第5章 动态回归与误差修正模型(案例)汇总
误差修正模型的原理和应用
误差修正模型的原理和应用1. 引言误差修正模型（Error Correction Model，简称ECM）是一种常用的时间序列分析模型，用于解释和预测变量之间的长期关系。
它具有非常广泛的应用领域，包括经济学、金融学、营销学等。
2. 原理误差修正模型是基于向量自回归模型（Vector Autoregressive Model，简称VAR）发展而来的。
与VAR模型不同的是，ECM模型引入了误差修正项，用于补偿长期均衡之间的偏差。
其基本原理可以分为以下几个步骤：•步骤一：首先，建立一个包含所有相关变量的VAR模型。
•步骤二：对VAR模型进行稳定性检验，确保模型的可靠性。
•步骤三：检验模型是否存在长期均衡关系。
如果存在长期均衡关系，则可以使用误差修正项来补偿该关系中的偏差。
•步骤四：估计误差修正模型的系数，并进行统计检验。
•步骤五：对误差修正模型进行模型诊断，检验模型拟合度和模型性能。
•步骤六：使用误差修正模型进行预测和分析。
在实际应用中，误差修正模型的原理非常清晰和直观，使得它成为许多时间序列分析的首选模型之一。
3. 应用误差修正模型在许多领域中都有广泛的应用，下面分别介绍它在经济学和金融学中的应用：### 3.1 经济学中的应用误差修正模型在经济学中有很多应用，例如： - 用于分析经济周期的波动和预测 - 用于估计和预测国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP） - 用于研究货币供应量和利率之间的长期关系 - 用于分析和预测通货膨胀率和失业率的关系误差修正模型可以通过建立一系列相互依赖的变量之间的模型来研究经济系统的动态特征，提供对经济的深入理解和更准确的预测。
### 3.2 金融学中的应用误差修正模型在金融学中也具有重要的应用价值，例如： - 用于分析和预测股票价格的长期趋势 - 用于研究汇率和利率之间的关系 - 用于估计和预测金融资产的价格和波动性 - 用于分析和预测市场供求关系和价格发现过程金融市场的复杂性和波动性使得误差修正模型成为研究金融领域的重要工具，帮助投资者和决策者做出更明智的决策。
误差修正模型
脉冲响应函数
假定扰动项
恩格尔和格兰杰所提出的协整理论，协整理论的宗旨在 于对于那些建模较为困难的非平稳序列 ,通过引入协整
的差分变量,达到是模型成立并提高模型精度的目的。
并将经济变量之间存在的长期稳定关系称为协整关系， 可以说经济变量的协整性是对非平稳经济变量长期均衡 关系的统计描述,
当且仅当若干个平稳变量具有协整性时 ,由这些变量建 立的回归模型才有意义。所以协整性检验也是区别真实 回归和虚假回归的有效方法。
此被称为“误差修正模型”。误差修正模型的自动调整 机制类似于适应性预期模型。若误差修正项的系数α 在统计上是显著的，它将告诉我们 Y 在一个时期里的 失衡有多大一个比例部分可在下一期得到纠正，或者更 应该说“失衡”对下一期Y 水平变化的影响的大小。
脉冲响应函数
VAR模型中某一个内生变量的冲击或扰动会对其他变量 产生影响,其他变量又会反过来影响该变量本身,用来描 述这样一个传导及影响机制的方法 ,我们称之为脉冲响 应函数法。 脉冲响应函数的基本思想可以解释为:
若把该模型变形成Yt 的一阶差分的如下形式，即
若令
则模型变为 式中:∆Yt 代表被解释变量的短期波动，∆Xt 为解释变
量的短期波动，ecmt−1 代表的则是两个变量之间关系 对长期均衡的偏离，即上一期变量偏离均衡水平的误差， 称为误差修正项。α 称为修正系数，反映 Y 对均衡偏 离的修正速度。
因此被解释变量的短期波动可以分解成两个部分: 一部 分为解释变量的短期波动影响，另一部分为长期均衡的 调节效应。模型中β2 通常小于 1 ，所以 ecmt−1 的系数 α 通常小于 0。
这意味着前一期 X 对 Y 解释不足，有正的误差时，会 减少 Y 的正向波动或增加其负向波动，反之则反是。
向量自回归和向量误差修正模型
模型旨在捕捉变量之间的动态关 系，并分析一个经济系统中的内
在机制。
VAR模型假设变量之间的关系是 非结构性的，即它们之间的关系
是线性的。
VAR模型的参数估计
使用最大似然估计法（MLE） 来估计VAR模型的参数。
MLE是一种统计方法，用于估 计未知参数的值，使得已知数 据与模型预测的概率分布尽可 能接近。
独立同分布假设
02
