初二第三讲 “一次函数”的解题方法与技巧
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精锐教育名师大讲堂讲义
初二第三讲
“一次函数”的解题方法与技巧
● 学习要求
1.理解一次函数的意义,会根据已知条件确定一次函数表达式;
2.会画一次函数的图像,根据一次函数的图像和解析式(0)y kx b k =+≠,理解其性质(k >0或k <0时图
像的变化情况);
3.能用一次函数解决实际问题. ● 方法点拨
考点1:确定一次函数解析式
1.已知一次函数y ax b =+的图象过(02),
点,它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形,则a 的值为( ) A.1±
B.1
C.1-
D.不确定
2.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y (cm )与所挂物体的质量x (kg )有下面的关系:
那么弹簧总长y (cm )与所挂物体质量x (kg )之间的函数关系式为_____________.
3.经过点()20,且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是___________.
4.平面直角坐标系中,点A 的坐标是(4,0),点P 在直线y =x -+m 上,
且AP =OP =4.求m 的值.
考点2:一次函数的图像与性质
1.已知一次函数y kx k =-,若y 随着x 的增大而减小,则该函数的图像经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 2.如图:三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y ax =,②
y bx =,③y cx =,则a b c ,,的大小关系是( ) A .a b c >> B .c b a >>
C .b a c >>
D .b c a >>
3.点111()P x y ,,点222()P x y ,是一次函数43y x =-+图像上的两个点,且12x x <,则1y 与2y 的大小关系是( )
A.12y y >; B.120y y >>; C.12y y <; D.12y y =.
4.直线l 1是正比例函数的图像,将l 1沿y 轴向上平移2个单位得到的直线l 2经过点P (1,1),那么( )
A .l 1过第一、三象限;
B .l 2过第二、三、四象限;
C .对于l 1,y 随x 的增大而减小;
D .对于l 2,y 随x 的增大而增大.
5.函数11y x =+与2y ax b =+(0a ≠)的图像如图所示,这两个函数图象的交点在y 轴上,那么使1y ,2y 的值都大于零的x 的取值范围是___________.
6.如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD 是黑色区域(含正方形边界),其中(11)
(21)(22)(12)A B C D ,,,,,,,,用信号枪沿直线2y x b =-+发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b 的取值范围为_________________.
考点3:一次函数与方程、不等式的关系
1.已知一次函数y ax b =+(a 、b 是常数),x 与y 的部分对应值如下表:
那么方程0ax b +=的解是___________;不等式0ax b +>的解集是_______________.
x
x
(第5题)
(第6题)
考点4:一次函数的实际应用
1.李老师准备装饰一间卧室,请来两名工人.已知师傅单独完成需10天,徒弟单独完成需20天.计划先由徒弟做2天,余下的工作由师徒二人合做.设当装饰工作进行到第x 天时,完成的工作量为y .
(1)求工作时间2x (天)时工作量y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2)合同规定完成这间房屋的装饰后,李老师应付工钱1000元,但当完成了整个工程的
7
10
时,徒弟因事不能再来工作,后面的工作由师傅单独完成.如果按各人完成的工作量来计算报酬,徒弟应领取多少工钱?
2.电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查,播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次,播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次,公司要求电视台每周共播放7集.
(1)设一周内甲连续剧播x 集,甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y 万人次,求y 关于x 的函数关系式.
(2)已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间,并且播放甲连续剧每集需50分钟,播放乙连续剧每集需35分钟,请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集,才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大,并求出这个最大值.
3.甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,球拍一付定价60元,乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间,两家商店都搞促销活动:甲商店规定每买一付乒乓球拍赠二盒乒乓球;乙商店规定所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要买2付乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于4盒).设该校要买乒乓球x 盒,所需商品在甲商店购买需用1y 元,在乙商店购买需用2y 元.
(1)请分别写出1y ,2y 与x 之间的函数关系式(不必注明自变量x 的取值范围); (2)对x 的取值情况进行分析,试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜.
(3)若该校要买2付乒乓球拍和20盒乒乓球,在不考虑其他因素的情况下,请你设计一个最省钱的购买方案.
考点5:一次函数与几何的综合
1.如图,P 是y 轴上一动点,是否存在平行于y 轴的直线x t =,使它与直线y x =和直线1
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y x =-
+分别交于点D E 、(E 在D 的上方),且PDE △为等腰直角三角形.若存在,求t 的值及点P 的坐标;若不存在,请说明原因.
2.已知一次函数1
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y x =
+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B .点C 的坐标为(2,0). (1)求直线BC 的函数解析式;
(2)点D 在y 轴上,若A 、B 、C 、D 四点恰好为梯形的四个顶点,求所有满足条件的D 点坐标.
3.已知一次函数33
3
+-
=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,点C 、D 分别在线段OA 、AB 上,CD=CA .
(1)求A 、B 两点的坐标; (2)求OCD ∠的度数;
(3)如果△CDO 的面积是△ABO 面积的
4
1, 求点C 的坐标.
2x +