第七讲 隶属函数的确定方法
隶属函数的确定方法
cd
x
(3)抛物型分布 ①偏小型 1 k b x A( x ) b a 0 ②偏大型 0 k x a A( x ) b a 1
xa a xb b x xa
1
1
0
a
b
x
a xb b x
0 x a1 a1 a2 1 1 A( x ) sin x a1 x a2 2 2 2 a2 a1 1 a2 x
③中间型
0 x a 2 1 1 a1 a2 sin x a2 x a1 2 2 2 a2 a1 A( x ) 1 a1 x a1 1 1 a1 a2 sin x a1 x a2 2 2 2 a2 a1 0 a2 x
所以有
A1 ( x ) P{ x }
x
P ( x )dx
类似地
A3 ( x ) P{ x }
x
P ( x )dx
其中P ( x )和P ( x )分别是随机变量 和的概率密度，即
A2 ( x ) 1 A1 ( x ) A3 ( x )
分 组 13.5~14.5 14.5~15.5 15.5~16.5 16.5~17.5 17.5~18.5 18.5~19.5 19.5~20.5 20.5~21.5 21.5~22.5 22.5~23.5 23.5~24.5 24.5~25.5 频数 2 27 51 67 124 125 129 129 129 129 129 128 隶属频率 0.016 0.210 0.395 0.519 0.961 0.969 1 1 1 1 1 0.992 分 组 25.5~26.5 26.5~27.5 27.5~28.5 28.5~29.5 29.5~30.5 30.5~31.5 31.5~32.5 32.5~33.5 33.5~34.5 34.5~35.4 35.5~36.5 频数 103 101 99 80 77 27 27 26 26 26 1 隶属频率 0.798 0.783 0.767 0.620 0.597 0.209 0.209 0.202 0.202 0.202 0.008
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
隶属函数法
吕国利
不同植物和品种适应胁迫的方式是多种多样的，如一些植物具有综合 的、几种机理共同起作用的抗旱特征，任何单项机理的研究都有一定 的局限性，都不能有效准确地评价作物抗旱性。 没有一项抗旱指标能单独运用从而达到筛选的目标，需从植物抗旱性 的整体上进一步阐明。 利用多个指标综合评价的抗旱性，使单个指标对评定抗旱性的片面性 受到其他指标的弥补与缓和，从而使评定出的结果与实际结果较为接 近。
隶属函数评估法是根据模糊数学的原理，利用隶属函 数进行综合评估。 隶属函数在模糊控制系统中所起的作用是将普通的清 晰量转化为模糊量，以便进行模糊逻辑运算和推理。 实际上，隶属函数分析提供了一条在多指标测定基础 上，对各植物特性进行综合评价的途径。抗旱性隶属 函数法为目前应用最广的林木抗旱综合分析方法。
求出各抗旱指标 在各品种中的具 体隶属值
累加指定品种各 指标的抗旱隶属 值
求其平均值以评 定抗逆性
根据各品种平均 值的大小确定其 抗旱性强弱
隶属函数及其确定方法
美国加利福尼亚大学控制论教授扎得（L、A、Zadeh）经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。
指出：若对论域（研究的范围）U中的任一元素x，都有一个数A（x）∈[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A（x ）称为x对A的隶属度。
当x在U中变动时，A（x）就是一个函数，称为A的隶属函数。
隶属度A（x）越接近于1，表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表示x属于A的程度越低。
用取值于区间[0，1]的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。
隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
隶属度函数及其确定方法分类隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。
对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
下面介绍几种常用的方法。
(1)模糊统计法：模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。
对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。
模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A 的隶属度值。
确定隶属函数的几种主要方法
一、确定隶属函数的几种主要方法
1.F统计方法 确定“青年人”的隶属函数.
以年龄为论域 U , A是“青年人”在 U上的F集. 选取u0 27岁, 用F统计实验确定u0对A的隶属度. 选择若干（n）合适人选，请他们写出各自认为 “青年人”最适宜、最恰当的年限，即将模糊概念 明确化。
隶属频率
m/n
0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
m A(27) 0.78 n 将论域U分组,每组以中值为代表，分别计算各组
隶属频率.(见表2 2)
表2-2 分组计算隶属频率（实验次数129）
分组
频数 隶属频率
1
33.5~34.5 26 0.202
22.5~23.5 129
1
34.5~35.4 26 0.202
23.5~24.5 129
1
35.5~36.5 1 0.008
24.5~25.5 128 0.992
连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲线。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 15 20 25 30 35
设进行了n次试验,第k次试验的映射为ek .
