广东省汕头市金山中学2017届高三上学期期末考试数学(文)试题(附答案)$789715
(优辅资源)广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试数学(文)Word版含答案
2017—2018年度第一学期高三文科数学期末考试一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合A．B．C．D．[0，5]2. 已知A B C D3.A．4.已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x，命题q：“∃x0∈R，4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是A．(4，＋∞) B．[1,4] C．[e,4] D．(－∞，1]5.A6. 已知公比不为1A7.A8.ABC．要条件D9.A10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为AC11（A）（B）（C）（D）12.“零点相邻函数”，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.．14. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“已知甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15.的外接球的体积为16.4，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12（1（2.18. （10参考数据：①由最小二乘法可得线性回归方程中②，有下表：③设④19.（12分）.（1（2.20.（12分）.（1（2.21.（14分）（1（2，的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （10分）为参数）（I（II.23.（10（1（2.高三文数期末考试卷答案一、选择题CADCB DBDCA CB 二、填空题三、解答题17.解：（1（2）由（1.18.精品文档由参考数据可得19. 解：（1..（220. 解：（15. （2）由（1）知，21.解：解：（1（222. （I II23.解：（1（2。
【全国百强校】2017届广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试语文试卷(带解析)
试卷第1页，共13页绝密★启用前【全国百强校】2017届广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：36分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、填入下列文段空白处的词语，最恰当的一项是（ ）有的人在填报高考志愿时选报热门专业，理由是能学以致用， ① 是一种误解。
学以致用的真正含义是将学到的知识用于实践， ② 不是看什么东西有用才决定去学。
摒弃功利性 ③ 使人抱着乐观的态度去学习； ④ 有用才去学习会使人产生心理负担， ⑤ 总要担心以后会不会真的有用。
抱着功利之心去挑选专业，在往会牺牲自己真正的兴趣， ⑥ 毕业后谋到了不错的职位，也不一定就工作得很开心。
① ② ③ ④ ⑤ ⑥试卷第2页，共13页A其实这而要确定所以/B这其实/能认为因为即使C实际上却会/可能就是D这当然就是如果/虽然A. AB. BC. CD. D试卷第3页，共13页第II 卷（非选择题）二、（题型注释）2、下列各句中，加横线成语使用恰当的一项是①我的态度很鲜明，对任何邪教的言论不赞一词，对他们的行为深恶痛绝。
②陕北民歌《山丹丹开花红艳艳》描述了红军长征胜利抵达陕北时，正逢满山的山丹丹花开的美丽情景，歌曲旋律优美，而演唱者阿宝的嗓音穿云裂石，更让听者印象深刻。
③北京城的历史遗迹虽然非常丰富，然而几度沧桑，实物留存也不过是雪泥鸿爪而已。
④美国政府在台湾问题上的危言危行，只会搬起石头砸自己的脚。
⑤近期的一场大火使我们损失惨重，连回家的路费都没有了，恳请各位高抬贵手，接济我们一点，以便我们渡过难关。
⑥当前，伊朗正面临以色列、美国和欧盟一些国家政治上的孤立、经济上的制裁和军事上的威胁，但伊朗政府并不认为局势已经不绝如缕。
广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}2．（5分）“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点4．（5分）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．cos2α＞05．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f （x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9C．﹣5或9 D．以上不对二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p 是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集U及M求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．解答：解：∵全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，∴∁U M={b，c，e}，则N∩∁U M={c，e}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称的否定是特称即可得到结论．解答：解：根据全称的否定是特称，则“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．3．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值﹣，故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）若tanα＞0，则（）A．s inα＞0 B．c osα＞0 C．s in2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．5．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．考点：函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．解答：解：∵函数是R上的单调减函数，∴∴故选B点评：本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．解答：解：由5d=10，可得，∴cd=lgb=log5b=a．故选：B．点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：A点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f （x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．解答：解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f （x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9C．﹣5或9 D．以上不对考点：函数的最值及其几何意义．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据函数f（x）=xα+1得f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=xα在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．解答：解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．故选：C．点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是（0，3）∪（3，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，建立条件关系即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞0且x≠3，故函数的定义域为（0，3）∪（3，+∞）故答案为：（0，3）∪（3，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．解答：解：由已知可得：a＞0，且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解得a＜，故正实数a的取值范围为：（0，），故答案为：（0，）点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．解答：解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：证明△CDF∽△AEF，可求．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p 是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＞0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（a，3a），故p成立有x∈（a，3a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，故q成立有x∈[﹣2，3]，若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（a，3a）⊊[﹣2，3]，解得，﹣2≤a≤1又a＞0，所以0＜a≤1，故a的取值范围为：0＜a≤1．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．解答：（1）证明：由已知得，b n=2an＞0，当n≥1时，==2an+1﹣an=2d，∴数列{b n}为首项是2a1，公比为2d的等比数列；（2）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣2a2=2a2ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），∴f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，∴m≤；（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，①当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，②当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而a e﹣1＞e a﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞），e）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e ﹣1）lna，从而a e﹣1＜e a﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法，关键是借助于导数解答本题．。
