基于QR分解的低复杂度RLS算法研究
自适应滤波的几种算法的仿真
3、抽头权向量的自适应。
图 2.1 LMS 算法的一般过程 2.1.2 LMS 算法特性
0<µ <
LMS 的均值收敛条件为
2
λmax 。
注意这是在小步长下推导出来的结果（要求
µ < 1 / λmax ） E[vk (n)] → 0 ，当 。此时，
ˆ (n)] → w o n → ∞ ，对所有 k 用 ε 0 (n) 代替 ε(n) ，可得等效地 E[w ，当 n → ∞ 。但是，渐
五、计算复杂度。即考虑一次迭代所需要的计算量、需要的存储器资源； 六、结构。信息流结构及硬件实现方式，是否高度模块化，适合并行计算。
1.4 线性自适应滤波算法
线性自适应滤波算法基于以下两种算法， 而两种算法的思路均为最接近目标平面的极值 点为最终目的。 一 、 随 机 梯 度 算 法 。 例 如 LMS, NLMS, 仿 射 投 影 滤 波 器 ， DCT-LMS ， GAL (gradient-adaptive lattice algorithm)，块 LMS，子带 LMS 等。其思路是通过迭代和梯度估值 逼近维纳滤波，其性能准则是集平均的均方误差。在平稳环境中，通过搜索误差性能表面迭 代地达到性能测量的最优值（最速下降法） ；在非平稳环境中，通过误差性能表面的原点随 时间发生变化，跟踪误差性能表面的底部，输入数据的变化速率须小于算法的学习速率。它 的主要缺点在于收敛速度慢，对输入数据自相关阵的条件数变化敏感。 二、最小二乘算法。例如标准 RLS，平方根 RLS，快速 RLS 等。其思路是基于最小二 乘的算法通过使误差平方的加权和最小求最优权值，其性能准则是时间平均的均方误差。 RLS 算法可以被看作是 Kalman 滤波的一种特殊形式。各算法特点如下： 标准 RLS 算法：基于矩阵求逆引理，缺乏数值鲁棒性、计算量大 O（ M ）；
复矩阵的Givens变换及其QR分解
复矩阵的Givens变换及其QR分解杜鹃;冯思臣【摘要】实矩阵有成熟的三角分解算法,复矩阵尚无好的三角分解算法.为解决复矩阵的三角分解与QR分解问题,采用科学类比,重新拓展定义,演绎计算的方法,给出复Givens矩阵的定义,推导出了复Givens矩阵是酉矩阵,得到了用有限个复Givens 变换将一个n维复向量旋转到任何一个给定方向的方法,证明了任何一个非奇异复矩阵能够通过有限次复Givens变换,分解为一个酉矩阵与一个复非奇异上三解矩阵的乘积,利用复Givens变换解决了复矩阵的QR分解问题.%There is a mature algorithm of the triangle factorization of the real matrix, but there is not a good one of that of the complex matrix. To solve the problem on the triangle factorization of the complex matrix, This paper uses the scientific analogy, redefinition, extending the definition, and deduction to solve this problem. It gives a definition for the complex Givens matrix. It also deduces that the complex Givens matrix is a Unitary matrix. It gets the algorithm of rotating a complex vector to any fixed direction by finite complex Givens transformations. It proves that any nonsingular complex matrix can be factorized in a product between a Unitary matrix and a complex nonsingular upper triangular matrix by finite complex Givens transformations. It solves the QR factorization of the complex matrix by the complex Givens transformations.