第6章协整和误差修正模型
协整和误差修正模型
协整和误差修正模型一、协整理论 1. d 阶单整序列对不平稳时间序列{}t Y 进行d 阶差分如下(d =1,2,…n)：1t t t Y Y Y -∆=- 一阶差分21()t t t t Y Y Y Y -∆=∆∆=∆-∆ 二阶差分……1111()d d d d t t t t Y Y Y Y ----∆=∆∆=∆-∆ d 阶差分若{}t Y 进行d 阶差分后成为平稳序列, 则称{}t Y 为d 阶单整序列。
记为{}~()t Y I d2. 协整定义如果时间序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r tttY Y Y 都是d 阶单整序列，即，{}~(),1,2,...,jtY I d j r =，且存在12,,...,rβββ使得(1)(2)()12...~()r t t r t Y Y Y I d b βββ+++-其中b>0, 称序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在(d,b) 阶协整关系。
3. 协整的意义若序列{}{}{}(1)(2)(),,...,r t tt Y Y Y 存在协整关系，则它们之间存在长期稳定关系，对它们进行回归，可排除伪回归现象。
4. 协整检验EG 两步法( see p.275)二、误差修正模型 ECM 方法：若{}{},t t X Y 都是1阶单整序列，它们存在协整关系，建立自回归模型 012131t t t t t Y X Y X ββββμ--=++++ (1) 整理得：011t ttt Y X e ββγμ-∆=+∆++ (2) 其中t e 为残差序列, 1t e -为误差修正项。
(1) 或(2) 称为ECM模型，用于短期分析。
它们的Eviews命令分别为：LS Y C X Y(-1) X(-1),或：GENR T=Y-Y(-1)GENR H=X-X(-1)GENR e= residLS T C H e(-1)三、实例根据下表，讨论时间序列的平稳性、协整关系以及它们的误差修正模型。
5.3 协整与误差修正模型 计量经济学PPT课件
• 非平稳的时间序列，它们的线性组合也可能成为 平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。
3、协整
• 如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量 =(1,2,…,k)，使得Zt=XT ~ I(d-b)， 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列 {X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)， 为协整向量（cointegrated vector）。
5%的显著性水平下协 整的ADF检验临界值
为－3.521
注意：查什么临 界值表？
结论：中国居民总量消费的对数序 列lnY与总可支配收入的对数序列 lnX之间存在（1,1）阶协整。
注意：
这里采用由协整检 验临界值表算得的 临界值（－3.521 ），没有采用ADF 检验给出的临界值 （－1.953），是 正确的。但是，在 很多应用研究中忽 视了这一点，而直 接采用ADF检验给 出的临界值，则是 错误的，容易产生
• 均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序 列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时 间序列。
• 协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程 的随机扰动项必须是白噪声。
• 不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。
五、误差修正模型 Error Correction Model, ECM
1、一般差分模型的问题
• 对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其 化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析 模型。
Yt 0 1 X t t
Yt 1X t vt vt t t1
协整与误差修正模型的研究
协整与误差修正模型的研究第一部分协整理论概述 (2)第二部分误差修正模型介绍 (4)第三部分协整与误差修正关系 (7)第四部分模型构建与检验方法 (9)第五部分实证分析应用案例 (13)第六部分结果解释与经济含义 (16)第七部分模型局限性与改进方向 (18)第八部分研究展望与未来趋势 (22)第一部分协整理论概述协整理论概述在经济学和金融学中，我们常常遇到时间序列数据之间的长期均衡关系。
