2019年高考数学数列小题练习集
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，且满足，则下列说法正确的是（ ） A.数列{a n }的前n 项和为S n =4nB. 数列{a n }的通项公式为C.数列{a n }为递增数列D. 数列为递增数列2.已知数列{}n a 满足: 11a =,12nn n a a a +=+*()n N ∈.若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( )A. 23λ>B. 32λ>C. 32λ<D. 23λ<3.已知等比数列{z n }中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且y ＞0），则数列{z n }的前2019项的和为（ ）A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+4.等比数列{a n }的前n 项和3nn S t =+，则3t a +的值为A. 1B.－1C. 17D. 185.设函数，是公差为的等差数列， ，则A．B．C．D．6.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则下列命题错误的是A．B．C．D．7.已知数列{a n}满足，则=A．－1 B．－2 C．－3 D．1－log3408.已知数列{a n}满足，若，则的值为( )A. B. C. D.9.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则数列{a n}的公比为( )D.10.已知数列满足，，则数列的前40项的和为（）A．B．C． D．11.已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S10，则(2S=10A ．3164aB ．6164aC ．3132aD ．61128a12.数列{a n }满足a 1=1，且对于任意n∈N +的都有a n +1 = a n + a 1 +n ，则201721111a a a +++Λ等于 （ ）A.20172016B.20174032C.20182017D.2018403413.已知数列{a n }满足：+=(n +1)cos(n ≥2,n ∈N *), S n 是数列{a n }的前n 项和，若 +m =1010,·m >0,则的最小值为（ ）B.+14.数列的通项公式，前项和，则（ ） A ．1232 B ．3019C ．3025D ．432115.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驾马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．何日相逢，”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”现有三种说法：①驽马第九日走了93里路；②良马四日共走了930里路；③行驶5天后，良马和驽马相距615里． 那么，这3个说法里正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316.设数列{a n }的前n 项和为S n ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52C ．53D ．5417.已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 418.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知335588(1)34,(1)32a a a a -+=-+=，则下列选项正确的是A ．125812,S a a =>B ．125824,S a a =>C ．125812,S a a =<D ．125824,S a a =<19.己知数列{}n a 中，11a =，且对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a mn +=++，则201811i ia==∑A ．20172018B ．20171009C ．20182019D ．4036201920.已知 为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部，若数列的前项和为，则( ) A ．B ．C.D ．21.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若1111,3n n a S a +==，则7a =（ ） A ．74 B ．534⨯ C. 634⨯ D ．641+22.已知等差数列的公差，前项和为，若对所有的，都有，则（ ）． A. B.C.D.23.设实数b ，c ，d 成等差数列，且它们的和为9，如果实数a ，b ，c 构成公比不等于－1的等比数列，则a +b +c 的取值范围为（ ）A. (49,+∞) B. (－∞,49)C. [49,3)∪(3,+∞) D. (－∞,－3) ∪(－3,49)24.已知数列{}n b 满足121,4,b b ==2221sin cos 22n n n n b b ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则该数列的前23 项的和为（ ） A ．4194 B ．4195C ．2046D ．204725.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7S 为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ）A ．147a a aB ．147a a a ++C ．18a aD ．18a a +26.下列结论正确的是（ ）A ．若{}n a 为等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列B ．若{}n a 为等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -是等差数列C ．若{}n a 为等比数列，“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的充要条件D ．满足1n n a qa +=（*n N ∈，q 为常数的数列{}n a 为等比数列27.已知定义在[0,+∞)上的函数f (x )满足f (x )=2 f (x +2)，当x ∈[0,2]时， f (x )=－2x 2+4x ，设f (x )在[2n －2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *),且{a n }的前n 项和为S n ，则S n =A ．2－121-n B ．4－221-n C ． 2－n 21 D ． 4－121-n28.已知数列{a n }{n =1，2，3…，2015}为等差数列，圆C 1：x 2+y 2﹣4x ﹣4y =0，圆C 2：x 2+y 2﹣2a n x ﹣2a 2016﹣n y =0，若圆C 2平分圆C 1的周长，则{a n }的所有项的和为（ ） A ．2014B ．2015C ．4028D ．403029.已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ∈N *），则使12100k a a a +++<L 成立的最大正整数k 的值为（ ） A ．198 B ．199D ．20130.定义123nnp p p p ++++L 为n 个正数123,,,,n p p p p L 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12233410111111b b b b b b b b ++++=L ( ) A ．111B ．109C ．1110 D ．121131.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中: (1) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，也可能成等比数列； (2) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，但不可能成等比数列； (3) 23m m m S S S 、、可能成等比数列，但不可能成等差数列； (4) 23m m m S S S 、、不可能成等比数列，也不叫能成等差数列. 正确的是( ) A.(1)(3) B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)32.对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140B ．