2018届高考数学(理)小题分类集训8 数列
2018高考分类汇总——数列
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发现 时 发生变号，以下用二分法查找：
,所以所求 应在 之间.
,所以所求 应在 之间.
,所以所求 应在 之间.
∵ ，而 ，所以答案为 .
已知 成等比数列，且 ．若 ，则B
A． B． C． D．
已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
因为 ，可得 ，故 .所以 .
设等差数列 的公差为 .由 ，可得 .由 ，可得 从而 ，故 ，所以 .
（II）解：由（I），知
由 可得 ，
整理得 解得 （舍），或 .所以n的值为4.
已知集合 ,将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ,记 为数列的前 项和,则使得 成立的 的最小值为__________.
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ，
所以 ，
解得 .
由 得 ，
因为 ，所以 .
（Ⅱ）设 ，数列 前n项和为 .
由 解得 .
由（Ⅰ）可知 ，
所Байду номын сангаас ，
故 ，
.
设 ，
所以 ，
因此 ，
又 ，所以 .
设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)(3)(K12教育文档)
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2018年高考数学理科试卷（江苏卷)数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}8,2,1,0B，那么==A，{}8,6,1,1-=A．⋂B2．若复数z满足i1+⋅，其中i是虚数单位，则z的实部为．=zi23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π, 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅，则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|,{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡．．．指．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1)11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+= （1）求cos2α的值; （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△,要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点"．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值；（3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点"，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明:存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．［选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (1）求A 的逆矩阵1-A ;（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．［选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分）若x ，y ,z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P,Q分别为A 1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分）设*n ∈N ，对1,2，···,n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1），（3,1),则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式（用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8｝2．2 3．90 4．85．［2,+∞）6．3107．π6-8．29．210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：(1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC,所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：(1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ,所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ)，△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ)．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈［θ0，π2）时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ）平方米,△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14，1）．(2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2）,则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0fθ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6)时，()>0fθ′，所以f（θ）为增函数;当θ∈(π6，π2)时，()<0fθ′,所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此,点P的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为26，所以2126AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ,由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x —2，则f ′（x ）=1，g ′(x ）=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′（x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此,f （x )与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =, 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x )的“S "点，由f （x 0)与g （x 0)且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*)得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时,120e x -=满足方程组(＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a 〉0,设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈(0,1），使得0()0h x =,令03002e (1)x x b x =-,则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）与g （x )且f ′（x ）与g ′（x )，得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(**) 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g (x ）在区间（0,1）内的一个“S 点”． 因此,对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g (x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点"． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1)由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3,4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3,4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知:111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2,3，···，m +1)成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时,数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0)=1．当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2,所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2:矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P （x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2,0),直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=, 则直线l 过A (4，0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径,从而∠OBA =π2, 所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲］本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明:由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时,不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ,A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅⨯．因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310．（2)因为Q 为BC 的中点,所以31(,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3,4的排列，利用已有的1，2,3的排列,将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2)对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ,所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=, 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理)（北京卷）本试卷共5页,150分。
2018届高考数学(理)热点题型：数列(含答案解析)
数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列，∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n. (2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
【高三数学试题精选】2018高考理科数学数列总复习题(含答案)
c．640 D．641
解析由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，∴{Sn}是以1为首项，2为差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选c
答案c
5．(2018年长沙模拟)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，都有f(x )＝f(x)＋f()，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为( )
∴an＝4＋b，n＝1，3 4n－1，n≥2
综上可知当b＝－1时，an＝3 4n－1；
当b≠－1时，an＝4＋b，n＝1，3 4n－1，n≥2xb1
11．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项式．
解析(1)由已知{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，
A．2n－1 B．n
c．2n－1 D32n－1
解析由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，比为32的等比数列，∴an＝32n－1
当n＝1时，1＝a1＝3×12－12＝1，
∴数列{an}的通项式an＝3n2－n2
12．(能力提升)(2018年合肥质检)已知数列{an}满足a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项式；
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于11 000？
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列)
可得
3a1
13d
16
，从而
a1
1，
d
1 ，故
an
n
，所以，
Sn
nn 1
2
．
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（2）由（1），有 T1 T2 Tn
21 23 2n
2 1 2n n =
1 2
n 2n 1 n 2 ，由
Sn
T1
T2
Tn
an
4bn
可得
nn 1
2
2n1
n
2
n
2n1 ，
二、填空 1．（2018 北京理）设 an 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 an 的通项公式为__________．
1．【答案】 an 6n 3
【解析】 Q a1 3 ， 3 d 3 4d 36 ， d 6 ，an 3 6n 1 6n 3 ．
2．（2018 江苏）已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A B 的所有元素从 小到大依次排列构成一个数列{an} ．记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 n 的 最小值为 ▲ ．
7 21
11 22
4n 5 2n2
，
错位相减得
bn
b1
14
4n 3 2n2
，
所以 bn
15
4n 3 2n2
.
