模糊控制-3截集两个原理隶属函数的确定

• ②推论： 若 ，则A A ，A A 1 2 1 2 1 2

• ③截集的性质及其证明
(1)( A B) A B ;( A B) A B (2)( A B) A B ;( A B) A B (3) A A (4)若A B, 则A B , A B (5)若1 2 , 则A1 A2 , A1 A2 (6)( A) A(1 ) ;( A) A(1 ) (7) A0 X , A1
• 解：根据三角形特性，三角形的内角和180°； 直角三角形的性质是由一个内角90°； 等腰三角形的性质是两个内角和相等； 正三角形则是三个内角相等，均为60°
设A,B,C是所考虑的三角形ABC的三个内角，且设A B C 则可选论域U为：U={(A,B,C)|A+B+C=180,A B C} (1)当A=90时，ABC肯定是直角三角形，隶属度为1； 当A由90逐渐减小， ， ， ，（因为A B C，所以A只能减到60） 89 88 60 ABC的形状偏离直角三角形就越大； 当A由90逐渐增大， ， ， ， ， 91 92 180 ABC偏离直角三角形也越大，直到极端情况180，认为隶属度为0 如果认为隶属函数随着A变化而线形变化， 则直角三角形R的隶属度函数可取为： 1 R(A,B,C)=1A 90 90

• ④定义
：设AF(X), 称A1={xX|A(x)=1}为 A 的核, 记为ker A . 称 A0 ={xX|A(x)>0}为 A 的支集, 记为supp A . 称supp A ker A 为 A 的边界。

• ⑤定义
： 设A F ( X )，若 ker A ，则称A为正规模糊集，
• 关于扩展定理的讨论： • ①思路： ⑴目的：把经典集上的运算过渡到模糊集的 运算 ⑵关键：确定模糊集上相应的隶属度函数的 计算乘除都可 以实现 • ②应用：
作业3：P41 28
§1.5隶属度函数的确定方法
• 在某种意义上，A 和 A( x)是等价的，没有隶属度函 数便没有模糊数学。 • 隶属度函数是对模糊性的数学描述，它在本质上 是客观的。 • 同样的模糊集，不同的人可能建立不同的隶属度 函数，它们都是对客观世界的一个近似。 • 建立隶属度函数的方法从实践中来，不同的情况 可以采用不同的方法，并不总是一种 固定的模式。
否则A称为非正规模糊集。
•
A 的截集、支集、核均为经典集合，一般有：
• 即：
ker A A sup pA X
A1 A A0 A0

• 2、分解定理
• ①定义： 设 [0，，A F ( X ),由、A构造一个新的模糊集，记为 A。 1] 称为与A的数乘，其隶属函数为： A( x) A( x), x X
• 试求出模糊集 A 。

• 3、扩展定理
• ①经典集的扩展定理
用S ( X )表示X 上的所有经典集合 设X , Y 是经典集合, 给定X 到Y的映射 : f : X Y x | f ( x)
f : S ( X ) S (Y ) f 1 : S (Y ) S ( X )
A | f ( A) { y | x A, y f ( x)} B | f 1 ( B) {x | f ( x) B}
基本隶属函数图形 (a)Z函数；(b)Π函数；(c)S函数
直线型隶属函数 (a)三角形函数；(b)梯形函数
确定隶属函数的一般原则：
• (1)若模糊集反映的是社会的一般意识，它是大量的可重复 表达的个别意识的平均结果，例如，年青人，经济增长快， 生产正常等；则此时采用模糊统计法较为理想； • (2)若模糊集反映的是某个时间段内的个别意识、经验和判 断，例如，某专家对某个项目可行性的评价；则可采用专 家法； • (3)若模糊集反映的模糊概念已经有相应成熟的指标，这种 指标经过长期实践检验已经成为公认的对事物的真实的又 是本质的描述，则可直接采用这种指标，或者通过某种方 式将这种指标转化为隶属函数；