【期刊名称】《成都理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(038)006【总页数】4页(P693-696)【关键词】复Givens变换;Givens矩阵;QR分解【作者】杜鹃;冯思臣【作者单位】成都理工大学管理科学学院,成都610059;成都理工大学管理科学学院,成都610059【正文语种】中文【中图分类】O151.211 预备知识随着现代化科学技术的迅速发展，矩阵的分解在控制理论、信息论、系统识别和信息处理、优化理论、最小二乘问题中都是十分重要的工具。
MIMO—OFDM系统中的基于等对角QR分解的联合收发机的性能研究
中图分类 号 ： ＴＮ９ ５ ９ ２． ３
速率 ， 二是通 过分集 实 现很强 的可靠 性 。 ＭＩ ＭＯ－ Ｄ 系统 接 收 端 信 号 检测 算 法 是 目 ＯＦ Ｍ
道容量， 明在高 Ｓ 证 ＮＲ 下 ， 方 案 在 信 道 容Ｅ
１ 系统 模 型
ＭＩ ）０ Ｄ 系统有 多个 发 送 天线 和 多个 接 Ｍ（－ Ｆ Ｍ 收天线 。在 发送 端 和 接 收端 各设 置 多重 天线 ， 以 可 提供 空间 分集效 应 ， 服 电波 衰 落 的不 良影响 。输 克 入 的 比特 流经 串并 变 换 分 为 多个 分支 ， 每个 分 支 都 进行 ＯＦ ＤＭ 处 理 ， 即经过 编码 、 交织 、 正交 幅度调 制
步 、 ＭＯ检 测等 技术 ， ＭＩ 来完 全恢 复原来 的 比特流 。 为 了简 化数 学 推导 ， 定 系 统 的保 护 间 隔 长 度 假
维普资讯
第 １ ８卷 第 ４期 ２０ ０ ６年 ８月
重 庆 邮 电学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｏ ｇ ｉｇＵｎ ｖｒｉ ｆＰ ｓｓａ ｄＴｅｅｏ ｏ ｒ ａ ｎ ｑ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｏｔ ｎ ｌｃ ｍｍｕ ｉａｉｎ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ Ｃｈ ｙ ｎｃ ｔ ｓ Ｎａｕａ ｉｎ ｅ ｏ Ｓ
选择 性 多径衰 落信 道在 频 域 内转 换 为平 坦 信 道 ， 减 小 了多径 衰落 的影 响 ； Ｍ０ 技 术能 够 在 空 间 中产 ＭＩ 生 独立 的并行 信道 ， 实现 同时传 输 多路数 据流 ， 有效 地 提 高系统 的传输 速率 。将 ＯＦ ＤＭ 和 ＭＩ ＭＯ 两种 技 术相 结合 ， 能达 到 ２种效果 ： 一是 实现很 高 的传输
实Schur分解
实Schur分解前⾯已经说过LU，Cholesky和QR分解，这次介绍的是实Schur分解。
对这个分解的定义是任意⼀个矩阵A，可有如下形式的分解：U*A*U’ = B;其中B是拟上三⾓矩阵，拟上三⾓矩阵的定义是在矩阵的对⾓线上存在2x2⼤⼩的矩阵，⽽且矩阵U是正交矩阵，因为矩阵A的特征值和B的特征值相同。
⽽且A的特征值出现在B的对⾓线上。
计算特征值分解和SVD都依靠这个算法做最基本的处理，然后根据不同的任务有不同的处理。
计算schur分解的⽅法是是QR算法，这个算法的原理相当的简单，可以⽤如下的伪代码表⽰：for i = 1 …A(i-1)= QRA(i) = R*Qend这段代码所做的变化类似于A(i) = R*Q = (Q’)*Q*R*Q = (Q’)*A(i-1)*Q;因此这段代码的基本思想就是使⽤正交矩阵Q不停的对矩阵A做相似变化。
