江苏省南京市六合区大厂高级中学2019-2020学年高一下学期期初调研数学试题 Word版含解析

2019-2020学年第二学期期初调研高一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A

B =

A. {}1

23,4，， B. {}123，， C. {}234，， D. {}13

4，， 【答案】A 【解析】

由题意{1,2,3,4}A B ?=，故选A.

点睛:集合的基本运算的关注点：

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2.在ABC 中，3c =

45B =?，60C =?，则b =（ ）

A.

22 B.

32

C.

32

2

2

【答案】D 【解析】 【分析】 直接用正弦定理

sin sin c b

C B

=直接求解边. 【详解】在ABC 中，3c =

，45B =?，60C =?

由余弦定理有：sin sin c b C B =,即sin 3sin 452sin sin 60c B b C ??

===?

故选：D

【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.

3.已知点(2,1),(2,3)A B -，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A. 220x y -+=

B. 240x y +-=

C. 220x y +-=

D.

210x y -+=

【答案】A 【解析】

点()()2,1,2,3A B -的中点为(0,2)，

AB 直线的斜率为

131

222

-=-+, 线段AB 的垂直平分线斜率为2， 线段AB 的垂直平分线的方程是：2x 2y =+，整理得220x y -+=. 故选A.

4.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A. (x －3)2＋(y ＋4)2＝16 B. (x ＋3)2＋(y －4)2＝16 C. (x －3)2＋(y ＋4)2＝9 D. (x ＋3)2＋(y －4)2＝9

【答案】B 【解析】 【分析】

直接求出圆的半径，即可得到满足题意的圆的方程.

【详解】以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的半径为：4，

∴所求圆的方程为：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16.

故选：B.

【点睛】本题是基础题，考查直线与圆相切的圆的方程的求法，注意求圆的半径是解题的关键.

5.设向量()()3206BA AC =-=，

，，，则BC 等于（ ）

A. B. 5

D. 6

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量的线性关系，将BC 的坐标求出，按模长坐标公式，即可求解.

【详解】()()3206,(3,4)BA AC BC BA AC =-==+=，

，，，

235BC ==.

故选:B.

【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到向量加法、模长坐标运算，属于基础题. 6.已知(

, )2π

απ∈，3

sin()45

πα+=，则sin α=（ ）

A.

10 B.

10

C. 10

D. 【答案】B 【解析】 由已知，354,cos()44445

ππππαα<+<+=-， 所以，

34sin sin[()]sin()cos cos()sin ()44444455π

πππππαααα=+

-=+-+=+=

， 故选B .

考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角和差的三角函数.

7.已知直线1:210l x y -+=，直线2l 与1l 关于直线:l y x =-对称，则直线2l 的方程为( ) A. 210x y -+= B. 210x y ++= C. 210x y --= D. 210x y +-=

【答案】A 【解析】 【分析】

在1:210l x y -+=上任取一点()00,p x y ，设关于直线:l y x =-的对称点为(),Q x y ，根据

PQ 的斜率为1，线段PQ 中点在对称轴上求解。

【详解】在1:210l x y -+=上任取一点()00,p x y ，设关于直线:l y x =-的对称点为

(),Q x y ，

所以0

00

12

2y y x x y y x x -?=?-??++?=-

??，解得00x y y x =-??=-?，

代入1:210l x y -+=， 得：210x y -+=，

所以直线2l 的方程为210x y -+=. 故选：A

【点睛】本题主要考查直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5a =，

3

2

C π

π

<<

，若

sin 2sin sin 2b C a b A C

=--，则c 等于

C. 3

D. 5

【答案】D 【解析】 【分析】

由32

C ππ

<<，故利用正弦定理将条件sin 2sin sin 2b C

a b A C =--中边化成角，然后变形可得sin sin2B C =，利用三角形中角的关系及诱导公式可得()sin sin2A C C +=，根据

3

2

C π

π

<<

可得2A C C +=，进而得A C =．可得结果．

【详解】因

sin 2sin sin 2b C a b A C

=--，所以由正弦定理可得sin sin 2sin sin sin sin 2B C

A B A C =--，

则sin sin sin sin2sin sin2sin sin2A B B C A C B C -=-，又sin 0A ≠，所以sin sin2B C =， 即()sin sin2A C C +=，因为

3

2

C π

π

<<

，所以

3

A C π

π<+<，

223

C π

π<<，所以2A C C +=，

即A C =，故5c a ==．故选D ．

【点睛】三角形中已知边、角关系，求边或角，应利用正弦定理或余弦定理将条件都化成边

或角．（1）都化为角，注意利用三角函数的公式及三角函数的性质进行变形化简；（2）都化成边，对式子化简整理变形，可得边之间的关系，进而可得三角形的形状． 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9.下列各项中，值等于

1

2

的为( ) A. sin17cos47cos17sin 47??-?? B.

