4-2 函数项级数及幂级数
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
幂级数
u n ( x ),
n 1
x I.
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
收敛 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
的收敛点 .
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
发散 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
收敛区间 [ 1, 1), 绝对收敛区间 （ 1, 1).
一般地，对于幂级数都可以采用达朗贝尔判别法
例4 解
求
( x 5) n
n
的收敛区间
.
n 1
令 y x 5, 则
lim
( x 5) n
| a n 1 | | an |
n
n 1
y
n
n 1
n
1
谁的收敛半径？
| x | 0 1,
n
故幂级数
an x
n0
在 ( , ) 上收敛 .
故
R .
n
lim
| u n 1 ( x ) | | un (x) |
|x|
( 3 ) 当 时 ,
x ( , 0 ) ( 0 , ) , 均有
an x
n0
n
,
都存在一个非负
当 | x | R 时 , 幂级数可能收敛
, 也可能发散
.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x
n
的收敛半径.
x 0 处收敛时 , 规定 R 0.
第四节幂级数
lim
n
an1 xn1 an xn
l x
则由比值判别法有
13
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(1)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
an xn 则绝对收敛;
n0
(2)若l x 1,即xFra bibliotek1 (l
0),
l
an xn 发散;
n0
(3)若l x 1,
即 x 1 (l 0), l
2
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一. 函数项级数的概念
设 un ( x) (n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
un ( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对 x0 I , 若常数项级数 un ( x0 ) 收敛, x0 称为其收 n1
我们称这种函数项级数为幂级数.
7
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二.幂级数及其收敛性
形如 an xn a0 a1 x an xn
(9.4.1)
n0
与 an ( x x0 )n a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
n0
(9.4.2)
的级数, 分别称为x的幂级数与(x - x0)的幂级数. 其中
S '( x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
(3) 设幂级数 an xn 的和函数为S( x), 收敛半径为R, 则S(x) n0
在 (R, R) 内可积, 且
x s( x)dx
0
x 0
an xndx
n0
级数(函数项级数、幂级数)复习总结
函数项级数、幂级数一、 函数项级数概念121()()()(),n n n u x u x u x u x ∞==++++∑0I x ∈定义区间前n 项部分和函数1()()n n k k S x u x ==∑和函数1()()n n S x u x ∞==∑，x ∈收敛域二、 幂级数及其收敛域0n nn a x ∞=∑收敛域/发散域图：注：条件收敛的点只可能出现在分界点上！概念：R ：幂级数收敛半径收敛区间：),(R R -收敛域：⋃-),(R R 收敛端点如何求收敛半径？定理(Cauchy-Hadamard)若0n nn a x ∞=∑所有系数满足),1,0(,0 =≠n a n，1lim +∞→=n n n a a R ∑∞=0n n nx a 的收敛半径为R ，则∑∞=-00)(n n n x x a 的收敛域为⋃<-R x x ||0收敛端点。
1. 求n n x n n 202)!(!)2(∑∞=收敛半径。
2. 求∑∞=-+112)]13[ln(n n n x 的收敛域。
三、 和函数性质定理幂级数n n nx a ∑∞=0的和函数)(x S 在收敛域上连续；在收敛区间内可“逐项求导”和“逐项积分”，运算前后收敛半径相同，但收敛域可能改变。
逐项求导——1100)()()(-∞=∞=∞=∑∑∑='='='n n n n n n nn n x a n x a x a x S ，),(R R x -∈ 逐项积分——10000001d d d )(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n x n n x n n n x x n a x x a x x a x x S ，),(R R x -∈● 注意点：n n n x a ∑∞=0，11-∞=∑n n n x a n 和101+∞=∑+n n n x n a 收敛半径相同，但端点处的敛散性可能改变。
逐项求导是特别注意0次项的求导！● 利用几何级数结论做题——xx n n -=∑∞=110，)1,1(-∈x 步骤：先求收敛半径，收敛域；在收敛区间内，利用和函数性质：逐项求导/逐项积分等求和函数。
复变函数4-2Taylor级数
f
( n) ( z0
)
,
n 0,1,2,
例如，求 ez 在 z 0的泰勒展开式.
因为(ez )(n) ez ,
(ez )(n) z0 1, (n 0,1, 2,)
故有 ez 1 z z2 zn zn
2!
n!
n0 n!
因为ez 在复平面内处处解析,
[ln(1 z)] 1 1 z z2 1 z
(1)n zn
(1)n zn
( z 1)
n0
设 C 为收敛圆 z 1内从 0 到 z 的曲线,
将展开式两端沿 C 逐项积分, 得
z 1 dz z (1)n zndz
01 z
2! 4!
(2n)!
(R )
2. 间接展开法 :
借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析
函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分
等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的Taylor
展开式.
间接法的优点:
不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直
接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .
1 z
n0
z3 z5 4) sin z z
(1)n
z 2n1
( z 1)
3! 5!
(2n 1)!
= (1)n
z 2n1
n0
(2n 1)!
( z )
z2 z4 5) cos z 1
(1)n z2n
2! 4!
(2n)!
0 n0
即 ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 z 1
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
幂级数的讲解纲要
n1
x
n
x x x
2 3
x 1 x
内容小结 1. 函数项级数 则在收敛域上有
2.