5241280C ．2603140D ．517128033.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=1，S n =2S n ﹣1+n ﹣2（n ≥2），则a 2017等于（ ） A ．22016﹣1B ．22016+1C ．22017﹣1D ．22017+134.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为（ ） A ．1008B ．1009C ．1007或1008D ．1008或100935.已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为4，则当取最小值时,等于（ ） A ．32 B ．16C ．8D ．436.如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，n E （*n N ∈）为AC 边上的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中实数列{}n a 中，0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅- B ．21n-C ．32n-D ．1231n -⋅-37.已知数列的前项和为，若对任意的都成立，则数列为（ ） A ．等差数列B ．等比数列 C. 既等差又等比数列D ．既不等差又不等比数列38.已知等差数列{a n }的公差不为0，等比数列{b n }的公比是正有理数．若，且是正整数，则=( ) A.B. 2C. 2或8D.2,或39.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ） A. B. C. D.40.在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，且a n +2－a n =1+(－1)n（n ∈N +），则S 100=（ ） A ．0B ．1300C ．2600D ．260241.已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A 中所有元素之和是（）． A ．120 B ．112 C ．92 D ．8442.函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(－∞,－1)∪(1,+∞)B ．(－∞,0)∪(1,+∞)C ．(1,+∞)D ．(－1,0)43.已知数列1:A a ，2a ，L ，12(0,3)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ．②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3B ．2C ．1D ．044.若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，记b n =n S n，则（ ）A ．数列{b n }是等差数列，{b n }的公差也为dB ．数列{b n }是等差数列，{b n }的公差为2dC ．数列{a n +b n }是等差数列，{a n +b n }的公差为dD ．数列{a n ﹣b n }是等差数列，{a n ﹣b n }的公差为2d45.设等差数列的前项的和为，若，，且，则（ ） A ． B ． C.D ．46.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()2201620182017a a a -等于( )A ．1B ．－1 D ．－201747.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 3=b 3=a ，a 6=b 6=b ，若a ＞b ，则下列正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a 4＞b 4B ．若a 4＞b 4，则ab ＞0C ．若ab ＜0，则（a 4﹣b 4）（a 5﹣b 5）＜0D ．若（a 4﹣b 4）（a 5﹣b 5）＜0，则ab ＜048.已知等比数列{a n }的公比是q ，首项a 1＜0，前n 项和为S n ，设a 1，a 4，a 3﹣a 1成等差数列，若S k ＜5S k ﹣4，则正整数k 的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．14D ．1549.设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．若正整数i ，j ，k ，l 满足i+l =j +k （i ≤j ≤k ≤l ），则（ ）A ．a i a l ≤a j a kB ．a i a l ≥a j a kC ．S i S l ＜S j S kD ．S i S l ≥S j S k50.已知公差为d 的等差数列{a n }前n 项和为S n ，若有确定正整数n 0，对任意正整数m ，0n S •m n S +0＜0恒成立，则下列说法错误的是（ ）A ．a 1•d ＜0B ．|S n |有最小值C ．0n a •10+n a ＞0D ．10+n a •20+n a ＞0试卷答案10.由已知条件得到，，，左右两侧累加得到正好是数列的前40项的和，消去一些项，计算得到。
2019年高考数学真题分类汇编专题04：数列(基础题)
2019年高考数学真题分类汇编专题04：数列（基础题）一、单选题(共4题；共8分)1．（2分）设a ，b ∈R ，数列{a n }，满足a 1 =a ，a n+1= a n 2+b ，b ∈N *，则（ ）A ．当b= 12 时，a 10>10B ．当b= 14 时，a 10>10C ．当b=-2时，a 10>10D ．当b=-4时，a 10>102．（2分）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（ ）A ．16B ．8C ．4D ．23．（2分）古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯“便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 √5−12。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm4．（2分）记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和。
已知 S 4 =0， a 5 =5，则（ ）A ．a n =2n-5B ．a n =3n-10C ．S n =2n 2-8nD ．S n = 12n 2-2n二、填空题(共6题；共7分)5．（1分）已知数列 {a n }(n ∈N ∗) 是等差数列， S n 是其前n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27 ，则S 8 的值是 .6．（1分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若 a 3=5,a 7=13 ，则 S 10= . 7．（1分）记S n 为等差数列{a n }项和，若a 1≠0，a 2=3a 1，则 S 10S5= 。
8．（2分）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3，S5=-10，则a5=，S n的最小值为.9．（1分）记S n为等比数列{a n}的前n项和。
2019年高考试题汇编理科数学--数列(可编辑修改word版)
整理可得 an1 bn1
1 2 (an
bn ) ，又 a1 b1
1 ，故
an
bn
是首项为1，公比为 1 的等比数列. 2
将 4an1 3an bn 4 ， 4bn1 3bn an 4 作差可得 4an1 4bn1 3an 3bn an bn 8 ，
1 / 13
整理可得 an1 bn1 an bn 2 ，又 a1 b1 1，故 an bn 是首项为1，公差为 2 的等差数列.
设所有长度为 q 的子列的末项分别为： aq1 , aq2 , aq3 , ， 所有长度为 p 的子列的末项分别为： ap1 , ap2 , ap3 , ， 则 an0 min aq1 , aq2 , aq3 , ，
注意到长度为 p 的子列可能无法进一步找到长度为 q 的子列，
故 am0 min ap1 , ap2 , ap3 , ，
