点的坐标与函数图像
点的坐标与函数图象的关系
七， Ａ … 矗 线 ， ， 腰 ． 白，＝
＋３ ＬＣ Ａ： ｏ ，Ｄ ＝ ． ， Ｄ ９ 。Ａ ６
求 双曲线 的解析式
Ｃ ／￣ Ｄ ／ 轴交 ｌ 于点 Ｄ，Ｅ／ ｙ ： Ｄ／ 轴 ， ｙ 于 交 ＝１
点 Ｅ ．
｜
Ｉ 口一 —
（ ） Ａ ：Ｂ ； １ 求 Ｂ Ｃ
３一（ Ｉｍ ２
２ ＋ ） ｍ ３
双曲线的解析式 为 Ｙ 旦 ：
．
＝
一
÷２ｍ ｍ２ ＋
（ 一 ） ２ ｍ ２ ＋ ． ’
例 ４ 如图 ， 平面直角坐标 系中 ， 抛物 线 Ｙ＝ １ 一 ２ ＋３交 ｙ 于点 Ａ， 轴 Ｐ为抛物线 上一 点， 与点 Ａ不重 且 合． 连接 Ｐ， Ａ ． Ｐ为边作￣ Ｏ Ｐ ． 以 ＯＡ ｙ Ａ Ｑ Ｊ
例 ： ， ÷ （ ｏ 图 与 段 曰 ｙ的 半 上顶 ｃ 双 线 ＝ （ ０ ２如 ≥） 象 线 在 轴 正 轴 ， 在 曲 ｙ÷ ２＝ 的 点 ＞
Ａ Ｃ的交点分别为 Ｂ、 其 中 Ａ（ ， ） ａ ／ Ｃ， ０ １ ，Ｃ／ｘ轴 ， Ｂ在 点
， ， ｃ在 ＝ ｌ 上 ：ｘ 上 点
｜
１
当 ：２时 ， ｙ：
．
Ｏ ：３ Ａ ．
！÷： — 。 ： ， 翠 ４ ×
‘ ．
’
四 边形 Ｏ Ｐ Ａ Ｑ为 平 行
Ｄ＼
‘ ． ．
线线 Ｐ的长最小值 为 １ ， ｍ： ２时 ， 线段 Ｑ 的长取 最大值 ， 大值 为 ３—１ 最
四边 形 ，
’ ． ．
‘ ．
．
Ｑ Ｐ＝Ｏ ３ Ａ＝ ．
．
’
．
解
过 Ａ 作 Ａ Ｄ上 轴
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
旋转变换是指将图形绕原点进行旋转，这种变换不改变图形的大小和形状。旋转变换可以 用矩阵表示，其中矩阵的元素表示旋转的角度和方向。
二维坐标系及其应用
二维坐标系定义
在平面上，通过两个相互垂直的坐标轴， 可以确定平面上任意一点的位置。这种由 两个相互垂直的坐标轴组成的坐标系称为 二维坐标系。
VS
THANKS
3
函数可以用数学表达式、图像或表格等方式来 表示。
函数的性质
函数具有单值性， 即对于每个输入值 ，只有一个输出值 与之对应。
函数的性质还包括 奇偶性、单调性、 周期性等。
函数还具有封闭性 ，即函数的输出值 与输入值的关系不 受外界干扰。
函数的分类
根据函数的定义域和值域的关系，函数可以分为单射函数、 满射函数和双射函数。
确定需要考察的函数表达式，例如y = x^2 + 2x + 1。
连接点
用平滑的曲线连接这些点。
选择x值
选择一系列x值，例如x = -5, -4, -3, ..., 5 。
描点
在平面直角坐标系上，以(x, y)的形式描出 每一个点。
计算y值
将每个x值代入函数表达式，计算对应的y 值。
插值法绘制函数图像
01
02
输入函数表达式
在绘图软件中输入需要绘制的函数表 达式。
03
设定x值范围
设定x值的范围，例如x = -5 to 5。
调整图像参数
可以调整图像的颜色、线型、坐标轴 范围等参数，以更好地展示函数的特 点。
05
04
绘制图像
使用绘图软件的相应功能，绘制函数 图像。
04
函数图像的分析与应用
函数的极值与最值
函数的图像特征
函数图像的参 数影响
参数对函数图像形状的影响
斜率：斜率越大， 函数图像越陡峭
截距：截距越大， 函数图像越远离 原点
正负号：正负号 决定函数图像的 上升或下降趋势
幂指数：幂指数 越大，函数图像
越接近原点
常数项：常数项 影响函数图像的
起始位置
导数：导数决定 函数图像的凹凸
性
参数对函数图像位置的影响
翻转变换
翻转变换的定义：将 函数图像沿x轴或y轴 进行翻转
翻转变换的类型：包 括x轴翻转、y轴翻转 和原点翻转
翻转变换的应用：在 解决实际问题中，如 物理、工程等领域， 经常需要对函数图像 进行翻转变换
翻转变换的性质：翻 转变换不改变函数的 单调性、奇偶性、周 期性等性质
函数图像的对称性
轴对称：函数图像关于x轴、y轴或原点对称 旋转对称：函数图像关于某一点旋转一定角度后与原图像重合 反射对称：函数图像关于某一点或直线反射后与原图像重合 平移对称：函数图像关于某一点或直线平移一定距离后与原图像重合
圆函数：y=f(x)=x^2
开口方向：向上
形状：对称的抛物线
渐近线：y=x和y=-x
顶点：(0,0)
极值：(0,0)是最大值和最小值
函数图像的坐 标轴关系
截距
截距的定义：函数图像与x轴或y轴的交点 截距的作用：确定函数图像的位置和形状 截距的计算：通过函数解析式求解 截距的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域
双曲线函数：y=a/x^2，其中a>0
形状：开口向上或向下，取决于a的 正负
顶点：(0,a)或(0,-a)，取决于a的正 负
渐近线：y=x和y=-x，与x轴相交于 (0,a)和(0,-a)
焦点：(0,±a/2)，取决于a的正负
八年级数学一次函数的图像
（3）一次函数y=kx+b的图象有什么特点？
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，直线上的点 与y=kx+b对应的x、y的值一一对应。 一次函数y=kx+b的图象是一条直线。因此作一次 函数图象时，只要确定两个点，再通过两个点作 直线就可以了。一次函数y=kx+b的图象也称为直 线y=kx+b。
3 2 1
0
1
2
3
4
x
总结 1、了解函数图象的概念，作函数图象的一 般步骤是：列表、描点、连线。 2、y=kx+b的图象是一条直线，满足y=kx+b 的点（x,y）都在这条直线上。 y=kx+b的图 象上所有的点都满足关系式y=kx+b。一次函 数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。 作业 习题5.3第一题(1)、(2)
x Y=2x+1 … … -2 -3 -1 -1 0 1 1 3 2 5 … …
y 5
4
y=2x+1
3
2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3
x
作函数图象的一般步 骤: 列表、描点、连线
做一做