然而，在实际经济活动中，这种均衡关系并不总是能够得到严格的保持，而是存在着一定程度的波动和偏差。
为了解决这一问题，经济学家们提出了协整理论。
协整理论是指两个或多个非平稳的时间序列之间存在一种长期稳定的关系。
换言之，即使各时间序列本身是随机游走的过程，它们之间也可能存在一个稳定的线性组合，使得这个组合呈现出平稳性质。
协整理论的发展为研究经济变量之间的长期动态关系提供了一个强有力的工具。
协整理论的核心思想是由 Engle 和Granger 于1987 年提出的。
他们认为，如果两个非平稳的时间序列之间存在协整关系，则这两个时间序列可以通过一个线性组合达到长期均衡状态，且这个线性组合具有零均值、有限方差和恒定自相关等特性。
在这个意义上，我们可以将协整关系看作是一种长期均衡关系的表现形式。
为了检验两个时间序列之间是否存在协整关系，Engle 和 Granger 提出了一种两步法：首先检验每个时间序列是否为非平稳过程；然后，如果这两个时间序列都是非平稳过程，再通过回归分析来检验它们之间是否存在协整关系。
这种方法被称为 Engle-Granger 两步协整检验。
除了 Engle-Granger 两步协整检验之外，还有许多其他的方法可以用来检验协整关系，例如 Johansen 检验和 Pedroni 检验等。
这些方法都可以有效地帮助我们确定不同时间序列之间的协整关系。
协整理论不仅用于检验不同时间序列之间的长期均衡关系，还可以用于构建误差修正模型。
协整与误差校正模型PPT学习教案
ˆ ˆ
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)dr]2
1 2
说明：在零假设下统计量T
1 2
t
弱收敛于维纳过程的泛函T，
1 2
t
具有规范的极限分布；原来的T统计量既不服从T分布，也不
存在规范的极限分布，T统计量将随样本容量的增加而发散。
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协整协整的的严概念格 定义：
设有K( 2) 个序列 y1t , y2t ,, ykt 用, Yt ( y1t , y2t表,示, ykt )
由此K个序列构成的K维向量序列，如果：
（1）每个序列 y1t ,y2t ,,ykt 都是d阶单整序列；
所体现的回归关系不是伪回归，回归系数的最小二乘估
计是协整向量的一致估计，残差估计uˆt ~ I (0) 为一平稳
随机过程。
问题：如何检验残差序列uˆ t 的平稳性？（DF、ADF、 PP检验）。请注意uˆ t： 不是直接的观测样本。
协整与误差修正模型
协整与误差修正模型有些时间序列，虽然他们本身非平稳，但是其线形组合确实平稳。
这个线形组合反映了变量之间的长期稳定的比例关系，称为协整关系。
第一节协整的定义与协整检验1、协整的定义如果时间序列nt t t y y y ,,21都是d 阶单整，即)(d I ，存在一个向量),(21n αααα =，使得)(~b d I y -'α，这里),,(21nt t t t y y y y =，0≥≥b d ，则称序列nt t t y y y ,,21是),(b d 阶协整的，记为),(~b d CI y t ，α为协整向量。
本部分只是介绍两个时间序列的协整关系，关于三个以上变量的协整关系将在另外一章予以讨论。
关于两个变量t x 和t y 是否协整，Engle 和Granger 于1987年提出了两步检验法，称为EG 检验。
序列t x 和t y 若都是d 阶单整的，用一个变量对另一个变量进行回归，即有t t t u x y ++=βα用αˆ和βˆ表示回归系数的估计值，则模型残差估计值为 tt t x y u βαˆˆˆ--= 若)0(~ˆI u，则t x 和t y 具有协整关系，且)ˆ(β-I 为协整向量，上式即为协整回归方程。
实例待定误差修正模型误差修正模型是由Davidsom 、Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY 模型。
对)1,1(ADL 模型t t t t t x y x y αββββ++++=--131210移项后整理可得t t t t x y x y αββββββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∆+=∆-12312101)1( 该方程即为ECM ，其中x y 2311βββ-+-是误差修正项，记为ecm 。
模型解释了因变量t y 的短期波动t y ∆是如何被决定的。
一方面，它受到自变量短期波动t x ∆的影响，另一方面，取决于ecm 。
如果变量t x 和t y 间存在着长期均衡关系，即有x y α=，式中的ecm 可以改写为x y 2311βββ-+= 可见，ecm 反映了变量在短期波动中偏离它们长期均衡关系的程度，称为均衡误差。
协整和误差修正模型
（6）取 1 0，则模型变为 yt = 0 + 1 yt -1 + 0 xt + ut.
