广州市中考数学试卷及答案

2016年广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1.中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示（ ） (A )支出20元 (B )收入20元 (C )支出80元 (D )收入80元2. 图1所示几何体的左视图是( )3.据统计，2015年广州地铁日均客运量约为6 590 000 人次，将6 590 000 用科学记数法表示为( )(A ) ×104 (B ) 659×104 (C ) ×105 (D ) ×1064.某个密码锁的密码三个数字组成，每个数字都0~9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开.如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是( ) (A ) 110(B ) 19(C ) 13(D ) 125.下列计算正确的是( ) (A ) x y ＝x y(y ≠0)(B ) xy ＋12y＝2xy (y ≠0)(C ) 2x ＋3y ＝5xy (x ≥0，y ≥0) (D ) (xy )＝xy6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地.当他按原路匀速返回时，汽车速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系( ) (A )v ＝320t (B )v ＝320t(C )v ＝20t(D )v ＝20t7.如图2，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ， 则CD ＝( ) (A )3 (B )4 (C ) (D )58.若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）(A )ab ＞0 (B )a －b ＜0 (C )a 2＋b ＞0 (D )a ＋b ＞09.对于二次函数y ＝－14x ＋x －4，下列说法正确的是（ ）(A )当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 (B )当x ＝2时，y 有最大值－3 (C )图象的顶点坐标为(－2，－7)(D )图象与x 轴有两个交点图1(A ) (B ) (C ) (D )A B CD E图210.定义新运算：a ★b ＝a (1－b )，若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜1)的两根，则b ★b －a★a 的值为（ ）(A )0 (B )1 (C )2(D )与m 有关二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11.分解因式：2a 2＋ab ＝ .12.代数式9－x 有意义时，实数x 的取值范围是 . 13.如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12cm ，点D 在AC 上，DC ＝4cm ，将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E ，F 分别落在边AB ，BC 上，则△EBF 的周长为 cm . 14.方程12x ＝2x －3 的解是 .15.如图4，以点O 为圆心的两个同心弧中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB ＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为 (结果保留). 16.如图5，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；②△AED ≌△GED ；③∠DFG ＝°；④ BC ＋FG ＝.其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分102分）17(本小题满分9分)解不等式组：⎩⎨⎧2x ＜53(x ＋2)≥x ＋4并在数轴上表示解集.18. (本小题满分9分) 如图6，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数.19. (本小题满分10分)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示答辩三个方面为各小组打分，小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 91 80 78 乙 81 74 85 丙798390(1)计算各小组平均成绩，并从高分到低分确定小组排名顺序；AB CD E F 图3A B O P图4ABCDE FG H 图5A B C D O 图6(2)如果按照研究报告点40%，小组展示点30%，答辩点30%，计算各小组成绩，哪个小组的成绩最高20.(本小题满分10分)已知A ＝(a ＋b )－4abab (a －b ) (a ，b ≠0且a ≠b )(1)化简A ；(2)若点P (a ，b )在反比例函数y ＝－5x的图象上，求A 的值.21.(本小题满分12分)如图7，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方作∠CAE ＝∠ACB ，在射线AE 上截取AD ＝BC ，连接CD ，并证明：CD ∥AB . (尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)22. (本小题满分12分) 如图8，某无人机于空中A 处探测到目标B 、D ，从无人机A 上看目标B 、D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达A ′处，(1)求A 、B 之间的距离；(2)求从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值.23. (本小题满分12分)如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C 与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1).