(完整word版)2019年高考数学数列小题练习集(一)
2019年高考试题汇编理科数学--数列(可编辑修改word版)
整理可得 an1 bn1
1 2 (an
bn ) ，又 a1 b1
1 ，故
an
bn
是首项为1，公比为 1 的等比数列. 2
将 4an1 3an bn 4 ， 4bn1 3bn an 4 作差可得 4an1 4bn1 3an 3bn an bn 8 ，
1 / 13
整理可得 an1 bn1 an bn 2 ，又 a1 b1 1，故 an bn 是首项为1，公差为 2 的等差数列.
设所有长度为 q 的子列的末项分别为： aq1 , aq2 , aq3 , ， 所有长度为 p 的子列的末项分别为： ap1 , ap2 , ap3 , ， 则 an0 min aq1 , aq2 , aq3 , ，
注意到长度为 p 的子列可能无法进一步找到长度为 q 的子列，
故 am0 min ap1 , ap2 , ap3 , ，
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am0 ，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 an0 . 若 p<q，求证： am0 < an0 ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s–1，且长度为 s 末项为 2s–1 的递增子列恰有 2s-1 个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6. (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
答案： C 解答：
设该等比数列的首项 a1 ，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1 ，
因为 a1 0 且 q 0 ，则可解得 q 2 ，又因为 a1(1 q q2 q3 ) 15 ，
2019-2019云南省数列理科高考题目及答案word精品文档13页
2019年—2019年云南省10年高考数列试题汇总2019年高考数学大纲（理） 数列部分：等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
2019年（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++== （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+g． （Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312n n a a a n+++…＞． 2009年14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 。
19（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
2019年20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．2019年16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．2019年（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612SS =( ) （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）19（22）（本小题满分１２分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1,1,2,3,...n S n -= （I ）求12,;a a（II ）求{}n a 的通项公式2019年11. 如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则（ ） A. a 1a 8＞a 4a 5 B. a 1a 8＜a 4a 5C. a 1＋a 8＞a 4＋a 5D. a 1a 8＝a 4a 518. （本小题满分12分）已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列，又（Ⅰ）证明为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a 1和公差d.（注：无穷数列各项的和即当时数列前n 项和的极限） 2019年（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）． 证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n2019年22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2019年（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ，Λ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a Λ 2019年(3) 设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(15)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则 q =(21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？2019年～2009年云南省历年高考数列题2009年解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 2019年20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ······························································ 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=•+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔•+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ························································· 12分 2019年21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132nn a a +-=， 所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭g两边开平方得32na a -<即 1n n b b n +<，为正整数．2019年22．解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．由①可得S 3＝34．由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…． ……8分下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立．(ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2， 故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． ……10分于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…． ……12分 2019年18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。
2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列
2019 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列一、选择题1 ．（ 2019 年高考上海卷（理） ）在数列 { a n } 中 , a n2n 1, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j列的元素ai ,ja i a j a i a j ,( i 1,2,L,7; j1,2,L ,12 ) 则该矩阵元素能取到的不一样数值的个数为( )(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】 A.2 ．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理） WORD 版含答案（已校 对））已知数列a n 知足3a n 1an0,a 24 , 则 a n 的前 10 项和等于3 1 1(A)61 310 (B)3 10 (C) 3 1 3 10(D)3 1+3 109【答案】 C3 （． 2019 年高考新课标 1（理））设A nB nC n 的三边长分别为 a n , b n ,c n , A n B n C n 的面积为 S n , n 1,2,3, L ,若 b 1c 1 ,b 1 c 1 2a 1 ,a n 1a n,bn 1c n an, cn 1 b na n, 则 ()22A.{ S } 为递减数列B.