几何体的基本元素
高中数学 必修二-第一章 立体几何初步 知识点整理
底面为三角形、四边形、五边形„„的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„，
其中三棱锥又叫四面体。
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正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形； ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧 棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 （4）棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 下底面和上底面；其它各面叫做棱台的侧 面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； 底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点； 当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底 面交点间的线段叫做棱台的高。 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。正棱台的性质： ①各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形；②两底面以及平行于底面的截面是相似多边 形；③两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；④两底面中心连线、侧 棱和两底面外接圆相应半径组成一个直角梯形；⑤正棱台的上下底面中心的连线是棱台的 一条高；⑥正四棱台的对角面是等腰梯形。
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必修二
②在已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段。
③在已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段， 长度变为原来的一半。
用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放 置的平面图形的关键是确定多边形的顶点。因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这 些顶点就可画出多边形。
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在 平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
专题37 空间几何体(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。
围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。
几何体不是实实在在的物体。
平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。
例1-1．下列是几何体的是( )。
A 、方砖B 、足球C 、圆锥D 、魔方【答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。
例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面。
(×)(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。
(×)(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。
(×)(4)书桌面是平面。
(×)(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。
(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。
(6)平行四边形是一个平面。
(×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体。
(×)(8)任何一个平面图形都是一个平面。
(×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。
(√)(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。
(×)(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。
(√) 例1-3．下列说法正确的是 。
①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。
【答案】②③【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确。
[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。