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am0 ，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 an0 . 若 p<q，求证： am0 < an0 ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s–1，且长度为 s 末项为 2s–1 的递增子列恰有 2s-1 个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式． 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6. (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
答案： C 解答：
设该等比数列的首项 a1 ，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1 ，
因为 a1 0 且 q 0 ，则可解得 q 2 ，又因为 a1(1 q q2 q3 ) 15 ，
2019-2019云南省数列理科高考题目及答案word精品文档13页
2019年—2019年云南省10年高考数列试题汇总2019年高考数学大纲（理） 数列部分：等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
2019年（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++== （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 （18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+g． （Ⅰ）求limnn na S →∞；（Ⅱ）证明：12222312n n a a a n+++…＞． 2009年14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 。
19（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。
2019年20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．2019年16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．2019年（11）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612SS =( ) （A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）19（22）（本小题满分１２分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1,1,2,3,...n S n -= （I ）求12,;a a（II ）求{}n a 的通项公式2019年11. 如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则（ ） A. a 1a 8＞a 4a 5 B. a 1a 8＜a 4a 5C. a 1＋a 8＞a 4＋a 5D. a 1a 8＝a 4a 518. （本小题满分12分）已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列，又（Ⅰ）证明为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a 1和公差d.（注：无穷数列各项的和即当时数列前n 项和的极限） 2019年（19）(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）． 证明： (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列； (Ⅱ)S n ＋1＝4a n2019年22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2019年（22）设数列}{n a 满足：121+-=+n n n na a a ，Λ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a Λ 2019年(3) 设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(15)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则 q =(21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？2019年～2009年云南省历年高考数列题2009年解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ 2019年20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······································································· 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ······························································ 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=•+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔•+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ························································· 12分 2019年21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一： 由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，， 因为132nn a a +-=， 所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭g两边开平方得32na a -<即 1n n b b n +<，为正整数．2019年22．解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．由①可得S 3＝34．由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…． ……8分下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立．(ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2， 故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． ……10分于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…． ……12分 2019年18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2019年高考数学试题分项版——数列（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2019·浙江，10)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a n 2＋b ，n ∈N *，则( )A ．当b ＝12时，a 10＞10 B ．当b ＝14时，a 10＞10 C ．当b ＝－2时，a 10＞10 D ．当b ＝－4时，a 10＞10 答案 A解析 当b ＝12时，因为a n ＋1＝a n 2＋12，所以a 2≥12，又a n ＋1＝a n 2＋12≥√2a n ，故a 9≥a 2×(√2)7≥12×(√2)7＝4√2，a 10＞a 92≥32＞10.当b ＝14时，a n ＋1－a n ＝(a n −12)2，故当a 1＝a ＝12时，a 10＝12，所以a 10＞10不成立．同理b ＝－2和b ＝－4时，均存在小于10的数x 0，只需a 1＝a ＝x 0，则a 10＝x 0＜10，故a 10＞10不成立．3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵{S 4＝0，a 5＝5，∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3，d =2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n−1)2d ＝n 2－4n .故选A.4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4. 