2tan 22.51tan 22.5?

-?

C. 2

2

cos

sin 12

12

π

π

-

D. cos45cos15sin 45sin15-????

【答案】BD 【解析】 【分析】

逐项计算，A.利用两角差的正弦公式计算. B. 利用两角和的正切公式计算.C. 利用二倍角的余弦公式计算.D.用两角和的余弦公式计算.

【详解】A. ()(

)1sin17cos 47cos17sin 47sin 1747sin 302

??-??=?-?=-=- B.

22tan 22.512tan 22.511

tan 451tan 22.521tan 22.52

2

??===-?-?

C. 2

2

cos sin cos

12

12

6

2

π

π

π

-==

D. ()cos 45cos15sin 45sin1545151cos cos602

????=??=-=+ 故选：BD

【点睛】本题主要考查两角和与差的

三角函数和二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10.下列命题中正确的为( )

A. 在同一坐标系中，2log y x =与

12

log y x =的图象关于x 轴对称

B. 函数21

12x y -+??= ???

的最小值是

12

C. 函数1

2

x y x +=

+的图象关于点()2,1-对称 D. 函数()2

2x

f x x =-只有两个零点 【答案】ABC

【解析】 【分析】

A. 根据

122

log log x x y =-=判断. B.用换元法， 令

211x t =-+≤，则12t

y ??

= ???

，再利用

指数函数的性质求解.C. 根据1211

1222

x x y x x x ++-=

==-+++判断.D. 令()220x f x x =-=的零点，转化为22,x y y x ==两图象的交点判断.

【详解】A. 122

log log x x y =-=，

所以在同一坐标系中，2log y x =与的图象关于x 轴对称，

故正确.

B. 令211x t =-+≤，则12

12t y ?? ??≥=?，所以21

12x y -+??= ?

??的最小值是

1

2

，故正确. C. 因为1211

1222

x x y x x x ++-=

==-+++，所以图象关于点()2,1-对称，故正确. D. 令()2

20x

f x x =-=的根，即为2

2,x y y x ==两图象交点的横坐标，如图所示：

有三个交点，故错误. 故选：ABC

【点睛】本题主要考查基本函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.

11.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的为( ) A. 若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形 B. 若

cos cos cos a b c

A B C

==，则ABC 一定是等边三角形 C. 若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形

D. 若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】

A. 由余弦定理判断.

B. 由正弦定理判断.

C.由正弦定理判断.

D. 由正弦定理判断. 【详解】A. 若2220a b c +->，只能说明角C 为锐角，角A ，B 不能确定，故错误. B. 因为

cos cos cos a b c

A B C

==，由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，所以tan tan tan A B C ==，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，故正确. C. 若cos cos a A b B =，由正弦定理得sin 2sin 2A B =，所以A B =或2

A B π

+=

，所以

ABC 是等腰三角形或直角三角形，故错误.

D. 若cos cos b C c B b +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin B C C B B +=，则

()sin sin sin B C A B +==，所以A B =，所以ABC 一定是等腰三角形，故正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在判断三角形形状中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12.如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为( )

A. 若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点有且仅有1个

B. 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有2个

C. 若0pq ≠，则“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个

D. 若p q =，则点M 在一条过点O 的直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】

根据点M 的“距离坐标”的定义即可判断.

【详解】A. 若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.

B. 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.

C. 若0pq ≠，则“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，如图，

故正确.

D. 若p q =，则点M 在的轨迹是两条过0的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确. 故选：ABC

【点睛】本题主要考查点与直线的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如果tan 2,α=则tan 4πα??

+= ??

?

________ 【答案】3- 【解析】

【详解】因为tan 2α=，所以tan 121tan 341tan 12

πααα++??

+

===- ?

--?

?. 14.若直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则实数m =__________． 【答案】2- 【解析】

直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则有2222m m ?=∴=或

2m =-，当2m =时，两直线重合，所以舍掉，2m =-符合题意；

故答案

-2

15.圆2

2

24110x y x y +---=关于点()2,1P -对称的圆的方程是________. 【答案】()2

2516x y ++= 【解析】 【分析】

先将圆2

2

24110x y x y +---=，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点()2,1P -的对

称点，即为所求的圆的圆心.

【详解】圆2

2

24110x y x y +---=，化为标准方程：()()22

1216x y -+-=，

设关于点()2,1P -对称的圆的圆心为(),a b ，

则1

22

212

a b +?=-???+?=??，解得50a b =-??=?，

所以圆2

2

24110x y x y +---=关于点()2,1P -对称的圆的方程是：

()

2

2516x y ++=，

故答案为：()2

2516x y ++=

【点睛】本题主要考查圆与圆的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/m min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130/m min ，山路AC 长为

1260m ，经测量，12cos 13

A =

，3

cos 5C =.当乙出发________分钟时，乙在缆车上与甲的距

离最短.