A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面B 、一个几何体可以没有顶点C 、一个几何体可以没有棱D 、一个几何体可以没有面【答案】BC【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，故选BC 。
构成空间几何体的基本元素
D1
A1 D
A
C1 B1
C
B
4、点到平面得距离:
容易验证,线段AA1为点A1与平面AC内得 点所连线段中最短得一条。 线段AA1得长 称作点A1到平面AC得距离。
5、两个平面互相垂直:如果两个平面相交, 并且其中一个平面通过另一个平面得垂线, 这时,我们说两平面互相垂直。
D1
A1 D
A
C1 B1
C
B
例1、下列不属于构成几何体得基本元素 得就是( D )
(A)点 (B)线段 (C)曲面 (D)多边形(不含内部得点)
解:由于一个几何体就是由点、线、面组 成得,而线有直线与曲线之分,面有平面与 曲面之分,故而只有D不属于构成几何体得 基本元素。
例2、下面说法中正确得就是(D ) (A)任何一个平面图形都就是一个平面 (B)平静得太平洋面就是平面 (C)平面就就是平行四边形 (D)平面多边形与圆、椭圆都可以表示一 个平面
二、 构成几何体得基本元素
1、几何体:一个物体占有空间部分得形状 与大小,不考虑其她因素,这个空间部分叫 做一个几何体,它就是一个描述性得概念; 2、 构成空间几何体得基本元素就是:点、 线、面;线有直线( 段)与曲线( 段)之分,面 有平面(部分)与曲面(部分)之分;
三、 平面
1、平面得概念:平面就是处处平直得面, 这就是一个原始得描述性得概念。 平面 就是无限延展得。
(2)、(3)正确。
例5、 用一个平面去截一个正方体,截面
边数最多就是 6
条。
例6、 有一种骰子,每一面上都有一个英文 字母,下图就是从3个不同得角度瞧同粒骰 子得情形,则H对面得字母就是 O 。
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。
六年级观察物体知识点
六年级观察物体知识点观察物体是数学学习中的一个重要环节，它帮助学生从不同角度认识和理解几何图形。
对于六年级的学生来说，掌握观察物体的知识点，可以提高他们对空间几何体的感知能力和空间想象力。
以下是一些观察物体的基本知识点：1. 几何体的基本概念：- 点：几何体的基本元素，没有大小和形状。
- 线：由无数点组成，具有长度和方向。
- 面：由无数线组成，具有面积和形状。
- 体：由无数面组成，具有体积。
2. 常见的几何体：- 长方体：六个面都是矩形的立体图形。
- 正方体：六个面都是正方形的长方体。
- 圆柱：两个平行的圆面和连接它们的曲面组成的立体图形。
- 圆锥：一个圆面和一个顶点组成的立体图形。
- 球体：所有点到中心点距离相等的立体图形。
3. 观察几何体的方法：- 从不同角度观察：站在几何体的正面、侧面、上面等不同位置观察，以获得全面的认识。
- 绘制视图：通过绘制几何体的三视图（主视图、侧视图、俯视图），来理解几何体的形状和结构。
4. 几何体的属性：- 体积：几何体所占空间的大小。
- 表面积：几何体所有表面的总面积。
- 边长、高：长方体和正方体的边长，圆柱的高，圆锥的高。
5. 几何体的变换：- 平移：将几何体沿着某一方向移动一定的距离。
- 旋转：将几何体绕某一点或某一轴旋转一定的角度。
6. 几何体的组合：- 组合体：由两个或两个以上的简单几何体组合而成的复杂几何体。
- 组合体的体积和表面积计算：需要将各个简单几何体的体积和表面积分别计算后，再进行相应的加减。
7. 几何体的对称性：- 对称轴：几何体的对称中心线。
- 对称面：几何体的对称面。
8. 几何体在实际生活中的应用：- 建筑：建筑设计中会使用到各种几何体。
- 包装：包装盒的设计常常需要考虑几何体的形状和体积。
通过这些知识点的学习，六年级的学生可以更好地理解几何体的属性，提高他们解决实际问题的能力。
同时，这些知识点也是数学学习中的基础，为学生将来学习更高级的几何学打下坚实的基础。
1.1.1构成空间几何体的基本元素
解 ： 1平面AD ' 2平面AB
'
平面AC
平面CD
'
D
C
A
D
B
C
B
'
3平面AD
'
' '
4平面AB ，平面AC ，平面CD，平面AC
A
直线和平面平行 垂足 D B' C ' || 平面 AC
C
A
B
D
直线和平面垂直
AA' 平面 AC
C
B
A
线段AA的长称作点A到平面 AC的距离 平面和平面平行 平面A' C ' || 平面 AC 平面和平面垂直
：长方体 ABCD A B C D 中： ' ' （1）与直线 B C 平行的平面有哪几个？ ' ' （2）与直线 B C 垂直的平面有哪几个？ ' （3）与平面 BC 平行的平面有哪几个？ ' （4）与平面 BC 垂直的平面有哪几个？
如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小， 而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小， 而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体。
问题1：构成空间几何体的 元素有哪些？
点、线、面是构 成空间几何体的 基本元素。
1、平面的表示方法
平面 平面
平面
A
C
D
B 平面 ABCD
平面 AC
练习1：判断下列说法是否正确。 （1）平行四边形是一个平面。 （2）任何一个平面图形都是一个平面。 （3）书桌面是平面。 （4）有一个平面长是50米，宽是20米。 练习2：判断下列说法是否正确。
几何体的基本要素
如果我们只考虑物体的形状和大小， 而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象 出来的空间部分就叫做几何体。