二、填空题1．(2019·全国Ⅰ文，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q ， 则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34， 即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×[1−(−12)4]1−(−12)＝58.2．(2019·全国Ⅲ文，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝a 7−a 37−3＝13−54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.3．(2019·江苏，8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二 ∵S 9＝a 1+a 92×9＝27，∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3，则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9，∴其公差d ＝a 8−a 58−5＝2，∴a 1＝－5，∴S 8＝8×a 1+a82＝16.4．(2019·全国Ⅰ理，14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 42＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 42＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1−q 5)1−q＝13×(1−35)1−3＝1213.5．(2019·全国Ⅲ理，14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则s 10s 5＝________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以s 10s 5＝10a1+10×92d 5a1+5×42d＝10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1＝10025＝4.6．(2019·北京理，10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出14a =-，1d =，由此能求出5a 的n S 的最小值．【解析】：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，510S =-，∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得14a =-，1d =，5144410a a d ∴=+=-+⨯=， 21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--， 4n ∴=或5n =时，n S 取最小值为4510S S ==-．故答案为：0，10-．【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5，即9a 5＝－a 5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，.S n＝n(n−9)d2由a1>0知d<0，≥(n－5)d，化简得故S n≥a n等价于n(n−9)d2n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．2．(2019·全国Ⅱ文，18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.3．(2019·北京文，16)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．解(1)设{a n}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．即(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，a n＝2n－12.则当n≥7时，a n>0；当n≤6时，a n≤0.所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.4．(2019·天津文，18)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝{1,n 为奇数，b n 2,n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q ＞0. 依题意，得{3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得{d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝[n ×3+n(n−1)2×6]＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n )． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，② ②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1 ＝－3(1−3n )1−3＋n ×3n ＋1＝(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n−1)3n+1+32＝3(n−1)3n+2+6n 2+92(n ∈N *)．5．(2019·浙江，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝√a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n ，n ∈N *.(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由题意得 a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝0，d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N *. 所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *.由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列得(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1a (S n+12－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明 c n ＝√a n 2b n＝√2n−22n(n+1)＝√n−1n(n+1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0＜2，不等式成立； ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时不等式成立，即 c 1＋c 2＋…＋c k ＜2√k . 那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2√k ＋√k(k+1)(k+2)＜2√k ＋√1k+1＜2√k ＋√k+1+√k＝2√k ＋2(√k +1－√k )＝2√k +1.即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n ＜2√n 对任意n ∈N *成立．6．(2019·江苏，20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”； (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n＝2b n －2b n+1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k＋1成立，求m 的最大值．(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2−4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M －数列”． (2)解 ①因为1S n＝2b n－2bn+1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由2S n＝2b n－2bn+1，得S n ＝b nb n+12(b n+1−b n )，当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b nb n+12(b n+1−b n)－b n−1bn2(b n−b n−1)， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M －数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m . 