数论初步
一个题目 6
• 青蛙王子
http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1058
– 一只青蛙能跳两种长度a,b，问它能否跳到c处 – 例如a=4，b=6，c=2。它可以右跳6，再左跳4, 就到了2了。 – 问题转化为是否存在整数x,y使x*a+y*b=c; – 所以判断gcd(a,b)能不能整除c就行了。
– 把一个数质因数分解 – 像我上一页那个代码
最大公约数greatest common divisor
• 就是最大的(greatest)，公共的(common)，约数(divisor); • 假设a，b的最大公约数为g，既gcd(a,b)=g; • 把a，b，g质因数分解，
– – – – – a=p0a0 * p1a1 * p2a2 *……* pkak b=p0b0 * p1b1 * p2b2 *…… * pkbk 要是a没有pi这个质因子，则可以认为ai等于0 如果a能整除b，则a0<=b0,a1<=b1……ak<=bk gcd(a,b) = g = p0min(a0,b0) * p1min(a1,b1) * p2min(a2,b2) *…… * pkmin(ak,bk)
扩展欧几里德定理
• 代码：
void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y,int &g){//用引用来传递x,y,g值，a*x+b*y=g; if(b==0){ g=a;x=1;y=0; return; } ex_gcd(b,a%b,y,x,g);//b*y+(a%b)*x=g; y-=a/b*x; } int main(){ int a,b; scanf("%d %d",&a,&b); int x,y,g; ex_gcd(a,b,x,y,g); printf("x=%d,y=%d,g=%d\n",x,y,g); return 0; }
p -1 i 0 p i - 1
k
ei 1 i
一个题目 2
• 因子和
http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1172
• 求一个数的所有因数和 • 直接上公式就行了
质因数分解
const int N=100; int p[N],e[N]; int main(){ int n,i,j,k; scanf("%d",&n);//n>1 printf("%d = ",n); k=0; for(i=2;i*i<=n;i++){//i*i大于n的时候 就结束循环 if(n%i==0){//找到了一个n的约数， 一定是素数(为什么？) p[k]=i; e[k]=0; while(n%i==0){ n/=i;//n一直除以i，直到n没 有了i这个约数 e[k]++; } k++; } } if(n>1){//结束循环之后，要是n大 于1，则n是一个素数 p[k]=n; e[k]=1; k++; } for(i=0;i<k;i++){ printf("%d^%d",p[i],e[i]); if(i<k-1) printf(" * "); else printf("\n"); } return 0; }
– 1可以理解为0个素数的乘积(p0)；
• a = p0e0 * p1e1 * p2e2 * …… * pkek
– 其中p0<p1<p2<……<pk – 这种表示方法是唯一的。 – a的因子个数为(1+e0)*(1+e1)*……*(1+ek) – a的所有因子和为 (1+p0+p02+p03+……+p0e0)*(1+p1+p12+p13+…… +p1e1)*……*(1+pk+pk2+pk3+……+pkek)*
如何判断一个整数a(>1)是不是素数
• 若2~（a-1）有a的因子，则a不是素数。否则a是素数 int main() { int a,i; scanf("%d",&a); for(i=2;i<a;i++) if(a%i==0){ printf("a不是素数"); //找到了a的一个因子，判断完成了，跳出结束循环。 //此时，i<a; break; } //如果a不是素数，则结束循环的时候i<a; //若结束循环的时候i>=a,则说明a是素数。 if(i>=a) printf("a是素数"); //最坏的情况要循环a-2次，要是a很大，就很慢了。 return 0; }
一个题目 7
• hdu1212 Big Number
/showproblem.php?pid=1212
• 就是求a模b，只是a有很大很大最大有1000 位数，b比较小，b最大是100000 • 怎么解？
快速幂