此模型称为局部调整模型（偏调整模型）。
（7）取 0 0，则模型变为 yt = 0 + 1 yt -1 + 1 xt -1 + ut .
模型中只有变量的滞后值作解释变量，yt的值仅 依靠滞后信息。这种模型称为“盲始”模型。
从上式两侧同时减 yt-1，在右侧同时加减 0xt -1 得：
yt = 0 + 0 xt + (1 -1) yt-1 + (0 + 1) xt-1 + ut
上式右侧第三、四项合并得：
yt = 0 + 0 xt + (1 - 1 ) ( yt-1 - k1 xt-1) + ut 其中k1 = (0 + 1) / (1 - 1 )。在上述变换中没有破坏恒
n
yt = 0 + i xti + ut , ut IID (0, 2 ) i0
上述模型的一个明显问题是xt与xt -1 , xt-2, …, xt - n 高
度相关，从而使 j的OLS估计值很不准确。
3.动态分布滞后模型（自回归分布滞后模型）
如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞
长期趋势模型： yt = k0 + k1 xt + ut
短期波动模型： yt = 0 xt + (1- 1 ) ECMt + ut
ECMt = yt-1 - k0 - k1 xt-1
三、误差修正模型（ECM）的建立
（2） ECM模型中的参数 k0 , k1 估计方法有 ： ① 若变量为平稳变量或者为非平稳变量但存在长期
第6章协整和误差修正模型
第6章协整和误差修正模型本章介绍含有非平稳变量结构方程或V AR的估计。
在一维模型中，我们已经看到，可以通过差分去掉一个随机趋势，得到的平稳序列，再用Box-Jenkins方法来估计模型。
在多维情况下，并不这样直接处理。
通常，整变量的线性组合是平稳的，这些变量称为协整的。
许多经济模型都有这种关系。
本章主要内容：1．介绍协整的基本概念，及在经济模型中的应用。
非平稳变量之间的均衡关系意味着它们的随机趋势是相联系的。
均衡关系意味着这些变量不能相互独立运动。
随机趋势之间的这种联系保证了这些变量是协整的。
2．考虑了协整变量的动态路径，由于协整变量的趋势是相互联系的，这些变量的动态路径反映了偏离均衡的偏差的联系。
详细分析了变量的变化与偏离均衡的偏差之间的联系。
3．讨论了协整检验的几种方法。
6.1整变量的线性组合考虑一个简单的货币需求模型：1）居民持有实际货币余额，使名义货币需求与价格水平成比例；2）当实际收入及交易次数的增加，居民希望持有更多的货币余额；3）利率是持有货币的机会成本，货币需求与利率负相关。
因而，方程设定形式（采用对数形式）如下：0123t t t t t m p y r e ββββ=++++ （6.1.1） 这里： t m =货币需求， t p =价格水平 t y =实际收入 t r =利率t e =平稳扰动项i β=待估计的参数在货币市场是均衡的条件下，可以得到货币供给、价格水平、实际收入和短期利率的时间序列数据，且要求1231,0,0βββ=><。
当然，在研究中需要检验这些限制。
货币需求的任何偏差{}t e 必须是暂时的。
如果{}t e 有随机趋势，偏离货币市场均衡的偏差不能消失。
所以，这里的关键假设是{}t e 是平稳的。
许多研究者认为，实际GDP 、货币供给、价格水平、利率都是I(1)变量。
每个变量都没有返回到长期水平的趋势。
但（6.1.1）说明：对这些非平稳变量，存在线性组合是平稳的。
协整分析与误差修正模型
协整分析与误差修正模型1.协整分析协整分析用于找到两个或多个非平稳时间序列之间的长期关系。
当两个变量之间存在协整关系时，它们的线性组合将是平稳的。
协整关系可以解释为变量之间长期的平衡关系，即存在一种平衡机制使得变量保持在一个相对稳定的范围内。
协整分析的步骤如下：1）对非平稳时间序列进行单位根检验，例如ADF检验。
2）如果两个或多个时间序列都是非平稳的，那么可以进行线性组合，得到一个平稳的时间序列，通过单位根检验确定这个线性组合是否是平稳的。
3）如果线性组合是平稳的，那么就可以认为存在协整关系。