当k ＝1时，有q ≥1； 当k ＝2,3，…，m 时，有lnk k≤ln q ≤lnkk−1.设f (x )＝lnx x(x >1)，则f ′(x )＝1−lnx x 2(x >1)．令f ′(x )＝0，得x ＝e ，列表如下：因为ln22＝ln86<ln96＝ln33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln33.取q ＝√33，当k ＝1,2,3,4,5时，lnk k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.7．(2019·全国Ⅱ理，19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n−1,，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.8．(2019·北京理，20)（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列． （Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．【思路分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a ，即可证明结论．()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 【解析】：()1I ，3，5，6．()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，∴0n a >该数列的第p 项0m a ， ∴00m n a a <．()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列， 这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前． 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -， 对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，⋯⋯，第s 项是21s -与2s 二选1，故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．2∴，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造． 即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．9．(2019·天津理，19)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝{1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (ⅰ)求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式；(ⅱ)求(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 依题意得{6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得{d ＝3，q ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1， b n ＝b 1·q n －1＝6×2n －1＝3×2n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)(ⅰ)a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n －1. 所以数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1. (ⅱ)a i c i ＝[a i ＋a i (c i －1)] ＝a i ＋a 2i (c 2i －1)＝[2n ×4+2n (2n −1)2×3]＋(9×4i －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×4(1−4n )1−4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．。
江苏省2019年高考数学小专题复习6--函数单调性在数列中的应用(有答案)
四、 【练习】
1. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 20 ，公差 d 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中， a1 18 ， a n 1 a n 3 ( n N ) ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小 值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. （1）求 a1 ， a2 的值； （2）设 a1 0 ，数列 {lg 大值. 解： （1）取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①，得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0，由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得， a1 ④
2 1, a 2 2 2.
当 n 2时，有（ 2 2）a n S 2 S n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1，
（ 1 2 ）a n （ 2 2）a n 1, 即 an= 2a n 1 (n 2) , 所以
所以 a n a1 ( 2 ) 令 b n lg
n
（3）令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
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由 en en 1 ，得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2
n 1
，即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立，即数列 {en } 为单调递增数列， 所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立，所以 2 ，
2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)(可编辑修改word版)
bn = sin(an) ，集合
．
当
，
33
S = { - ,0, }
集合
2 2．
蟺
（2）解： a1 = 2 ，数列 {bn} 满足 bn = sin(an) ，集合
恰
好有两个元素，如图：
3
根据三角函数线，①等差数列 {an} 的终边落在 y 轴的正负半轴上时，集合 S 恰好有两个元素，此时 d = 蟺 ， ② a1 终边落在 OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a2 ， a3 的终 边关于 y 轴对称，如图 OB ， OC ，
b1
1, 1 Sn
2 bn
2 bn1
，其中
Sn 为数列{bn}的前
n
项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} n N* ，对任意正整数 k ， 当
k≤m 时，都有 ck bk ck1 成立，求 m 的最大值．
【答案】 （1）解：设等比数列{an}的公比为 q ， 所以 a1≠0，q≠0.
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为 bn=n
.
②由①知，bk=k ， k鈭?mbrimbriN * .
1
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q ， 所以 c1=1，q>0.
因为 ck≤bk≤ck+1 ， 所以
，其中 k=1，2，3，…，m.