5．（2018 天津文）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于 0，其 前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求 Sn 和 Tn； （Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
2018高考分类汇总数列
设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．（I ）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=.所以122112nn n T -==--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==，故n a n =，所以(1)2n n n S +=. （II ）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得11(1)2222n n n n n n ++++--=+， 整理得2340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.已知集合{}{}**|21,,|2,n A x x n n N B x x n N ==-∈==∈,将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 解析：{}2,4,8,16,32,64,128B =⋅⋅⋅与A 相比，元素间隔大。
所以从n S 中加了几个B 中元素考虑。
1个: 23112,3,1224n S a =+=== 2个: 45224,10,1260n S a =+===3个: 78437,30,12108n S a =+=== 4个: 12138412,94,12204n S a =+===5个: 212216521,318,12396n S a =+=== 6个: 383932638,1150,12780n S a =+===发现2138n ≤≤时n+112n S a =发生变号，以下用二分法查找：3031687,12612S a ==,所以所求n 应在2229~之间. 2526462,12492S a ==,所以所求n 应在2529~之间.2728546,12540S a ==,所以所求n 应在2527~之间.∵272812S a >，而262712a a <，所以答案为27.已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 B A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（Ⅱ）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅， 因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.。
【精品】2018届高考数学(理)热点题型：数列(含答案解析)
数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13，∴不存在k∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解 由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1).热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x 的图象上(n∈N *). (1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f(x)的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n(n －1)＝n 2－3n.(2)函数f(x)＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法. 【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n. (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
2018--2020年高考数学试题分类汇编数列附答案详解
2018--2020年⾼考数学试题分类汇编数列附答案详解2018---2020年⾼考数学试题分类汇编数列⼀、选择题.1、（2018年⾼考全国卷1理科4）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（）A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．12答案：B解析：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2，∴=a 1+a 1+d +4a 1+d ，把a 1=2，代⼊得d=﹣3 ∴a 5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B ．2、（2019年⾼考全国I 卷理科9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 答案：A解析：有等差数列的性质可知54,0641514=+==+=d a a d a S ，解得2,31=-=d a所以52,42-=-=n a n n S n n ，故选A 。
3、（2019年⾼考全国III 卷理科5⽂科6）已知各项均为正数的等⽐数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=A ． 16B ． 8C ．4D ． 2答案：C解析：由题意有154=S ,即151)1(414=--=qq a S 由题意有a 5=3a 3+4a 1,即1214143a q a q a +=，故 (q 2-4)(q 2+1)=0因为各项均为正数,所以q>0,所以q=2将q=2代⼊151)1(414=--=qq a S .得a 1=1、所以43=a 故选C 4、（2019年⾼考全国III 卷⽂理科9）执⾏下边的程序框图，如果输⼊的ε为0.01，则输出s 的值等于 A.4122-B.5122-C.6122-D.7122-答案：C解析：等⽐数列前n 项和,0,1==s x 不满⾜01.0s x 不满⾜01.011,41+==s x 不满⾜01.01....41211,1281++++==s x 满⾜01.05、（2019年⾼考北京卷理科2⽂科4）执⾏如图所⽰的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 答案：B解析：k=1，s=1， s=2212312?=?-，k<3,故执⾏循环体k=1+1=2，2222322s ?==?-；此时k=2<3，故继续执⾏循环体k=3，2222322s ?==?-，此时k=3，结束循环，输出s=2.故答案为：B.6、（2019年⾼考浙江卷10）设,a b R ∈，数列{}n a 中1a a =，21n n a a b +=+，21n n a a b +=+，则（）A.当12b =时，1010a > B.当14b =时，1010a >C.当2b =-时，1010a >D.当2b =-时，1010a > 答案：A解答：选项B ：不动点满⾜2211()042x x x -+=-=，如图，若11(0,)2a a =∈，12n a <，排除；如图若a 为不动点12，则12n a =；选项C ：不动点满⾜22192()024x x x --=--=，不动点为2x =，令2a =，则210n a =<，排除；选项D ：不动点满⾜221174()024x x x --=--=，不动点为1712x =，令1712a =，则171102n a =<，排除；选项A ：证明：当12b =时，2211122a a =+≥，2321324a a =+≥，2431171216a a =+≥≥，处理⼀：可依次迭代到n a ；处理⼆：当4n ≥时，221112n n n a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>?>，则1217()(4)16n n a n +≥≥，则641022617164(64631 1114710161616210()6a ?≥=+=++?