广东省汕头市金山中学高三上学期摸底考试——数学文数学(文)
广东省汕头市金山中学 2017届高三上学期摸底考试数学（文）试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合(){}(){},|1,,|42A x y y x B x y y x ==+==-，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于（ ） A ． B ． C ． D ．23．已知命题：在中，若，则；命题：已知，则“”是“”的必要不充分条件。
在命题q p q p q p q p ∧⌝∨⌝∨∧)(,)(,,中，真命题个数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．执行如图所示程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值集合是（ ） A ． B ． C ． D ．5．已知数列，满足，113,n n n nb a a n N b *++-==∈，若数列满足，则=（ ） A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（ ） A ．2 B ． C ． D ．3 7．已知为同一平面内的两个向量，且，若与垂直，则与的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知函数，若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．9．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）种 A ． B ． C ． D ．10．已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式()30f y f-+=恒成立，则的取值范围是（ ）第6题图A．2⎡⎢⎣⎦ B．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．1,2⎡+⎢⎣⎦D ．11．已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离为，若抛物线上一动点到其准线的距离与到圆心的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ） A ．2 B ． C ． D ． 12．若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．求值= ．14．如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 。
2016-2017年广东省汕头市濠江区金山中学高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=且a1=，则a2016=．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B=={x|0＜x＜2}，∴A∩B={X|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：A．命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f （x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故A正确，B．设f（x）=x|x|，则f（x）=，则当x≥0时，函数f（x）为增函数，当x＜0时，函数f（x）为增函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则若a ＞b ，则f （a ）＞f （b ），即a |a |＞b |b |成立，则“a ＞b”是“a |a |＞b |b |”的充要条件，故B 正确，C ．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n”的否定形式是“∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0”，故C 错误，D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故D 正确故选：C ．3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD 的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1， 则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S △PAB +S △PAD +S △PCD +S △PBC =2×1+×+2×2+=3+， 故选：B ．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C．6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数F（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，F（x）==，且F（﹣x）==﹣F（x）故函数F（x）是奇函数，故选：A．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵将函数=2sin（﹣）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=2sin[（x﹣）﹣]=﹣2cos，∴由2kπ+π≤≤2kπ+2π，解得：4kπ+2π≤x≤4kπ+4π，k∈Z，可得函数y=g（x）的单调减区间是：[4kπ+2π，4kπ+4π]，k∈Z，∴当k=﹣1时，函数y=g（x）的一个单调减区间是：[﹣2π，0]，∴由（﹣，﹣）⊂[﹣2π，0]，可得（﹣，﹣）是函数y=g（x）的一个单调减区间．故选：A．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选：C．12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于 4 ．【解答】解：∵|a +b |==∴9+|b |2+2×3×|b |×（﹣）=13 ∴|b |=4或|b |=﹣1（舍） 故答案为：414．（5分）已知数列{a n }满足a n +1=且a 1=，则a 2016= ．【解答】解：∵a n +1=且a 1=，则a 2=2a 1﹣1=，a 3=2a 2=，a 4=2a 3=，a 5=2a 4﹣1=，…， 可得：a n +4=a n ． ∴a 2016=a 503×4+4=a 4=． 故答案为：．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x 0，y 0），使x 0+ay 0+2≤0成立，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a=0，则不等式x +ay +2≤0等价为x ≤﹣2，此时不满足条件，若a ＞0，则不等式等价为y ≤﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＜0，此时区域都在直线y=﹣x ﹣的上方，不满足条件．若a ＜0，则不等式等价为y ≥﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＞0，若平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则只要满足点A（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=﹣x﹣的上方即可．即0+2a+2≤0，解得a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=1+．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴代入已知等式得：，整理得：a2+c2﹣b2=ac，∴，∵B∈（0，π），∴；（2）在△ABC中，cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴，设b=7x，c=5x，∵BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，∴=25x2+×49x2﹣2×5x××7x×解得x=1，∴b=7，c=5，=bcsinA=×7×5×=10．∴S△ABC18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X的可能取值为0，1，2，3.，，，．故X的分布列为所以．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在△BCD中，∠BCD=120°，CD=BC，所以∠BDC=∠CBD=30°，又△ABD是等边三角形，所以∠ADB=60°，所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，即AD ⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC．在△PCD中，，所以PD⊥PC．又因为AD∩PD=D，所以PC⊥平面PAD…（6分）（2）解法一：如图，取CD的中点H，连接PH．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．过点D作PH的平行线l，则l⊥平面ABCD．由（1）知AD⊥DC，故以D为坐标原点O，以直线DA、DC、l分别作为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．又因为△ABD是等边三角形，所以．所以P（0，1，1），，C（0，2，0），，即．所以，，．设平面PAB的法向量为，则由，得．令，得y=1，z=5．故为平面PAB的一个法向量．因为PH⊥平面ABCD，故为平面ABCD的一个法向量．故．设二面角P﹣AB﹣C为θ，则由图可知，所以…（12分）解法二：，取CD的中点H，连接PH，连接HE并延长，交AB于F，连接PF．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．