几何体的基本要素:
点、线、面
顶点
面
棱
6个面 ， 12条棱 ， 8个顶点
平面一般用希腊字母 、、 来命名， 还可以用平行四边形的 顶点或对角顶点的名字 来命名
平面
平面
6、 平面和平面位置关系？
A
B
平面ABCD
或 平面AC
D
C
从运动学的角度解释点、线、 面、体之间的相互关系
点动成线
直线 运动方向不变 曲线 运动方向改变 平面 平行移动 曲面 平面 绕点移动 曲面（圆锥面）
线动成面
(直线)
面动成体
集合的角度解释点、线、面之间 的相互关系
点是元素 直线是点的集Biblioteka 平面是点的集合 直线是平面的子集
C、曲面
D、多边形（不含内部的点）
练习2 有以下结论: (1)平面是处处平直的面；
(2)平面是无限延展的；
(3)平面的形状是平行四边形；
(4)一个平面的厚度可以为0.01mm，
其中正确的结论的个数为( B )
A、1
B、2
C、3
D、4
课堂小结
1、 构成几何体的基本元素是 ：点，线，面 2、 点和线能有几种位置关系？ 3、 点和平面能有几种位置关系？ 4、 直线和直线能有几种位置关系？ 5、 直线和平面能有几种位置关系？
点、线、面之间的相互位置关系
1、 点和线的位置关系
点在直线上
点不在直线上 点在平面内
2、 点和面的位置关系
点不在平面内 同面 异面 相交 平行 既不相交也不平行
构成空间几何体的基本元素;棱柱、棱锥、和棱台;圆柱、圆锥、圆台和球
【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。
区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。
这也是我们研究几何体的方向和内容。
（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。
常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。
（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。
我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。
我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。
学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。
现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。
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一、空间几何体
【预习回顾】
一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑 物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么 这个空间部分叫做空间几何体。(含内部）
下面让我们以长方体为例，分析构成几何 体的基本元素以及它们之间的关系.
C A
D B ABCD长方体的面
长方体由六个矩形 （包括它的内部） 围成，围成长方体 的各个矩形，叫做 长方体的面.
长方体的面
长方体的棱
长方体的顶点
观察手中的制品，教室中的实物，可发现任意一 个几何体都是由点、线、面构成的.
二、平面与曲面
平面是一个只描述而不定义的最基本 概念，是由显示生活中（例如镜面、平静 的水面等）的实物抽象出来的数学概念， 但又与这些实物有根本的区别，既具有无 限延展性（也就是说平面没有边界），又 没有大小、宽窄、薄厚之分.平面的这种性 质与直线的无限延展性又是相通的.
3.平面和平面位置关系
D` A`
C` B`
D
C
A
B
平面AC∥平面A`C`
如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行.
D` A`
D A
C`
B`
平面A`D∥平面AC
C
B
两个平面会相交于一条直线，则说这两 个平面相交.
两个平面相交，并且其中一个平面通过另 一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相 垂直.
镜面是平面
面的画法
平面的表示
常用平行四边形表示一个平面
D
C
面的记法
A
B
①平面α 、平面β ②平面ABCD
、平面γ （标记在角上） ③平面AC 或平面BD
平静的水面
平面式处处平直的面，而曲面就不是处处平直的. 曲面
曲面的形成
点、直线、平面的特征及表示方法
名称
点
特征
无大小
图形表示 符号表示
A
A是长方体的顶点
C
A
相邻两个面的公共边，叫
做长方体的棱；棱和棱的
公共点，叫做长方体的顶 D 点.
B
AB长方体的棱
思考 长方体有几个面？几条棱？几个 顶点？
长方体有6个面，12条棱，8个顶点.
二、构成空间几何体的基本元素
通过观察发现：构成长方体的基本元素是点、线、 面. 所以一个几何体是由点、线、面构成的.点、线、 面是构成几何体的基本元素.
过程与方法
通过让学生探究点、线、面 之间的相互关系，掌握文字语言、 符号语言、图示语言之间的相互 转化.
教学重难点
重点
空间中点、线、面、体的概 念的理解；空间中直线与直线、 直线与平面、平面与平面间的位 置关系的认识.
Hale Waihona Puke 难点平面的概念的理解；空 间中直线与直线、直线与平 面、平面与平面间的位置关 系的的图示.