{S } 为递加数列nnC.{ S 2n-1 } 为递加数列 ,{ S 2n } 为递减数列D.{ S 2n-1 } 为递减数列 ,{ S 2n } 为递加数列【答案】 B4 ．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 函数 y= f (x) 的图像以下图 ,在区间 a,b 上可找到 n(n 2) 个不一样的数x 1 ,x 2 ...,x n ,使得f (x 1) f (x 2 )f (x n )==, 则 n 的取值范围是x 1x 2x n(A) 3,4 (B) 2,3,4 (C) 3,4,5(D) 2,3【答案】 B5 ．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列{ a n}的公比为q,记 b n am( n 1) 1am( n 1) 2... am (n 1) m,c n am(n 1) 1? am(n 1) 2 ?...? a m( n 1) m (m, nN * ), 则以下结论必定正确的选项是( )A. 数列 {b n} 为等差数列 , 公差为q m B. 数列 { b n } 为等比数列,公比为 q2mC. 数列{c n}为等比数列 , 公比为q m2D. 数列 { c n } 为等比数列,公比为 q m m【答案】 C6 ．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等比数列a n的前 n 项和为 S n,已知 S3 a2 10a1, a5 9 ,则 a11(B) 1 1 1(A)3 (C) (D)3 9 9【答案】 C7 ．（ 2019 年高考新课标1（理））设等差数列a n的前n项和为S n, S m 12, S m0, S m 1 3 ,则 m ( )【答案】 C8 ．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下边是对于公差 d 0 的等差数列a n的四个命题 :p1 : 数列 a n 是递加数列；p2 : 数列 na n 是递加数列；p3 : 数列an是递加数列；p4 : 数列 a n 3nd 是递加数列；n此中的真命题为(A) p1, p2(B)p3 , p4(C)p2 , p3(D)p1, p4【答案】 D9 ．（ 2019 年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于【答案】 A二、填空题10．（ 2019 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n}中,a2 a1 8 ,且 a4为 a2和 a3的等比中项,求数列 { a n} 的首项、公差及前 n 项和.【答案】解 : 设该数列公差为 d ,前n项和为s n.由已知, 可得2a1 2d 8, a12a1 d a1 8d . 3d所以 a1 d 4,d d 3a1 0 ,解得 a1 4, d 0 ,或 a1 1,d 3,即数列a n的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为 3.所以数列的前 n 项和 s n 4n 或 s n 3n2 n211．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等差数列a n 的前 n 项和为S n,已知 S10 0, S15 25 ,则 nS n的最小值为________.【答案】4912．（ 2019 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,,第 n 个三角形数为n n 1 1 n2 1n .记第 n 个 k 边形数为 N n,k k 3 ,以以下出了部分k 边形2 2 2数中第 n 个数的表达式:三角形数N n,3 1 n2 1 n2 2正方形数N n,4 n2五边形数N n,5 3 n2 1 n2 2六边形数N n,6 2n2 n能够推断 N n, k 的表达式,由此计算 N 10,24___________.选考题【答案】 100013．（ 2019 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD版含附带题））在正项等比数列 { a n} 中,a5 1a6 a7 3 ,则满足 a1 a2 a n a1a2 a n的最大正整数 n, 的值为2_____________. 【答案】 1214．（ 2019 年高考湖南卷（理））设S n为数列a n 的前 n 项和 , S n ( 1)n a n 1n , n N , 则2(1) a3 _____; (2) S1 S2 S100 ___________.【答案】1 1(11) 16; 1003 215．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当x R, x 1时 , 有以下表达式 : 1 x x2 ... x n ... 1 .1 x1 1 1 1 11两边同时积分得 : 2 1dx 2 xdx 2 x2dx ... 2 x n dx ... 2 dx.0 0 0 0 01 x进而获得以低等式 : 1 1 1 ( 1)2 1 (1)3 (1)1 ( 1)n 1 ... ln 2.2 2 23 2 n 2请依据以下资料所包含的数学思想方法,计算:0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1C n 2 2C n ( 2 ) 3 C n ( 2) ... n 1C n ( 2 ) _____【答案】 1 [( 3 )n 1 1]n 1 216．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知 a n 是等差数列 , a1 1,公差d 0 , S n为其前n项和 , 若a1, a2, a5成等比数列 , 则S8 _____【答案】6417．（ 2019 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前6项和为 23,前 9 项和为 57, 则数列的前n 项和 S n = __________.【答案】5n2 7 n 6 618（． 2019 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列a n中, 已知a3 a8 10,则 3a5 a7 _____ 【答案】2019．（ 2019 年高考陕西卷（理） ）察看以下等式 :12 12231212 22 32 6 2222123410照此规律 , 第 n 个等式可为 ___ 1 2- 2 22n -1 2（ -1) n 13 -（ -1） nn(n 1) ____.22 - 2 23 2- n -1n 2 （ - 1) n 1n(n 1)【答案】 1（ -1）220 ．（ 2019 年 高考新课标2 1 1（理）） 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n = a n, 则数列 { a n } 的通项公式是33a n =______.【答案】 a n = ( 2)n 1 .21．（ 2019年一般高等学校招生一致考试安徽数学 （理）试题（纯 WORD 版））如图 , 互不 - 同样的点 A 1 , A 2 K , X n ,K和 B 1 , B 2 K , B n ,K 分别在角 O 的两条边上 , 全部 A n B n 互相平行 , 且全部梯形 A n B n B n 1 A n 1 的面积均相等 . 设OA n a n . 若 a 1 1,a 2 2, 则数列 a n 的通项公式是 _________.【答案】a n3n 2, nN *22（． 2019 年高考北京卷 （理））若等比数列 n 2 4 35{ a } 知足 a +a =20, a +a =40,则公比 q =_______; 前 n 项和n =___________.S【答案】 2,2n 12 23．（ 2019 年一般 高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）） 已知等比数列 a n 是递加数列,S n 是 a n 的 前 n 项 和 , 若 a 1， a 3 是 方 程 x 2 5x 4 0的两个根,则S6____________. 【答案】 63三、解答题24．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数f n (x)1 x x2 x2 x n(x R, n N n ),证明: 22 2Kn23( Ⅰ) 对每个( Ⅱ) 对随意n N n,存在独一的x [2,1] ,知足f n(x n) 0 ;n 31 p N n,由(Ⅰ)中 x n组成的数列x n知足 0 x n x n p .n【答案】解: ( Ⅰ) 当 x 0时， y x nf n (x) 1 xx 2x3 x 4 x n n 2是单一递加的2 23 24 2 n 2 是x 的单一递加函数 , 也是 n 的单调递加函数 . 且f n( 0) 1 0, f n (1) 1 1 0 .存在独一 x n (0,1], 知足 f n ( x n ) 0，且 1 x1 x2 x3 x n 0当 x (0,1).