沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第五章 排列组合与二项式定理 本章测试(wd无答案)
上海高三数学高考二轮复习教案排列组合专题之排列组合二项式定理(2)含答案
沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习排列组合专题之排列组合、二项式定理②教学目标（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．知识梳理1：分类计数原理和分步计数原理（1）分类计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。
(2) 分步计数原理（乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×m n 种不同的方法。
2：排列的计算：从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数P mn =n（n－1）（n－2）…（n－m+1）=)!(!mnn-.P nn=n（n－1）（n－2）…3·2·1=n!. 规定0！=13：组合的计算：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn表示.组合数公式C mn =!)!(!mmnn-.组合数的两个性质：（1）C m n =C mn n-；（2）C m n 1+=C mn +C 1-m n（口诀：上取大，下加一。
证明方法：1.公式法。
2.构造模型，从n+1个球中取出m 个球）. 4. 二项式定理： 1.概念 二项式定理：nn n r r n r n 1n 1n n 0n n bC b a C b a C a C )b a (+++++=+--通项公式r r n r n r b a C T -+=1，r=0，1，2，…，n2.二项式系数的性质：（1）对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即nn0n C C =，rn nr n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；（2）增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n nC 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n nC +相等，且为最大值；（3）+++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C5.常用方法：在处理排列组合问题时遵循以下原则：（1）特殊元素优先安排（2）合理分类与准确分步（3）排列、组合混合问题先选后排（4）相邻问题捆绑处理（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.二项式定理的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式,；（3）证明整除性。
上海市上海中学高中数学校本作业(平行班专用)排列、组合、统计、概率、二项式定理含答案
专题8：排列、组合、二项式定理、统计与概率1、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．2、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示)．3、某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40％．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．4、设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为—10，则a =． 5、盒子中装有编号为1，2，3，4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示）．6、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 。
7、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）8、课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为.9、随机抽取的9位同学中,至少有2位同学在同一月份出生的概率为.(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）。
10、将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5:3：2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取______个个体．11、从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃"的概率为____________（结果用最简分数表示）．12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）.13、某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点。
沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》说课稿
沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》说课稿一、课程背景与思考随着社会变革的快速发展，数学作为一门必修学科，对学生的培养具有重要意义。
而高中阶段的数学教育更加注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本节课讲授的《排列组合与二项式定理》是高中数学中的一大难点，对学生来说是一个较为抽象且具有挑战性的内容。
因此，本课旨在通过深入浅出、生动有趣的教学方法，帮助学生理解与掌握这一重要概念，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标1.理解排列组合与二项式定理的基本概念和思想；2.掌握排列组合与二项式定理的基本计算方法；3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力；4.培养学生的合作与交流能力。
三、教学重难点1.排列组合与二项式定理的基本概念和思想；2.排列组合与二项式定理的基本计算方法；3.如何培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四、教学方法本节课注重学生的主体性，采用任务型教学法和课堂讨论相结合的教学方法。
任务型教学法可以有效激发学生的学习兴趣和主动性。
在教学前，根据学生的实际情况设计一些生活实际问题，通过任务的形式引导学生思考，培养其解决问题的能力。
在教学过程中，教师可组织小组合作学习，让学生共同探索，互相合作，提高学生的合作与交流能力。
课堂讨论是培养学生逻辑思维能力的有效途径。
教师可以设计一些开放性问题，引导学生进行分析和讨论。
通过学生之间的思想碰撞，激发学生的思维活动，培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
五、教学过程及内容安排1. 导入与热身（5分钟）•引发学生思考：在我们的日常生活中，你们有没有遇到过一些需要进行选择和组合的情况？请举例说明。
•通过引发学生思考，激发学生对排列组合与二项式定理的学习兴趣。
2. 排列组合概念解释与示例讲解（10分钟）•提供一个简单的例子，引导学生理解排列与组合的概念，并解释其严格定义。