△BCD中，DE=EB，DH=HC，所以EH∥BC，且．故∠HED=∠CBD=30°，又∠BEF=∠HED，且∠DBA=60°，所以∠DBA+∠BEF=90°，故EF⊥AB．又因为PH⊥平面ABCD，由三垂线定理可得PF⊥AB，所以∠PFH为二面角P﹣AB﹣C的平面角．在Rt△BEF中，，所以．故．所以在Rt△PHF中，，故．∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为…（12分）20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y），半径r，（r＞0），∵动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，∴，消去r得x2=4y，故所求轨迹E的方程为x2=4y；（2）实数t是定值，且t=1，下面说明理由，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，P（x0，y0），由题知Q（0，1），由，消去y得x2﹣4kx﹣4t=0，∴，轨迹E在A点处的切线方程为l1：y﹣y1=（x﹣x1），即y=x ﹣，同理，轨迹E在B处的切线方程为l1：y=x﹣，联立l1，l2：的方程解得交点坐标P（，），即P（2k，﹣t），，由||•||sin∠APB=||•||=2S△APB得⊥，即•=0，=（﹣2k，2t），=（x2﹣x1，），∴﹣2k（x2﹣x1）+2t•=0，即2k（x2﹣x1）（t﹣1）=0，则2k（t﹣1）=0，则t=1，故实数t是定值，且t=1．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）=a+=，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）=﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a=﹣，故x0=λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t=，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）=lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）=﹣=，令μ=，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）=0，与（*）式不符；若μ=1，解得λ=，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）=0⇔t=1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ=符合题意．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…（3分）由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（5分）（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），∴直线l的参数的标准方程可写成…（6分）代入圆C得：化简得：，∴，∴t1＜0，t2＜0…（8分）∴…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣4时，，∴函数f（x）在（﹣∞，3]上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，所以f（x）=f（3）=2．max（Ⅱ），即，令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则存在x0∈R，使得g（x0）≥成立，∴，即，∴当m＞0时，原不等式为（m﹣1）2≤0，解得m=1，当m＜0时，原不等式为（m﹣1）2≥0，解得m＜0，综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．。
汕头市金山中学2017届高三第一学期期末考试(文数)
汕头市金山中学2017届高三第一学期期末考试数学（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,0,2,4}M =-，2{|9}N x x =<，则M N = （ ） A ．{0,2}B ．{2,0,2}-C ．{0,2,4}D ．{2,2}-2.已知3,5a b == ，a 与b 不共线，向量ka b + 与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 3.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点P 是平面1111A B C D 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．己知命题p ：“a ＞b”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：x e R x x ln ,<∈∃，则（ ） A ．￢p ∨q 为真命题 B ．p ∧￢q 为假命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∨q 为真命题5.已知()()6,2,1m -=-=和共线，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 A.36 B.2 C.32D.36或2 6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为 A ．53 B ．103 C ．56 D ．1167 .sin()cos()0,322πππααα++-=-<<则2cos()3πα+等于( )A.45-B.35- C.45 D.358．函数的图象如图所示，为了得到g （x ）=cos2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y xy y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．无法确定10．在∆ABC 中，点D 满足BD =34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ +AC μ，则22(1)t λμ=-+的最小值是（）ABC ．910 D ．41811.已知函数()f x 的定义域为R ，对于12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为 （ ）A ．()+∞,1B ．(,1)-∞C ．(1,0)(0,3)-D ．(,0)(0,1)-∞12．已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+};③M={2(x,y )|y log x =}; ④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第15题图13 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = 14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则x y +的最小值是15．如图CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且上的点为线段中在，则B cos = ． 16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈. （Ⅰ）证明数列{}2nnS 为等差数列； （Ⅱ）求12...n S S S +++. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点. （1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积. 19. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()0,2P 过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式()R ∈≤⋅λλ恒成立,求λ的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=． （Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=4sin()3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中R ϕ∈），求||PQ 的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x t =-++，t R ∈. (Ⅰ)当1t =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在实数a 满足()|3|2f a a +-<，求t 的取值范围.数学（文科）参考答案二、填空题：13.1 14. 232+ 15.16. )2015,2( 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，┄ ┄┄2分整理得11122n nn n S S ++-=， ┄┄4分 所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，┄┄┄┄┄┄7分 令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②┄┄┄┄┄┄┄9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅ ，┄┄┄┄┄┄10分 整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. ┄┄┄┄┄┄┄12分18. 解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ┄┄┄┄1分 ∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ，又1//2AE CD ，∴//AE FM ， ∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ， ┄┄┄┄3分∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .┄┄┄┄5分（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=， ∴2222211132cos 601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯= ，┄┄6分∴2ED =，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥.┄┄┄┄7分 PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PD ED D = ，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .┄┄┄┄9分111222PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯=， ∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==13PEF S BE ∆=⨯⨯1132==分 19.解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分 （2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元.若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=.20. 【解析】（1）依题意, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a cba , ……1分解得22a =,21b =,∴椭圆Γ的标准方程为2212x y +=. …3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时1(3,)PA y =- ,21(3,)(3,)PB y y =-=-- ,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分 当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+,由22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩,得2222(12)4220k x k x k +++-=,∴2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+, ……8分 ∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++ 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++ 2222222224(1)(2)41212k k k k kk k -=+⋅--⋅++++2217221k k +==+217131722(21)2k -<+. ……11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172. ……12分 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x--+=+-=…………………………2分 (1)当01a <<时，由()'0fx >得，x a 0<<或1>x ，由()'0f x <得，a x <<1故函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a …………4分(2)当1a =时,()'0f x ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。
高三文科数学期末考参考答案
汕头市金山中学2017级高三第一学期期末考试文科数学 参考答案13.__1__; 14.__ __; 15._____; 16.___ ; ,___.17. 解：(1)∵点(n ，S n )在f(x)＝12x 2＋12x 的图像上，∴S n ＝12n 2＋12n.① ┄┄┄1分当n≥2时，S n －1＝12(n －1)2＋12(n －1)．② ┄┄┄2分①－②，得a n ＝n. ┄┄┄3分 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＝1，符合上式， ┄┄┄4分∴a n ＝n. ┄┄┄5分 (2)由(1)得1a n a n ＋2＝1n （n ＋2）＝12(1n －1n ＋2)， ┄┄┄7分∴T n ＝1a 1a 3＋1a 2a 4＋1a 3a 5＋…＋1a n a n ＋2＝12×(1－13)＋12×(12－14)＋12×(13－15)＋…＋12×(1n －1－1n ＋1)＋12×(1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ┄┄┄10分 ＝34－12(1n ＋1＋1n ＋2) < 34． ┄┄┄12分18. 解：（1）∵ ， 是 的中点∴ ┄┄┄1分 ∵三棱柱 中 平面∴平面 平面 ，且平面 平面∴ 平面 ┄┄┄2分 平面∴┄┄┄3分 又∵在正方形 中， 分别是 的中点∴ , ┄┄┄4分C又∴ 平面 . ┄┄┄5分 （2）解法一（割补法）：正方形┄┄┄12分解法二（利用平行顶点轮换）： ∵ ∴∴┄┄┄12分 解法三（利用对称顶点轮换）： 连结 ，交 于点 ∵ 为 的中点∴ 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离. ∴┄┄┄12分解法四（构造法）：连结 ，交 于点 ，则 为 的中点，再连结 .由题意知在 中， ， ，所以 ，且 又 ， ，所以 ，所以 又 ∴ 面∴┄┄┄12分19. 解： 方案1：设 ，在 中，由余弦定理得： ∠ ┄┄┄1分 即┄┄┄2分（当且仅当时等号成立） ┄┄┄3分A 1AC（当且仅当时等号成立）┄┄┄4分最大值为┄┄┄5分方案2：在中，由正弦定理得：即┄┄┄6分┄┄┄7分（当且仅当时等号成立）┄┄┄10分最大值为┄┄┄11分 方案好┄┄┄12分20.解：（1）由题意知，则，┄┄┄1分圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，，即，┄┄┄2分所以，又，得．┄┄┄3分所以椭圆的方程为：. ┄┄┄4分（2）由（1）可知椭圆右焦点，．（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，可得：，，四边形面积为12. ┄┄┄5分（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得：，，四边形面积为. ┄┄┄6分（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.由得. ┄┄┄7分显然，且，. ┄┄┄8分所以. ┄┄┄9分过 且与l 垂直的直线， 则圆心到 的距离为，所以. ┄┄┄10分故四边形 面积：.可得当l 与x 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为(12, ). ┄┄┄11分 综上，四边形 面积的取值范围为 ， ． ┄┄┄12分 21. 解：（Ⅰ）设 ，则 ┄┄┄1分 . ┄┄┄2分 当 时， ；当时， ，所以 在 单调递减，在单调递增. ┄┄┄3分 又， 故 在区间 上存在唯一零点. ┄┄┄4分 （Ⅱ）记 在区间 上的最大值为f (x )max , g (x )在区间 上的最大值为g (x )max.依题意, “对任意 ，均存在 ，使得 ”等价于“g (x )max f (x )max ”┄5分 由(Ⅰ)知，()f x在 只有一个零点，设为 ， 且当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增.又 ，所以当 时，f (x )max =1. ┄┄┄6分 故应满足g (x )max .因为g (x )＝x 2e ax ，所以g ′(x )＝(ax 2＋2x )e ax ＝x (ax ＋2)e ax . ┄┄┄7分①当a ＝0时，g (x )＝x 2，对任意x ∈[0,2]，g (x )max ＝g (2)＝4，不满足g (x )max . ┄┄┄8分 ②当a ≠0时，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a.(ⅰ)当－2a ≥2，即－1≤a <0时，在[0,2]上，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,2]上单调递增，g (x )max ＝g (2)＝4e 2a .由4e 2a ，得a ≤－ln 2，所以－1≤a ≤－ln 2. ┄┄┄9分(ⅱ)当0<－2a <2，即a <－1时，在⎣⎡⎭⎫0，－2a 上，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；在⎝⎛⎦⎤－2a ，2上，g ′(x )<0，g (x )单调递减．g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫－2a ＝4a 2e2. 由4a 2e2，得a ≤－2e 或a ≥2e，所以a <－1. ┄┄┄10分(ⅲ)当－2a <0，即a >0时，显然在[0,2]上，g ′(x )≥0，g (x )单调递增，于是g (x )max ＝g (2)＝4e 2a ，此时不满足g (x )max . ┄┄┄11分 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－ln 2]． ┄┄┄12分 22. 解：（Ⅰ）由得：，，即，C 的直角坐标方程为：． ┄┄┄4分（Ⅱ）设A ，B 两点对应的参数分别为，，直线和圆的方程联立得：，所以，，． ┄┄┄8分所以，． ┄┄┄10分23.解：（1）()21f x x x =---①当1x ≤时，()2(1)1f x x x =---=，由1()2f x >，解得1x ≤； ┄┄┄1分 ②当12x <<时，()32f x x =-，由1()2f x >，即1322x ->，解得514x <<； ┄┄┄2分③当2x ≥时，()1f x =-不满足1()2f x >，此时不等式无解 ┄┄┄3分综上，不等式1()2f x >的解集为：5(,)4-∞ ┄┄┄4分（2）解法1：124()232a b c f ++=+= ┄┄┄5分12412424()3a b c a b c a b c ++∴++=++⨯1[(1416)3=+++224488]b a c a c b a b a c b c+++++1(213≥+493=当且仅当37a b c ===时等号成立.的最小值为3┄┄┄10分 解法2：124()232a b c f ++=+= ┄┄┄5分1241124(24)()3a b c a b c a b c∴++=++++,,0a b c > ∴由柯西不等式：上式2221]3=++⋅222⎡⎤++⎢⎥⎣⎦213⎡≥⎢⎣2149(124)33=++= 当且仅当37a b c ===时等号成立.的最小值为3┄┄┄10分。
精选广东省汕头市2017届高三数学上学期期末考试试题理