模型假设误差项独立且同分布，实际数据可能无法满足这一假
设，导致模型的预测能力下降。
参数稳定性假设
03
模型假设参数在样本期间保持不变，这在现实中很难满足，参
数的变化可能影响模型的预测效果。
模型应用范围与限制
领域限制
向量自回归和向量误差修正模型 主要应用于宏观经济和金融领域 的数据分析，在其他领域的应用 可能受到限制。
向量自回归和向量误 差修正模型
目录
• 向量自回归模型（VAR） • 向量误差修正模型（VECM） • 向量自回归和向量误差修正模型的应用 • 向量自回归和向量误差修正模型的比较与选择 • 向量自回归和向量误差修正模型的局限性
01
向量自回归模型（VAR）
VAR模型的原理
多个时间序列变量同时受到各自 滞后值和相互之间滞后值的影响。
模型选择与优化
在向量误差修正模型中，需要根据实际问题和数据特点选择合适的滞后阶数和模型形式。 同时，可以通过比较不同模型的拟合优度、解释力度等指标来优化模型。
03
向量自回归和向量误差修 正模型的应用
宏观经济预测
总结词
向量自回归和向量误差修正模型在宏观经济预测中具有重要应用，能够分析多个经济变量之间的动态关系，预测 未来经济走势。
参数值。
计量经济学第5章动态计量经济模型
单位：亿元
GDP 184937.4 216314.4 265810.3 314045.4 340902.8 401512.8 473104.0 519470.1 568845.2 636138.7
年 份
全社会固定资产 投资 88773.6 109998.2 137323.9 172828.4 224598.8 251683.8 311485.1 374694.7 446294.1 512020.7
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
256327.0 183801.3 21.54516 21.69429 21.57040 1.995547
不难看出，（5.13）式
Yt=α δ +β δ Xt+(1-δ )Yt-1+δ ut 与变换后的考
伊克模型的形式相似，我们也不难通过对（5.13）式 中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的形式。
例1
表5.1
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
将式（5.10）代入（5.12），得到
Yt=α δ +β δ Xt+(1-δ )Yt-1+δ ut
用此模型可估计出α 、β 和δ 的值。
（5.13）
与考伊克模型类似，这里也存在解释变量为随机变 量的问题（Yt-1）。区别是考伊克模型中,Yt-1与扰动项 （ut-λ ut-1）同期相关，而部局部调整模型不存在同 期相关。在这种情况下，用OLS法估计，得到的参数估 计量是一个一致的估计量。
误差修正模型
样本容量 25 50 100 ∝
表 9.3.1 双变量协整 ADF 检验临界值
显著性水平
0.01
0.05
-4.37
-3.59
-4.12
-3.46
-4.01
-3.39
-3.90
-3.33
0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05
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例9.3.1 检验中国居民人均消费水平CPC与人均国内生 产总值GDPPC的协整关系。
在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而§2.10中已 给出了它们的回归式
CPCt 49.764106 0.45831 GDPPC t
R2=0.9981
通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验
模型
eˆt 1.55eˆt1 1.49eˆt1 2.27eˆt3
反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小 于第一种情形下的Yt 。
可见，如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长 期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡点的偏离从 本质上说是“临时性”的。