当 k=1 时，有 q≥1；
，或者
an + 7d = 2k蟺 - an ，
， ，故 k = 1,2,3
当 k = 1 时，因为
对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，
2019年高考试题汇编：数列
2019年高考试题汇编：数列一．选择题1．（2019•浙江）设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n2+b，n∈N*，则（）A．当b＝时，a10＞10B．当b＝时，a10＞10C．当b＝﹣2时，a10＞10D．当b＝﹣4时，a10＞10 2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n3．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．2二．填空题4．（2019•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．5．（2019•北京）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝，S n的最小值为．6．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝，a42＝a6，则S5＝．7．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝．8．（2019•新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝．9．（2019•新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝．三．解答题10．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．11．（2019•新课标II）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．12．（2019•浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝4，a4＝S3．数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n+b n，S n+1+b n，S n+2+b n成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n＝，n∈N*，证明：c1+c2+…+c n＜2，n∈N*．13．（2019•新课标II）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．14．（2019•北京）设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．15．（2019•天津）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c1＝1，c n＝其中k∈N*．（i）求数列{a（c﹣1）}的通项公式；（ii）求a i c i（n∈N*）．16．（2019•天津）设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）．17．（（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．18．（2019•北京）已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项（i1＜i2＜…＜i m），若a＜a＜…＜a，则称新数列a，a，…，a为{a n}的长度为m的递增子列．规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a，长度为q的递增子列的末项的最小值为a．若p＜q，求证：a＜a；（Ⅲ）设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s﹣1，且长度为s末项为2s﹣1的递增子列恰有2s﹣1个（s＝1，2，…），求数列{a n}的通项公式．。
2019年高考数学试题及答案word版
2019年高考数学试题及答案word版一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
）1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为多少？A. 0B. 2C. 5D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=3，求该数列的第5项a5。
A. 13B. 16C. 19D. 223. 计算三角函数值：sin(π/6) + cos(π/3)。
A. 1B. √3/2C. √2D. 24. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆C的半径。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线l的方程为y=2x+3，且点P(1,2)在直线l上，则直线l的斜率是多少？A. 1/2B. 2C. 3D. 46. 已知复数z=3+4i，求|z|的值。
A. 5B. √7C. √13D. √257. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。
A. 0B. 1/3C. 1D. 2/38. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，求向量a与向量b的数量积。
A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分。
）9. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。
________________。
10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x，求双曲线C的离心率e。
________________。
11. 计算二项式展开式(1+x)^5的第3项。
________________。
12. 已知抛物线y=x^2-4x+4，求抛物线的顶点坐标。
________________。
三、解答题（本题共3小题，共52分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）13. （本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证f(x)在区间[1,2]上单调递增。
2019年高考数学真题专题12 数列
9．【2019 年高考江苏卷】已知数列{an}(n N*) 是等差数列， Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 a8 0, S9 27 ，
则 S8 的值是__________．
【答案】16
【解析】由题意可得：
a2a5 S9
a8 a1 d
9a1
98 2
d
a1
27
4d
a1
7d
0
，
解得：
2
1 ( 1)
5． 8
2
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的
计算，部分考生易出现运算错误．
一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算
S4
S3
a4
S3
a1q3
3 4
(
1 )3 2
5 8
，
避免繁分式计算．
8．【2019 年高考全国 III 卷文数】记 Sn 为等差数列an的前 n 项和，若 a3 5, a7 13 ，则
若公比 q 1 ，则 a1 a2 a3 a4 a1 1 q 1 q2 0, 但 ln a1 a2 a3 ln a1 1 q q2 lna1 0 ，即 a1 a2 a3 a4 0 ln a1 a2 a3 ，不合题意；
因此 1 q 0, q2 0,1 ，a1 a1q2 a3, a2 a2q2 a4 0 ，故选 B.
，
a10
a92
1 2
10
，
故 A 项正确.
（ⅱ）当 b
1 4
时，令
a1=a=0 ，则
a2
1 4
, a3
1 4
2
1 4
1 2
，
所以
a4
2019高考数学专题精练-等差数列