广东省汕头市2017届高三数学上学期期末考试试题 理一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知集合{}2210,0x A x x B x x -⎧⎫=|-<=|<⎨⎬⎩⎭，则A B （） A ．()2,∞- B ．()1,0 C ．()2,2- D ．()1,∞- 2.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B ．设,a b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的充要条件C ．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤”的否定形式是“**00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n ≥”D ．若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题3.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．33+B ．63+C ．321+D ．321+ 4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ）A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺 5.设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，有下列四个命题： ①如果βα//，α⊂m ，那么β//m ②如果α⊥m ，αβ⊥，那么β//m③如果n m ⊥，α⊥m ，β//n 那么βα⊥④如果β//m ，α⊂m ，n =⋂βα，那么n m // 其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.①④D.③④6. 已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．7. 已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数8. 将函数()cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递减区间是（ ）A ．(,)42ππ-B ．(,)2ππC ．(,)24ππ--D ．3(,2)2ππ 9. 函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ）A ．（1）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）10．在菱形ABCD 中，60A =，AB =ABD ∆折起到PBD ∆的位置，若三棱锥P BCD-，则二面角P BD C --的正弦值为（ ）A ．13 B ．12C ．2D ．311．对于函数f （x ）和g （x ），设α∈{x ｜f （x ）＝0}，β∈{x ｜g （x ）＝0}，若存在α，β，使得｜α－β｜≤1，则称f （x ）与g （x ）互为“零点相邻函数”．若函数f （x ）＝1x e －＋x －2与g （x ）＝2x －ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．]4,2[B ．]37,2[C ．[73，3] D ．]3,2[ 12 .设a b c x y ===+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3)B ．(]1,2C ．17(,)22D ．以上均不正确二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b =14．已知数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤<=+121,12210,21n n n n n a a a a a 且531=a ,则=2016a ．15.若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域存在点()00x y ，，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是.16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22cossin 23A A =，sin()4cos sinBC B C -=，则bc=____________. 三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且a c C b 2cos 2=+（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若BD 为AC 边上的中线，1cos 7A =，BD=2，求△ABC 的面积18.（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，汕头市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[][][][][]20252530303535404045，，，，，，，，，．（1）求图中x 的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[]3540，岁的人数； （2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加人民广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，平面P C D ⊥平面A B C D ，且PD PC BC ===，23BCD π∠=，ABD ∆是等边三角形，AC BD E =.（1）证明：PC ⊥平面PAD ； （2）求二面角P AB C --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知动圆过定点R （0，2），且在x 轴上截得线段MN 的长为4，直线l ：y=kx+t （t ＞0）交y 轴于点Q ．（1）求动圆圆心的轨迹E 的方程；（2）直线l 与轨迹E 交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点作轨迹E 的切线交于点P ，若||•||sin ∠APB=||•||．试判断实数t 所满足的条件，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=（a ∈R ）有两个零点x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x 1，x 2，当x 0=λx 1+（1﹣λ）x 2＞0时均有f ′(x )＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．选做题:请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为)0,2(,半径为2,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l 的参数方程为:⎩⎨⎧+=-=t y t x 1（t 为参数)(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程; (2)点P 的极坐标为)2,1(π，直线l 与圆C 相交于B A ,，求PB PA +的值。
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三上学期期末数学试卷(文科)含答案
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5]C．[﹣1，0]D．[0，5]2．（5分）已知a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，则它们的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞b＞c3．（5分）复数z=的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．﹣ C．i D．4．（5分）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x02+4x0+a=0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[1，4]C．[e，4]D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程可以是x=（）A．B．C．D．6．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1a2a3a4a5=，且a2，a4，a3成等差数列，则S5=（）A．B．C．D．7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填（）A．i＞60 B．i＞70 C．i＞80 D．i＞908．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m⊥nC．“直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的充分不必要条件D．若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，则△AFM 的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．1210．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．8π+8 C．D．11．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）=0}，β∈{x|g（x）=0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数f（x）=ln（x﹣1）+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+8互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）A．B． C． D．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知在长方形ABCD中，AB=2AD=4，点E是AB边上的中点，则=．14．（5分）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知实数x，y满足，若z=x﹣my（m＞0）的最大值为4，则z=x﹣my（m＞0）的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1+）=．