协整分析的优点是可以探索多个非平稳时间序列之间的关系，并且提供了具体的数值关系，能够描述长期平衡关系。
但是，协整分析不能提供因果关系，只能提供关联关系。
2.误差修正模型(ECM)误差修正模型是一种用于描述非平稳变量之间长期关系的模型。
它是在协整分析的基础上发展而来的。
误差修正模型的基本思想是，如果两个变量之间存在协整关系，那么它们之间的误差会随着时间的推移逐渐修正，回归到长期平衡关系。
因此，误差修正模型可以用来分析变量之间的动态行为。
基本的误差修正模型可以表示为：△Y_t=α+βX_t-1+γE_t-1+ε_t其中，△表示时间差分，Y_t和X_t分别表示被解释变量和解释变量，E_t表示长期误差修正项，ε_t表示短期误差项。
α、β和γ分别表示模型的截距和参数。
误差修正模型的步骤如下：1）进行协整分析，确定变量之间的协整关系。
2）构建误差修正模型，通过估计模型参数来描述长期关系。
3）进行模型检验，包括参数显著性检验、拟合优度检验等。
4）根据模型结果进行解释和预测。
误差修正模型的优点是能够同时分析长期和短期关系，提供了关于变量之间回归到长期平衡的速度信息。
同时，误差修正模型还可以用于预测和政策分析等方面。
但是，误差修正模型的局限性在于假设模型中的所有变量都是线性关系，不能很好地处理非线性关系。
综上所述，协整分析和误差修正模型是非平稳时间序列分析中常用的方法，它们能够揭示非平稳变量之间的长期关系，并对其动态行为进行建模和分析。
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第6章协整和误差修正模型本章介绍含有非平稳变量结构方程或VAR的估计。
在一维模型中，我们已经看到，可以通过差分去掉一个随机趋势，得到的平稳序列，再用Box-Jenkins方法来估计模型。
在多维情况下，并不这样直接处理。
通常，整变量的线性组合是平稳的，这些变量称为协整的。
许多经济模型都有这种关系。
本章主要内容：1．介绍协整的基本概念，及在经济模型中的应用。
非平稳变量之间的均衡关系意味着它们的随机趋势是相联系的。
均衡关系意味着这些变量不能相互独立运动。
随机趋势之间的这种联系保证了这些变量是协整的。
2．考虑了协整变量的动态路径，由于协整变量的趋势是相互联系的，这些变量的动态路径反映了偏离均衡的偏差的联系。
详细分析了变量的变化与偏离均衡的偏差之间的联系。
3．讨论了协整检验的几种方法。
6.1整变量的线性组合考虑一个简单的货币需求模型：1）居民持有实际货币余额，使名义货币需求与价格水平成比例；2）当实际收入及交易次数的增加，居民希望持有更多的货币余额；3）利率是持有货币的机会成本，货币需求与利率负相关。
因而，方程设定形式（采用对数形式）如下：0123t t t t t m p y r e ββββ=++++ （6.1.1） 这里： t m =货币需求，t p =价格水平t y =实际收入t r =利率t e =平稳扰动项i β=待估计的参数在货币市场是均衡的条件下，可以得到货币供给、价格水平、实际收入和短期利率的时间序列数据，且要求1231,0,0βββ=><。
当然，在研究中需要检验这些限制。
货币需求的任何偏差{}t e 必须是暂时的。
如果{}t e 有随机趋势，偏离货币市场均衡的偏差不能消失。
所以，这里的关键假设是{}t e 是平稳的。
许多研究者认为，实际GDP 、货币供给、价格水平、利率都是I(1)变量。
每个变量都没有返回到长期水平的趋势。
但（6.1.1）说明：对这些非平稳变量，存在线性组合是平稳的。
协整的概念由Engle 和Granger(1987)引出。
考虑一组具有长期均衡关系11220t t n nt x x x βββ+++=的经济变量。
令β和t x 表示向量12(,,,)n βββ和12(,,,)t t nt x x x '，当0t x β=，则系统处在长期均衡。
偏离长期均衡的偏差（均衡误差）是t e ，使t t e x β=要使均衡有意义，均衡误差过程必须是平稳的。
经济理论学家和计量经济学家使用“均衡”概念的方式是不同。