因此，一个重要的假设就是:随机扰动项t必须是平稳 序列。
显然，如果t有随机性趋势（上升或下降），则会导 致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被 消除。
从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可 能成为平稳的。
例如：假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果
该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由 非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称 变量X与Y是协整的（cointegrated）。
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误差修正模型
第二节 误差修正模型（Error Correction Model ，ECM ）一、误差修正模型的构造对于y t 的(1，1)阶自回归分布滞后模型：t t t t t y x x y εβββα++++=--12110在模型两端同时减y t-1，在模型右端10-±t x β，得：tt t t tt t t t t t t t x y x x y x y x x y εααγβεββββαββεββββα+--+∆=+---+--+∆=+-+++∆+=∆------)(])1()1()[1()1()(1101012120120121100其中，12-=βγ，)1/()(2ββαα-+=，)1/(211ββα-=。
记 11011-----=t t t x y ecm αα（5-5） 则t t t t ecmx y εγβ++∆=∆-1（5-6）称模型（5-6）为“误差修正模型”，简称ECM 。
二、误差修正模型的含义如果y t ~ I(1)，x t ~ I(1)，则模型（5-6）左端)0(~I y t∆，右端)0(~I x t∆，所以只有当y t 和x t 协整、即y t 和x t 之间存在长期均衡关系时，式（5-5）中的ecm~I(0)，模型（5-6）两端的平稳性才会相同。
当y t 和x t 协整时，设协整回归方程为：t t t x y εαα++=10它反映了y t 与x t 的长期均衡关系，所以称式（5-5）中的ecm t -1是前一期的“非均衡误差”，称误差修正模型（5-6）中的1-t ecmγ是误差修正项，12-=βγ是修正系数，由于通常1||2<β，这样0<γ；当ecm t -1 >0时（即出现正误差），误差修正项1-t ecm γ< 0，而ecm t -1 < 0时（即出现负误差），1-t ecm γ> 0，两者的方向恰好相反，所以，误差修正是一个反向调整过程（负反馈机制）。
实验报告二——误差修正模型的建立与分析
实验报告（二）——误差修正模型(ECM)的建立与分析一、单位根检验：1、绘制cons与GDP的时间序列图：从时间序列图中可以看出，cons与GDP随时间增加都呈上升趋势，表现出非平稳性。
2、对cons进行单位根检验：先选择对原序列（level）进行单位根检验，根据cons与GDP的时间序列图的走势，选择trend and intercept的检验方法，在maximum lags中填写ADF 检验方法的滞后期为0，从上表中可以看出，P值为0.9888，大于0.05的显著性水平，说明原序列是非平稳的。
选择cons的一阶差分（1st）和trend and intercept,从上表中可以看出，经过一阶差分后，P值（=0.5099）仍然没有通过0.05的置信水平检验，说明是不平稳的，需要继续改进。
再试用ADF检验，在滞后期（maximum lags）中填入8，选择一阶差分和trend and intercept，得出上表，可以看出P值=0.0801，大于0.05，没有通过0.05的置信水平检验，说明是不平稳的，需要继续改进。
再试用ADF检验，在滞后期（maximum lags）中填入6，选择二阶差分和trend and intercept，得出上表，可以看出P值=0.0137，小于0.05，通过0.05的置信水平检验，说明是平稳的。