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积S取到最大值时a的值．18．（10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式表示，现测得试验数据如下：试求y对x的回归方程．参考数据：①由最小二乘法可得线性回归方程=bx+a中，b=，a=﹣b②设，v=lny，有下表：③设a=lnA，b==﹣0.146，则有a=﹣b=0.548④e0.548=1.73．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1﹣CDB1的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，A是椭圆C的左顶点，F是椭圆C的右焦点，点M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），N都在椭圆C上．（Ⅰ）若点D（﹣1，）在椭圆C上，求|NF|的最大值；（Ⅱ）若=2（O为坐标原点），求直线AN的斜率．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x，x∈（0，+∞）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若g（x）=f（x）+2e x﹣ax2，h（x）=x，且∀x1，x2，[g（x1）﹣h（x1）][g （x2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．23．已知函数f（x）=|4x+1|﹣|4x﹣a|．（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+x＜0；（2）若∃x∈R，使f（x）≤﹣5，求a的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5]C．[﹣1，0]D．[0，5]【解答】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，0]，由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴B=[﹣1，5]，则（∁U A）∩B=[﹣1，0]．故选：C．2．（5分）已知a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，则它们的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞b＞c【解答】解：a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，因为y=0.3x为减函数，所以0.30.3＞0.31.3，因为y=x0.3为增函数，所以0.30.3＜1.30.3，故c＞a＞b，故选：A．3．（5分）复数z=的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．﹣ C．i D．【解答】解：∵z==，∴．∴复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．4．（5分）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x02+4x0+a=0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[1，4]C．[e，4]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，∴a≥（e x）max=e，可得a≥e．命题q：∵∃x0∈R，x02+4x0+a=0．∴△=16﹣4a≥0，解得a≤4．∵命题“p∧q”是真命题，∴p与q都为真命题，∴．∴e≤a≤4．则实数a的取值范围[e，4]．故选：C．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程可以是x=（）A．B．C．D．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得y=sin[2（x+）]=sin（2x）=cos2x令2x=kπ，k∈Z，可得：x=kπ．当k=1时，可得x=，故选：B．6．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1a2a3a4a5=，且a2，a4，a3成等差数列，则S5=（）A．B．C．D．【解答】解：∴a1a2a3a4a5=，∴a35=（）5，∴a3=，设公比为q，由于a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴2a2q2=a2+a2q，解得q=﹣或q=1（舍去），∴a1==1，∴S5==故选：D．7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填（）A．i＞60 B．i＞70 C．i＞80 D．i＞90【解答】解：第一次循环后，S=210，i=20，应不满足输出条件；第二次循环后，S=230，i=30，应不满足输出条件；第三次循环后，S=260，i=40，应不满足输出条件；第四次循环后，S=300，i=50，应不满足输出条件；第五次循环后，S=350，i=60，应不满足输出条件；第六次循环后，S=410，i=70，应不满足输出条件；第七次循环后，S=480，i=80，应满足输出条件；故判断框中条件可以是i＞70，故选：B．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m⊥nC．“直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的充分不必要条件D．若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，“直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的必要不充分条件，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，则△AFM 的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，抛物线C：y2=6x 点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，准线与x轴的交点为N，则AN=3=3，A（﹣，3），则M（，3），=×6×3=9．∴S△AMN故选：C．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．8π+8 C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是把半径为2的球体切去，然后放上去一个三棱锥，该几何体的体积为V=．故选：A．11．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A，B．当x＜0时，ln（x﹣2）2＞0，（x﹣2）3＜0，函数的图象在x轴下方，排除D，故选：C．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）=0}，β∈{x|g（x）=0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数f（x）=ln（x﹣1）+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+8互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）A．B． C． D．[2，4]【解答】解：f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）==＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，又f（2）=0，∴f（x）只有一个零点x=2．若f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，则g（x）在[1，3]上存在零点．∴△=a2﹣4（8﹣a）≥0，解得a≥4或a≤﹣8．（1）若△=0，即a=4或a=﹣8时，g（x）只有一个零点x=，显然当a=4时，=2∈[1，3]，当a=﹣8时，∉[1，3]，不符合题意；（2）若△＞0，即a＞4或a＜﹣8，①若g（x）在[1，3]上存在1个零点，则g（1）g（3）≤0，即（9﹣2a）（17﹣4a）≤0，解得≤a≤，∴．②若g（x）在[1，3]上存在2个零点，则，∴4＜4≤．综上，a的取值范围是：{4}∪[，]∪（4，]=[4，]．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知在长方形ABCD中，AB=2AD=4，点E是AB边上的中点，则= 4．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则B（4，0），D（0，2），C（4，2），E（2，0），∴=（﹣4，2），=（﹣2，﹣2），∴=8﹣4=4．故答案为：4．14．（5分）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出17钱（所得结果四舍五入，保留整数）．【解答】解：∵甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，丙应付：100×=16≈17钱．故答案为：17．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知实数x，y满足，若z=x﹣my（m＞0）的最大值为4，则z=x﹣my（m＞0）的最小值为﹣6．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：z=x﹣my（m＞0）的最大值为4，可知直线z=x﹣my（m＞0）经过可行域A时取得最大值，由解得A（﹣2，﹣2），此时：z=﹣2+2m=4，解得m=3．直线z=x﹣3y经过可行域的B（0，2）时截距最大，此时z最小，z min=0﹣3×2=﹣6．故答案为：﹣6．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1+）=．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积S取到最大值时a的值．【解答】解：（1）△ABC中，a（1+）=，由正弦定理得，sinA（1+）=；又A∈（0，π），∴sinA＞0，∴，从而，又0＜C＜π，∴，∴C ﹣=，解得C=；（2）由（1）知，∴，∴，又∵cosC==﹣∴a2+b2=c2﹣ab=6﹣ab，又∵a2+b2≥2ab，∴ab≤2，∴，当且仅当时等号成立．△ABC的面积S取到最大值时a=．18．