经济理论学家通常使用“均衡”这个概念—需求和供给相等。
计量经济学家使用“均衡”这个概念—非平稳变量之间的长期关系。
在协整理论中，并不要求长期关系是由市场力量或居民行为规则而产生。
Engle 和Granger 认为均衡关系是具有相同趋势变量中的一种简单的导出型关系。
Engle 和Granger （1987）给出下面定义：向量12(,,,)t t t nt x x x x '=是(,)d b 阶协整的（表示为),(~b d CI x t ）如果1．t x 的所有元素的阶为d 。
2．存在向量12(,,,)n ββββ=使线性组合1122t t t n nt x x x x ββββ=+++是()d b -阶单整（b>0），向量β被称为协整向量。
在（6.1.1）中，如果货币供给、价格水平、实际收入、利率都是I(1)的且线性组合0123t t t t t m p y r e ββββ----=是平稳的，那么变量是阶为（1，1）协整的。
协整向量是0123(1,,,,)βββββ=----偏离货币市场的偏差是t e ，由于t e 是平稳的，这种偏离是暂时的。
关于定义，有下面4点需要注意：1．协整的概念涉及到非平稳变量的线性组合，理论上，整变量之间可能存在非线性长期关系。
但是，目前计量经济方法刚开始研究非线性协整关系的检验。
还须注意，协整向量不是唯一的。
2．如果t x 有n 个非平稳分量，那么它最多可能有(n-1)个线性独立的协整向量。
显然，如果t x 只包含两个变量，那么至多有一个独立的协整向量。
独立的协整向量个数被称为协整秩。
例如，假设货币供给按照逆周期原则：当名义GDP 很高时，减少货币供给，当名义GDP 很低时增加货币供给。
这个原则可表示为： 011()t t t t m y p e γγ=-++0111t t t y p e γγγ=--+这里1{}t e =货币供给逆周期原则中的平稳误差。
这时货币需求函数存在两个协整向量。
令β是52⨯阶0123011110βββββγγγ----⎛⎫= ⎪-⎝⎭有两个线性组合是平稳的，t x 的协整向量秩是2。
6.2 协整和公共趋势Stock 和Watson （1988）认为协整变量具有公共的随机趋势。
这为理解协整关系提供了一个有用的方式。
设向量t x 只包含两个变量(,)t t t x y z '=，不考虑周期和季节因素，我们可以设每个变量是随机游动加不规则元素:t yt yty e μ=+t zt zt z e μ=+这里：it μ=随机游动，表示变量i ),(z y i = 中的趋势it e =变量i 中平稳（不规则）元素如果{}t y 和{}t z 是（1，1）阶协整，存在非零值12,ββ使线性组合12t t y z ββ+是平稳的，注意，1212()()t t yt yt zz zt y z e e βββμβμ+=+++1212()()yt zt yt zt e e βμβμββ=+++由于12t t y z ββ+是平稳的，所以没有趋势，那么趋势部分（12)yt zt βμβμ+一定为零，又因为第2个括号是平稳的，{}t y 和{}t z 是CI(1,1)的充分必要条件是120yt zt βμβμ+=要保证上式成立，当且仅当21(/)yt zt μββμ=-。
即两个随机趋势至多只差常数倍。
也即是说，如果两个I(1)随机过程{}t y 和{}t z 是（1，1）阶协整的，那么它们一定有相同的随机趋势。
6.3 协整和误差修正协整变量间的关键特征是它们的时间路经受偏离长期均衡的程度的影响。
如果系统偏离长期均衡，它们中至少有一个变量的运动方式对偏离均衡的程度有反应。
例如，利率期限结构理论说明了长期利率，短期利率的一种长期关系。
如果长期利率、短期利率之间的差相对于长期均衡关系较大，短期利率相对于长期利率最终要上升。
短期动态一定受偏离长期关系的偏差所影响。
这里所说的动态模型是指误差修正模型。
在一个误差修正模型中，短期动态受偏离长期均衡的偏差所影响。
若假设长、短期利率都是I(1)的，可以应用到利率期限结构的误差修正模型是11(),0st s Lt st st s r r r αβεα--∆=-+>。