•通过具体的例子帮助学生理解排列组合的基本思想和计算方法。
【备战2019】(上海版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理
2021年沪教版高二数学暑假作业：排列组合和二项式定理【含答案】
2021年沪教版高二数学暑假作业：排列组合和二项式定理【含答案】一、单选题1．将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有种． A ．72B ．36C ．64D ．81【答案】B【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果. 【详解】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人， ∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336C A =．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．2．.从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.A ．90B ．72C ．36D ．144【答案】C【详解】排列方法为234336C A =,选C. 3．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!mnn C m = B ．!()!A m n n n m =- C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=【答案】B【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知()!!!m n n C m n m =-，A 选项错误； 由排列数的定义可知()!!m n A n n m =-，B 选项正确；由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.4．在二项式()91x +的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为A ．512B ．215C ．13D ．815【答案】C【分析】二项式9(1)x +的展开式共十项，从中任取2项，共有210C 种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两个有几种取法得出答案．【详解】二项式9(1)x +的展开式共十项，从中任取2项，共有21045C =种取法， 展开式系数为偶数的有325679999949,,,,C C C C C C ，，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有2615C =种取法，∴取出的2项中系数均为偶数的概率为151453= 故选C 【点睛】本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数．5．一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，若连续投掷三次，取三次面向下的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（ ）A ．364B ．332C ．964D ．132【答案】C【分析】三次投掷总共有64种,只有长度为234或223的三边能构成钝角三角形,由此计算可得答案.【详解】解：由题可知：三次投掷互不关联，所以一共有3444464⨯⨯==种情况：能构成链角三角形的三边长度只能是：234或者是223所以由长度为234的三边构成钝角三角形一共有：336P =种：由223三边构成钝角三角形一共有：133C =种： 能构成钝角三角形的概率为3133363946464P C ++==. 故选:C.【点睛】本题考查了古典概型的概率求法,分类计数原理,属于基础题.6．若,27m N m *∈<，则(27)(28)(34)m m m ---等于（ ） A ．827m P -B ．2734m m P --C ．734m P -D ．834m P - 【答案】D 【分析】(27)(28)(34)m m m ---、、、中最大的数为()34m -，(27)(28)(34)m m m ---、、、包含()342718-+=个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27)(28)(34)m m m ---的表示. 【详解】因为(27)(28)(34)(34)(28)(27)m m m m m m ---=---，所以表示从()34m -连乘到()27m -，一共是8个正整数连乘，所以834(27)(28)(34)m m m m P ----=.故选D. 【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：()()!!!n mn nP n P n m n m ==--的运用. 7．组合数()1,,rn C n r n r N >≥∈恒等于（ ） A ．1111r n r C n --++ B ．1111r n n C r --++ C ．11r n r C n -- D ．11r n n C r-- 【答案】D【分析】根据组合数的公式得到r n C 和11r n C --，再比较选项得到答案. 【详解】()()()111321rnn n n r C r r ⋅-⋅⋅⋅-+=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅． ()()()()()1112......112 (321)r n n n n r C r r -----+=--⋅⋅， 可知11r r n n n C C r--=⋅ 故选：D ．【点睛】本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型.二、填空题8．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有______种不同的组合.【答案】6【分析】直接根据组合数求解即可．【详解】解：从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有246C =种不同的组合，故答案为：6．【点睛】本题主要考查组合的应用，属于基础题．9．在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有______种.【答案】30【分析】用全部情况减去全男生和全女生的情况，即可得到答案.【详解】由题知：从7人中选3共有37C 种情况，全是男生有33C 种情况，全是女生有34C 种情况，故男女生都有的选法有33373430C C C --=种. 故答案为：30【点睛】本题主要考查组合的实际问题，间接法为解题的关键，属于简单题.10．某校开设A 类选修课5门，B 类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有______.种【答案】70【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.【详解】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：A 类2门，B 类1门，共有215440C C =种，或A 类1门，B 类2门，共有1254C C 30=，所以不同的选法共有403070+=种方法.故答案为：70【点睛】本题考查分类计数原理，组合知识，重点考查分类讨论的思想，属于基础题型.11．若排列数101098720m P =⨯⨯=，则m =____________. 