时, f n ( x) 1 x x2 x3 22 220 f n ( x n ) 1 x n x n 2 14 1 x n综上 , 对每个n N n,存在独一的x n [ 23(Ⅱ) 由题知1 x n xn p 0, f n ( x n )x 4 x n1x2 1 x n 1 x 2 122 22x11 x1 x4 x 4(x n 2)(3x n 2) 0 x n2,1][3,1] ,知足f n( x n) 0 ;( 证毕 )1x n2 x n3 x n4 x n nx n32 4222 n22 3 4 xn pn n 1 n pf n p (x n p ) 1 x n p xn pxn pxn pxn pxn p 0 上式相22 32 42 n 2 (n 1) 2 (n p) 2减:x n2 x n3 x n4 x n n 2 xn p3 x n p4 nxn pn 1 n pxn p xn pxn pxn px n2 32 42 n2 22 32 42 n2 (n 1) 2 ( n p) 222 2 334 4 n n n 1 n px n- x n p（ x n p - x n x n p - x n x n p - x n x n p - x n ）（ x n p x n p ）2 2 32 4 2 n 2 ( n 1) 2 (n p) 21 1 1 x n - x n p 1 .n n p n n法二 :25．（ 2019 年高考上海卷（理））(3 分 +6 分+9 分 ) 给定常数c 0 ,定义函数f (x) 2 | x c 4 | | x c |, 数列 a1 , a2 , a3 ,L 知足 a n 1 f ( a n ), n N *.(1) 若a1 c 2 ,求 a2及 a3 ;(2) 求证 : 对随意n N*, a n 1 a n c ,;(3)能否存在 a1,使得 a1, a2 ,L a n ,L 成等差数列若存在,求出全部这样的 a1,若不存在,说明原因. 【答案】 :(1) 因为c 0 ,a1(c 2) ,故 a2 f (a1 ) 2 | a1 c 4 | | a1 c | 2 ,a3 f (a1 ) 2 | a2 c 4 | | a2 c | c 10(2) 要证明原命题 , 只要证明f ( x) x c 对随意x R都建立,f ( x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c即只要证明 2 | x c 4 | | x c | + x c若 x c 0 , 明显有 2 | x c 4 | | x c | + x c=0 建立 ; 若 xc 0 , 则 2 | x c 4 | | x c | +x cx c 4 x c 明显建立综上 , f ( x)x c 恒建立 , 即对随意的 nN * , a n 1a n c(3) 由 (2) 知 , 若 { a n } 为等差数列 , 则公差 d c 0 , 故 n 无穷增大时 , 总有 a n 0此时,a n 1f (a n ) 2(a n c 4) ( a n c) a n c8即 d c 8故 a 2 f ( a 1 ) 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8 ,即 2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1c 8 ,当 a 1 c 0 时, 等式建立 , 且 n 2 时 , a n 0 , 此时 { a n } 为等差数列 , 知足题意 ;若 a 1 c 0 , 则 | a 1 c 4 | 4 a 1c 8 ,此时 , a 20, a 3 c 8,L , a n (n 2)(c 8) 也知足题意 ;综上 , 知足题意的 a 1 的取值范围是 [ c, ){ c 8} .26．（ 2019 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯 WORD 版含附带题） ） 本小题满分10 分 .k 个6444744481， 2， 2,3,3,3， 4， 4， 4，k-1k-1设数列4，，（），，（ ）,即 当a n ： ------ L-1 k L-1 k（ k）（）k11 kk k1k N 时 , a na 2 L a nn N , 对于 l N ,定义2n（ - 1） k , 记 S n a 12会合 P ln S n 是a n 的整数倍，nN ，且1 n l(1) 求会合 P 11 中元素的个数 ; (2) 求会合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 此题主要观察会合 . 数列的观点与运算 . 计数原理等基础知识 , 观察研究能力及运用数学概括法剖析解决问题能力及推理论证能力.(1) 解 :由数列a n 的 定 义得 : a 11, a 2 2 , a 3 2 , a 4 3 , a 5 3 , a 6 3 , a 7 4 , a 84 , a 94 , a 10 4 , a 11 5∴S1 1,S21,S33,S4 0,S5 3,S6 6,S7 2,S82,S9 6, S1010, S11 5∴ S11? a1, S40 ? a4, S51? a5, S6 2 ? a6, S111? a11∴会合 P11中元素的个数为 5(2) 证明 : 用数学概括法先证S i ( 2i 1)i (2i1)事实上 ,①当 i 1时,S i ( 2i 1)S31? (2 1) 3 故原式建立②假定当 i m 时,等式建立,即S m( 2 m 1) m ? (2m 1) 故原式建立则 : i m 1, 时 ,S( m 1)[ 2 (m1) 1} S( m 1)( 2 m3}Sm (2m1)(2m 1) 2 ( 2m 2) 2 m(2m 1) ( 2m 1) 2 (2m 2) 2(2m 2 5m 3) ( m 1)(2m 3)综合①②得:Si (2 i 1) i (2 1) 于是iS( i 1)[2 i1} Si ( 2i1} (2i 1)2 i (2i 1) (2i 1) 2 (2i 1)(i 1)由上可知 : S i (2i 1} 是 ( 2i 1) 的倍数而a( i 1)( 2 i1} j 2i 1( j 1,2, ,2i 1) ,所以 S i (2i 1) j Si (2 i 1) j (2i 1) 是a( i 1)( 2i 1} j ( j 1,2, ,2i 1) 的倍数又S( i 1)[ 2 i 1} (i1)( 2 1) 不是2i 2的倍数 , i而a( i 1 )(2 i 1} j ( 2 2)(j1,2, ,2i2) i所以S(i 1)( 2i 1)j S(i 1)( 2 i 1) j ( 2i 2) ( 2 i 1)(i 1) j (2i 2) 不是 a( i 1)( 2i 1} j( j1,2, ,2i 2) 的倍数故当 l i (2i 1) 时, 会合 P l中元素的个数为 1 3 （2i -1） i 2于是当l i ( 2i 1) j（1 j 2i时, 会合P l中元素的个数为i2j 1）又 2000 31 （2 31 1） 47故会合 P2000中元素的个数为31247 100827．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 在公差为 d 的等差数列 { a n }中 ,已知 a 1 10 , 且 a 1 ,2a 2 2,5a 3 成等比数列 .(1) 求 d , a n ; (2)若 d0 , 求 | a 1 | | a 2 | | a 3 || a n | .【答案】 解:( Ⅰ) 由已知获得 :(2a2)25a a4(ad 1)250(a2d )(11 d )225(5 d)21 311121 22d d2125 25dd23d 4 0d 4d1a n或;4n6a n 11 n( Ⅱ) 由 (1) 知 , 当 d0 时 , a11 n ,n①当 1n 11时 ,an 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | ggg | a n | a1a 2a 3 ggg an n(10 11 n)n(21 n)22②当 12n 时 ,a n 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | ggg | a n | a 1 a 2a 3 ggg a 11 (a 12a13ggg a n )2(a 1a 2 a 3 ggg a 11) (a 1 a 2a 3 ggg a n ) 2 11(21 11) n(21 n)n 221n 2202 22n(21 n),(1 n 11)所以 , 综上所述 :| a 1 || a 2 | | a 3 | ggg | a n |2 ;n 2 21n 22012)2,( n28．（ 2019 年高考湖北卷（理） ） 已知等比数列a n 知足 : a 2 a 310 , a 1a 2a 3 125 . (I)求数列 a n 的通项公式 ;(II) 能否存在正整数 m , 使得11 L 1 1 若存在 , 求 m 的最小值 ; 若不存在 , 说明原因 .a 1a 2 a m【答案】 解 :(I) 由已知条件得 :a 2 5 , 又 a 2 q 1 10 ,q 1或3 ,所以数列 a n 的通项或 a n 53n 2(II) 若q, 11 L 111a 1a 2 a m 或 0, 不存在这样的正整数 m ;53 ,1m若 q1L1 9 1 1 9 , 不存在这样的正整数 m .a 1a 2a m 10 3 1029．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列a的前 n 项和为Snn ,且 S 4 4S 2 , a 2n 2a n 1.( Ⅰ) 求数列 a n 的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n 前 n 项和为 T n , 且 T na n 1 ( 为常数 ). 令 c nb 2n ( nN *). 