3、对GDP进行单位根检验：先选择对原序列（level）进行单位根检验，根据cons与GDP的时间序列图的走势，选择trend and intercept的检验方法，在maximum lags中填写ADF 检验方法的滞后期为0，从上表中可以看出，P值为1.0000，大于0.05的显著性水平，说明原序列是非平稳的。
选择GDP的一阶差分（1st）和trend and intercept,从上表中可以看出，经过一阶差分后，P值（=0.5574）仍然没有通过0.05的置信水平检验，说明是不平稳的，需要继续改进。
经济统计学中的误差校正模型
经济统计学中的误差校正模型经济统计学是研究经济现象和经济活动的科学，它通过收集、整理和分析大量的统计数据来揭示经济运行的规律和特点。
然而，由于数据的收集和处理过程中存在各种误差，这些误差会对统计结果产生影响，因此需要使用误差校正模型来修正统计数据。
一、误差校正模型的背景和意义在经济统计学中，误差校正模型是一种用于修正统计数据误差的方法。
由于经济活动的复杂性和多样性，数据收集过程中难免会出现各种误差，比如抽样误差、测量误差和非抽样误差等。
这些误差会对统计结果产生一定的偏差，因此需要使用误差校正模型来进行修正，以保证统计结果的准确性和可靠性。
二、误差校正模型的类型误差校正模型主要包括线性模型、非线性模型和混合模型等。
线性模型是最简单和常用的误差校正模型，它假设误差项与自变量之间存在线性关系，通过对误差项进行线性修正来纠正数据误差。
非线性模型则假设误差项与自变量之间存在非线性关系，通过对误差项进行非线性修正来纠正数据误差。
混合模型则是线性模型和非线性模型的综合应用，根据具体情况选择合适的修正方法。
三、误差校正模型的应用领域误差校正模型在经济统计学中有广泛的应用，主要包括国民经济核算、价格指数计算、就业统计和财政收支统计等领域。
在国民经济核算中，误差校正模型可以对国内生产总值（GDP）进行修正，以提高统计数据的准确性和可比性。
在价格指数计算中，误差校正模型可以对物价指数进行修正，以反映实际的价格水平变动。
在就业统计中，误差校正模型可以对就业人数和就业率进行修正，以反映实际的就业情况。
在财政收支统计中，误差校正模型可以对财政收入和支出进行修正，以保证统计数据的真实性和可比性。
四、误差校正模型的局限性和挑战误差校正模型虽然在经济统计学中有重要的应用价值，但仍然存在一些局限性和挑战。
首先，误差校正模型的建立需要大量的统计数据和复杂的计算方法，对数据的质量和处理能力要求较高。
其次，误差校正模型的修正效果受到多种因素的影响，如样本大小、误差类型和模型选择等，需要进行合理的假设和参数估计。
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例：（file: break2）东北、华北、华东、华中21省市1993和1998年耕地面积（land ,百万公顷）和农业产值（Y , 百亿元）数据见图（已取对数）。
用圆圈表示的观测点为1993年数据，用三角表示的观测点为1998年数据。
大体看各省市1998年耕地面积比1993年耕地面积略有减少，产值却都有增加。
以1993和1998年数据为两个子样本，以42个数据为总样本，求得残差平方和见下表-10123-2-1123LOG(LAND)LOG(Y93)LOG(Y98)-10123-2-1123LOG(LAND)LOG(Y93)LOG(Y98)样本容量 残差平方和相应自由度回归系数 1 T = 42 SSE T = 14.26 T - k = 402 n 1= 21 SSE 1 = 4.37 n 1 - k = 19 α1 3n 2= 21SSE 2 = 3.76n 2 - k = 19β1注：三次回归的模型形式Lnout t = β0 +β1 Lnland t + u t 。
因为，F =)2/()(/)]([2121k T SSE SSE k SSE SSE SSE T -++-=38/)76.337.4(2/)]76.337.4(26.14[++-= 14.33 > F (1, 40) = 7.31所以两个年度21省市的农业生产发生了很大变化。