令
aik
(u)
1 0
ek (u) Ai ek (u) Ai
aik (u)为元素u在第k次试验划归Ai的次数
u对Ai的隶属频率
Ai
(u)
1 n
n
aik
(u)
k 1
m
Ai
i 1
(u)
m1 i 1n
n
aik
(u)
确定隶属函数的几种主要方法
区别： 区别：
若把概率统计比喻为“变动的点” 若把概率统计比喻为“变动的点”是否 落在“不动的圈” 落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈” 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否 盖住“不动的点” 盖住“不动的点”.
二相F统计 二相 统计: 设有二相集 P2 = { A, A } 统计
x
−∞
Pη ( x )dx
的概率密度， 其中Pξ ( x )和Pη ( x )分别是随机变量 ξ和η的概率密度，即
A2 ( x ) = 1 − A1 ( x ) − A3 ( x )
按概率方法计算，得 按概率方法计算，
x − a1 A1 ( x ) = 1 − Φ σ1 x − a2 A3 ( x ) = Φ σ2
A3 ( x )
0
a1
a2
x
数对(ξ ,η )确定映射
e(ξ ,η ) :
即
U → { A1 , A2 , A3 }
x≤ξ A1 ( x ) e(ξ ,η )( x ) = A2 ( x ) ξ < x ≤ η A ( x) x >η 3
概率P{ x ≤ ξ }是随机变量 ξ落在区间[ x , b )的可能大小.
次实验中覆盖27岁的年龄区间的次数为 若n次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为 ， 次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为m， 则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。 为 岁对于 青年人）的隶属频率。 岁对于（ 则称
岁对（ 表2-1 27岁对（青年人）的隶属频率 岁对 青年人）
实验次数n 实验次数 隶属次数m 隶属次数 隶属频率 m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 10 20 30 40 6 14 23 31 50 39 60 47 70 53 80 62 90 100 110 68 76 85 120 130 95 101
模糊控制中隶属度函数的确定方法
模糊控制中隶属度函数的确定方法模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，其中隶属度函数是模糊控制的重要组成部分。
隶属度函数的作用是将输入信号映射到隶属度空间，为控制器提供输入参数。
确定合适的隶属度函数能够提高模糊控制器的精度和稳定性。
本文将介绍几种常用的隶属度函数的确定方法。
一、试验法试验法是最基本的隶属度函数确定方法，即通过试验的方式逐步调整隶属度函数，直到达到最佳效果。
该方法适用于控制系统较简单、规模较小的场景。
试验法需要较多的实验数据和多次改进，且缺乏理论和数学基础支持。
二、专家法专家法是利用经验和判断力，根据被控对象和控制目标的特点，设计隶属度函数。
专家法相对于试验法具有更高的效率和准确性，适用于大规模、复杂的控制系统。
但是，该方法需要控制领域的专家评估隶属度函数的质量，并征询其他领域的专家意见，所以其设计具有一定的主观性。
三、数学建模法数学建模法是利用系统建模方法对控制对象进行数学描述，从而确定隶属度函数的方法。
该方法需要掌握数学建模技术和数学分析方法，运用数学软件工具进行系统的建立和分析。
该方法较为科学，可以系统的分析控制对象，而且不依赖于控制领域的专家知识和经验。
四、经验法经验法是使用过往的经验数据和样本数据来确定隶属度函数的方法。
该方法适用于控制对象特征类似的场景，具有低成本的优势。
经验法需要提取出具有代表性的样本集，并根据样本集的特点进行隶属度函数的设计。
该方法缺点是其适用性相对较弱，需要额外的数据处理方法来提取有用的特征。
五、混合法混合法是将多种方法结合使用来确定隶属度函数，以尽可能综合各种方法的优点，提高确定隶属度函数的准确性。
混合法需要根据具体情况，结合试验法、专家法、数学建模法、经验法等多种方法进行综合性分析和处理，提出最终的隶属度函数。
混合法确定隶属度函数的准确性和实用性较为综合，但需要在方法融合的过程中考虑不同方法的权重和影响因素，难度较高。
综上所述，确定隶属度函数的方法因系统的复杂性、预测的精确度和需要的优化目标等多种因素而异。
直觉方法-隶属函数的确定方法
虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背 景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描 述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建 立出不完全相同的隶属函数。例如，模糊集A = “很冷”的隶属函 数。不同性别、不同生活环境的人所得出的曲线方法
1、直觉方法
直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认 识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立 隶属函数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共 识的客观模糊现象，或用于难于采集数据的情形。
