函数的幂级数展开运用
函数的幂级数展开式的应用
复数项级数绝对收敛的概念
三个基本展开式
揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.
欧拉公式
五、小结
１、近似计算,求不可积类函数的定积分，
２、微分方程的幂级数的解法．(第十二节介绍)
求数项级数的和，欧拉公式的证明；
思考题
利用幂级数展开式, 求极限
思考题解答
将上两式代入
原式=
练 习 题
二、计算定积分
解法
逐项积分
展开成幂级数
定积分的近似值
被积函数
第四项
取前三项作为积分的近似值,得
例3
解
收敛的交错级数
三、求数项级数的和
1.利用级数和的定义求和:
(1)直接法;
(2)拆项法;
(3)递推法.
例4
解
2.阿贝尔法(构造幂级数法):
(逐项积分、逐项求导)
例4
解
例5
解
四、欧拉公式
复数项级数:
练习题答案
一、近似计算
两类问题:
1.给定项数,求近似值并估计精度;
2.给出精度,确定项数.
关健:
通过估计余项,确定精度或项数.
常用方法:
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
例1
解
余和:
Hale Waihona Puke 例2解其误差不超过 .
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
高等数学教案 第5课 函数幂级数展开式的应用、傅里叶级数
5
34
5
240
31
1 5
1 34
1 52
4 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
．
这个级数收敛很快．取前两项的和作为 5 240 的近似值，其误
差（也称为截断误差）为
| r2
|
3
1 52
4 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
1
4 54
9 14 4!
1 316
3
1 4
52 2!
结（5 min）
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组 织纪律性，掌握学 生的出勤情况
知识讲解 （23 min）
【教师】通过例题讲解函数值的近似计算
例 1 计算 5 240 的近似值，要求误差不超过104 ．
解 因为
5
240
考察复数项级数
1 z 1 z2 1 zn (z x iy) ．
2!
n!
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的，在 x 轴上（ z x ）
义被积函数在 x 0 处的值为 1，则它在积分区间 [0，1] 上连
续．
展开被积函数，有
sin x
x2 x4 x6
1
x
3! 5! 7!
在区间 [0，1] 上逐项积分，得
( x ) ．
1 sin x dx 1 1 1 1 ．
0x
3 3! 5 5! 7 7!
因为第四项
1 1 ， 7 7! 30 000 所以取前三项的和作为积分的近似值，即
函数的幂级数展开式及其应用
函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。
而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。
为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。
泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。
由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。
得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。
问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a 处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。
此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。
(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c 在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。
函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数e x2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
11-5幂级数展开式的应用
欲使 rn ≤ 10 ,
5
1 只要 ≤ 10 5 , n n!
而 8 8! = 322560 > 10 5 ,
即 n n! ≥ 10 5 ,
1 1 1 e ≈ 1 + 1 + + + + ≈ 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x ≈ x 计算sin90的近似值 , 3! . 并估计误差 π 1 π 3 π 0 解
一,近似计算
∵ A = a1 + a2 + + an + , ∴ A ≈ a1 + a2 + + an ,
误差 rn = an+1 + an+ 2 + .
两类问题: 两类问题: 1.给定项数 求近似值并估计精度 给定项数,求近似值并估计精度 给定项数 求近似值并估计精度; 2.给出精度 确定项数 给出精度,确定项数 给出精度 确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数 关健: 通过估计余项 确定精度或项数 确定精度或项数.
∵ ∑ an = lim ∑ an x , 求得s( x ) = ∑ an x n ,
n n= 0 ∞ x →1 n 0 = n= 0
∞
∞
∞
∴ ∑ an = lim s( x ).
n= 0 x →1
(逐项积分 逐项求导) (逐项积分,逐项求导) 逐项积分,
2n 1 例4 求∑ n 的和 . n=1 2
1 x 1 3 x x x + + + 2 3 24 5 原式= 原式 lim x →0 1 3 3 3 35 3 5 3 x x + 4 3! 5!