• ②性质
a.若1 2，则1 A 2 A b.若A B，则 A B • ③分解定理Ⅰ
设A F ( X )，则A A [0,1]
x
• ④分解定理Ⅱ 设A F ( X )，则A A A [0,1] [0， 1] • ⑤分解定理的思路总结
• (4)对某些模糊概念，虽然直接给出其隶属函数比较困难， 却可以比较两个元素相应的隶属度；此时可用二元比较法 求得隶属函数； • (5)若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合而成的，则可 先求各因素模糊集的隶属函数，再综合出模糊概念的隶属 函数。
习题：P43-32
模糊控制
林舒萍
§1.4 截集和基本定理
• “截集”概念的引入
• 1、 截集
• ①定义：
设A F ( X ), [0,1], 记： A ( A) {x X | A( x) } 称为A的 截集，亦称水平截集，叫做置信水平。又记 A ( A) {x X | A( x) } 称为A的强截集，亦称开截集。
②模糊统计方法
• 用模糊统计方法确定模糊集合的隶属函数类似与 随机实践的概率统计方法。
事件发生频率=发生次数/实验总次数n
• 模糊统计方法要进行模糊统计实验。
u0对 A 的隶属频率= u0 A*的次数/模糊统计实验总次数n

• 例如：选取年龄作为论域，U=[0,100]，确定U上 A(u A 模糊集合“青年人” 的隶属 ) ，选定U中一元 素，如27岁，每次实验让不同的人判断27岁是否 为青年人 A* ，当实验次数大到一定程度时，隶属 频率趋于稳定，可取作 A(27) 。 • 同样，可以求出其它年龄的隶属度。
1 (2)类似的，可得E(A,B,C)= 1(A - C) 180 1 I (A, B, C) 1 ((A B) (B C)) 60
(3)非典型三角形T(A, B, C) R E I R E I (1 R(A,B,C)) (1 E(A,B,C)) (1 I(A,B,C)) 1 min(2 A 90 , (A C),3(A B),3(B C)) 180
• 经典扩展定理把两个论域中元素之间的对应关系 扩展到经典集合之间的对应关系。
• ②模糊集的扩展定理
• 定义：
设X , Y 为经典集合，映射： f : X Y x | f ( x) 可以诱导一个F ( X )到F (Y )的映射： f : F ( X ) F (Y ) A | f ( A) 以及一个由F (Y )到F ( X )的映射： B | f ( B ) 1 f ( A)和f ( B )的隶属函数分别定义为： 1 A( x) , f 1 ( y ) x f ( y ) f ( A)( y ) 0 , f 1 ( y ) 以上两个映射称为扩展映射。 f 1 : F (Y ) F ( X )
• 任取[0,1], 将模糊集 A 切成经典集合A,再用与 A作数 乘得模糊集A, 将所有的数A([0,1])拼起来, 组成 ∪[0,1] A, 此模糊集就是 A

作业2：P41 18
• 1、设 U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5}
{u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 0 0.2 {u , u , u , u } 0.2 0.5 1 2 3 5 A {u1 , u3 , u5 } 0.5 0.6 {u1 , u3} 0.6 0.7 {u3} 0.7 1
④模糊分布(指派方法)
• 当模糊集的论域为实数R时，其隶属函数称为模糊分布。 • 实数域上某些带有参数的函数可以作为模糊分布，在确立 模糊集合的隶属函数时可以根据模糊集的性质选择，并根 据实际应用的具体情况或通过实验确定所选函数中的参数。
• 根据模糊分布的变化趋势，可以大体分为三类：
• 偏小型（戒上型）：随x(xR)增大而减小 • 中间型（对称型）：在R的某一点或某一段取最大值，而 其两侧则对称地减小 • 偏大型（戒下型） ：随x增大而增大
①推理法
• 所谓推理法，顾名思义乃是依“理”推出隶属函 数的表达式。“理”是指所考虑的模糊集的特性。 • 步骤：
选定论域 确定隶属度为1和0的特殊点 根据隶属函数的大致形状来确定隶属函数的表达式
• 例1：假如我们把要考察的某一些三角形形状的几 何图形分成正三角形、等腰三角形、直角三角形 和其他非典型三角形四种，分别用模糊集合、、 R、T表示，建立它们的隶属函数。
③二元对比排序法
• 二元对比法是根据人类习惯于两两比较的心理特 点设计的。要求人们同时比较论域中所有元素并 由此确定各个元素的隶属度往往比较困难，但当 取U中的两个元素相比时，情况较为简单，容易 正确比较出两者中哪个属于某一模糊集合的程度 大。 • 以两两比较的结果为基础确定隶属函数的方法称 为二元对比排序法。