例 1 考虑描述空气温度的模糊变量或“语言”变量，
我们取之为“很冷”、“冷”、“正好”、“热”和 “很热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉 爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理 解，规定这些模糊集的隶属函数曲线如图1 所示。
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中间型隶属函数
1.矩形 2.尖型 3.正态型 4.柯西型 5.梯形
µA1 ( x) =
ɶ
1, a − b < x ≤ a + b 0, 其他 exp[ k (x − a)] , x ≤ a (k > 0) exp[ −k ( x − a)] , x > a
−1
µA2 ( x) =
参数法是指利用已知形状的隶属函数作为样板， 通过确定函数参数的方式来给出隶属函数的方 法。 常用隶属函数
偏小型 偏大型 中间型
偏小型隶属函数
x≤a 1, µ A ( x) = ɶ f ( x), x > a
1.降半矩阵型 2.降半伽马型 3.降半正态型 4.降半柯西型 5.降梯形 6.降岭形 7.k次抛物线
隶属函数的确定方法
模糊统计法 参数法
模糊统计法
通过模糊统计实验来确定隶属函数的方法 四要素
① 论域X ② 试验所要处理的论域X的固定元素x0 ③ 论域X的可变动的子集A*，它作为模糊集 A 的有可塑性 ɶ 边界的反映，可由它得到每次试验中x0是否符合模糊集A ɶ 所刻划的模糊概念的一个判决 ④ 条件集C，它限制着A*的变化
ɶ ɶ
µA3 ( x) = exp −k ( x − a)2 , (k > 0) µA4 ( x) = 1+ α ( x − a)β (α > 0, β是非负偶数)
(a2 + x − a) /(a2 − a1), a − a2 < x ≤ a − a1 1, a − a1 < x ≤ a + a1 µA5 ( x) = ɶ (a2 − x + a) /(a2 − a1), a + a1 < x ≤ a + a2 0, 其他 0.5 + 0.5sin [π /(b − a)( x + (b + a) / 2)] , −b < x ≤ −a 0.5 − 0.5sin [π /(b − a)( x − (b + a) / 2)] , a < x ≤ b µA6 ( x) = ɶ −a < x ≤ a 1, 0, 其他
−1
偏大型隶属函数
x≤a 0, µ A ( x) = ɶ f ( x), x > a
1.升半矩阵型 2.升半伽马型 3.升半正态型 4.升半柯西型 5.升半梯形 6.升岭形 7.S型
f1 ( x) ≡ 1 f2 ( x) = 1 − exp [ −k ( x − a)] (k > 0) f3 ( x) = 1 − exp −k ( x − a)2 (k > 0) f4 ( x) = 1 + α ( x − a)− β (α > 0, β > 0) ( x − a) /(b − a), a < x ≤ b f5 ( x) = 0, x >b 0.5 + 0.5sin [π /(b − a)( x − (b + a) / 2)] , a < x ≤ b f6 ( x) = x >b 0, 0.5( x − a)2 /(b − a)2 , a < x ≤ b f7 ( x) = 1 − 0.5( x − c)2 /(c − b)2 , b < x ≤ c 1, c
µ A ( x0 ) = lim ln ( A)( x0 )
ɶ n →∞
ɶ
模糊统计法（ 模糊统计法（续）
例1：本例模糊统计实验为我国学者张南论等人在武汉建 ：
材学院对模糊集“青年人”作的抽样试验。 U为0至100岁，A为“青年人”，u=27岁。对129人作抽 样调查，让各人给出“青年人”的比较合适的年龄段。最 后整理出反应27岁属于“青年人”的隶属频率表。
ɶ
6.岭形
n m t 10 6 0.6 20 14 0.7 30 23 40 31 50 39 60 47 70 53 80 62 90 68 100 76 110 85 120 95 129 101
0.77 0.78 0.78 0.78 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
参数法
模糊统计法（ 模糊统计法（续）
基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求
在每次试验中，对x0是否属于A*做出一个确定的判断，而A* 可以在每次试验中发生改变（即具有可塑性）
计算方法
设做了n次试验，则x0对于 A的隶属频度 ln ( A)( x0 ) 为 ɶ ɶ "x0 ∈ A*"的次数 ln ( A)( x0 )△ ɶ n 并称隶属频度的极限（若存在）为隶属度，即
f1 ( x) ≡ 0 f2 ( x) = exp [ −k ( x − a)] (k > 0) f3 ( x) = exp −k ( x − a)2 (k > 0) f4 ( x) = 1 + α ( x − a)β (α > 0, β > 0) (b − x) /(b − a), a < x ≤ b f 5 ( x) = 0, x>b 0.5 − 0.5sin [π /(b − a)( x − (b + a) / 2)] , a < x ≤ b f 6 ( x) = 0, x>b (b − x)k /(b − a)k , a < x ≤ b f7 ( x) = x>b 0,