初二第三讲 “一次函数”的解题方法与技巧

精锐教育名师大讲堂讲义
初二第三讲
“一次函数”的解题方法与技巧
● 学习要求
1．理解一次函数的意义，会根据已知条件确定一次函数表达式；
2．会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析式(0)y kx b k =+≠，理解其性质（k ＞0或k ＜0时图
像的变化情况）；
3．能用一次函数解决实际问题． ● 方法点拨
考点1：确定一次函数解析式
1．已知一次函数y ax b =+的图象过(02)，
点，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a 的值为( ) Ａ．1±
Ｂ．1
Ｃ．1-
Ｄ．不确定
2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）有下面的关系：
那么弹簧总长y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为_____________．
3．经过点()20，且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是___________．
4．平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 在直线y ＝x -＋m 上，
且AP ＝OP ＝4．求m 的值．
考点2：一次函数的图像与性质
1．已知一次函数y kx k =-，若y 随着x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ） Ａ．第一、二、三象限 Ｂ．第一、二、四象限 Ｃ．第二、三、四象限 Ｄ．第一、三、四象限 2．如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y ax =，②
y bx =，③y cx =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
3．点111()P x y ，，点222()P x y ，是一次函数43y x =-+图像上的两个点，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是（ ）
Ａ．12y y >； Ｂ．120y y >>； Ｃ．12y y <； Ｄ．12y y =．
4．直线l 1是正比例函数的图像，将l 1沿y 轴向上平移2个单位得到的直线l 2经过点P (1，1)，那么（ ）
A ．l 1过第一、三象限；
B ．l 2过第二、三、四象限；
C ．对于l 1，y 随x 的增大而减小；
D ．对于l 2，y 随x 的增大而增大．
5．函数11y x =+与2y ax b =+（0a ≠）的图像如图所示，这两个函数图象的交点在y 轴上，那么使1y ，2y 的值都大于零的x 的取值范围是___________．
6．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD 是黑色区域（含正方形边界），其中(11)
(21)(22)(12)A B C D ，，，，，，，，用信号枪沿直线2y x b =-+发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b 的取值范围为_________________．
考点3：一次函数与方程、不等式的关系
1．已知一次函数y ax b =+（a 、b 是常数），x 与y 的部分对应值如下表：
那么方程0ax b +=的解是___________；不等式0ax b +>的解集是_______________．
x
x
（第5题）
（第6题）
考点4：一次函数的实际应用
1．李老师准备装饰一间卧室，请来两名工人．已知师傅单独完成需10天，徒弟单独完成需20天．计划先由徒弟做2天，余下的工作由师徒二人合做．设当装饰工作进行到第x 天时，完成的工作量为y ．
（1）求工作时间2x （天）时工作量y 与x 之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围； （2）合同规定完成这间房屋的装饰后，李老师应付工钱1000元，但当完成了整个工程的
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时，徒弟因事不能再来工作，后面的工作由师傅单独完成．如果按各人完成的工作量来计算报酬，徒弟应领取多少工钱？
2．电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集．
（1）设一周内甲连续剧播x 集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y 万人次，求y 关于x 的函数关系式．
（2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值．
3．甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，球拍一付定价60元，乒乓球每盒定价10元．今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买一付乒乓球拍赠二盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠．某校乒乓球队需要买2付乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）．设该校要买乒乓球x 盒，所需商品在甲商店购买需用1y 元，在乙商店购买需用2y 元．
（1）请分别写出1y ，2y 与x 之间的函数关系式（不必注明自变量x 的取值范围）； （2）对x 的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜．
（3）若该校要买2付乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案．
考点5：一次函数与几何的综合
1．如图，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x t =，使它与直线y x =和直线1
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y x =-
+分别交于点D E 、（E 在D 的上方），且PDE △为等腰直角三角形．若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明原因．
2．已知一次函数1
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y x =
+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．点C 的坐标为（2，0）． （1）求直线BC 的函数解析式；
（2）点D 在y 轴上，若A 、B 、C 、D 四点恰好为梯形的四个顶点，求所有满足条件的D 点坐标．
3．已知一次函数33
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+-
=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，点C 、D 分别在线段OA 、AB 上，CD=CA ．
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求OCD ∠的度数；
（3）如果△CDO 的面积是△ABO 面积的
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1， 求点C 的坐标．
2x +。