求数列c n 的前 n2n项和 R n .【答案】 解:( Ⅰ) 设等差数列a n 的首项为a 1, 公差为 d ,由S 44S2, a 2n2a n1得4a 1 6d 8a 1 4da 1 (2n 1) 2a 12(n 1)d 1,解得 ,a11, d 2所以 a n2n 1 (n N * )T nn2n1( Ⅱ) 由题意知 :b n T n T n1n n 1所以n 2时, 2n 12n 22n 21 n 1故 , c nb2 n22n 1(n 1)( 4 )(nN * )R0 (1)1 (1)12 (1)23 (1)3(n 1) ( 1) n 1n44444,所以1R n0 (1)1 1 (1)22 (1)3(n 2) ( 1)n 1( n 1) ( 1)n则 4444443R n(1 )1 (1)2(1 )3( 1 )n 1(n 1) (1) n两式相减得 4 444441 (1 )n1 44( nn1 1)( )144R n1 3n 1 (4 4 n 1 ) 整理得9cn 的前 n项和R n13n 1所以数列数列9 (44n 1 )30．（ 2019 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD 版含附带题） ） 本小题满分16 分 . 设 { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d0) , S n 是其前 n 项和 . 记 b nnS n , nN * , 此中 cn 2 c为实数 .(1) 若 c 0 , 且 b 1， b 2， b 4 成等比数列 , 证明 :Snkn 2 S k ( k ,n N * ) (2) 若 {b n } 是等差数列 , 证明 : c 0 .【答案】 证明 : ∵ { a n } 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 (d 0) , S n 是其前 n 项和∴ S nna n(n 1) d2(1) ∵ c0 ∴ b n S na n 1 dn2 ∵ b 1， b 2， b 4 成等比数列∴ b 22b 1b 4 ∴ (a 1 d ) 2 a( a3 d)22∴ 1ad1 d2 0 ∴ 1 d( a 1d ) 0 ∵ d 0∴ a1 d ∴ d 2a24 222∴ S nna n(n 1) d na n(n1)2a n 2 a22∴左侧 = S nk (nk ) 2 a n 2 k 2a右侧 = n 2S k n 2 k 2 a∴左侧 =右侧∴原式建立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为 d 1 , ∴ b n b 1 ( n 1)d 1 带入 b nnS n得 :n 2cb 1 (n 1)d 1nS n∴ (d 11 d )n 3 (b 1 d 11 ) n2 cd 1 n (b 1 ) 对 n N 恒建立n 2c2adc d 12d 1 1 d 02∴ b 1d 1 a 1 dcd 1 02c(d 1 b 1 ) 0由①式得 :d 11 d ∵ d 0 ∴ d 12 由③式得 :c法二 : 证:(1) 若 c0 , 则 a n a ( n 1)d , S nn[( n 1)d2a] , b n(n 1)d 2a .22当 b 1， b 2，b 4 成等比数列 , b 22b 1b 4 ,d 23d即 : aa a , 得 : d22ad , 又 d 0 , 故 d 2a .22由此 : S n n 2a ,Snk( nk) 2 a n 2k 2 a , n 2 S k n 2 k 2 a .故 : S nkn 2 S k ( k , n N * ).nS nn 2 ( n 1) d 2a(2) b n2 ,n 2cn 2cn 2 ( n 1)d 2ac (n1)d 2a c ( n 1) d 2a2n 2 2 2c(n 1)d 2a(n 1) d 2a c 2 . ( ※)n 22c若 { b n }是等差数列 , 则 b nAn Bn 型 .察看 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,( n 1)d 2a故有 : c 20, 即 c (n 1)d2a 0 , 而(n1)d 2a ≠0,n2c22故 c 0 .经查验 , 当 c0 时 { b n } 是等差数列 .31．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 等差数 列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S 3 =a 22 , 且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 , 求 a n的通项式 .【答案】32．（ 2019 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为3的等比数列 { a n } 不是2递减数列 , 其前 n 项和为S n (n N*) 3 3 5 5 4 4成等差数列 ., 且S+ a , S + a , S + a( Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式 ;( Ⅱ) 设 T n S n 1(n N * ) , 求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 . S n【答案】33．（ 2019 年高考江西卷（理） ）正项数列 {a n } 的前项和 {a n } 知足 : s n 2 ( n 2n1)s n (n 2 n)(1) 求数列 {a n } 的通项公式 a n ;(2) 令 b nn 1 , 数列 {b n } 的前 n 项和为 T n . 证明 : 对于随意的 n N * , 都有 T n5(n 2) 2 a 264【答案】 (1) 解 : 由 S n2(n 2 n 1) S n (n 2 n)0 , 得 S n (n 2 n) (S n 1) 0 .因为 a n 是正项数列 , 所以 S n0, S nn 2 n .于是 a 1 S 1 2, n 2时 , a n S nSn 1n 2 n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列 a n 的通项 a n 2n .(2) 证明 : 因为 a n2n, b nn 1.( n2) 2 a n 2则 bn11 11 .n4n 2 ( n 2) 216 n 2( n 2)2T n1 11 11 11 1 1 1 16 122 42 3252(n 1)2 (n 1)2 n 2( n 2)2321 11111 1516 2(n22 (1 2 2).2 1) (n 2)1664是等比数列 .。
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2019年高考数学试题分项版——数列（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2019·浙江，10)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋b ，n ∈N *，则( )A ．当b ＝12时，a 10＞10 B ．当b ＝14时，a 10＞10 C ．当b ＝－2时，a 10＞10 D ．当b ＝－4时，a 10＞10 答案 A解析 当b ＝12时，因为a n ＋1＝a n 2＋12，所以a 2≥12，又a n ＋1＝a n 2＋12≥√2a n ，故a 9≥a 2×(√2)7≥12×(√2)7＝4√2，a 10＞a 92≥32＞10.当b ＝14时，a n ＋1－a n ＝(a n −12)2，故当a 1＝a ＝12时，a 10＝12，所以a 10＞10不成立．同理b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a ＝x 0，则a 10＝x 0＜10，故a 10＞10不成立．3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵{S 4＝0，a 5＝5，∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3，d =2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n−1)2d ＝n 2－4n .故选A.4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q ， 则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×[1−(−12)4]1−(−12)＝58.2．(2019·全国Ⅲ文，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝a 7−a 37−3＝13−54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.3．(2019·江苏，8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二 ∵S 9＝a 1+a 92×9＝27，∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9，∴其公差d ＝a 8−a 58−5＝2，∴a 1＝－5，∴S 8＝8×a 1+a82＝16.4．