案例1：开滦煤矿利润影响因素的实证分析（1903-1940，动态分布滞后模型，file:LH1）（发表在《学术论坛》，2003.1, p. 88-90）1000200030004000500060000510152025303540销煤量 x1图 1 开滦煤矿销煤量变化曲线（x 1, 1903-1940）2468101214160510152025303540吨煤售价 X2图2 开滦煤矿吨煤售价变化曲线（x 2, 1903-1940）100002000030000400000510152025303540利润 Y图3 开滦煤矿利润变化曲线（1903-1940）78910116.57.07.58.08.59.0LNX 1LNY图4 开滦煤矿利润对销煤量散点图78910111.01.52.02.53.0LN X 2LN Y图5 开滦煤矿利润对吨煤售价散点图1）建立ADL(2,2,2)Y t =0.2937Y t -1+0.2038 Y t -2+4.2469 X 1t –3.5106 X 1t -1（2.5） （2.4） （7.3） （-5.5）+2964.25 X 2t –1390.66 X 2t –1-1433.01 X 2t –2 (1) （7.3） （-1.7） （-2.3）R 2 = 0.96, s.e.=1504.7, LM (2) = 4.10, DW=2.16, F=128.7, Q (15) = 8.1 (1905-1940)用上式求长期关系，Y t = 1.4653 X 1t + 278.6X 2t (2)*()()j jjj s X s Y ββ=, j = 1, 2β1* = 1.4653 (1453.8 / 7134.1) = 0.2986 β2* = 278.6 (2.2067 / 7134.1) = 0.0862无量纲长期参数估计结果是Y = 0.2986 X 1 + 0.0862X 2 (3)这说明实际上X 1 对Y 的影响大于X 2对Y 的影响。
2) ADL(1,1,2)LnY t =0.7502LnY t -1+1.8804 LnX 1t –1.6210LnX 1t -1（9.0） （8.2） （-6.7） +1.5037 LnX 2t –1.4787 LnX 2t –1 (4)（6.0）（-4.9）R2 = 0.95, LM(2) = 1.91, DW=1.7, F=140.7, Q(15) = 6.0, （1903-1940) LnY t= 1.038 LnX1t + 0.100 LnX2t(5)这说明LnY t对LnX1t的弹性系数远远大于LnY t对LnX2t的弹性。
案例2：关于日本人均消费的误差修正模型（见教材206-213页，file: b5c1）本案例采用“一般到特殊”建模方法用1963-1993年（T = 31）日本人均年消费、可支配收入（单位：万日元）和价格数据建立消费模型。
（注意：本章假定变量具有平稳性。
但本案例中变量是非平稳的。
因为变量具有协整性，所以不影响对误差修正模型的介绍。
）1）定义变量如下：LnC t：对数的人均年消费额（不变价格，1985 = 1）。
LnI t：对数的人均年可支配收入额（不变价格，1985 = 1）。
LnP t：对数的消费价格指数（1985 = 1）。
原始数据摘自日本《家计调查年报》1963, …, 1993（日本总务厅统计局出版）经作者进一步计算得到LnC t ，LnI t 和LnP t 数据（见表5.1）。
曲线分别见图5.2和图5.3。
3.84.04.24.44.64.85.0657075808590LnCLnI图5.2 LnC t 和LnI t-1.6-1.2-0.8-0.4.0.4657075808590LnP图5.3 LnP t2）建立一般模型首先建立一个ADL(1, 1, 2) 模型（含有两个外生变量，解释变量与被解释变量各滞后一期）作为“一般模型”。
用1963-1993年数据得估计结果∧t LnC = 0.2621 + 0.8297 LnI t - 0.0414 LnP t(1.81) (7.75) (-0.65)+ 0.6501 LnC t -1 - 0.5532 LnI t -1 + 0.0543 LnP t -1(4.69) (-3.65) (1.07) R 2 = 0.9989, SSE = 0.0015, DW = 1.90 (5.87) LM 1 = 0.039, LM 2 = 4.76, ARCH = 0.58, T = 30其中括号内给出的数字是t 值。
LM 1 和 LM 2 分别用来检验 t uˆ是否存在一阶和二阶自相关。
ARCH 用来检验t u ˆ是否存在异方差。
因为 χ 2(1) = 3.84， χ2(2) = 5.99，DW = 1.90，可见模型 (5.87) 的残差项中不存在自相关和异方差。