3 5
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是数学中重要的概念之一，其应用广泛，涵盖了多个领域，包括工程、物理、计算机科学等。
本文将介绍函数的幂级数展开的定义、性质、推导和应用。
一、定义函数的幂级数展开是将一个函数表示成一个无穷级数的形式，即：f(x) = a0 + a1(x - c) + a2(x - c)^2 + ... +an(x - c)^n + ...其中，a0, a1, a2 ... an 是常数，叫做幂级数的系数，c 是展开点，x 是变量。
二、性质1. 唯一性：如果一个函数在某个点处的幂级数展开式存在，那么它的幂级数展开式唯一。
2. 收敛性：在幂级数的收敛区间内，幂级数展开式收敛，即根据函数的性质可以准确表达函数的值；在展开点之外，则可能发散或发生收敛半径发生变化。
3. 运算性质：幂级数具有良好的运算性质，如加、减、乘、除等运算。
三、推导1. 首先，在幂级数的收敛区间内，函数在展开点 c 处可以通过泰勒公式来展开，即：f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + f''(c)(x - c)^2 / 2! + ... + f^(n)(c)(x - c)^n / n! + Rn其中，f^(n) 表示函数的 n 阶导数，Rn 是余项。
2. 如果展开点 c = 0，则泰勒公式称为麦克劳林公式。
3. 将幂级数的展开式与麦克劳林公式相比较，可以得到幂级数的系数与函数的导数之间的关系，即：a0 = f(c), a1 = f'(c), a2 = f''(c) / 2! ... an = f^(n)(c) / n!4. 将幂级数的系数代入幂级数的展开式中，即可得到函数的幂级数展开式。
四、应用1. 近似计算：当某些函数难以直接计算时，可以通过幂级数展开对其建立近似计算模型。
例如，将正弦函数展开成其傅里叶级数，可以用来近似计算其值。
2. 函数的求导和积分：对于某些函数，其求导和积分可能更容易计算，此时可以通过对函数的幂级数展开式进行求导和积分，得到原函数的导数和积分的展开式。
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是解析学中的重要内容之一，通常也被称为泰勒级数或者麦克劳林级数。
它是一个无穷级数，可以将某些函数表示为一个多项式的和，从而方便了数学分析和计算机数值分析。
函数的幂级数展开由于其普适性和可求解性，被广泛地应用于数学、物理、工程、计算机等学科领域。
函数的幂级数展开是指把某些函数用一个无穷级数表示为：$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$其中，$f(z)$是一个函数，$a_n$是实数或复数，$z$和$z_0$是复数。
$z_0$通常被称为展开点，$a_n$称为函数在展开点$z_0$处的$n$阶导数，级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$称为函数$f(z)$在$z_0$处的幂级数展开。
特别地，当$z_0=0$时，展开点称为原点，函数在原点处的幂级数展开也称为泰勒级数或麦克劳林级数。
二、泰勒级数和麦克劳林级数如果$f(z)$在$z_0$处有$n$阶导数，则可以将其展开为$n$阶泰勒级数：其中，$f^{(n)}(z_0)$表示$f(z)$在$z_0$处的$n$阶导数，$o$表示小量，$N$表示级数展开的阶数。
特别地，当$z_0=0$时，展开点称为原点，此时泰勒级数化为麦克劳林级数：三、幂级数收敛条件幂级数的收敛半径$\rho$可以通过以下公式得到：$\rho = \dfrac{1}{\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$当幂级数的收敛半径$\rho = 0$时，级数在$z=z_0$处不一定收敛；当$\rho=+\infty$时，级数在任何复数$z$处都收敛；当$0 < \rho < +\infty$时，级数在展开点$z_0$的半径为$\rho$的圆盘内收敛，在其外部则不一定收敛。
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r2
1 ( )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 300000
105 ,
sin 90 0.157079 0.000646 0.156433
其误差不超过 105 .
二、计算定积分
例如函数 ex2 , sin x , 1 , 原函数不能用初等 x ln x
函数表示, 难以计算其定积分.
例1 计算e的近似值,使其误差不超过105.
解 e x 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
令 x 1, 得 e 1 1 1 1 ,
2!
n!
余和:
rn
1 1 (n 1)! (n 2)!
1 (1 1 ) (n 1)! n 2
(n
1 (1 1)!
1 n
Ree
) 2(cos i sin ) x 44
1(n1 1)2)1 n n!
欲使 rn 105 ,
即 n n! 105 ,
只要 1 105 , n n!
而 8 8! 322560 105 ,
e 11 1 1 1
2! 3!
8!
2.71828
例2 利用sin x x x3 计算sin 90的近似值, 3!
并估计误差.
解 sin 90 sin 1 ( )3 ,
一、近似计算
A a1 a2 an , A a1 a2 an , 误差 rn an1 an2 .
两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数.
常用方法:
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
收敛的交错级数
7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
1 sin x dx 1 1 1 0.9461
0x
3 3! 5 5!
练习题
一、利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:
1、ln 3 (精确到0.0001 )； 2、cos 2 (精确到0.0001 ).
二、利 用 被 积 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 求 定 积 分
0.5 arctan x dx
(精确到0.001 )的近似值 .
0
x
三、将函数e x cos x 展开成 x 的幂级数 .
练习题答案
一、1、1.0986； 2、0.9994.
二、0.487.
三、e x cos x
22
cos
n
xn
(,) .
n0
4 n!
(提示: e x cos x Re e(1i)x
解法 被积函数
定积分的近似值
展开成幂级数
逐项积分
例 (P219 2.(2))
计算
1
0
sin x
x
dx
的近似值,
精确到104.
解 sin x 1 1 x2 1 x4 1 x6 x (,)
x
3! 5! 7!
1 sin x dx 1 1 1 1
0x 第四项
1
3 3! 1
5 5! 7 7! 104 ,