（10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x 由公式表示，现测得试验数据如下：试求y对x的回归方程．参考数据：①由最小二乘法可得线性回归方程=bx+a中，b=，a=﹣b②设，v=lny，有下表：③设a=lnA，b==﹣0.146，则有a=﹣b=0.548④e0.548=1.73．【解答】解：由题意可知，对于给定的公式，两边取自然对数，得．取，v=lny，a=lnA，就有v=a+bu，由参考数据可得b=﹣0.14，a=0.548，∴，把u和v置换回来可得，∴，∴回归曲线方程为．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1﹣CDB1的体积．【解答】（1）证明：连接BC1交B1C于点O，连接OD．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形．∴点O是BC1的中点．∵点D为AB的中点，∴OD∥AC1，又OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD；（2）解：∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由AA1⊥平面ABC，得平面ABB1A1⊥平面ABC．又平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1．∴点C到平面A1DB1的距离为CD，且．∴===．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，A是椭圆C的左顶点，F是椭圆C的右焦点，点M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），N都在椭圆C上．（Ⅰ）若点D（﹣1，）在椭圆C上，求|NF|的最大值；（Ⅱ）若=2（O为坐标原点），求直线AN的斜率．【解答】解：（I）由已知可得：2a=•2b，+=1，联立解得：b2=5，a2=9．c==2．∴F（2，0）．∴|NF|的最大值=a+c=3+2=5．（II）由（I）可得椭圆C的方程为：=1．设直线MN与x轴相交于点E，N（x1，y1）．∵=2（O为坐标原点），∴AN OM．∵A（﹣3，0），O（0，0），∴E（﹣6，0）．设直线MN的方程为：my=x+6．联立，化为：（5m2+9）y2﹣60my+135=0．△＞0．⇒m2．∴y1+y0=，y1y0=，又y0=2y1．联立解得：m2=，满足△＞0．∴=.，y0＞0．解得y0=，x0=．∴k AN=k OM==．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x，x∈（0，+∞）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若g（x）=f（x）+2e x﹣ax2，h（x）=x，且∀x1，x2，[g（x1）﹣h（x1）][g （x 2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）依题意，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．（2）当g（x 1）﹣h（x1）＞0，对任意的x2∈（0，+∞），都有g（x2）﹣h（x2）＞0；当g（x 1）﹣h（x1）＜0时，对任意的x2∈（0，+∞），都有g（x2）﹣h（x2）＜0；故g（x）﹣h（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，或g（x）﹣h（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立，而g（x）﹣h（x）=x（e x﹣ax﹣1），设函数p（x）=e x﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．则p（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，或p（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立，p'（x）=e x﹣a，①当a≤1时，∵x∈（0，+∞），∴e x＞1，∴p'（x）＞0恒成立，∴p（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，p（0）=0，故p（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意．②当a＞1时，令p'（x）=0，得x=lna，令p'（x）＜0，得0＜x＜lna，故p（x）在（0，lna）上单调递减，所以p（lna）＜p（0）=0，而p（a）=e a﹣a2﹣1，设函数φ（a）=e a﹣a2﹣1，a∈（1，+∞），则φ'（a）=e a﹣2a，令H（a）=e a﹣2a，则H'（a）=e a﹣2＞（a∈（1，+∞））恒成立，∴φ'（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ'（a）＞φ'（1）=e﹣2＞0恒成立，∴φ（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0恒成立，即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合题意．综上，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．第21页（共21页）把直线的参数方程代入曲线C 的方程可得 t 2+t ﹣=0． 由韦达定理可得 t 1•t 2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP |•|AQ |=|t 1•t 2|=．23．已知函数f （x ）=|4x +1|﹣|4x ﹣a |．（1）若a=2，解关于x 的不等式f （x ）+x ＜0； （2）若∃x ∈R ，使f （x ）≤﹣5，求a 的取值范围．【解答】解：（1）若a=2，则不等式化为f （x ）=|4x +1|﹣|4x ﹣2|+x ＜0， 若，则﹣4x ﹣1+4x ﹣2+x ＜0，解得x ＜3，故； 若，则4x +1+4x ﹣2+x ＜0，解得，故； 若，则4x +1﹣4x +2+x ＜0，解得x ＜﹣3，故无解，综上所述，关于x 的不等式f （x ）+x ＜0的解集为， （2）∃x ∈R ，使f （x ）≤﹣5等价于[f （x ）]min ≤﹣5，因为|f （x ）|=||4x +1|﹣|4x ﹣a ||≤|（4x +1）﹣（4x ﹣a ）|=|1﹣a |， 所以﹣|1﹣a |≤|f （x ）|≤|1﹣a |，所以f （x ）的最小值为﹣|1﹣a |， 所以﹣|1﹣a |≤﹣5，得a ≥6或a ≤﹣4所以a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．。
广东省汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案)$716297
2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2430A x x x =-+<，212B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 2．已知命题：p :在ABC ∆中，“sin cos A B >”是“ABC ∆为锐角三角形”的必要不充分条件;q :2000,220x R x x ∃∈++<.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨ 3．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，且()a b a -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．已知函数sin 2cos 2y x x =-，则下列结论中正确的是( )．A ．关于点(,8π-中心对称 B ．关于直线8x π=轴对称C ．向左平移4π后得到奇函数 D ．向右平移8π后得到偶函数 5．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是( )(A) (B) (C) (D)6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在 22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时 D ．28小时7．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为 ( )．A ．8 2B ．9 2C ．14 2D ．8 38．若()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，()22xf x =-，则12(log 24)f 的值等于（ ） A ．43-B ．72-C ．12D ．12- 9．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥yx ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |210．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有211221()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(sin )(log 2)(3)7,,3log 2sin 7f f f a b c ππππ===，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ． b a c << 11．定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()1,00,f x f x f f x ''>-=是()f x 的导函数，则不等式()1xxe f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,-+∞C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()0,+∞12．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f (x 1＋x 22)≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1， 3 ]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f (x 1＋x 2＋x 3＋x 44)≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是 ( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为 ． 14．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为 ． 15．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则a 的取值范围是 ． 16．已知函数22 ( 0)()3 ( 0)x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若2(sin ,1)2B Cm +=， (2,cos21)n A =-+，且m n ⊥.(1)求角A 的大小；(2)当a =，且△ABC 的面积错误！未找到引用源。