(2019·全国Ⅰ理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 42＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 42＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1−q 5)1−q＝13×(1−35)1−3＝1213.5．(2019·全国Ⅲ理，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则s 10s 5＝________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以s 10s 5＝10a1+10×92d 5a1+5×42d＝10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1＝10025＝4.6．(2019·北京理，10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+⨯=， 21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，.S n＝n(n−9)d2由a1>0知d<0，≥(n－5)d，化简得故S n≥a n等价于n(n−9)d2n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．2．(2019·全国Ⅱ文，18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.3．(2019·北京文，16)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．即(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.4．(2019·天津文，18)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92(n ∈N *)．5．(2019·浙江，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝√a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n ，n ∈N *.(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由题意得 a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝0，d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列得(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1a (S n+12－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明 c n ＝√a n 2b n＝√2n−22n(n+1)＝√n−1n(n+1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0＜2，不等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时不等式成立，即 c 1＋c 2＋…＋c k ＜2√k . 那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2√k ＋√k(k+1)(k+2)＜2√k ＋√1k+1＜2√k ＋√k+1+√k＝2√k ＋2(√k +1－√k )＝2√k +1.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n 对任意n ∈N *成立．6．(2019·江苏，20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”； (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n＝2b n －2b n+1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2−4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M －数列”． (2)解 ①因为1S n＝2b n－2bn+1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由2S n＝2b n－2bn+1，得S n ＝b nb n+12(b n+1−b n )，当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b nb n+12(b n+1−b n)－b n−1bn2(b n−b n−1)， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M －数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m . 当k ＝1时，有q ≥1； 当k ＝2,3，…，m 时，有lnk k≤ln q ≤lnkk−1.设f (x )＝lnx x(x >1)，则f ′(x )＝1−lnx x 2(x >1)．令f ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：因为ln22＝ln86<ln96＝ln33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln33.取q ＝√33，当k ＝1,2,3,4,5时，lnk k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.7．(2019·全国Ⅱ理，19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n−1,，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.8．(2019·北京理，20)（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a ，即可证明结论．()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 【解析】：()1I ，3，5，6．()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，∴0n a >该数列的第p 项0m a ， ∴00m n a a <．()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列， 这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前． 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -， 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，⋯⋯，第s 项是21s -与2s 二选1，故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．2∴，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．9．(2019·天津理，19)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝{1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (ⅰ)求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；(ⅱ)求(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 依题意得{6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得{d ＝3，q ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1， b n ＝b 1·q n －1＝6×2n －1＝3×2n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)(ⅰ)a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. 所以数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1. (ⅱ)a i c i ＝[a i ＋a i (c i －1)] ＝a i ＋a 2i (c 2i －1)＝[2n ×4+2n (2n −1)2×3]＋(9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1−4n )1−4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．。
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数列高考真题专项练习2019
1. （2018）记Sn为等差数列{an}的前n项和, 已知a1=﹣7, S3=﹣15.