因为R 2= 0.9989，(5.87) 式中的解释变量解释了LnC t 变化的99.89 %。
综上，可以把 (5.87) 式看作“一般模型”。
3）长期关系用 (5.87) 式计算变量间的长期关系。
α* =)1(1αα-= 0.2621 / (1- 0.6501) = 0.7491,β* =)1()(110αββ-+= (0.8297 - 0.5532) / (1- 0.6501)= 0.7902,γ* = )1()(110αγγ-+= (-0.0414 + 0.0543) / (1- 0.6501) = 0.0369. 长期关系LnC t =0.7491+0.7902LnI t +0.0369 LnP t (5.89) 4）简化模型从 (5.87) 式中删除解释变量LnP t 得∧t L n C = 0.3181 + 0.8756 LnI t + 0.6466 LnC t -1(2.75) (10.97) (4.72)- 0.6078 LnI t -1 + 0.0218 LnP t -1. (5.91) (-4.86) (2.09)R 2 = 0.9989, SSE = 0.0015, DW = 1.95 LM 2 = 2.8, ARCH = 0.26, F = 68.1, T = 30 由DW ，LM 2 和ARCH 的值知上式既不存在自相关也不存在异方差（由一般到特殊的第一步）。
解释变量解释了LnC t 变化的99.89 %。
由t 值可以看出上式中的所有参数都具有显著性，不应该再从中删除任何解释变量。
5）试分析假如从上式中删除收入变量（LnI t 和LnI t -1），得∧tLnC = 0.1932 + 0.9600 LnC t -1 - 0.0168 LnP t -1. (5.92) (0.88) (19.95) (-0.78) R 2= 0.9935, SSE = 0.0088,DW = 2.27, F = 2060.3, T = 30这相当于对模型（5.90）施加约束 β0 = β1 = 0。
对上述联合约束进行检验的F 统计量的值按下式计算，)/(/)(k T SSE mSSE SSE F u u r --==)530/(0015.02/)0015.00088.0(--= 60.8(5.93)因为F 0.05 (2, 25) = 3.39，F = 60.8 > 3.39，约束条件 β0 = β1 = 0被拒绝，所以LnI t 和LnI t -1是重要的解释变量，不应从模型中删除。
同理LnC t -1和LnP t -1也是重要的解释变量，不应从模型中删除。
6）建立误差修正模型(1)从模型 (5.91) 两侧同减LnC t -1，重新估计得∆∧tLnC= 0.3181 + 0.8756LnI t - 0.3534 LnC t-1(2.75) (10.97) (-2.58)- 0.6078LnI t-1 + 0.0218LnP t-1, (5.95)(-4.86) (2.09)R 2 = 0.9159, SSE = 0.0015, DW = 1.95,F = 68.1, T = 30.(2)在(5.95) 式右侧同时加减LnI t-1，重新估计得，∆∧t LnC= 0.3181 + 0.8756∆ LnI t - 0.3534 LnC t-1(2.75) (10.97) (-2.58)+ 0.2678LnI t-1 + 0.0218LnP t-1, (5.97)(2.35) (2.09)R 2 = 0.9159, SSE = 0.0015, DW = 1.95,LM2 = 2.8, ARCH = 0.26, F = 68.1, T = 30. (3)整理模型对上式作进一步线性变换，得到误差修正模型的标准形式。
∆∧tLnC= 0.3181 + 0.8756∆ LnI t-0.3534(LnC t-1 -0.7578LnI t-1 -0.0617LnP t-1 ), (5.98)把截距项移入括号，∆∧tLnC= 0.8756∆LnI t-0.3534(LnC t-1-0.9001-0.7578LnI t-1-0.0617LnP t-1 )(5.99) 日本（对数）人均消费与人均可支配收入、价格的长期关系是LnC t = 0.9001+ 0.7578 LnI t+ 0.0617LnP t(5.100) 这一结果与(5.89) 式LnC t = 0.7491 + 0.7902LnI t + 0.0369LnP t(5.89) 极为相似。