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2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三文科数学期末考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,0,2,4}M =-，2{|9}N x x =<，则M N =（ ）A ．{0,2}B ．{2,0,2}-C ．{0,2,4}D ．{2,2}-2.已知3,5a b ==，a 与b 不共线，向量ka b +与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 3.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111A B C D 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．己知命题p ：“a ＞b”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：x e R x x ln ,<∈∃，则（ ） A ．￢p ∨q 为真命题 B ．p ∧￢q 为假命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∨q 为真命题 5.已知()()6,2,1m b a -=-=和共线，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A.36B.2 C.32D.36或26.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为A ．53B ．103C ． 56D ．1167 .sin()cos()0,322πππααα++-=-<<则2cos()3πα+等于( ) A.45- B.35-C.45D.358．函数的图象如图所示，为了得到g （x ）=cos2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y xy y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．无法确定 10．在∆ABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ+AC μ，则22(1)t λμ=-+的最小值是（） AB．4 C ．910 D ．41811.已知函数()f x 的定义域为R ，对于12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为 （ ）A ．()+∞,1B ．(,1)-∞C ．(1,0)(0,3)- D ．(,0)(0,1)-∞12．已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+};③M={2(x,y )|y log x =};第15题图④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则x y +的最小值是15．如图CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且上的点为线段中在，则B cos = ． 16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈. （Ⅰ）证明数列{}2nnS 为等差数列；（Ⅱ）求12...n S S S +++.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点. （1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积.19. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，且长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()0,2P 过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式()R PB PA ∈≤⋅λλ恒成立,求λ的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=． （Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=4sin()3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是(cos,sin)ϕϕ（其中Rϕ∈），求||PQ的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|∈.f x x x t=-++，t R (Ⅰ)当1t=时，解不等式()5f x≥；（Ⅱ）若存在实数a满足()|3|2+-<，求t的取值范围.f a a2016-2017学年度第一学期汕头市金山中学高三文科数学期末考试答案一、选择题：二、填空题：13.1 14.232+ 15.18 16.)2015,2(三、解答题：17. 解：（Ⅰ）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，┄ ┄┄2分整理得11122n nn n SS ++-=， ┄┄4分 所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nnSn n=+-=，即2n n S n =⋅，┄┄┄┄┄┄7分令12n n T S S S =+++ 212222n n T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②┄┄┄┄┄┄┄9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，┄┄┄┄┄┄10分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. ┄┄┄┄┄┄┄12分18. 解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ┄┄┄┄1分 ∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ，又1//2AE CD，∴//AE FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ， ┄┄┄┄3分∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .┄┄┄┄5分（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=， ∴2222211132cos601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，┄┄6分∴ED =，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥.┄┄┄┄7分PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PD ED D =，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .┄┄┄┄9分111222PEFS PF ED ∆=⨯⨯=⨯=， ∴三棱锥P BEF -的体积P BEFB PEFVV --==13PEF S BE ∆=⨯⨯1132==分19.解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元.若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9.则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=.20. 【解析】（1）依题意,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a acb a , ……1分解得22a =,21b =,∴椭圆Γ的标准方程为2212x y +=. …3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =, 此时1(3,)PA y =-,21(3,)(3,)PB y y =-=--,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分 当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+,由22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩,得2222(12)4220k x k x k +++-=, ∴2122412k x x k +=-+,21222212k x x k-=+, ……8分 ∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(2)41212k k k k k k k-=+⋅--⋅++++ 2217221k k +==+217131722(21)2k -<+. ……11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立, 只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172. ……12分 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x --+=+-=…………………………2分(1)当01a <<时，由()'0f x >得，x a 0<<或1>x ，由()'0f x <得，a x <<1故函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a …………4分(2)当1a =时,()'0f x ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定“(0,)x ∀∈+∞，()f x x≤恒成立”。