在这样的变化中将矩阵A的下半三⾓矩阵中的数全部消去。
但是在实际中使⽤这样的算法是不现实的，因为每⼀次QR分解都需要⼤量的计算，同时完全的矩阵相乘R*Q也需要⼤量的计算。
对这种⽅法的改进是⾸先将矩阵A化为Hessenberg型，然后对Hessenbert计算QR分解，对应的code如下:function [H, U] = zhess(A)%for any matrix A, turn it into a upper hessenberg matrix by orthogonal%transformation[m, n] = size(A);if m ~= nerror('support square matrix only')endH = A;U = eye(n);for k=1:n-2%compute the householder matrix[v, beta] = zhouse(H(k+1:end, k));temp_U = eye(n);temp_U(k+1:n,k+1:n) = eye(n-k) - beta*v*(v');H = temp_U*H;U = U * temp_U;%fprintf('after %d iteration\n', k);%disp(H);end这段代码将矩阵A转换成上hessenberg矩阵。
RLS
4 递归最小二乘自适应算法及仿真4.1 引言最小二乘(RLS)法是一种典型的有效的数据处理方法。
由著名学者高斯在1795年提出，他认为，根据所获得的观测数据来推断未知参数时，未知参数最可能的值是这样一个数据，即它使各项实际观测值和计算值之间的差的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小。
这就是著名的最小二乘法。
前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。
自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。
这个准则根据输入数据的长期统计特性寻求最佳滤波。
然而，我们通常己知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特性进行估计或近似。
LMS 算法、格形梯度算法都是这样。
而最小二乘算法就是能直接根据一组数据寻求最佳解。
换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。
对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器;而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器。
因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。
递推最小二乘法(R 璐)是最小二乘法的一类快速算法。
4.2 递推最小二乘（RLS ）算法递推最小二乘(RLS)算法是一种在自适应迭代的每一步都要求最优的迭代算法，滤波器输出信号法，滤波器输出信号()y n 等于输入信号()x n 与冲激响应序列()i w n 的卷积和，即()()()11Mk k y n w n x n k ==*-+∑ K 1,2,...,n N = (4.1)误差信号()()()e n d n y n =-。
由此可以得到自适应横向滤波器按最小均方准则设 计的代价函数()()()()2211N N i i J n e n d i y i ====-⎡⎤⎣⎦∑∑ （4.2） 式中()d i 与()y i 分别为自适应滤波器的期望相应于输出信号。
()e i 为误差信号。
最小平方QR分解法(LSQR)详细
（ －０ ７３ ）