【答案】3【分析】利用排列数计算公式即可得出． 【详解】解：排列数101098720m P =⨯⨯=，3m ∴=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．二项式3nx x ⎫⎪⎭的展开式中，各项的系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且72A B +=，则n =____________.【答案】3【分析】给二项式中的x 赋值1求出展开式的各项系数的和A ；利用二项式系数和公式求出B ，代入已知的等式，解方程求出n 的值．【详解】解：令二项式中的x 为1得到各项系数之和4n A =又各项二项式系数之和2n B =72A B += 4272n n ∴+=解得3n =故答案为：3【点睛】本题考查解决展开式的各项系数和问题常用的方法是赋值法、考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n ，属于基础题．13． ()202022020012202012x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122020a a a a +++⋅⋅⋅+=______； 【答案】1【分析】利用赋值法，令1x =代入即可．【详解】解：令1x =得，20200122020(12)a a a a -=++++， 则01220201a a a a ++++=，故答案为：1【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法是解决本题的关键．属于基础题．三、解答题14．（1）化简：122m m m n n n C C C --++； （2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是多少?【答案】（1）详见解析；（2）115【分析】（1）根据组合数的运算公式求解；（2）首先列举所有不超过30的素数，然后按照古典概型写出概率.【详解】（1）121122m m m m m m m n n n n n n n C C C C C C C -----++=+++1112m m m n n n C C C -+++=+=（2）不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，任取2个不同的数有21045C =种方法，其中和为30的有()()()11,19,7,23,13,17共三组， 则2103115P C == 【点睛】本题考查组合数的证明和古典概型的概率公式意在考查推理与证明和计算能力，属于基础题型 15．已知正整数2n ≥,()()1103n n n n n f x x a x a x a x a --=+=++⋅⋅⋅++1.(1)若()f x 的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求n 的值；(2)若2019n =,且k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大值,求k 的值.【答案】(1) 5n =；(2)504k =或505k =.【分析】(1)令1x =求出()f x 的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出n 的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出k 的值.【详解】(1) 令1x =,所以()f x 的展开式中各项系数和为：4n ,二项式系数和为：2n ,由题意可知： 42992(232)(231)0232n n n n n -=⇒-+=⇒=或221n =-(舍去),所以5n =；(2) 二项式()3nx +的通项公式为：2019120193r r r r T C x -+=⋅⋅. 因为k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大项,所以有：201920192018201812019201920192019202020201201920195043350450550533k k k k k k k k k k k k a a k C C k a a k C C ----+-----≥⎧≥⋅≥⋅⎧⎧⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨≥≤⋅≥⋅⎩⎩⎩, 因此504k =或505k =.【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力.。
沪教版高三排列组合知识点
沪教版高三排列组合知识点排列组合是数学中一个重要的概念，它在高三数学学科中也是一个重要的知识点。
在沪教版高三数学教材中，排列组合是作为一个章节和知识点进行详细探讨的。
首先，我们来了解一下什么是排列。
排列是从一组元素中按照特定的顺序选择若干元素的方式。
比如，如果有3个元素A、B、C，那么它们的全部排列就是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共计6种。
排列的计算公式是An = n!，其中n表示元素的个数，!表示阶乘运算。
接下来，我们转到组合的概念。
组合是从一组元素中选择若干个元素的方式，与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
比如，对于3个元素A、B、C，它们的全部组合就是A、B、C、AB、AC、BC，共计6种。
组合的计算公式是Cn = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示元素的个数，k表示选择的元素个数。
排列组合在实际问题中有很多应用。
比如，计算一本书的页码数，一个标准的中学课本通常包含几百页，那么用几位数字来编码这些页码呢？我们可以使用排列来计算。
又比如，考虑一个篮球队有12名球员，教练要选出5名球员参加比赛，那么有多少种不同的选择方式呢？我们可以使用组合来计算。
在排列组合的基础上，还有一些相关的知识点，比如重复排列、循环排列、多重集等。
重复排列是指元素允许重复出现的排列，计算公式为A`n = n^k，其中n表示元素的个数，k表示选择的元素个数。
循环排列是指元素按照一定的顺序循环出现的排列，计算公式为(n-1)!。
多重集是指元素可以重复出现，但是顺序不同的排列，计算公式为C`n = (n+k-1)! / (k! * (n-1)!)，其中n表示元素的种类数，k表示选择的元素个数。
综上所述，排列组合是高三数学中一个重要的知识点，通过理解和掌握排列组合的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题中的计数和选择问题。
当然，除了在数学学科中的应用，排列组合的思维方式也可以在其他学科和领域中发挥重要作用。
上海市上海中学2016-2017学年高三数学复习专题汇编(实验班)专题5-排列、组合和二项式定理
专题1: 排列、组合和二项式定理1.排列数P mn 中1,n m n m ≥≥∈N 、;组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .(1)排列数公式 ：!P (1)(2)(1)()()!m n n n n n n m m n n m =---+=≤-；P !(1)(2)21n n n n n n ==--⋅。