+>++>，故选A.7、（2020?北京卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）． A. 有最⼤项，有最⼩项 B. 有最⼤项，⽆最⼩项 C. ⽆最⼤项，有最⼩项 D. ⽆最⼤项，⽆最⼩项答案：B解：由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-?=-，注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最⼩项，由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =?=.故数列{}n T 中存在最⼤项，且最⼤项为4T .故选：B.8、（2020?全国2卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中⼼有⼀块圆形⽯板(称为天⼼⽯)，环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块，下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板(不含天⼼⽯)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块答案：C解：设第n 环天⽯⼼块数为n a ，第⼀层共有n 环，则{}n a 是以9为⾸项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-?=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第⼀层、第⼆层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层⽐中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +?===. 故选：C9、（2020?全国2卷）数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C解：在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=，所以，数列{}n a 是以2为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，则1222n nn a -=?=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++?-?-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.10、（2020?全国2卷）0-1周期序列在通信技术中有着重要应⽤.若序列12na a a 满⾜{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成⽴，则称其为0-1周期序列，并称满⾜(1,2,)i m i a a i +==的最⼩正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满⾜1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A. 11010B. 11011C. 10001D. 11001答案：C解：由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑,对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满⾜；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满⾜；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满⾜；故选：C⼆、填空题.1、（2018年⾼考全国卷1理科14）记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n =2a n +1，则S 6= ﹣63 ．答案：63-解析：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1，①当n=1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=﹣1，当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1+1，②，由①﹣②可得a n =2a n ﹣2a n ﹣1，∴a n =2a n ﹣1，∴{a n }是以﹣1为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，∴S 6==﹣63，故答案为：﹣632、（2018年⾼考北京卷理科9）设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为 a n =6n ﹣3 ．解：∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，∴，解得a 1=3，d=6，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3+（n ﹣1）×6=6n ﹣3．∴{a n }的通项公式为a n =6n ﹣3．故答案为：a n =6n ﹣3．3、（2018年⾼考浙江卷10）已知a 1，a 2，a 3，a 4成等⽐数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），若a 1＞1，则（）A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 4【解答】解：a 1，a 2，a 3，a 4成等⽐数列，由等⽐数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同， a 1＞1，设公⽐为q ，当q ＞0时，a 1+a 2+a 3+a 4＞a 1+a 2+a 3，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），不成⽴，即：a 1＞a 3，a 2＞a 4，a 1＜a 3，a 2＜a 4，不成⽴，排除A 、D ．当q=﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4=0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，等式不成⽴，所以q ≠﹣1；当q ＜﹣1时，a 1+a 2+a 3+a 4＜0，ln （a 1+a 2+a 3）＞0，a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3）不成⽴，当q ∈（﹣1，0）时，a 1＞a 3＞0，a 2＜a 4＜0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln （a 1+a 2+a 3），能够成⽴，故选：B ．4、（2019年⾼考全国I 卷⽂科14）记S n 为等⽐数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．答案：85 解析：设数列的公⽐为q ，则有43123213=++=++=q q a a a S 解得21-=q ，所以854=S 5、（2019年⾼考全国I 卷理科14）记S n 为等⽐数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．答案：3121解析：由624a a =得51621q a q a =，解得3=q ，所以31211)1(515=--=q q a S6、（2019年⾼考全国III 卷理科14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 答案：4解析：因为,312a a =所以1a +,13a d =即d a =12，则()()4215211051101510=?+?+=a a a a S S 7、（2019年⾼考全国III 卷⽂科14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.答案：100解析：由题意得136,521713=+==+=d a a d a a ，解得2,11==d a 所以100291010110=?+=d a S8、（2019年⾼考北京卷理科10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=-3，S 5=-10,则a 3= ________ . S n 的最⼩值为_______。