ｌ ｖ丁 一
１６ １
（－ ） ７ ３１
并 ， ， Ｂ＞ ， ＝ ｝Ｉ 则 据（１ 式 以 算 Ｐ、 、 和 且 Ｐ＞ ， ０ １１１ 一， 根 ２９ 可 计 出 Ｂ Ｐ ０ ， Ｐ １ ，， －）
ｖ （ ＝１ ，．． ｉ ， ．） ２．
Ｐ＝ Ｉ ｋ ［ ２二 Ｐ Ｐ
八
Ｖ
（ －２） ７３
Ｖ＝ ｉ ｋｗ ｖ ２…
０
２
１ 户
（ －３ ７３ ）
０
２
０ ０ ｝ 氏 八
（ － ４） ７３
Ｐ
Ｂ ０ ，
Ｐ ｉ ｋ －
０
易 ， ｋｋ ＇ ｌ 知 ＰＰ－ ｋｋ ｏ ＇ ＶＶ－
上边的 （－０ ７３ ）式可改写为：
ｍ ｌｅ Ｂ ｋ ｉ ｌ＿ ｋ ｎ ｌ ｌ ｇ ， ｙ
（ －５ ７４ ）
因 ｋ 双对 为Ｂ 是 角阵， 此 （４） 通 Ｒ 解Ｙ 是 因 ７５ 式 过Ｑ 方法 ＊ 很容易 但是， 果对 － 的。 如 ｔ个 ｋ 求 （４） 然 由 （４） 都要 解 ７４， 后再 ７５ 产生ｘ的 在计 ｋ时就 充分 用ｘ已 － － ＊ 话， 算ｘ ｄ 不能 利 ＊ 经 的 息， 必 得到 信 这势 带来一 的 。 否 用ｘ已 息来 定 浪费 能 利 ＊ 有信 计算ｘ １ 这是「 将 ｋ呢？ ＋ 面
０
ＰＶ ｋｋ
０
ｐｐ＋ Ｐｔ ｉ Ｂ， ， －
０ Ｐｋ ｋ Ｂ ｋ 二 Ｐ ＋ｋ － ｐＩ
（ －９ ７２ ）
（－８ ７ ）式ｆ （－ ）式，有： ２ １ ７９ １ ２
Ａ ， ＩＩ ｖ ＝Ｐ Ｐ
只ｌ 矛Ｐ一 十，＝ ， Ｐ从 ｖｉ ．
Ｐ＋ ， ＝ ｖ， Ｂ １ ，Ｐ ｌ Ａ 一 ， Ｉ ＋ ． ｐ 令 （ ３） ７ ０ 式中的ｖ为： － ．
V-BLAST检测算法的研究及性能分析
其中，分子上的被减数是各层的干扰， xi 为消除其他层干扰以后的信号分量。
( ) xˆi = Q xi
i = 1, 2, , nT
（式 17）
上式表示对所得到的信号分量根据星座图进行硬判决解调。
由（式 14）可见， Rii 较小，这个求解信号的过程放大了系统中的噪声，所以 QR 分解
算法性能并不是很好。
表达式还可以写成如下的方程组形式：
nT
∑ r1i = Rij x j + n1i , i = 1, 2, , nT j=i
（式 15）
因为 R 为上三角矩阵，可以采用迭代方法从下到上逐次解出各个发送信号分量：
nT
∑ r1i − Rij xˆ j
xi =
j =i+1
Rii
i = 1, 2, , nT
（式 16）
又因为
（式 19）
( ) ( ) ( ) r = Hx + n, E xxH = InT E nnH = σ 2InT , E xnH = 0
将（式 19）代入（式 18）可以得到：
（式 20）
( ) W H =
H
H
H
+σ
I2 nT
−1 H H
（式 21）
将 MMSE 算法的思想以及干扰抵消的思想融合，同样可以设计出相应的排序和非排序
1. 引 言
当前无线通信业务量的飞速增长提出了对通信速率的更高的要求,在几种复用技术，如 频分复用、时分复用和码分复用都已经广泛实用化的形势下，能提供更大信道容量和频谱利 用率的编码、调制和信号处理的新技术成为了目前无线通信研究的热点。
分层空时码（LST：Layered Space-Time code）是由Bell实验室的Foschini提出的最早的 空时编码模型，由于其在提高频带利用率方面的巨大潜力而受到广泛关注。分层空时码最大 的优点在于：它允许采用一维的处理方法对多维空间信号进行处理，因此极大的降低了译码 复杂度。一般地，分层空时码的接收机复杂度与数据速率成线性关系。因此它作为在MIMO 系统中实现高速无线分组业务的一种解决方案，显示出良好的应用前景。
矩阵奇异值分解的计算方法
矩阵奇异值分解的计算方法矩阵奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于信号处理、压缩、图像处理、数据降维等领域。
本文主要介绍矩阵奇异值分解的计算方法。