• 求ab，是不是要把a乘b次呢？这样也行， 只是慢了点 • 例如求a8，先把a乘a一次，得到a2，然后把 a2和a2乘一次，得到a4，然后把a4和a4乘一 下就得到a8了 • 假如要求a10呢？10=8+2，a10=a8*a2 • 把10化为二进制， 10=1010(2),1010(2)=1000(2)+10(2)
快速幂
• 直接上代码 int q_pow(int a,int b){//求ab int ans=1;//ans初始化为1 while(b>0){ if(b&1) ans=ans*a;//如果b是奇数，则把ans乘以a a=a*a;//把a变成a2 b>>=1;//b右移一位，相当于b除以2 } return ans; }
更快的方法
• 若2~（a-1）有a的因子，假如是x。 – 则存在y*x=a; – y也是a的一个因子，且2 <= y <= a-1; – x和y必有一个小于等于根号a(sqrt(a)); • 所以，若a是合数，则在2~sqrt(a)中有a的因子。 int m=sqrt(a+0.5);//加0.5是为了避免浮点数误差 for(i=2;i<=m;i++) if(a%i==0){ printf("a不是素数"); break; } if(i>=a) printf("a是素数"); //最坏的情况要循环sqrt(a)-1次，a在1012以内都能很快的算出来
扩展欧几里德定理
• 假设存在整数x,y使a*x+b*y=gcd(a,b); • 若b等于0，可令x=1,y=0;
• a*x+b*y=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x0+(a%b)*y0
• a%b=a-[a/b]*b;(r=a-k*b); • a*x+b*y=b*x0+(a-[a/b]*b)*y0 =b*x0+a*y0-[a/b]*b*y0 =a*y0+b*(x0-[a/b]*y0) • 既x=y0,y=x0-[a/b]*y0; • 令x'=y0,y'=x0,则x=x',y=y'-[a/b]*x'；
/showproblem.php?pid=1108
一些定理和推论
• gcd(a, b) 的性质： – 定理：如果a，b是不全为0的任意整数， 则gcd(a, b)是a与b的线性组合 {ax+by:x,y∈Z}中的最小正元素。 – 推论1：对于任意整数a，b，如果d|a并 且d|b，则d|gcd(a, b)。 – 推论2：对于所有整数a和b以及任意非负 整数n，gcd(an, bn)=n*gcd(a,b)。 – 推论3：对所有正整数n，a和b，如果 n|ab并且gcd(a, n)=1，则n|b。
筛法
• 一个合数可以表示为一个比他小素数的倍 数； • 从最小的素数开始，把这个素数的所有倍 数标记为合数； • 对于下一个没有被标记的数，也是素数， 把这个素数的所有倍数标记为合数；（一 直重复这一步） 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1 9,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32
筛法
const int N=1000;//判断出N以内的素数 int vis[N]={0}; int main(){ for(int i=2;i*i<N;i++)//从2开始 if(vis[i]==0)//如果没有被标记为1，则i是素数 for(int j=i*i;j<N;j+=i)//从i*i开始(为什么？)把i的倍数j全部标记为1 vis[j]=1; int n; scanf("%d",&n);//n要小于N if(vis[n]==0) printf("n是素数");
else printf("n不是素数");
return 0; }
一个题目 1
• 素数个数
http://202.197.224.59/exam/index.php/problem/read/id/1104
– 求a和b之间有多少个素数 – 判断每一个数是不是素数很慢的 – 用筛法就行了
质因数分解
• 任意一个正整数都可以表示为若干个素数 的乘积。
同余
• 设m≠0，若m∣a－b，即a－b＝km，则od m)
• a、b关于模m同余的充要条件是整数a和b 被同一正整数m除时，有相同的余数。
数论初步PPT课件
04 素数与合数
素数的定义与性质
素数的定义
素数是大于1的自然数，且只能被 1和它自身整除的数。
素数的性质
素数是无穷多的，最小的素数是2， 所有偶数（除了2）都不是素数， 任何素数的因数都只有两个。
合数的定义与性质
合数的定义
合数是除了1和它自身以外，还有其 他整数能够整除的整数。
合数的性质