(1)求直线AD 的解析式；AB C 图7 A B C D A′ 图830° 60°(2)直线AD 与x 轴交于点B 若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.24.(本小题满分14分)已知抛物线y ＝mx 2＋(1－2m )x ＋1－3m 与x 轴相交于不同的两点A ，B ， (1)求m 的取值范围；(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标；(3)当14＜m ≤8时，由(2)求出的点P 和点A ，B 构成的△ABP 的面积是否有最值，若有，求出最值及相应的m 值；若没有，请说明理由.25.（本小题满分14分）如图10，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BAD ︵上，且不与点B 、D 重合）， ∠ACB ＝∠ABD ＝45°，(1)求证：BD 是该外接圆的直径；(2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD ;(3)若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM 2，AM 2，BM 2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.AB CD 图102016年广州市中考数学试卷答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11. a (2a ＋b ) . 12. x ≤9 . 13. 13 cm . 14. x ＝－1 .15. 8 . 16. ①②③ .三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17(本小题满分9分)解不等式组：⎩⎨⎧2x ＜53(x ＋2)≥x ＋4 并在数轴上表示解集.解：⎩⎨⎧2x ＜5 ①3(x ＋2)≥x ＋4 ②解不等式①，得 x ＜52解不等式②，得 x ≥－1 ∴ 原不等式组的解集是 －1≤x ＜52解集在数轴上如图所示：18. (本小题满分9分)如图6，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数.解： ∵ 四边形ABCD 是矩形 ∴ OA ＝OC ＝12AC ， OB ＝OD ＝12BD ，AB ＝CD∴ OA ＝OB (这里跳步－2分)又 ∵ AB ＝AO ∴ △ABC 是等边三角形 ∴∠ABO ＝60° ∴ ∠ABD ＝60°19. (本小题满分10分)某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示答辩三个方面为各小组打分，32A B C DO 图6各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表：(1)(2)如果按照研究报告点40%，小组展示点30%，答辩点30%，计算各小组成绩，哪个小组的成绩最高解：甲组平均成绩：(91＋80＋78)÷3＝83 乙组平均成绩：(81＋74＋85)÷3＝80 丙组平均成绩：(79＋83＋90)÷3＝84 ∵ 84＞83＞80 ∴ 丙＞甲＞乙即丙第一，甲第二，乙第三.(2) 甲组成绩：91×40%＋80×30%＋78×30%＝ 乙组平均成绩：81×40%＋74×30%＋85×30%＝ 丙组平均成绩：79×40%＋83×30%＋90×30%＝ ∵ ＞＞∴ 甲＞丙＞乙 即甲组成绩最高.20.(本小题满分10分)已知A ＝(a ＋b )－4abab (a －b ) (a ，b ≠0且a ≠b )(1)化简A ；(2)若点P (a ，b )在反比例函数y ＝－5x的图象上，求A 的值.解：(1)A ＝(a ＋b )－4ab ab (a －b ) ＝ (a ＋b ＋2ab )－4ab ab (a －b ) ＝a ＋b －2ab ab (a －b ) ＝(a －b )ab (a －b )＝1ab(2) ∵ P (a ，b )在反比例函数y ＝－5x上，∴ b ＝－5a∴ ab ＝－5代入 A ＝1ab ＝1－5 ＝－1521.(本小题满分12分)如图7，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方作∠CAE ＝∠ACB ，在射线AE 上截取AD ＝BC ，连接CD ，并证明：CD ∥AB . (尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)解：作图如图7－1所示，下面证明：CD ∥AB∵ AD ＝BCABC 图7 A E 图7-1D CB∠CAE ＝∠ACB AC ＝AC∴ △DAC ≌△BCA (SAS ) ∴ ∠ACD ＝∠CAB ∴ CD ∥AB22. (本小题满分12分) 如图8，某无人机于空中A 处探测到目标B 、D ，从无人机A 上看目标B 、D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达A ′处，(1)求A 、B 之间的距离； (2)求从无人机A ′上看目标D 的俯角的正切值. (1)在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AC ＝60，AB ＝ACsin B＝60sin30°＝120 (m)(或者直接 AB ＝2AC ＝120) (2)在Rt △ACD 中，∠ADC ＝60°CD ＝AC tan ∠ADC ＝60tan60°＝20 3 (m)过D 作 DE ⊥ AA ′ 于E 如图8－1所示，则 四边形ACDE 是矩形，AE ＝CD ＝20 3从无人机A ′上看目标D 的俯角即为 ∠DA ′E 在Rt △A ′DE 中，A ′E ＝AE ＋AA ′＝303＋203＝50 3 DE ＝AC ＝60tan ∠DA ′E ＝ DE AE ＝60503＝23523. (本小题满分12分)如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C 与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1).