【例1】（1）1！+2！+3！+…+n ！（*4,n n N ≥∈）的个位数字为（2）满足288P 6P x x -<的x ＝(2)组合数公式：()P (1)(1)!()P (1)21!!m m n nm m n n n m n C m n m m m n m ⋅-⋅⋅-+===≤⋅-⋅⋅⋅-；规定01！=，01nC =. 【例2】已知16m n mn m n C C A +++=，求 n ，m 的值?(3)排列数、组合数的性质：①m n m n n C C -=；②111m m m n n n C C C ---=+；③11k k n n kC nC --=；④1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；⑤!(1)!!n n n n ⋅=+-；⑥11(1)!!(1)!n n n n =-++.2.解排列组合问题的依据是：①分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事）；②分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）；③有序排列，无序组合．【例3】（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种.（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（3）从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（5）A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（6）用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（8）f 是集合{},,M a b c =到集合{}1,0,1N =-的映射，且()()f a f b +()f c =，则不同的映射共有 个；（9）满足}4,3,2,1{=C B A 的集合A 、B 、C 共有 组3.解排列组合问题的方法有： （1）特殊元素、特殊位置优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； ②位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置。
沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案及教学反思
沪教版高中高三数学《排列组合与二项式定理》教案及教学反思教学目标本节课的教学目标包括：1.了解排列和组合的概念；2.掌握排列和组合的定义和公式；3.学习二项式定理及其应用；4.提高学生的解决实际问题的能力；5.培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。
教学重点和难点本节课的教学重点为二项式定理及其应用，教学难点为排列和组合问题的解决。
教学内容排列和组合在学习排列和组合之前，我们先来了解一下“阶乘”的概念。
将正整数n及比n小但不小于1的正整数依次相乘所得的积，叫做n的阶乘，表示为n!。
例如，$5!=5\\times4\\times3\\times2\\times1=120$。
排列和组合是离散数学中常见的问题，它们的区别在于“有序”的概念。
排列是指从n个不同元素中取m个元素（$m\\leq n$），并按照一定的顺序排列。
根据排列的定义，从n个不同元素中取m个元素排列的情况数为$A_n^m=\\frac{n!}{(n-m)!}$。
与排列不同，组合是不考虑元素顺序的选择方式。
组合是指从n个不同元素中取m个元素（$m\\leq n$），并按照任意顺序排列。
根据组合的定义，从n个不同元素中取m个元素组合的情况数为$C_n^m=\\frac{A_n^m}{m!}=\\frac{n!}{m!(n-m)!}$。
二项式定理接下来我们学习二项式定理。
二项式定理是初中数学的重要知识点。
它描述了两个数之和的n次方的展开式式子。
二项式定理可以表示为：$$(a+b)^n=\\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$$其中，a,b为任意实数，n为正整数。
二项式定理与排列组合的应用通过上述知识，我们可以得出以下结论：$$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$$这一结论在解决排列组合问题中非常有用。
例如，在一个班级里，男生有m个，女生有n个。
我们要从这m+n个人中选出k个人，其中男生数是偶数，女生数也是偶数。
该如何求出方案数？根据二项式定理，我们可以将(1+1)m和(1−1)n展开为：$$(1+1)^m=\\sum_{k=0}^mC_m^k$$$$(1-1)^n=\\sum_{k=0}^nC_n^k(-1)^k$$将以上两个式子相乘，并利用排列组合的知识，可得：$$\\sum_{k=0}^{n/2}C_m^{2k}\\cdot C_n^{2k}=2^{m+n-2}$$这个结论告诉我们，在上述条件下，组合方案数只与男生和女生的数量有关，并且可以用上述公式进行计算。
沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第五章 排列组合与二项式定理 一、排列、组合
沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理一、排列、组合一、解答题(★★★) 1. （1）用排列数表示：；（2）若，求的值.(★★★) 2. （1）计算：；（2）求；（3）求证：为偶数.(★★★) 3. 分别从集合和集合中各取两个数字，问：（1）可组成多少个四位数？（2）可组成多少个四位偶数？(★★★) 4. 四位同学参加三项不同的竞赛.（1）每位同学必须参加一项，有几种不同结果？（2）每项竞赛只有且必须有一位同学参加，有几种不同结果？（3）每位同学最多参加一项，且每项竞赛只许有一位同学参加，有几种不同结果？(★★★) 5. 以立方体八个顶点中的四个为顶点，共可构成多少个四面体？(★★) 6. （1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？（2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？(★★★) 7. 一排个空位，四人就坐其中的个位子.（1）若每人左、右两边都有空位，有几种坐法？（2）若个空位中，个相连，另个也相连，但个不连在一起，有几种坐法？(★★) 8. 要从15个候选人（其中女生6人）选出5人担任干部.（1）女生至少一人当选，有几种选法？（2）男、女生都至少有两人当选，有几种选法？(★★★) 9. 有4位同学在同一天的上午、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”5个项目的测试，每位同学上午、下午各测试1个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上午、下午都各测试1人，则不同的安排方式有多少种？(★★★) 10. 若Ü ，求符合条件的二次函数的解析式有多少种？(★★★) 11. 由、、、组成无重复数字的四位数，求：（1）这些数的数字和；（2）这些数的和.(★★) 12. 学校开设的课程有语文、数学、外语、政治、物理、化学、体育门，若星期五只排节课，并且规定体育不排在第一和第四节，问星期五的课表有几种排法？(★★★) 13. 由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字，且偶数数字与奇数数字相间隔的四位数？(★★) 14. 两个相交平面 M与 N，它们的交线为 l.在 l上有3点，除这3点外在平面 M， N上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？(★★★) 15. 划船运动员8人，其中3人只会划右舷，2人只会划左舷，3人左右舷都会划，现在要从这8人中选6个人，3个划右舷，3个划左舷，共有多少种选法？二、单选题(★) 16. 等于（）.A．B．C．D．(★★) 17. 已知集合Ü ，且 A中至少有一个奇数，则这样的集合有（）.A．2个B．