合数一定是大于2的偶数或大于3的奇数， 最小的合数是4，合数的因数除了1和它 自身外，至少还有一个其他的因数。
素数的分布与猜想
素数的分布
素数在自然数中的分布比较稀疏，它们的出现似乎有一定的规律性，但尚未被完全证明。
素数的猜想
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是关于素数的两个著名数学猜想，至今仍未被解决。哥德巴赫猜想是猜想任何一个 大于2的偶数都可以写成两个素数之和；孪生素数猜想是猜想存在无穷多对相邻素数，它们之间的距离不超过一 个给定的常数。
代数数域的构建
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通 过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次 方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以 得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这 些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
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05 代数数论基础
代数数论简介
代数数论的定义
代数数论是数学的一个重要分支，主 要研究代数数域和代数整数环的理论。
代数数论的发展历程
代数数论的基本概念
代数数论涉及到许多基本概念，如代 数数域、代数整数环、素数、分解整 环等。
2、数论初步(整除的概念)
④、非零整数的倍数是无限的。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
3、0是任何非零整数的倍数，1是任何整数的约数。 4、当然约数与真约数
在非零整数 a的约数中， 1与 a叫做a的当然约数， 其余约数叫做 a的真约数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
5、整除与除尽 有理数范围内
整除 除尽
求证：m+n与m-n中有一个且仅有一个是3的倍数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】
【例5】已知2761除以某自然数，余数不为零，不完全 商为95，求除数与余数。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】 【例6】有一自然数，用它去除63、91、129得到三个余
数之和为25，求这个 b是a的约数(因数)。
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
2、关于整除、约数和倍数的几点注意： ①、整除概念强调的是整数a与b的关系。也就是说a与 b之间具有或不具有整除关系，但不管商的大小； ②、约数与倍数是相互依存的； ③、非零整数的约数(因数)是有限的，0的约数(因数) 是无限的；
除尽 整除
整数范围内
整除 除尽
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【例1】试用列举法写出下列各集合的元素。 A={18的正约数}；B={25的正约数}； 【问题】 1、一个数，它的约数的个数问题能确定吗？ 2、如何保证所有约数一个不漏的写出来？ 【结论】
若N p p ... p 其中p (i 1,2...n) 为质数，
第一章 整数的整除性
第一部分 整除的概念
【解决问题】 【例7】
若ax by 是形为ax by的数中的最小正数，
第一讲数论初步
这个定理也叫做惟一分解定理。它是一个定理而不是公理！ 虽然在大多人看来，它是“显然成立”的，但它的确是需要 证明的定理
除法和同余
令a为整数，d为正整数，那么有惟一的整数q和r，其 中0≤r<d，使得a=dq+r
素数判定
枚举法: O(n1/2), 指数级别 改进的枚举法: O(phi(n1/2))=O(n1/2/logn), 仍然是指数级别 概率算法: Miller-Rabin测试 + Lucas-Lehmer测试
对于奇数n, 记n=2r*s+1, 其中s为奇数 随机选a(1<=a<=n-1), n通过测试的条件是
可以用这个定理来定义除法：d叫除数，a叫被除数， q叫商，r叫余数。如果两个数a,b除以一个数c的余数 相等，说a和b关于模c同余，记作a≡b(mod c)
最大公约数和最小公倍数
令a和b是不全为0的两个整数，能使d|a和d|b的最大整数称 为a和b的最大公约数，用gcd(a,b)表示，或者记为(a,b)。
整除关系具有传递性.
