长（Ls） 指在系统中的顾客数,期望值 2、排队长（Lq） 指系统中排队等候服务的顾客数
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5、忙期 指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空 闲止 这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态n：指系统中的顾客数。 7、系统状态的概率Pn(t)：指时刻t、系统状态为n的概率。 一般为关于t的微分方程、关于n的差分方程。 8、稳定状态：t→时，t=0时的系统不稳定状态将消失， 系统的状态概率分布不再随时间变化，即 limPn(t)→Pn。
排队论及其应用
学习要求
• 重点掌握和理解排队论的基本概念、M/M/m(n)排 队系统的模型分析方法，了解它们在网络中的实际 应用； • 掌握通信网业务量的基本概念，理解、掌握和运用 Erlang B公式和C公式；能够运用这些知识分析和 计算实际网络的性能指标； • 掌握随机接入系统的工作原理及其业务分析方法。
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1.1.1 基本概念 • 服务方式及排队方式
服务方式 是指在某一时刻系统内接受相同服务的顾客数，即是单个 顾客接受服务（串列服务方式）还是成批顾客同时接受服 务（并列服务方式）。 串列服务方式：即m个窗口的串列排队系统。此时，m个 窗口服务的内容互不相同，某一时刻只能有一个顾客接受 其中一个窗口的单项服务，每个顾客要依次经过这m个窗 口接受全部的服务。 并列服务方式：即m个窗口的并列排队系统。此时，m个 窗口服务的内容相同，系统一次可以同时服务m个顾客。
排队论的起源： 排队论起源于20世纪初。当时，美国贝尔（Bell）电话公 司发明了自动电话以后，如何合理配臵电话线路的数量， 以尽可能地减少用户重复呼叫次数问题出现了。 1909年，丹麦工程师爱尔兰（A.K.Erlang）发表了具有重 要历史地位的论文“概率论和电话交换”，从而求解了上 述问题。 1917年，A.K.Erlang又提出了有关通信业务的拥塞理论， 用统计平衡概念分析了通信业务量问题，形成了概率论的 一个新分支。 后经C.Palm等人的发展，由近代概率论观点出发进行研 究，奠定了话务量理论的数学基础。
e ( N Ls )0
k状态（系统中有k个顾客时）的系统到达率为
（1.2）
k ( N k )0
（1.3）
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1.1.1 基本概念
参数
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
排队论
泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分 布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单 流是它的一个特例。 此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或 称对时间是齐次的。 平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称 为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。 因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征
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排队论
排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。
1.定义
排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。
1、排队模型的表示
X/Y/Z/A/B/C
X—顾客相继到达的间隔时间的分布；
Y—服务时间的分布；
M—负指数分布、D—确定型、Ek —k阶爱尔兰分布；
Z—服务台个数；
A—系统容量限制（默认为∞）；
B—顾客源数目（默认为∞）；
C—服务规则（默认为先到先服务FCFS)。
2、排队系统的衡量指标
队长Ls—系统中的顾客总数；
排队长Lq—队列中的顾客数；
逗留时间Ws—顾客在系统中的停留时间；
等待时间Wq—顾客在队列中的等待时间；
忙期—服务机构两次空闲的时间间隔；
服务强度ρ；
稳态—系统运行充分长时间后，初始状态的影响基本消失，系统状态不再随时间变化。
3、到达间隔时间与服务时间的分布
泊松分布；
负指数分布；
爱尔兰分布；
统计数据的分布判断。
排队系统的构成及应用前景
排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划组成。
一般还假设到达间隔时间序列与服务时间均为独立同分布随机变量序列，且这两个序列也相互独立。
评价一个排队系统的好坏要以顾客与服务机构两方面的利益为标准。
就顾客来说总希望等待时间或逗留时间越短越好，从而希望服务台个数尽可能多些但是，就服务机构来说，增加服务台数，就意味着增加投资，增加多了会造成浪费，增加少了要引起顾客的抱怨甚至失去顾客，增加多少比较好呢？顾客与服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的3个指标：队长、等待时间、服务台的忙期（简称忙期）都很关心。
因此这3个指标也就成了排队论的主要研究内容。
2.组成部分
排队系统又称服务系统。
服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。
服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。
输入过程
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为或相继到达的顾客的间隔时间T 服从负指数分布，即
式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则
排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。
当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。
在等待制中，为顾客进行服务的次序可以是先到先服务，或后到先服务，或是随机服务和有优先权服务（如医院接待急救病人）。
如果顾客来到后看到服务机构没有空闲立即离去，则为损失制。
有些系统因留给顾客排队等待的空间有限，因此超过所能容纳人数的顾客必须离开系统，这种排队规则就是混合制。
服务机构
可以是一个或多个服务台。
多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。
服务时间一般也分成确定型和随机型两种。
例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。
而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。
如果服从负指数分布，则其分布函数是
式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。
3.分类
只能按主要特征进行分类。
一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。
现代常用的分类方法是英国数学家D.G.
肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号X/Y/Z进行分类。
X处填写相继到达间隔时间的分布；
Y处填写服务时间分布;
Z处填写并列的服务台数目。
各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。
这里k阶埃尔朗分布是
为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时服从自由度为2k的χ2分布。
⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wg。
M/M/1排队系统是一种最简单的排队系统。
系统的各项指标可由图2中状态转移速度图推算出来（表1）。
其他类型的排队系统的各种指标计算公式则复杂得多，可专门列出计算公式图表备查。
现已开始应用计算机仿真来求解排队系统问题。