3个C．4个D．5个(★★) 18. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共（）A．24种B．18种C．12种D．6种(★★★) 19. 用、、、四个数字可组成必须含有重复数字的四位数有（）A．个B．个C．个D．个(★★★) 20. 从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A．70种B．84种C．140种D．35种(★★) 21. 书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（）.A．210种B．252种C．504种D．505种(★★) 22. A， B， C， D， E五个字母排成一排，字母 A排在字母 B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（）.A．24B．12C．60D．120(★★★) 23. 直线，在上有4个点，在上有6个点，把这些点作为端点连成线段，这些线段在与之间最多有交点（）.A．24个B．45个C．80个D．90个(★★★) 24. 5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（）.A．288种B．72种C．36种D．24种(★★★) 25. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（）A．2B．3C．4D．5(★★) 26. 满足，且的有序数组共有（）个.A．B．C．D．(★★) 27. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A．45种B．36种C．28种D．25种(★★★★) 28. 如图，在某海岸 P的附近有三个岛屿 Q， R， S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（）.A．24种B．20种C．16种D．12种(★★★) 29. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）.A．20种B．16种C．12种D．8种(★★★★) 30. 如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种三、填空题(★★) 31. 乘积展开后的项数为________.(★★) 32. 在所有的两位数中，个位上的数字小于十位上的数字的两位数有________个.(★★) 33. 方程的解为 ________ .(★★) 34. 6个学生排成一排，其中甲、乙两人不能相邻的排法种数为________.(★★★) 35. 用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成_______个无重复数字且2、3相邻的四位数.(★) 36. 坐标平面上有5个点：，，，，，以它们为顶点可以组成的不同的三角形有_________个.(★★) 37. 将12本不同的书分给甲、乙、丙三人，甲拿3本，乙拿3本，丙拿6本，则不同的分法有________种.(★★) 38. 6名男生4名女生共10人，要从这10个人中选出3人共同去完成某项任务，要求这3人中至少要有1个女生，则不同的选法有_________种.(★) 39. 个人参加、、跑的决赛，同一个项目中，并列冠军的情况不发生，则冠军分配的不同情况有________种.(★★★) 40. 已知，则_________.(★★) 41. 在2000到6000中，有 _________ 个没有重复数字的奇数.(★★) 42. 在正八边形的顶点与中心共9个点中，以其中的3个点为顶点的三角形有________个(★★) 43. 有 A， B， C， D， E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次， A，B两位同学去问成绩，老师对 A说：“你没能得第一名”，又对 B说：“你是第三名”，从这个问题分析，这五人的名次排列共有_______种可能.(★★) 44. 已知集合，，从集合 S， P中各取一个元素作为点的坐标，在直角坐标系中表示不同点的个数为_________.(★★★) 45. 从编号为1，2，3，…，9的9个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这4个球排成一排，共有_________种不同的排法.(★★★) 46. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .。
沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理本章测试
沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二项式定理本章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种2．在某次数学测验中，记座号为(1,2,3,4)n n =的同学的考试成绩为()f n ，若{70,85,88,90,98,()100}f n ∈且满足(1)(2)(3)(4)f f f f <<<，则这四位同学考试成绩的所有可能有（ ）． A ．15种B ．20种C ．30种D ．35种3．用0,1, 2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有 A ．48个B ．12个C ．36个D ．28个4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有（ ） A ．240种 B ．180种 C ．120种 D ．60种5．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++L ，则0242n a a a a ++++=L （ ）． A ．3nB ．32nC ．312n -D ．312n +6．2019201918171121234⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯201918211231920⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯⨯L L L 等于（ ）． A ．172 B ．182C ．192D ．2027．若81471212x x C C -+=，则x =________．8．有4个男生、3个女生，高矮互不相同，现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，共有______种排法．9．在1到100这100个正整数中，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，这样的取法有_______种．10．一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．11．若把英文单词“hello ”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有_________种． 12．如图，用6种不同颜色对图中A ，B ，C ，D 四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．13．从一个小组的若干人中选出4名代表的方法种数为A ，又从该小组B 中选出正、副组长各一人的选法种数为B ，且:7:3A B =，则此小组的人数为__________． 14．若()()*31nx n -∈N 展开式中各项系数的和为128，则展开式中2x项的系数为_________．15．10()x y z ++展开式的项数共有_________项．