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数列 2018.1.8
1．[2017·张掖二中]在等差数列{}n a 中，515a =，则3458a a a a +++的值为（ ） A ．30 B ．45
C ．60
D ．120
【答案】C
【解析】由题意得，因为数列{}n a 为等差数列，由等差数列的性质可得，
()()()345835484652460a a a a a a a a a a a +++=+++=+==，故选C ．
2．[2017·哈师附中]等比数列{}n a 中，若124a =，188a =，则36a 等于（ ） A ．32 B ．64 C ．128 D ．256
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知：1218243036,,,,a a a a a 构成等比数列，且
4364264a =⨯=，本题选择B 选项．
3．[2017·南白中学]已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=…，则有（ ） A ．11010a a +> B ．21000a a +<
C ．3990a a +=
D ．5151a =
【答案】C
【解析】由题意得，根据等差数列的性质，可知110121005051a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+， 可得110121005051()()()0a a a a a a ++++++= ，所以11013990a a a a +=+=，故选C ． 4．[2017·昆明统考]中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）．此问题的答案为（ ）
A ．390尺
B
C
D 【答案】C
【解析】设每天多织布d 尺，则C ．
5．[2017·鸡泽县一中]已知数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则“1a =-”是“{}n a 为等比数列”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分又不必
要条件 【答案】A
【解析】数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+(1)，2n ≥时，113n n S a --=+(2)，(1)－(2)得:
()1232n n a n -=⨯≥，又113a S a ==+，1a ∴=-时，{}n a 为等比数列；若{}n a 为等比数列，则
1a =-，即“1a =-”是“{}n a 为等比数列”的充要条件，故选A ．
6．[2017·张家界期末]数列1，3，7，13，21…的一个通项公式是n a 等于（ ） A ．2n n - B ．21n n --
C ．21n n -+
D ．22n n -
【答案】C
【解析】由已知11a =，可排除A 、B 、D ，故选C ．
7．[2017·海南中学]在正项等比例数列{}n a 中，已知3564a a ⋅=，则17a a +的最小值为（ ） A ．64 B ．32
C ．16
D ．8
【答案】C
【解析】在正项等比数列{}n a 中，∵3564a a ⋅=，∴351764a a a a ⋅=⋅=，
，当且仅当178a a ==时取等号，∴17a a +的最小值为16，故选C ．
8．[2017·沧州一中]在数列{}n a 中，14a =，121n n a a +=-，则4a 等于（ ） A ．7 B ．13
C ．25
D ．49
【答案】C
【解析】()()4321212211421347325a a a a =-=--=--=⨯-=，选C ．
9．[2017·中原九校]已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若2a ，3a ，6a ，成等比数列，且1017a =-，则
2
n
n S 的最小值是（ ） A ．12-
B ．58-
C ．38
-
D ．1532
-
【答案】A
【解析】21111(2)()(5)2a d a d a d d a +=++⇒=-，101917a a d =+=-，11a ∴=，2d =-，
22n S n n =-，11112222n n
n n n n
n n
S S S S ++--⎧>⎪⎪∴⎨
⎪>⎪⎩，可得4n =时，1=22n n S -最小．选A ． 10．[2017·广东质检]已知数列{}n a 满足（*n ∈N ），则使12100k a a a +++< 成立的最大正整数k 的值为（ ） A ．198 B ．199
C ．200
D ．201
【答案】C
【解析】，2121a =-=-，3112a =+=，所以41
2
a =，5121a =-=-，6112a =+=，···，即该数列{}n a 是周期为3的周期数列，且每个周期内的三个数的和定，所以当198366k ==⨯时，
当199367k ==⨯时，
当2003662k ==⨯+时，
当201367k ==⨯时，C ． 11．[2017·昆明一中]在数列{}n a 中，28a =，52a =，且122n n n a a a ++-=（*n ∈N ），则
） A ．－10 B ．10
C ．50
D ．70
【答案】C
【解析】由122n n n a a a ++-=得122n n n a a a ++=+，即数列{}n a 是等差数列，由28a =，52a =， 可得110a =，2d =-，212n a n ∴=-+，当16n ≤≤时，0n a ≥，当7n ≥时，0n a <，
C ．
12．[2017·南平期末]对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：
1232016x x x x ++++…的值为（ ）
A ．9400
B ．9408
C ．9410
D ．9414
【答案】B
【解析】∵数列{}n x 满足12x =，且对任意*n ∈N ，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图象上， ∴()1n n x f x +=，则12x =，24x =，38x =，42x =，54x =，68x =，72x =，84x =，···， ∴数列{}n x 是周期数列，且周期为3，一个周期内的和为14， ∴()12320161236729408x x x x x x x =+++=+++…，故选B ．
13．[2017·汉中质检]设等比数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和，若36270a a -=，则6
3
S S =__________． 【答案】28
【解析】
∴()36123456333312728S a a a a a a S q S S S =+++++=+=+=，所以
14．[2017·成都七中]数列{}n a 满足，写出数列{}n a 的
通项公式____．
【答案】16,1
2,2
n n n a n +=⎧=⎨⎩≥
【解析】
即2
12
n n a ++=，则1
2,2n n a n +=≥，又，所以16a =，因此16,1 2,2n n n a n +=⎧=⎨⎩
≥．
15．[2017·南宁三中]已知数列{}n a 是递减数列，且对任意的正整数n ，2n a n n λ=-+恒成立，则实数λ的取值范围为____________． 【答案】3λ<
【解析】{}n a 是递减数列，1n n a a +∴<，2n a n n λ=-+ ，恒成立即()2
21)n n n λλ-++<-+，
2+1n λ∴<对于*n ∈N 恒成立．而2+1n 在1n =时取得最小值3，3λ∴<，故答案为3λ<．
16．[2017·淮海中学]等比数列{}n a 的首项为2，公比为3，前n 项的和为n S ，若
14n m +的最小值为___________．
【解析】由题意可得123n n a -=⨯，31n n S =-，4431m m S =-，
即410m n +=，
等号成立条件是2m n ==，14n m ∴+。