【答案】

3537

【解析】 【分析】

在ABC 中，根据12cos 13

A =

，3

cos 5C =，由正弦定理求得AB ，得到在AB 段时间t 的范围，

假设乙出发t 分钟时，甲，乙两游客距离为d ，此时，甲行走了10050t +，乙距离A 处130t ，

由余弦定理得2d =235625200373737t ????-+ ? ? ?????

，再利用二次函数求解. 【详解】在ABC 中，因为12cos 13

A =，3cos 5C =，

所以5sin 13A =

，4

sin 5

C =， 从而()()sin sin sin B A C A C π=-+=+????，

5312463

sin cos cos sin 13513565

A C A C =+=

?+?=. 由正弦定理得：

sin sin AB AC

C B

=，得4

1260sin 5104063sin 65

AC C AB B ??=

==，

所以在AB 段的时间1040

0130

t ≤≤

，即08t ≤≤， 假设乙出发t 分钟时，甲，乙两游客距离为d ，此时，甲行走了10050t +，乙距离A 处130t ， 由余弦定理得()()()2

2

2

12

1005013021301005013

d t t t t =++-??+?

， ()2200377050t t =-+， 235625200373737t ????=-+ ? ? ?????

， 因为08t ≤≤，

故35

37

t =

时，甲，乙两游客的距离最短. 故答案为：35

37

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.已知直线()1:20l ax y a R ++=∈.

（1）若直线1l 的倾斜角为45?，求实数a 的值； （2）若直线1l 在x 轴上的截距为2-，求实数a 的值；

（3）若直线1l 与直线2:210l x y -+=平行，求两平行直线1l 与2l 之间的距离.

【答案】（1）1-；（2）1；（3）5

. 【解析】 【分析】

（1）根据直线()1:20l ax y a R ++=∈，得到k ，再根据斜率与倾斜角的关系求解.

（2）根据直线()1:20l ax y a R ++=∈，令0y =得，2

x a

=-再求解.

（3）根据直线1l 与直线2:210l x y -+=平行，则有20

40a a --=??-≠?

求解，然后根据两平行直线

间的距离公式求解.

【详解】（1）因为直线()1:20l ax y a R ++=∈， 所以k a =-，

又因为直线1l 的倾斜角为45?， 所以tan 451a ?==-， 解得1a =-.

（2）因为直线()1:20l ax y a R ++=∈， 令0y =得，2

2x a

=-=-， 解得1a =.

（3）因为直线1l 与直线2:210l x y -+=平行，

所以2040a a --=??-≠?

，解得2a =-，

所以直线1:220--=l x y ，

两平行直线1l 与2l 之间的距离 d =

=

【点睛】本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.已知2,0πα?∈?

??

?

，3cos 5

α=

. （1）求

sin 4cos sin cos αα

αα

+-的值；

（2）求sin 24πα??

-

???

的值.

【答案】（1）16；（2）50

-. 【解析】 【分析】 （1）根据2,

0πα?∈?

??

?

，3

cos 5

α=

，利用平方关系得到sin α，进而得到tan α，再由sin 4cos sin cos αα

αα

+-分子分母同除以cos α求解.

（2）由（1）得到sin 2,cos 2αα，再利用两角差的正弦公式求解.. 【详解】（1）已知2,0πα?

∈?

??

?，3

cos 5

α=， 所以24sin 1cos 5α

α

，sin 4

tan cos 3

ααα=

=， 所以

sin 4cos tan 4

16sin cos tan 1

αααααα++==--. （2）因为2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525

ααααα===-=-，所以

27224312sin 2sin cos 2cos sin 24442525πππααα??

??-=-=?--?=-

? ?????

. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.如图，已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 所在直线方程为25y x =-，其中A 点在B 点上方，直角顶点C 的坐标为(1,2)．

（1）求AB 边上的高线CH 所在直线的方程； （2）求等腰直角三角形ABC 的外接圆的标准方程； （3）分别求两直角边AC ，BC 所在直线的方程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

(1)利用垂直斜率相乘为-1得到CH 斜率，点斜式得到CH 方程. (2)首先计算圆心，再计算半径，得到圆的标准方程.

(3)设直线AC 方程，通过H 到直线的距离计算得到AC ，BC 直线.

【详解】（1）因为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 所在直线方程为25y x =-，设CH 的斜率为CH k 则1

2

CH k =-

CH 经过点(1,2)C ，所以1

:2(1),:2502

CH CH l y x l x y -=--+-=

（2）2

2

52(1)

d r CH ===

=+-

25250y x x y =-??