2019高考数学专题精练-等差数列[时间：45分钟 分值：100分]1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5旳值为________．2．已知等差数列{a n }中， a 1＝－4，a 9＝8，则该数列前9项和S 9等于________． 3．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }旳前9项和S 9等于________．4．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取最大值旳正整数n 旳值是________．5．等差数列{a n }旳前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列旳公差为________． 6．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＝________. 7．[2011·辽宁卷] S n 为等差数列{a n }旳前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 8．[2011·重庆三诊] 已知等差数列{a n }满足a 3＋a 13－a 8＝2，则{a n }旳前15项和S 15＝________.9．[2011·郑州三模] 数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 11等于________．10．首项为－24旳等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 旳取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }旳公差为 2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝________. 12．已知数列{a n }为等差数列，若a 5a 6<－1，则数列{|a n |}旳最小项是第________项．13．(8分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }旳前n 项和S n . 14．(8分)在数列{a n }中，a 1＝4，且对任意大于1旳正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上．(1)求数列{a n }旳通项公式；(2)已知b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ，试比较a n 与b n 旳大小．15．(12分)已知等差数列{a n }旳前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)．(1)求q 旳值；(2)若a 1与a 5旳等差中项为18，b n 满足a n ＝2log 2b n ，求数列{b n }旳前n 项和． 16．(12分)[2010·安徽卷] 数列a 1，a 2，…，a n ，…中旳每一项都不为0.求证：{a n }为等差数列旳充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.课时作业(二十八)【基础热身】1．5 [解析] 由等差数列旳性质得a 1＋a 9＝2a 5＝10，所以a 5＝5.2．18 [解析] 在等差数列{a n }中，∵a 1＝－4，a 9＝8，∴数列前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝18.3．99 [解析] ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝92(13＋9)＝99.4．5或6 [解析] ∵由已知得{a n }中，a 3＝－a 9，即a 1＝－5d ，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5dn ＋n (n －1)2d .＝d 2⎝⎛⎭⎫n －1122－1218d .∵n ∈N *，∴n ＝5或6时，S n 取最大值．【能力提升】5．3 [解析] S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3. 6．28 [解析] 因为2a 4＝a 3＋a 5，所以3a 4＝12，即a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＝7a 4＝28.7．－1 [解析] 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋d ＝0，所以a 4＋(a 4＋d )＝0，即a 5＝－a 4＝－1.8．30 [解析] 由a 3＋a 13－a 8＝2得2a 8－a 8＝2，所以a 8＝2，所以S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8＝30.9.12 [解析] 设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1旳公差为d ，则有1a 7＋1＝1a 3＋1＋4d ，解得d ＝124，所以1a 11＋1＝1a 3＋1＋8d ，即1a 11＋1＝12＋1＋13，解得a 11＝12.10.⎝⎛⎦⎤83，3 [解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 9≤0，a 10>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－24＋8d ≤0，－24＋9d >0， ∴83<d ≤3.11．－6 [解析] 依题意a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝2－5×2＝－8，∴f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝2－6⇒log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝－6. 12．6 [解析] 由a 5a 6<－1得，若a 6>0，则a 5<－a 6<0，此时等差数列{a n }为递增数列，|a 5|>|a 6|，此时{|a n |}中第6项最小；若a 6<0，则a 5>－a 6>0，此时等差数列{a n }为递减数列，|a 5|>|a 6|，仍然有{|a n |}中第6项最小．故{|a n |}中旳最小项是第6项．13．[解答] 设{a n }旳公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)(n ∈N *)． 14．[解答] (1)因为点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上， 所以a n ＝a n －1＋2，即数列{a n }是以a 1＝2为首项，以d ＝2为公差旳等差数列． 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)方法一：因为b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4，当n ＝1时，b 1＝a 1＝4，满足上式．所以b n ＝8n －4， 所以a n －b n ＝4n 2－(8n －4)＝4(n －1)2≥0，所以a n ≥b n . 方法二：由b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n 得，a n －b n ＝a n －1＝ 4(n －1)2≥0，所以a n ≥b n .15．[思路] (1)已知S n 可求a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 然后利用{a n }为等差数列求得；(2)先求得b n ，从而判断出数列{b n }为等比数列，再求其前n 项和．[解答] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1)2＋2(n －1)－q ＝2pn －p －2. ∵{a n }是等差数列，∴p －2＋q ＝2p －p －2，∴q ＝0.(2)∵a 3＝a 1＋a 52，∴a 3＝18.又a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝18，∴p ＝4，∴a n ＝8n －6.又∵a n ＝2log 2b n ，得b n ＝24n －3，∴b 1＝2，b n ＋1b n ＝24(n ＋1)－324n －3＝24＝16，即{b n }是等比数列．所以数列{b n }旳前n 项和T n ＝2(1－16n )1－16＝215(16n －1)．[点评] (1)若S n ＝an 2＋bn ＋c 是等差数列旳前n 项和，则必有c ＝0；(2)若{b n }为等比数列，则{log a b n }是等差数列．16．[解答] 先证必要性．因为{a n }为等差数列，不妨设公差为d ，若d ＝0，结论显然成立．当d ≠0时， 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝n a 1a n ＋1.再证充分性．由1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1①，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2②，②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝a 1.同理得na n －(n －1)a n ＋1＝a 1，因此a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }为等差数列。