素数和合数
如果大于1的正整数p仅有的正因子是1和p, 称 p为素数(prime) 大于1又不是素数的正整数称为合数(compound) 如果n是合数, 则n必有一个小于或等于n1/2的素因
子
算术基本定理
每个正整数都可以惟一地表示成素数的乘积，其中素数因子 从小到大依次出现（这里的“乘积”可以有0个、1个或多个 素因子）。
as≡1(mod n), 或者 存在0<=j<=r-1使得a2^j*s≡-1(mod n) 素数对于所有a通过测试, 合数通过测试的概率不超过1/4 只测试a=2, 3, 5, 7, 则2.5*1013以内唯一一个可以通过所有 测试的数为3215031751
第一讲数论初步学习资料
定理: ab = gcd(a,b) * lcm(a,b)
如果gcd（a,b）=1 ,a,b互质
定理的证明
使用惟一分解定理. 设
a p 1 a 1 p 2 a 2 p n a n ,b p 1 b 1 p 2 b 2 p n b n
容易验证定理成立
求出1— n的全部素数；
法一：Eratosthenes的筛子
2是素数, 删除2*2, 2*3, 2*4, …, 2*50 第一个没被删除的是3, 删除3*3, 3*4, 3*5,…,3*33 第一个没被删除的是5, 删除5*5, 5*6, … 5*20 得到素数p时, 需要删除 p*p, p*(p+1), … p*[n/p], 运算量为 [n/p]-p, 其中p不超过n1/2(想一想, 为什么) 近似公式(Legendre常数B=-1.08366)
方法二: (Euclid算法) 利用公式gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), 时间复杂度为
O(logb) 方法三: (二进制算法) 若a=b, gcd(a,b)=a, 否则
A和b均为偶数, gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2) A为偶数, b为奇数, gcd(a,b)=gcd(a/2,b) 如果a和b均为奇数, gcd(a,b)=gcd(a-b,b) 不需要除法, 适合大整数
素数判定
枚举法: O(n1/2), 指数级别 改进的枚举法: O(phi(n1/2))=O(n1/2/logn), 仍然是指数级别 概率算法: Miller-Rabin测试 + Lucas-Lehmer测试
数论初步
定理的证明
• 使用惟一分解定理. 设 a p 1 a 1 p 2 a 2 p n a n , b p 1 b 1 p 2 b 2 p n b n
• 则有:
ga c ,b ) d p 1 m (a 1 ,i b 1 n )p 2 (m a 2 , ib 2 n ) (p n m a n , ib n n ) (
子，取最小的a个，剩下的两两组合供填充尺寸为 1的集装箱时使用 • 当需要填充a个尺寸为k的集装箱时，选择尺寸为k 的盒子中价值最小的a的，然后把剩下的两两组合 成尺寸为k+1的供下一次选用 • 时间复杂度：O(n)
40
例题：反转
• TOM有9个寄存器a[1]..a[9]，支持以下操作
– S i j, a[j]a[i]+1 (i可能等于 j) – P i, 输出a[i]
33
分析
• 第一种相遇: 相向t∙(u+v)=(2k+1)L • 第二种相遇: 同向t∙|u−v|=(2k+1)L • 重复: 在端点相遇 • 第一次同时到达端点时刻为r
– 到达不同端点? – 到达同一端点
• A和B分别运动2k1L和(2k2+1)L
– 下一次到达哪里?
• 不同端点?又同时到达此端点?同时到达另一端点? • t=(2k+1)r
31
分析
• X2必须在分母, 其他都可以在分子 • 最后结果是整数吗？
– 方法一: 把X2分解因数 – 方法二: 每次约掉X2和Xi的最大公约数
• 因数分解是困难的，因此方法二优
32
例题：无限赛跑
• AB总长度为L
– 车一从A出发，速度为u – 车二从B出发，速度为v
• 走到端点立刻返回，无时间损失 • 开车总时间t • u, v, t都是正整数 • 相遇多少次？
数论初步
欧几里得公式gcd(a,b)
• 求a,b的最大公约数用gcd(a,b)表示，或者记为(a,b)。 • • gcd(a,b)= • • • gcd(a,b)= • a gcd(b,a mod b) b gcd(b mod a,a) b=0 b>0 a=0 a>0
求n的最大互质数
• gcd(n-1,n)=1 • gcd(n-p,n)<=p • 一般根据n的奇偶性分析，在[1..n]中找出与n 互质的最大数。
判断n在b进制下是否为回文数
• function palb(n,b:integer):boolean; • var s,m:integer; • begin • s:=0;m:=n; • while n>0 do • begin • s:=s*b+n mod b; • n:=n div b; • end; • exit(s=m); • end;
分析：
• 使用惟一分解定理, 单独考虑各个素因子 • c1 = p1a1*p2*a2*…
• c2 = p1b1*p2*b2*…
• …
• 则c1x*c2y=p1(x*a1+y*b1) *p2(x*a2+y*b2)
• 设 a,b为整数，a≠0. 若有一整数q, 使得 b = aq, 则称 a是b的因数，b为是a的倍数；并 称a整除b, 记为a|b；若a不能整除b，则记为 a b。
整除的基本性质：