(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B 若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标.解：(1)设 AD : y ＝kx ＋b (k ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝53b ＝1 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝1∴ 直线AD 的解析式是y ＝12x ＋1 .A BCDA ′图830°60°ABCDA ′图8-130°60°E(2) △BOD 与△BCE 相似 ， 可分为两种情况： ① △BOD ∽ △BCE ，CE ⊥ x 轴，如图9－1 在直线y ＝－x ＋3中，令y ＝0，得 x ＝3 ∴ C (3，0)当x ＝3时，代入AD y ＝12x ＋1，y ＝12×3＋1＝52∴ E (3， 52)② △BOD ∽ △BEC 时 ，BE ⊥ AD ，如图9－2 方法一：k CE ＝－1k AD ＝－2 ， 设 AD :y ＝－2x ＋b 1代入C (3，0)， －2×3＋b 1＝0 ，b 1＝6 ∴ AD :y ＝－2x ＋6⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋6y ＝12x ＋1 ，解得 ⎩⎨⎧x ＝2y ＝2 ， ∴E (2，2) 方法二：过E 作EF ⊥x 轴于F ，∵ △BOD ∽ △BEC∴ BO BD ＝BE BC ＝ODCE ，BO ＝2 ，BC ＝ 3－(－2)＝5 ，BD ＝5，OD ＝1∴ 2 5＝BE 5＝1CE∴ BE ＝2 5 ，CE ＝ 5 (或者用等积法 12×BE ×CE ＝12×BC ×EF ， EF ＝BE ×CE /BC ＝25×55 ＝2)△BEF ∽△BCE ， EF BE ＝CE BC ， EF 25＝55，EF ＝2，∴ 12x ＋1＝2 ，x ＝2 ， ∴ E (2，2)综合①② ，E (3，52) 或 E (2，2)24.本小题满分14分已知抛物线y ＝mx 2＋(1－2m )x ＋1－3m 与x 轴相交于不同的两点A ，B ， (1)求m 的取值范围；(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标；(3)当14＜m ≤8时，由(2)求出的点P 和点A ，B 构成的△ABP 的面积是否有最值，若有，求出最值及相应的m 值；若没有，请说明理由.解：m ≠0＝(1－2m )2－4m (1－3m )＝16m 2 －8m ＋1 ＝(4m －1)2＞0 ,m ≠14A D y EOCx图9-2 BF∴ m ≠0 ,且m ≠14(2) y ＝mx 2＋(1－2m )x ＋1－3m ＝m (x 2－2x －3)＋x ＋1当x 2－2x －3＝0 时，m 无论取何值，y 与m 无关，解x 2－2x －3＝0得x ＝－1 或 x ＝3 当x ＝－1时y ＝0 , 当 x ＝3 时 y ＝4 ∵ P 不在坐标轴上， ∴ P (3，4)(3) 令y ＝0, mx 2＋(1－2m )x ＋1－3m ＝0 ,x 1,2＝(2m －1) ±│4m －1│2mx 1＝3m －1mx 2＝－1∴ │AB │＝│3m －1m ＋1│＝4m －1m ＝4－1mS △ABP ＝12 ×│AB │×│ y P │＝2│AB │=2(4－1m)∵ 14＜m ≤8 ，6＜2(4－1m )≤314 ∴S △ABP 有最大值314 ，无最小值.25.（本小题满分14分）如图10，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BAD ︵上，且不与点B 、D 重合），∠ACB ＝∠ABD ＝45°， (1)求证：BD 是该外接圆的直径； (2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD ;(3)若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM 2，AM 2，BM 2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.(1)证明：∵ ∠D ＝∠C ，∠BAD ＝180°－∠D －∠DBA ＝180°－45°－45°＝90° ∴ BD 是圆的直径.(2)将△ACD 以A 为旋转中心，顺时针旋转90°， 得到△AC ′B ，如图10－2，∠A ′D ′C ＝∠ABC ′， AC ＝A ′C ∠CAC ′＝90° ，CB ′＝CD ∠ABC ＋∠ABC ′＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° ， ∴B 、C 、D ′ 三点共线(∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°) ∴CC ′＝AC ＋AC ′ ＝2AC 又 ∵ CC ′＝BC ＋BC ′＝BC ＋CD∴ 2AC ＝BC ＋CD .(3)延长MB 与圆交于E ，连接DE ，如图10－3ABCD 图10AB CD EM C ′O图10-3ABCDMC ′O图10-2∵BD是直径，∴DM2＝ME2＋DE2又∵ME2＝(BM＋BE)2＝BM2＋BE2＋2BM•BE＝ BC2＋BE2＋2BC•BE∴DM2＝BC2＋BE2＋2BC•BE＋DE2＝BC2＋BD2＋2BC•BE①∵∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ABC＝∠ABM，∠ABM＋∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，∴180°－∠ADC＝180°－∠ABE，∠ADE＝∠ABC(圆的内接四边形对角互补)，∴∠ADB＋∠BDE＝∠ABD＋∠CBD，又∵∠ABD＝ADB＝45°，∴∠CBD＝∠EBD，∴BE＝CE②∵BM2＋2AM2＝BC2＋2AC2＝BC2＋(BC＋CD)2＝BC2＋BC2＋CD2＋2BC CD＝ BC2＋BD2＋2BC CD③由①，②，③可得DM2＝BM2＋2AM2∴DM2＝BM2＋2AM2 .。