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求Sn, 并求Sn的最小值.
2. （2017）已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 等比数列{bn}的前n项和为Tn, a1=
﹣1, b1=1, a2+b2=2.
（1）若a3+b3=5, 求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21, 求S3．
3. （2016）等差数列{an}中, a3+a4=4, a5+a7=6.
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an], 求数列{bn}的前10项和, 其中[x]表示不超过x的最大整数, 如
[0.9]=0, [2.6]=2.
4. （2015）数列{an}满足a1=1, a2=2, an+2=2an+1﹣an+2.
（Ⅰ）设bn=an+1﹣an, 证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式.
5. （2014）已知等差数列{an}的公差不为零, a1=25, 且a1, a11, a13成等比数列. （Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2.
6. （2013）等差数列{an}中, a7=4, a19=2a9,
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=/, 求数列{bn}的前n项和Sn.
7. （2012）已知数列{an}中, a1=1, 前n项和/
（1）求a2, a3；
（2）求{an}的通项公式.
8. （2011）设等比数列{an}的前n项和为Sn, 已知a2=6, 6a1+a3=30, 求an和Sn.。
精选2019年高中数学单元测试试题-数列专题完整考题库(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．一个凸五边形的内角的度数成等差数列,且最小角是46°,则最大角是 A.108° B.139° C.144° D.170°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为______________.3．设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若137920,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ ．4． 命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是 ▲ .5．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知c b a ,,成等比数列，且3=+c a ，37tan =B ，则ABC ∆的面积为 .6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）A.289B.1024C.1225D.1378（2009湖北文）7．若数列{}n a 的前n 项和225n S n n =++，则567a a a ++=8．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片19层，共铺了______块瓦片。
9．数列5,55,555,5555,的一个通项公式为_______________10．数列}{n a 的递推公式是7,211-=+=+a a a n n ，则7a =________ 11．在11+n n和之间插入n 个正数，使这n +2个正数成等比数列，则插入的n 个正数之积 为 ；下面分别是数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求数列{}n a 的通项公式：(1)223n S n n =-； (2)32nn S =-13．已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S （n N *∈）.若1431,3,9a a S >>≤，则通项公式____________n a =三、解答题 14．在数列{}()122211,2,2sin (3,2nn n n a a a a n n N a π*--===-≥∈中，），数列{}n n a 前项和的为n S 。
数列综合问题(练)-2019年高考数学---精校解析Word版
数学试题1.若无穷数列满足：恒等于常数,则称具有局部等差数列.（1）若具有局部等差数列，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有局部等差数列，并说明理由；（3）设既具有局部等差数列，又具有局部等差数列，求证：具有局部等差数列.2.已知数列是首项为、公比为的等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列前项和为，求所有满足等式成立的正整数；（3）若且对任意都有，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，由可得当时，当时，，因此（2）由题意得，由得，化简得，由得；因为，所以，当时，由式得，无正整数解；当时，由式得，无正整数解；当时，由式得，所以．综上可知，满足条件的正整数3.设等比数列的各项均为正数，前项和为，且.（1）求；（2）是否存在常数，使得数列是等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为各项均为正数，所以.由得，解得已舍去.所以.（2）设，由（1）知.若数列是等差数列，则成等差数列，于是，即，整理得，解得或.当时，，满足，所以是等差数列；当时，，则，所以，舍去.综上，存在唯一的常数满足题意.4.已知为正整数，数列满足，，设数列满足. （1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.当=12时，，，，5．已知数列的前项和为，满足，且，正项数列满足，其前7项和为42．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴，即，∴，又，∴．∵，∴，又，∴，∴数列是等差数∴，∵对任意正整数，都有恒成立，∴．（3）数列的前项和，数列的前项和，①当时，；②当时，，特别地，当时，也符合上式；③当时，．综上：，．6.已知数列的首项，且满足，其中.设数列的前项和分别为.（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求；（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件:（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；(ⅱ) 恒成立.试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】故，而，因为，所以，令，则所以存在正整数，使得，此时，或者.7.在数列中，已知为常数．（Ⅰ）证明：成等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）当时，数列中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为，所以，同理，，，又因为，，所以，故，，成等差数列．（Ⅱ）由，得，令，则，，所以是以0为首项，公差为的等差数列，则，即，因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立，得．这与题设矛盾． 故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－n Sn ，(n ＋2) c n ＝2 an ＋1＋an ＋2－n Sn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列． 解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，因此c n ＝21( b n ＋b n ＋1)．因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝21(b n ＋b n ＋1)≤λ， 故b n ＝λ，c n ＝λ．所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－n Sn， ① (n ＋2)λ＝21(a n ＋1＋a n ＋2)－n Sn， ②②－①，得21(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ． 故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)．又2λ＝a 2－1S1＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)． 所以数列{a n }是等差数列． 9．设数列的前n 项和为S n ，且满足：①；②，其中且．（1）求p 的值； （2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r 2时，数列是等差数列．解：（1）n 1时，，因为，所以，又，所以p1．（2）不是等比数列．理由如下：……10．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若对于，都有成立，求实数取值范围；（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列．【解析】（1）当时，，故；当时，，所以，即，又，所以，所以，，，故（2）当为奇数时，，由得，恒成立，令，则，所以．当为偶数时，，由得，恒成立，所以．又，所以实数的取值范围是．（3）当时，若为奇数，则，所以．解法1：令等比数列的公比，则．设，因为，所以，，因为为正整数，。
2019年高考数学数列小题练习集(一)
A． 2017 2018
B． 2017 1009
C． 2018 2019
D． 4036 2019
20. 已知 1 i n b0 2 i 0 b1 2 i b2 2 i 2
bn 2 i n （ n 2,i 为虚
数单位），又数列 an 满足：当 n 1时， a1
2 ；当 n
2 ， an 为 b2
2
i
2
的虚部，
2
若数列
的前 n 项和为 Sn ，则 S2018 ( )
x、 y R ，且 y＞ 0），则数列 { zn} 的前 2019 项的和为（
）
1
A．
3i
22
13
B．
i
22
C ． 1 3i
D ． 1 3i
4. 等比数列 { an} 的前 n 项和 Sn 3n t ，则 t a3 的值为
A. 1
B.