（1）作出一次函数y=-2x+5的图象。 （2）在所在的图象上取几个点，找出它 们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满 足关系y=-2x+5. 经验证，（1，3）和（3，-1） 列表：
随堂练习
1 1、分别作出一次函数 y x与y 3 x 9 3 的图象。
y
解：
x
y
y
1 x 3
…
…
3 2 1
y
1 x 3
0
0
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量〔自变量、因变量〕、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值范围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴〔x 轴〕，取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴〔y 轴〕，取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限〔如图〕:五、平面内点的坐标：〔横坐标，纵坐标〕如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为〔2 , 3〕 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：〔连线〕第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 〔- ，-〕 〔- ，+〕 〔+ ，+〕 〔+ ，-〕 〔0 ，a 〕 (b , 0) 七、点的表示〔横坐标，纵坐标〕注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A 〔2，1〕 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
函数的图象(精品课件)
三、认真观察 学会识图：
1.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度 随时间变化而变化的情况. (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
解：(2)在2分钟到6分钟，18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶，速度分 别是30千米/时和90千米/时.
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数
值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑
S
16
的曲线连接起来.
接下来怎么办呢？
9
4 1 O 1234 x
一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 图形，就是这个函数的图象.
0-8分钟，离家越来越远；8-25分钟，离家 距离不变，为0.6千米；25-28分钟，离家距离由 0.6千米增加到0.8千米；28-58分钟，离家0.8千 米；58-68分钟，离家越来越近，直至回家.
解答
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min. (2)小明吃早餐用了多长时间？ 25-8=17 小明吃早餐用了17min.
5.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上
的时间长？
温度在零度以上的时间长
随堂练习
1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变 化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在 哪段时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12
函数图像画法知识点总结
函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法，通过画出函数图像，可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中，函数图像的绘制是非常重要的一部分，它帮助学生理解函数的变化规律，并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结，包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一，其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时，函数图像呈现为向上倾斜的直线；当a小于0时，函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单，只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b，然后再找到直线的斜率a，通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数，其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴，开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数，其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴，开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=0，1，4，9等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法，通过这些例子可以看出，绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像，然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。