B不正确；太平洋面即使再平静也不是平 的（因为地球是圆的），更不可能是无限 延展的；
C不正确； 平面是无限延展的，我们仅仅 是用平行四边形来表示平面；
D正确； 它符合平面表示方法的规定。
三. 空间图形间的基本关系 用运动的观点来看：
（1）点动成线：把线看成是点运动的轨 迹! 如果点运动的方向始终不变，那么它 的轨迹是一条直线或线段，如果点运动 的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一 条曲线或曲线的一段。
导入新课
我们经常观察周围各种各样的物体， 并且不断地学着区分物体形状之间的差异. 从儿童时代起，我们就通过观察、玩各种 玩具，通过父母和老师的启蒙教育，认识 了各种各样的物体的形状，它们有些是长 方体形的物体，有些是球形的物体等.然 后离开具体的实物，开始辨认画在纸上的 物体，例如，汽车、飞机、床、桌子、房 屋的图片等.
点A
直线 平面
无粗细、 无限延伸
l
AB
处处平直、 D
C
无厚度、
无限延伸 A
B
直线A
直线 l
面
面ABCD 或面AC
练习：下面说法中正确的是（ ） （A）任何一个平面图形都是一个平面 （B）平静的太平洋面是平面 （C）平面就是平行四边形 （D）平面多边形和圆、椭圆都可以表示 一个平面
解：A不正确；平面图形是有大小的，不 可以无限延展的，它只是平面的一部分；
各种形状的玩具
实际存在的几何图形
后来又通过学习几何知识，认识 了许多几何图形，如：长方形、长 方体、圆、球等.同学们有没有想过， 为什么画在纸上的各种各样的物体， 你一看就能认出它是某种物体呢？
1.1.1构成空间几何体的基本元素
教学目标
知识与能力
掌握空间点、线、面之间的 相互关系以及相互之间的位置 关系.
（2）线动成面：直线平行移动，可以 形成平面或曲面；直线绕定点转动，可 以形成锥面。 （3）面动成体：面运动的轨迹（经过 的空间部分）可以形成一个几何体。
流星“点动成线”
点动成_线__ 线动成_面__ 面动成_体__
三角形 绕一边 旋转成 圆锥体
长方形 绕一边 旋转成 圆柱体
点运动的轨迹一定 是线吗？
线运动的轨迹一定 是面吗？
面运动的轨迹一定 是体吗？
练习 如图，画出(1)(2)(3)中线段L绕着直线l旋 转一周形成的空间几何体．
【分析】 熟悉用运动的观点来认识几何图 形的形成过程．
【解】 (1)由于L与l平行，旋转过程中L与l的距离 相等(如图①)． (2)由于L与l相交，旋转过程中产生的曲面是以L与l 的交点为顶点的曲面(如图②)． (3)由于L与l不平行，旋转过程中产生的曲面是以L 的延长线与l的交点为顶点的曲面的一部分(如图 ③)．
空间平面与平面的位置关系
课堂小结
1.长方体：长方体由6个面，12条棱，8个 顶点.
2.任意一个几何体都是由点、线、面构成 的.点、线面是构成几何体的基本元素.
课堂练习
1．两个不重合的平面有公共点，则公共点的 个数是（ B ） A．2个 B．有无数个且在一条直线上 C．一个或无数个 D．1个
A
B
垂面 直线AA`和平面ABCD，直线AA`和平面 ABCD内的两条直线AB,AD垂直，直线AA`给我 们与平面AC垂直的形象，这时我们是说直线AA` 与平面AC垂直，记作AA`⊥平面AC,A为垂足.
D` A`
D A
C` B`
C B
线段AA`为点A`到平面内的点所连线 段中最短的一条，线段AA`的长称作点A` 到平面AC的距离.
四、空间点、直线和平面之间的位置关系
1.空间中两条直线的位置关系
D1
A1
D
A
C1
B1
C
B
【深化理解】 说出图中两直线的位置关系
六角螺母
D
C
A
B
2.直线和平面位置关系
D` A`
D A
C` B`
C B
直线AB和平 面A`C`平行
直线和平面没有公共点.我们说直线和平 面平行.
D`
C`
A`
B`
D
垂足 C