16．221222(1)(1)(1)n n n x x x x x --+++++(1)n n x x +++L 的展开式中，n x 项的系数为________．17．从0，1，2，⋯，6这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c ，求：()1可组成多少个不同的二次函数？ ()2其中对称轴是y 轴的抛物线有多少条？18．某商场开展促销抽奖活动，摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出的6个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖．一位顾客可能抽出的不同号码组共有m 组，其中可以中奖的号码共有n 组，求nm的值． 19．从1,2,3,,31L 中任取三个或三个以上的数，使其和为偶数的取法共有多少种？20．求证：当*n N ∈，且2n …时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除． 21．求多项式()2009220082008x x +++()2009220092009x x --展开式中x 奇次项系数的和．参考答案1．C 【解析】 【分析】从4个人中选2个作为一个元素，再将它与其他两个元素在一起进行排列，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分组方法，即1，1，2， 首先从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有C 42A 33＝36种结果， 故选：C ． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用分组分配问题，注意此类问题一般要首先分组，再进行排列，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】四位同学的成绩不同，先从()f n 中6个数取出4个数，而四位同学成绩有大小关系，每取出4个数对应一种情况，即可得出所有可能为46C . 【详解】{70,85,88,90,98,()100}f n ∈且满足(1)(2)(3)(4)f f f f <<<，则这四位同学考试成绩的所有可能有426615C C ==. 故选：A . 【点睛】本题考查组合应用问题，定序相当于无序是解题的关键，属于基础题. 3．D 【解析】第一种：1x3xxx ：1，3有22A 种排法，剩余3空有33A 种排法，共22A 33A =12种；第二种：X1X3X:首位从2，4中选一种有2种排法，1，3有22A 种排法，剩余2空有22A 种排法，共222A 22A =8种；第三种：XX1X3，首位从2，4中选一种有2种排法，1，3有22A 种排法，剩余2空有22A 种排法，共222A 22A =8种；共28种． 4．A 【解析】 【分析】首先确定取出一双同色手套的情况数；再求解出剩余2只手套的取法数；根据分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】取出的一双同色手套的颜色共有166C =种情况在剩余的5双手套中，取不同颜色的2只共有：11108402C C =种取法∴任取4只，恰好有一双同色的取法有：640240⨯=种取法故选：A 【点睛】本题考查组合计数问题的求解，涉及到分步乘法计数原理的应用；易错点是在取不同颜色的2只手套时，忽略无顺序的问题，造成情况重复.5．D 【解析】 【分析】 在()22201221nn n x xa a x a x a x ++=++++L 中，分别令1x =和1x =-，将所得两个方程相加即可得到结果. 【详解】 在()22201221nn n x xa a x a x a x ++=++++L 中，令1x =，得012323nn a a a a a =+++++L ，令1x =-，得012321n a a a a a =-+-++L ，所以()()012320123231nn n a a a a a a a a a a +=++++++-+-++L L ，所以31n +()02422n a a a a =++++L ，所以0242n a a a a ++++=L 312n +. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理中的赋值法，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据组合数公式及二项式系数和的性质解答即可； 【详解】 解：2019201918171121234⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯201918211231920⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯⨯L L L 02461820202020202020C C C C C C =++++++L()0123192020202020202012C C C C C C =++++++L ()20201911112222=+=⨯= 故选：C 【点睛】本题考查组合数公式及二项式系数的性质的应用，属于基础题. 7．12【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可； 【详解】 解：因为81471212x x C C -+=所以8147x x -=+或814712x x -++=解得2x =或12x =当2x =时，4712x +>无意义，故舍去；故答案为：12【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 8．840 【解析】 【分析】首先将4个男生全排列，再对3个女生相邻与否分类讨论，最后根据分类加法计算原理及分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：首先将4个男生全排列有44A 种排法；①3个女生不相邻，即将3个女生插入5个空档，因为要求从左到右女生从矮到高排列，所以35C 种排法②3个女生均相邻，则有15C 种排法； ③3个女生其中两人相邻，则有2152C C 种排法按照分类加法计算原理及分步乘法计算原理可得一共有()4312145552840A C C C C ++=种 故答案为：840 【点睛】本题考查简单的排列组合问题，注意分类、分步计数原理的合理应用，属于中档题. 9．1295 【解析】 【分析】两数的积是7的倍数，这两数至少有一数是7的倍数，分成两类：一类是7的倍数的数取出两数相乘，另一类是7的倍数的数取一个非7的倍数的数取一个相乘，而1到100这100个正整数有14个是7的倍数，再由分类加法原理，即可得出结论.【详解】在1到100这100个正整数中，是7的倍数有14个，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，分成两类：一类是两数都是7的倍数，有21471391C=⨯=，另一类是两数中只有一数是7的倍数，有11148614861204C C=⨯=，共有取法9112041295+=.故答案为：1295.【点睛】本题考查组合和加法计数原理的应用，合理分类是解题的关键，属于基础题.10．285.【解析】【分析】按照十位上的数字分成9类，再分类计数后相加即可得结果.