• ①若c | b，b | a，则c | a • ②若c | a，d | b，则cd | ab • ③若c | a，c | b，则c |（ka+nb）；若c a，c b，则 c （a+b）。 • ④若ma | mb，则a | b • ⑤若a＞0，b＞0，b | a，则b≤a • ⑥若n∈N*，则（a－b）|（an－bn）。 • 若n为奇数，则（a＋b）|（an＋bn）。 • 若n为偶数，则（a＋b）|（an－bn） • ⑦任意n个连续正整数的乘积必能被n！整除。 • ⑧若a|b, a|c, 则a|(b+c) • ⑨若a|b, 那么对所有整数c, a|bc
数论初步
数论初步※知识要点1、奇偶性奇数±奇数＝偶数偶数±偶数＝偶数奇数±偶数＝奇数偶数±奇数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数2、数的整除一般地，如a、b、c为整数，b≠0,a÷b＝c ,即整数a除以整数b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
性质：①如果c|a,c|b,那么c|(a±b)；②如果bc|a,则b|a,c|a ；③如果b|a,c|a ,(b,c)＝1,则bc|a ；④如果c|b,b|a,则c|a.整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字只能是0,2,4,6,8②能被5整除的数的特征：个位数字只能是0或5③能被3（9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3（9）整除④能被4（25）整除的数的特征：末两位数能被4（25）整除⑤能被8（125）整除的数的特征：末三位数能被8（125）整除⑥能被11整除的数的特征：这个整数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数。
3、质数与合数①一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
②如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
〘经典例题〙1桌上有11只杯子，全部口朝上，每次将其中8只同时翻转。
问：经过若干次后，能否使11只水杯杯口都朝下？〖举一反三〗11、桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时翻转。
问：经过若干次这样的翻转，能否使9只杯子全部口朝下？2、体育课上，有15位学生面向老师站成一排，听到口令后只能有4个向后转。
第1讲 数论初步(生)
中预数学竞赛辅导 第1讲 数 论 初 步一、赛点归纳研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容。
虽然数论问题看似简明，但要解释清楚，并且证明它却是困难的；又因为整数及相关的一些数学知识正是中小学学习的重点，所以，在各类数学竞赛中，数论问题占有相当大的比重。
中小学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇偶性、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分析等等。
要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握考试问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的。
本讲主要介绍整数的整除和余数问题。
（一） 整除问题对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使q b a ⨯=, 则称a 能被b 整除，记作a b |, 否则就称a 不能被b 整除。
例如：9436⨯=，于是36能被4（或9）整除。
性质1若a c |, b c |, 则)(|nb ma c ±，这里m ，n 是任意整数。
性质2若b a c ∙|，且（c ，b ）=1，则a c |。
性质3 若a b |，a c |，且（b ，c ）=1，则a bc |。
性质4 a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。
整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧。
（二） 同余问题如果两个正整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即,,r pm b r qm a +=+= 则称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且m r <≤0。
可见，如果a 与b 关于模m 同余，则)(|b a m -。
性质1两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
性质2两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
性质3两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
在解决同余问题时，常常把同余问题转化为整除问题来处理。
二、解题指导【例1】有0、1、4、7、9五个数，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是几？【例2】有这样的整数，它除以8所得到的商与余数相同，求所有这样的整数。
数论初步
数论初步1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。
2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是。