3. (x-x0)的幂级数：
( x 1)
4. x 的幂级数：
内容小结 5. 的收敛半径为 R lim
n
an an 1
对非标准型幂级数的收敛半径: 直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求. 6. 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
0
1 1 x
dx ln (1 x )
0
故
1 S 2
§12.1 幂级数 例9 求幂级数 的和函数
解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 故当 时，
n x ( x ) n 1
x
x
n 1
n
x
x 1 x
n 0
x
n
S (0) 1
S( x)
1
x
1 1- x
dx
( x 0)
lim S ( x ) 1 C 0
x 0
由和函数
的连续性知
1 ln(1 x ), x [1, 0) (0,1); S( x) x 1, x 0.
n
n1
n 0
an
x
n 1
作业
P 206 1(2,3); 3(1)
5月28日(周六)第三阶段考
考试内容：第11章
阿贝尔(1802 – 1829)
挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.
他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
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2020/6/12
16
(2) 如果 0, x 0,
有
a xn1 n1 an xn
0 (n ),
级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 , x 0, 级数 an xn 必发散.
x
1
x
n1
x
1
故级数的收敛域为
2020/6/12 { x | x 1,2, , x }
6
3.8课前回顾
一、绝对收敛和条件收敛
二、常数项级数复习
1、掌握一些基本概念：级数,部分和,收敛,正项级数,交错级数 ,任意项级数，绝对收敛，条件收敛等
2、能用级数收敛的必要条件证明级数发散，掌握2个重要级 数：几何级数和p级数
规定 (1)幂级数只在 x 0 处收敛, R 0, 收敛域 x 0;
(2)幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛域 (,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
2020/6/12
14
定理2 如果幂级数 an xn 的所有系数 an 0 ,
设
lim an1 a n
n
(
n0
或 lim n n
an
)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注：函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是
常数项级数的收敛问题.
2020/6/12
4
二 函数项级数举例
例1 求1 x x2 x3 xn , x (1,1)
的和函数.
解
前n项部分和
sn( x)
1 (1 xn ) 1 x
s( x)
lim n
sn( x)
9
定理1 阿贝尔（Abel）定理
如果级数 an xn 在 x x0( x0 0)处收敛,则 n0
它在满足不等式| x || x0 |的一切 x 处绝对收敛；
如果级数 an xn 在 x x0 处发散,则它在满足不 n0
等式| x || x0 |的一切 x 处发散.
证明
(1) an x0n 收敛,
函数项级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2020/6/12
2
2.收敛点与收敛域
(1)如果x0
I
,常数项级数 un ( x0 )
n1
收敛,则称
x0
为级数 un( x) 的收敛点,否则称为发散的所有收敛点的全体称
n1
为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.
1.定义1 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当 x0 0 时, an xn , 其中 an为幂级数系数.
n0
2.收敛性:
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时,收敛；当 x 1 时,发散.
收敛域 (1,1); 发散域(,1] [1,).
2020/6/12
n0
lim
n
an
x0n
0,
2020/6/12
10
M , 使得an x0n M(n 0,1,2, )
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
n
当
x x0
1时,等比级数 M
n0
x x0
收敛,
an xn
收敛,即级数
an xn 收敛.
n0
n0
2020/6/12
11
(1)则当 0 时,R 1 ; (2)则当 0 时,R ;
(3)则当 时, R 0.
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
2020/6/12
15
(1) 如果 lim an1 ( 0) 存在
a n n
由比值审敛法, 当 | x | 1
时,级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn 绝对收敛.
n0
当 | x | 1
时,级数 | an xn | 发散,
n0
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn
n0
发散, 收敛半径 R 1 .
3、能根据具体题目灵活运用比较审敛法和比值（根值）审敛 法判断正项级数的敛散性
4、会用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性
三、函数项级数
函数项级数，收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数
2020/6/12
7
第三节 幂 级 数
一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的运算及其性质
2020/6/12
8
一 幂级数及其收敛性
1 xn
lim n
1
x
1 1
x
x (1,1)
2020/6/12
5
例2
求
(
1
n1 x n
1) xn1
的收敛域.
解
un( x)
1 xn
1 xn1
(n 1,2,
)
的定义域为 x 1,2, ,
sn ( x)
n k 1
(
x
1
k
x
1 k
) 1
1 x 1
x
1 n
1
1
1
1
lim
n
sn( x)
lim
n
第二节 函数项级数
一 函数项级数的概念 二 函数项级数举例
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1
一 函数项级数的概念
1.定义 设 u1( x),u2( x), , un( x), 是定义 在 I R 上的函数,则由其构成的表达式
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
称为定义在区间 I 上的函数项无穷级数,简称
的正数 R存在,使得
当 | x | R 时,幂级数绝对收敛；
当| x | R 时,幂级数发散；
当 x R 与 x R时,幂级数可能收敛也可
能发散；
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定义2 正数R称为幂级数的收敛半径.开区间 (-R,R)称为幂级数的收敛区间.
从而决定了收敛域为以下四个区间之一:
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
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3
3.和函数(Sum function)
(1)在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数s( x), 称 s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x)
（2）函数项级数的部分和 sn( x),
lim
n
sn (
x)
s( x)
（3）余项 rn( x) s( x) sn( x)
(2) 假设当 x x0时发散, 而有一点 x1适合
使级数收敛.
| x1 || x0 |
由(1)结论,则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾. 几何意义
收敛区域
发散区域 R
•
•
•
R 发散区域 x
o
2020/6/12
12
推论 如果幂级数 an xn 不是仅在 x 0一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定