【详解】按照十位上的数字分成9类：第一类：十位上的数字为0时，百位有9种，个位也有9种，此时满足条件的三位数有9981⨯=种；第二类：十位上的数字为1时，百位有8种，个位也有8种，此时满足条件的三位数有8864⨯=种；第三类：十位上的数字为2时，百位有7种，个位也有7种，此时满足条件的三位数有7749⨯=种；第四类：十位上的数字为3时，百位有6种，个位也有6种，此时满足条件的三位数有6636⨯=种；第五类：十位上的数字为4时，百位有5种，个位也有5种，此时满足条件的三位数有5625⨯=种；第六类：十位上的数字为5时，百位有4种，个位也有4种，此时满足条件的三位数有4416⨯=种；第七类：十位上的数字为6时，百位有3种，个位也有3种，此时满足条件的三位数有339⨯=种；第八类：十位上的数字为7时，百位有2种，个位也有2种，此时满足条件的三位数有224⨯=种；第九类：十位上的数字为8时，百位有1种，个位也有1种，此时满足条件的三位数有111⨯=种；所以符合条件的三位数共有816449362516941++++++++=285.故答案为：285.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是合理分类，并且要注意百位和个位上的数字可以相同，属于基础题.11．59【解析】【分析】五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，五个字母进行全排列的结果要除以2，在所有结果里有一个是正确的，减去一个正确的，得到可能的错误结果．【详解】解：由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题Q五个字母进行全排列共有55120A=种结果，字母中包含2个l，∴五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果，在这60种结果里有一个是正确的，∴可能出现的错误的种数是60159-=，故答案为：59．【点睛】本题是一个排列组合及简单的计数问题问题，元素中出现了2个相同的元素，这样的排列要把全排列数字除以2，若出现n个相同的元素，则最后结果要除以n n A，本题是一个易错题．12．480【解析】【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算可得；【详解】解：依题意，首先染A 区域有6种选择，再染B 区域有5种选择，第三步染C 区域有4种选择，第四步染D 区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有6544480⨯⨯⨯=种方法故答案为：480 【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题. 13．10 【解析】 【分析】设此小组人数为()4n n ≥，则4n A C =，22n B C =，根据:7:3A B =可求n 的值.【详解】设此小组人数为()4n n ≥，则4n A C =，22n B C =，故42723n nC C =，整理得到()()()()1237241322n n n n n n ---=-⨯，故25500n n --=，解得10n =. 故答案为：10. 【点睛】本题考查排列、组合在计数中的应用以及与组合数有关的方程的求解，前者注意计数过程中的有序与无序的区别，后者应熟记组合数的计算公式. 14．189- 【解析】 【分析】根据展开式中各项系数的和求出7n =，再利用展开式的通项公式可求得结果. 【详解】依题意可得()311128n⨯-=，即2128n =，解得7n =，所以()731x -展开式的通项公式为()()71731rr r r T C x -+=⋅-()77713rr rr C x --=-⋅⋅，0,1,2,3,4,5,6,7r =.令72r -=，得=5r ，所以()731x -展开式中2x 项的系数为2573189C -⨯=-.故答案为：189-. 【点睛】本题考查了二项展开式的各项系数的和，考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题. 15．66 【解析】 【分析】由1010109101000111100()[()]()()x y z x y z C x y C x y z C z ++=++=++++⋯+，根据二项式定理()n x y +展示式中共有1n +项，即可求出上式中展开后共有多少项．【详解】解：因为101091010060111010()[()]()()x y z x y z C x y C x y z C z ++=++=++++⋯+根据二项式定理：()n x y +展示式中共有1n +项，所以上式中：第一项0101()C x y +展开后共有11项，第二项9101()C x y z +展开后共有10项，⋯十一项101010C z 展开后只有1项；这样，共有11109432166+++++++=L 项． 故答案为：66． 【点睛】本题考查了二项展开式的所有项的应用问题，也考查转化法与转化思想的应用问题，属于基础题． 16．21nn C + 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式求得已知式为()()21111n nn x x x +++-+，再根据二项式定理即可得出答案. 【详解】解：221222(1)(1)(1)nn n x x x x x --+++++(1)n n x x +++L 可以看作是首项为2(1)n x +公比为1xx+的等比数列的前1n +项的和， 所以221222(1)(1)(1)nn n x x x x x --+++++()1211(1)111n nn nx x xx x x x +⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-++++L ()()21111n nn x x x ++=+-+根据二项式定理含n x 的项仅在()211n x ++中，通项公式为：121,0,1,2,21k kk n T C x k n ++=∈+L .所以n x 项的系数为21nn C +. 故答案为：21nn C +. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用与等比数列求和，考查学生的计算能力，属于中档题. 17．()1180个；()230条. 【解析】 【分析】()1由二次函数的定义，0a ≠，则a 有16C 种取法；在剩下的6个数字中取两个作为b 和c ，有26P 种，进而可求得结果.()2要求对称轴是y 轴，则0b =，在余下的6个数字中取两个作为a 和c ，有26P 种，进而求得结果. 【详解】解：()1由二次函数的定义，0a ≠，则a 有16C 种取法；在剩下的6个数字中取两个作为b 和c ，有26P 种．所以共有二次函数1266180C P ⋅=（个）；()2要求对称轴是y 轴，则0b =，在余下的6个数字中取两个作为a 和c ，有2630P =条.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查分析能力，属于基础题.18．542【解析】 【分析】根据组合的实际应用和分类加法计数原理，分别计算m 与n 的值，从而得出结果． 【详解】解：根据题意，10个号码中任意抽出6个组成一组，可得610210m C ==， 6个号码中至少有5个与摇出的号码相同，有51664625C C C =⋅+种，∴25521042n m ==. 故答案为：542. 【点睛】本题考查组合的实际应用和组合数的运算，以及分类加法计数原理，考查分类思想和计算能力.19．302241-. 【解析】 【分析】由题意，取出的奇数必须是偶数个（包括不取奇数）,然后按照取出的数中奇数的个数分为9类分类计数，再相加即可得到答案. 【详解】由题意，取出的奇数必须是偶数个（包括不取奇数）．