3、下面这个199位整数：1001001001…1001 被13除，余数是多少？4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。
5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。
这个三位自然数是----。
6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。
7、如果20052005…200501能被11整除，那么N的最小值是-------。
8、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。
9、在下面的方框中各填入一个数字，是六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是------。
10、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能的小，那么所加的整数是------。
11、用数字6,7,8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除。
这个六位数是-----。
12、在算式□+91=○中，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数。
问：○盖住的数是多少？13、若四位数9A8A能被15整除，则A代表的数字是--------。
14、如果有一个九位数A19 993 11B能被72整除，试求A、B 两数的差。
（大减小）15、设A、B使得六位数A2000B能被26整除。
所有这样的6位数是-------。
16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。
现已知一个十全数能被1,2,3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。
17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。
数论初步——精选推荐
数论初步前置知识1.唯⼀分解定理也称算术基本定理，任何⼀个⼤于 1 的⾃然数，都可以唯⼀分解成有限个质数的乘积。
即质因数分解。
2.同余：定义：设 m 是给定的⼀个正整数，a,b 是整数，若满⾜ m∣(a−b) ，则称 a 与 b 对模 m 同余，记为 a≡b(mod m)。
这个式⼦称为 模 m 的同余式。
同余概念⼜常表达为：1.a=b+km,(k∈Z)2.a 与b 被 m 除时有相同的余数。
性质同余式可以逐项相加：若a1≡b1(mod m),a2≡b2(mod m),a2≡b2(mod m),…,a n≡b n(mod m)，则a1+a2+⋯+a n≡(b1+b2+⋯+b n)(mod m)同余式可以移项，需要反号。
若a+c≡b(mod m)，则a≡b−c(mod m)同余式可以逐项相乘，类似相加。
同余式每⼀边边可以加上或减去模m的任意倍数。
若 a≡b(mod m) ，则a±km≡b(mod m)同余式两边的数如有公约数，此公约数⼜和模互素，那么就可以把两边的数除以这个公约数。
若 a≡b(mod m) 且a=a1d,b=b1d,gcd(m,d)=1, 则a1≡b1(mod m)同余式两边的数和模可以同时乘上⼀个整数。
若 a≡b(mod m) ，则 ak≡bk(mod mk)同余式两边的数和模可以同时被它们任⼀公约数除。
若 a≡b(mod m) 且a=a1d,b=b1d,m=m1d,则a1≡b1(mod m1)如果同余式对于模m成⽴，那么它对于m的任意约数相等的模d也成⽴。
若 a≡b(mod m) 且m=m1d ,则a≡b(mod d)如果同余式⼀边上的数和模能被某个数除尽，则同余式的另⼀边的数也能被这个数除尽。
若 a≡b(mod m),a∣k,m∣k, 则，b∣k。
同余式⼀边上的数与模的最⼤公约数，等于另⼀边上的数与模的最⼤公约数。
若 a≡b(mod m)，则(a,m)=(b,m)1.求正整数N的所有约数和若正整数 N 在唯⼀分解定理中：N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m则有约数和:sum=m∏i=1(k i ∑j=1p j i)2.求正整数N的约数个数：若正整数 N 在唯⼀分解定理中:N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m 则其约数个数sum=m∏i=1(k i+1)3.求出正整数的所有约数void func(int n)//n为要求的数{for(int i=1;i<=n/i;i++){if(n%i==0){var[++tot]=i;//⽤var来存储因数if(i!=n/i) var[++tot]=n/i;//因数是成对的、但√(n)两个因数⼀样 }}sort(var+1,var+1+tot);//让因数顺序从⼩到⼤}4.欧拉函数欧拉函数ϕ(x)是指 1−n 中与n 互质的数的个数若在唯⼀分解定理中，N=p k11⋅p k22⋅p k33...⋅p k m m,则ϕ(N)=N(1−1p1)(1−1p2) (1)1pm),(1)容斥原理求法：1.从 1−N 中去掉 p1,p2,......p k 的所有倍数N−Np1−Np2−Np3−...Np k2.加上所有 p i⋅p j 的倍数+Np1p2+Np2p3+...3.减去所有 p i⋅p j⋅p k 的倍数−Np1p2p3−Np2p3p4−...4.加上所有 p i⋅p j⋅p k⋅p l+Np1p2p3p4+...以此类推......最后得到的式⼦，恒等变形之后与(1)式相同。