－1
C. 17
D. 18
5. 设函数 f ( x) 2x cos x ， { an} 是公差为 8 的等差数列，
1
2an,0 an
1
2 ，若 a1
2an 1, an 1
2
6 ，则 a2020 的值为 ( )
7
B. 4
C. 5
D. 6
7
7
7
9. 设正项等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 S20 210 1 S10 ，则数列 { an} 的公比为 ( )
A.4
B.2
C.1
D. 1
2
10. 已知数列 an 满足 a1 1 ， an 1 an
1
a2017 等于 （
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2019年高考数学数列小题练习集（一）1.已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A.数列{a n }的前n 项和为S n =4nB. 数列{a n }的通项公式为14(1)n a n n =+C.数列{a n }为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列2.已知数列{}n a 满足:11a =,12nn n a a a +=+*()n N ∈.若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,1b λ=-,且数列{}nb 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( )A. 23λ>B.32λ>C.32λ<D.23λ<3.已知等比数列{z n }中，11z =，2z x yi=+，yix z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且y ＞0），则数列{z n}的前2019项的和为（ ） A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+4.等比数列{a n }的前n 项和3n n S t=+，则3t a +的值为A. 1B.－1C. 17D. 185.设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2315[()]f a a a -= A ．0 B ．2116π C ．218πD ．21316π6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=LC ．2499a a a a +++=LD ．12398100100S S S S S ++++=-L7.已知数列{a n }满足2(1)211131,log n n n a aa -++==+，则41a =A ．－1B ．－2C ．－3D ．1－log 3408.已知数列{a n }满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a 的值为( )A.37B.47C.57D.679.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且()10201021S S =+，则数列{a n }的公比为( ) A.4B.2C.1D.1210.已知数列{}n a 满足11a =，()()11112n n n a a n n ++-=-+，则数列(){}1nna -的前40项的和为（ ） A ．1920B ．325462C ．4184D ．204111.已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S 10，则10(22)S -=A ．3164aB ．6164aC ．3132aD ．61128a12.数列{a n }满足a 1=1，且对于任意n ∈N +的都有a n +1 = a n + a 1 +n ，则201721111a a a +++Λ等于 （ ）A. 20172016B. 20174032C. 20182017D. 2018403413.已知数列{a n }满足：1+n a +n a =(n +1)cos2πn (n ≥2,n ∈N *), S n 是数列{a n }的前n 项和，若 2017S +m =1010,1a ·m >0,则ma 111+的最小值为（ ） A.2B.2C.22D.2+214.数列{}n a 的通项公式1sin π12n n a n +⎛⎫=+⎪⎝⎭，前n 项和n S ，则2017S =（ ） A ．1232 B ．3019 C ．3025 D ．432115.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驾马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．何日相逢，”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”现有三种说法：①驽马第九日走了93里路；②良马四日共走了930里路；③行驶5天后，良马和驽马相距615里． 那么，这3个说法里正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316.设数列{a n }的前n 项和为S n ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52C ．53D ．5417.已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( ) A . a 1<a 3，a 2<a 4 B . a 1>a 3，a 2<a 4 C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 418.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知335588(1)34,(1)32a a a a -+=-+=，则下列选项正确的是 A ．125812,S a a => B ．125824,S a a => C ．125812,S a a =<D ．125824,S a a =<19.己知数列{}n a 中，11a =，且对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201811i ia ==∑A ．20172018B ．20171009C ．20182019D ．4036201920.已知()()()()()nn ni b i b i b i b i +-+++-++-++-=+-2222122100Λ i n ,2≥（为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1=n 时，21-=a ；当2≥n ，n a 为()222i b +-的虚部，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 2的前n 项和为n S ，则=2018S ( ) A ．20182017B ．20172018C.20184035D ．2017403321.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1111,3n n a S a +==，则7a =（ ）A ．74 B ．534⨯C. 634⨯D ．641+22.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，前n 项和为n S ，若对所有的)(*∈N n n ，都有10S S n ≥，则（ ）．A. 0≥n aB.0109<⋅a aC.172S S <D. 019≤S23.设实数b ，c ，d 成等差数列，且它们的和为9，如果实数a ，b ，c 构成公比不等于－1的等比数列，则a +b +c 的取值范围为（ ）A. (49,+∞)B. (－∞,49)C. [49,3)∪(3,+∞)D. (－∞,－3) ∪(－3, 49)24.已知数列{}n b 满足121,4,b b ==2221sin cos 22n n n n b b ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则该数列的前23 项的和为（ ） A ．4194 B ．4195C ．2046D ．204725.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7S 为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ） A ．147a a a B ．147a a a ++ C ．18a aD ．18a a +26.下列结论正确的是（ ） A ．若{}n a 为等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列 B ．若{}n a 为等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -是等差数列 C ．