+-=?解得：3

1

x y =??=?，所以圆心(3,1)H 所以等腰直角三角形ABC 的外接圆的标准方程为2

2

(3)(1)5x y -+-= （3）经判断，,AC AB 斜率均存在

设1:2(1)AC l y k x -=-，即1120k x y k -+-=，因为H 到直线AC

的

距离为

2

r

2

=

解得：1

3

k =

或3k =- 因为A 点在B 点上方，所以15

:,:3533

AC BC l y x l y x =

+=-+ 【点睛】考查了求直线方程,考查了两直线的位置关系,考查了圆的标准方程,考查了点到直线的位置关系.考查学生的分析能力、直观想象能力,运算能力. 20.在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .

（1）若cos sin 6A A π?

?+= ???，求A 的值；

（2）若1

cos 4

A =，4b c =，求sin

B 的值. 【答案】（1）6A π

=； （2）14

.

【解析】 【分析】

（1

3

sin 2

A A =，从而由tan A 的值得到A 的大小. （2

）先由余弦定理得到a =，在利用正弦定理计算sin B 即可. 【详解】（1）因为cos sin 6A A π?

?

+

= ??

?，即cos cos sin sin sin 66

A A A ππ

-=

，所以3

sin 22

A A =. 显然cos 0A ≠，否则，由cos 0A =，得sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，所以

3tan A =

. 因为0A π<<，所以6

A π

=.

（2）因为1

cos 4

A =

，4b c =，根据余弦定理得22222cos 15a b c bc A b =+-=，所以15a b =.

因为1cos 4A =

，()0,A π∈ ，所以215sin 1cos A A =-=， 由正弦定理，得

15sin b b

B

=

，所以1sin 4B =. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.

（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；

（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.

21.如图，在道路边安装路灯，路面OD 宽123m ，灯柱OB 高14m ，灯杆AB 与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC 与灯杆AB 垂直，轴线AC ，灯杆AB 都在灯柱OB 和路面宽线OD 确定的平面内．

（1）当灯杆AB 长度为多少时，灯罩轴线AC 正好通过路面OD 的中线?

（2）如果灯罩轴线AC 正好通过路面OD 的中线，此时有一高2.5 m 的警示牌直立在C 处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

(1)分别以图中,OD OB 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，分别计算AB ，AC 的直线方程，解得A 坐标，求得AB 长度.

(2) 设警示牌为CM ，CM OD ⊥，计算M ，A 的坐标，得到AM 直线方程，得到答案. 【详解】解：分别以图中,OD OB 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系， （1）【解法1】作AE OD ⊥垂足为E ，作BF AE ⊥垂足为F 因为灯杆AB 与地面所成角为30，即=30ABF ∠ 在ABE ?

中，1

cos30,sin 302

BF AB AB AF AB AB ??==

==

所以在AEN ?

中，14tan 60AB

?+

=

解得：2AB =

【解法2】灯杆AB 与地面所成角为30，(0,14)B ，AB

方程为143

y x =

+① 因为灯罩轴线AC 与灯杆AB 垂直，设CH 的斜率为AN k ，

所以AN k =

又因为C

AC

的方程为：y x =-②

联立：①②，解得：A

所以2AB ==

（2）设警示牌为CM ，CM OD ⊥

，则 2.5),M A

:15 2.5)AM l y x -=

-

令0N y =

，所以N x =

CN ==

答：（1）当灯杆AB 长度为2m 时，灯罩轴线AC 正好通过路面OD 的中线 （2）求警示牌在该路灯灯光下

【点睛】本题考查阅读理解能力、数学建模能力、运算能力、抽象能力.考查了直线方程，直线的位置关系.

22.已知平面四边形ABCD ，BCD 为等边三角形，1AB =，2AC =，BAC α∠=，（α为

变量，且0απ<<）.

（1）当3

π

α=

时，求四边形ABCD 的面积；

（2）设BCA β∠=，试用α表示sin β. 【答案】（13；（2）sin 54cos βα

=-.

【解析】 【分析】

（1）在ABC 中，利用余弦定理求得 ,BC BCA ∠，再根据BCD 为等边三角形，得到

DCA ∠，DC ，从而S 四边形ABCD ABC

ADC

S

S

=+.利用正弦定理面积公式求解.

（2）在ABC 中，由余弦定理求得BC ，再利用正弦定理有

sin sin BC AB

αβ

=化简即可. 【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理得：2

2

2

2cos 33

BC AB AB AB AC π

=+-??=，

所以3,6

BC BCA π

=∠=

，

又因为BCD 为等边三角形， 所以6

DCA π

∠=

，3DC =

所以S 四边形ABCD 11sin sin 32326

ABC

ADC

S S

AB AC CD AC ππ

=+=

??+??=（2）在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 54cos BC AB AB AB AC αα=+-??=-， 所以54cos BC α=

-

由正弦定理得：sin sin BC AB

αβ

=

所以

sin

sin

AB

BC

α

β

?

==

【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.