（6.3.1）11(),0Lt L Lt st Lt L r r r αβεα--∆=--+>。
（6.3.2）这里，,st Lt εε是可以相关的白噪声扰动，Lt r 和st r 是长、短期利率，,,s L ααβ是参数。
短期、长期利率的变化受随机冲击（,st Lt εε）的影响，也受前一期偏离长期均衡的偏差所影响。
如果这个偏差是正的11(0)Lt st r r β--->，短期利率将上升，长期利率下降。
当Lt st r r β=时，达到长期均衡。
由假设，st r ∆是平稳的，使得（6.3.1）左边是平稳的，右边也一定是I(0)的。
又st ε是平稳的，所以，11Lt st r r β---一定是平稳的。
所以，两个利率一定是协整的，协整向量是(1,)β-。
当然，同理可说明（6.3.2）。
这里需要注意的是误差修正表示要求两个变量是CI(1.1)阶协整。
在方程中，还可引入利率变化的滞后项，形成更一般的模型：10111112()()()st s Lt st st i Lt i st r a r r a i r a i r αβε----∆=+-+∆+∆+∑∑（6.3.3） ∑∑+∆+∆+--=∆----Lt i Lt i st st Lt L Lt r i a r i a r r a r εβα)()()(22211120（6.3.4）方程（6.3.3）、（6.3.4）类似于VAR 模型。
这个两变量的误差修正模型是二维VAR 模型且加入了误差修正项11()s Lt st r r αβ---和11()L Lt st r r αβ----。
参数,s L αα解释成调整速度。
s α越大，对前期偏离长期均衡的偏离的反应越大。
较小的s α值意味着短期利率对上期的均衡误差反应不大。
要想{}st r ∆不受长期利率Lt r 的影响，s α和所有12()a i 必须为零。
当然，（6.3.3）,(6.3.4)中至少有一个调整系数不为零。
如果s α和L α都为零，方程中没有长期均衡关系式，则模型不是误差修正模型或者说不是协整的。
这些结果也可被容易推广到n 个变量模型。
如果12(,,,)t t t nt x x x x '=可被表示成如下形式：011122t t t t p t p t x x x x x πππππε----∆=++∆+∆++∆+ （6.3.5）则说t x 有一个误差修正表示。
这里0π=截距向量，元素为0i πi π=具有元素()jk i π的系数矩阵π=具有元素jk π的系数矩阵（非零矩阵）t ε=具有元素it ε的向量令所有t x 中的变量都是I(1)，如果这些变量有误差修正表示，那么I(1)变量的一个线性组合一定是平稳的。
由（6.3.5）有10t t i t i t x x x πππε--=∆--∆-∑由于等式右边是平稳的，所以左边也一定是平稳的。
π的每行都是t x 的协整向量。
方程（6.3.5）的关键特征是存在矩阵π。
有两点需要注意:1．如果π的所有元素都为零，那么（6.3.5）就是传统的一阶差分形式的VAR 。
这时没有误差修正表示，因为t x ∆并不受前一期偏离长期均衡的偏差所影响。
2．如果有一个或更多的jk π不为零，那么t x ∆受前期偏离均衡的偏差的影响。
因此，如果t x 有误差修正表示，估计t x 作为一阶差分形式的VAR 是不恰当的。
协整和误差修正之间的关系—Granger 表示定理Granger 表示定理：对于任何一组I(1)变量，误差修正和协整是等价的表示。
下面通过考察二维VAR 模型的性质，分析协整和误差修正之间的关系111121t t t yt y a y a z ε--=++ （6.3.6）211221t t t zt z a y a z ε--=++ （6.3.7）或 111121212211t t yt t t zt y y a a z z a a εε--∆-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 这里yt ε和zt ε可以是相关的白噪声扰动。