若{}n a 为等比数列，“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的充要条件D ．满足1n na qa +=（*n N ∈，q 为常数的数列{}n a 为等比数列27.已知定义在[0,+∞)上的函数f (x )满足f (x )=2 f (x +2)，当x ∈[0,2]时， f (x )=－2x 2+4x ，设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n(n ∈N *),且{a n }的前n 项和为S n ，则S n = A ．2－121-nB ．4－221-nC ． 2－n21D ． 4－121-n28.已知数列{a n }{n =1，2，3…，2015}为等差数列，圆C 1：x 2+y 2﹣4x ﹣4y =0，圆C 2：x 2+y 2﹣2a n x ﹣2a 2016﹣n y =0，若圆C 2平分圆C 1的周长，则{a n }的所有项的和为（ ） A ．2014 B ．2015C ．4028D ．403029.已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ∈N *），则使12100k a a a +++<L 成立的最大正整数k 的值为（ ） A ．198 B ．199C.200D ．20130.定义123nnp p p p ++++L 为n 个正数123,,,,n p p p p L 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12233410111111b b b b b b b b ++++=L ( )A ．111B ．109C ． 1110D ．121131.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S，则对正整数m ，下列四个结论中:(1) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，也可能成等比数列； (2) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，但不可能成等比数列；(3) 23m m m S S S 、、可能成等比数列，但不可能成等差数列； (4)23m m mS S S 、、不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( ) A.(1)(3) B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)32.对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ）A ．2323140B ．5241280C ．2603140D ．517128033.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =2S n ﹣1+n ﹣2（n ≥2），则a 2017等于（ ） A ．22016﹣1B ．22016+1C ．22017﹣1D ．22017+134.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为（ ） A ．1008B ．1009C ．1007或1008D ．1008或100935.已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，2a 与12a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时,3a 等于（ ） A ．32 B ．16C ．8D ．436.如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，n E（*n N ∈）为AC 边上的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r ，其中实数列{}n a 中，0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅- B ．21n-C ．32n-D ．1231n -⋅-37.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=n n S a 对任意的*n ∈N 都成立，则数列{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C. 既等差又等比数列D ．既不等差又不等比数列38.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是正有理数．若211,d b d a ==，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q =( )A. 12B. 2C. 2或8D. 2,或1239.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则302842312931a a a a a a a a ++++++++ΛΛ的值为（ ）A.1615B.165C.1629D.163140.在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n +2－a n =1+(－1)n （n ∈N +），则S 100=（ ） A ．0B ．1300C ．2600D ．260241.已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A 中所有元素之和是（）．A ．120B ．112C ．92D ．8442.函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(－∞,－1)∪(1,+∞)B ．(－∞,0)∪(1,+∞)C ．(1,+∞)D ．(－1,0)43.已知数列1:A a ，2a ，L ，12(0,3)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ． ②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3B ．2C ．1D ．044.若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，记b n =n S n，则（ ）A ．数列{b n }是等差数列，{b n }的公差也为dB ．数列{b n }是等差数列，{b n }的公差为2dC ．数列{a n +b n }是等差数列，{a n +b n }的公差为dD ．数列{a n ﹣b n }是等差数列，{a n ﹣b n }的公差为2d45.设等差数列{}n a 的前项的和为n S ，若60a <，70a >，且76a a >，则（ ） A ．11120S S +< B ．11120S S +> C.11120S S ⋅<D ．11120S S ⋅>46.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()2201620182017a a a -等于( )A ．1B ．－1C.2017D ．－201747.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 3=b 3=a ，a 6=b 6=b ，若a ＞b ，则下列正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a 4＞b 4B ．若a 4＞b 4，则ab ＞0C ．若ab ＜0，则（a 4﹣b 4）（a 5﹣b 5）＜0D ．若（a 4﹣b 4）（a 5﹣b 5）＜0，则ab ＜048.已知等比数列{a n }的公比是q ，首项a 1＜0，前n 项和为S n ，设a 1，a 4，a 3﹣a 1成等差数列，若S k ＜5S k ﹣4，则正整数k 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．14D ．1549.设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．若正整数i ，j ，k ，l 满足i+l =j +k （i ≤j ≤k ≤l ），则（ ） A ．a i a l ≤a j a kB ．a i a l ≥a j a kC ．S i S l ＜S j S kD ．S i S l ≥S j S k50.已知公差为d 的等差数列{a n }前n 项和为S n ，若有确定正整数n 0，对任意正整数m ，nS •mn S +0＜0恒成立，则下列说法错误的是（ ）A ．a 1•d ＜0B ．|S n |有最小值C ．0n a •10+na ＞0D ．10+na •20+n a ＞0试卷答案1.D2.D3.D4.C5.D6.C7.C8.D9.B10.D由已知条件得到，，，左右两侧累加得到正好是数列的前40项的和，消去一些项，计算得到。