（1）奇数一个都不取，则偶数可取3,4,5,,15L 个，共有()0315161511545C C C C ⋅+++L 种取法； （2）奇数取2个，则偶数可取1,2,3,,15L 个，共有()2121516151515C C C C ⋅+++L 种取法；（3）奇数取4个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(401161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（4）奇数取6个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(601161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（5）奇数取8个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(801161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（6）奇数取10个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1001161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（7）奇数取12个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1201161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（8）奇数取14个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1401161515C C C ⋅++)2151515C C ++L 种取法；（9）奇数取16个，则偶数可取0,1,2,,15L 个，共有(1601216151515C C C C ⋅++++L )1515C 种取法．所以所求取法共有()()02416012151616161615151515C C C C C C C C ++++⋅++++L L (001615C C-⋅+)122015151615C C C C +-⋅=15153022(115105)1202241⋅-++-=-.【点睛】本题考查了分类计数原理，考查了二项式系数的性质，属于中档题. 20．证明见解析 【解析】 【分析】利用数学归纳法证明即可． 【详解】证明：当2n =时，原式为2222()a ab b a b -+=-， 显然能被2()a b -整除，假设当(2)n k k =…时1(1)k k k a kab k b --+-能被2()a b -整除， 设上式除以2()a b -所得的商为r ，则12(1)()k k k a kab k b r a b --+-=- 12(1)()k k k a kab k b r a b -∴=--+- 1212(1)()k k k a ka b k ab r a b a +-∴=--+-因而11(1)k k k a k ab kb ++-++2121(1)()(1)k k k k ka b k ab r a b a k ab kb ++=--+--++ 122()()k kb a b r a b a -=-+- 12()()k ra kb a b -=+-，∴当1n k =+时命题成立，∴当*n N ∈，且2n …时，1(1)--+-n n n a nab n b 能被2()a b -整除．【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明整除问题，考查了计算能力，属于中档题． 21．1- 【解析】 【分析】将所给多项式记为()f x ，利用()1f 和()1f -可求得结果. 【详解】记()()()20092009222008200820092009f x x x x x =+++--，令()401840201182f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，则()()2009200901240181401740170f a a a a =+-=+++⋅⋅⋅+=，()01240181112f a a a a -=+=-+-⋅⋅⋅+=，()()()135********a a a a f f ∴+++⋅⋅⋅+=--=-，13540171a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-，即奇次项的系数和为1-. 【点睛】本题考查多项式的展开式中奇次项的系数和的求解问题；求解各项系数和、奇次项和偶次项系数和的问题，通常采用赋值法来进行求解.。
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沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第五章排列组合与二
项式定理本章测试
一、单选题
(★★) 1. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）
A．12种B．24种C．36种D．48种
(★) 2. 在某次数学测验中，记座号为的同学的考试成绩为，若
且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能有（）．
A．15种B．20种C．30种D．35种
(★★) 3. 用0,1, 2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数的个数有
A．48个B．12个C．36个D．28个
(★★) 4. 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有（）
A．240种B．180种C．120种D．60种
(★) 5. 设，则（）．A．B．C．D．
(★★) 6. 等于（）．
A．B．C．D．
二、填空题
(★★) 7. 若，则 ________ ．
(★★★) 8. 有4个男生、3个女生，高矮互不相同，现将他们排成一行，要求从左到右女生从
矮到高排列，共有______种排法．
(★) 9. 在1到100这100个正整数中，取两个不同的数相乘，其积为7的倍数，这样的取法有_______种．
(★) 10. 一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有________个．
(★★) 11. 若把英文单词“ hello”的字母的顺序写错了，则可能出现的错误共有 _________ 种．(★★) 12. 如图，用6种不同颜色对图中 A， B， C， D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 ________
种．
(★★) 13. 从一个小组的若干人中选出4名代表的方法种数为 A，又从该小组 B中选出正、副
组长各一人的选法种数为 B，且，则此小组的人数为 __________ ．
(★)14. 若展开式中各项系数的和为128，则展开式中项的系数为_________．
(★★★) 15. 展开式的项数共有_________项．
(★★★) 16. 的展开式中，项的系数为________．(★★) 17. 某商场开展促销抽奖活动，摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的
每位顾客从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客
抽出的6个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖．一位顾客可能抽出
的不同号码组共有组，其中可以中奖的号码共有组，求的值．
三、解答题
(★★) 18. 从，，，，这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数
的系数，，，求：
可组成多少个不同的二次函数？
其中对称轴是轴的抛物线有多少条？
(★★★) 19. 从中任取三个或三个以上的数，使其和为偶数的取法共有多少种？
(★★★) 20. 求证：当，且时，能被整除．
(★★★) 21. 求多项式展开式中 x奇次项系数的和．。