一、矩阵奇异值分解的基本概念与定义矩阵是实数或复数元素排成矩形的数表，是线性代数的基础概念之一。
矩阵奇异值分解是将一个任意形状的矩阵分解成三个矩阵乘积的形式，即A=UΣV^T其中，A是一个m×n的矩阵，U是一个m×r的矩阵，V是一个n×r的矩阵，Σ是一个r×r的对角矩阵，其中r=min(m,n)。
在矩阵奇异值分解中，U和V都是酉矩阵，即满足U^TU=I和V^TV=I的矩阵，Σ是非负实数矩阵，对角线上的元素称为矩阵A 的奇异值，按降序排列。
若A是实矩阵，则U和V的列向量都是正交基，若A是复矩阵，则U和V的列向量都是规范正交基。
二、矩阵奇异值分解的计算方法1.传统方法传统的矩阵奇异值分解方法包括Jacobi和Golub-Kahan方法。
Jacobi方法是一种迭代方法，用于将对称矩阵对角化，时间复杂度为O(n^3)，在大规模矩阵分解上效率较低。
Golub-Kahan方法是一种求解一般矩阵奇异值分解的有效算法，它使用基于QR分解的方法来计算矩阵的奇异值分解，时间复杂度为O(mn^2)，但由于需要计算矩阵的QR分解，因此效率仍然不高。
2.基于迭代的方法基于迭代的矩阵奇异值分解方法主要包括基于幂迭代的方法和基于分解的方法。
(1) 基于幂迭代的方法幂迭代是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法，可以使用幂迭代求解矩阵的奇异值分解。
幂迭代可以计算出矩阵的最大奇异值及其对应的左右奇异向量，但不适用于计算非最大奇异值。
为解决这个问题，可以使用反迭代求解非最大奇异值，时间复杂度为O(mnr)，其中r为矩阵的秩。
(2) 基于分解的方法基于分解的矩阵奇异值分解方法主要包括Lanczos算法、Arnoldi算法和Krylov子空间方法等。
一种用于MIMO检测中的QR快速分解算法
ｍ ｄ ｌｓ ｆ ｔｅｐｏ ｏｅ ｓ Ｑ ｅｏ ｐ ｓｉ ｇｒｈ ａ ｒｖ ｅｅｔ ｎｐｒ ｒ ａ ｃ ｅａｓ ｆｔ ｏｔ ｌ ｅｅｔ ｎｏｄｒ ｏｕｕ ｈ ｒｐｓｄｆ ｔ Ｒ ｄｃｍ ｏｉｏ ａ ｏ ｔｍ ｃｎｉ ｏｅｄｔｃｏ ｅｆ ｍ ｎ ｅｂｃｕｅｏ ｉ ｐｉ ｔｃｏ ｒｅ． ｏ Ｒ， ａ ｔｎｌ ｉ ｍｐ ｉ ｏ ｓ ｍａ ｄ ｉ
ｄ ｔ ｃｉｎ ｆｏ ｔ ｅｕ ｐ ｒｔ ａ ｇ ｌｒｍａｒｘ ｅｅ ｔ ｒ ｍ ｐ ｅ ｒ ｎ ｕ ａ ｔ ：Ｒ，ａ ｄ ａｒ ｎ ｅ ｅ ｃ ｌｍｎ ｆ ａ ｃ ｒ ｉ ｇ ｔ ｅ ｏ ｔ ｌ ｅｅ ｔ ｎ ｏ ｄ ｒ ｈ ｎ， ｈ ｅ ｅｖ ｏ ｈ ｉ ｉ ｎ ｒａ ｇ ｓｔ ｏ ｕ ｓｏ ｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｐ ｉ ｔｃｉ ｒ ｅ ；ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｃ ｉ— ｈ Ｒ ｏｈ ｍａ ｄ ｏ
和 ６ ６时 ，在误码率 １ 处 可节约信噪 比分别 为 ：１Ｂ和 ２ Ｂ；与现有 的基 于信 干噪比排 序的 Ｑ ｘ ０ ｄ ｄ Ｒ分解 算法相 比 ，本算法与
其 性 能 一 致 的基 础 上 可 节 约 ２ ％ 的 复 乘 法 次 数 和 ３ ％ 的 复 加 法 次 数 。 ５ ３
关键词 ：非线性检测 ； Ｒ；最优检测顺序 Ｑ
Ｋ ｙｗｏｄ ： ｎｎｌ ｅ ｅ ｃ ｏ ； Ｒ；ｏｔ ａ ｄｔ ｔ ｎｏｄｒ ｅ ｒｓ ｏ—ｎ ａ ｄｔ ｔ ｎ Ｑ ｉｒ ｅｉ ｐｉ ｌ ｅ ｃｉ ｒｅ ｍ ｅ ｏ
１ 引 言
ＭＭ Ｉ Ｏ技 术 ， 由于其可 以成倍 地提高 系统 容量 ， 因 而成为未来通信系统 中的关键技术 之一 。对 于基 于复 用传输 的 Ｍ Ｍ Ｉ Ｏ方案 ， 主要研 究点 之一 就是 如何 在 其
收稿 Ｈ期 ：２ １ ０ １年 ５月 ２ ５１ ３；修 回 日期 ：２ １ ７月 ２ ０ １年 ２日 基金项 目：国家重大科技 专项 资助项 目（０ ９ Ｘ ３ ０ ．０ ．２ ：面向重点 行业应用 的宽带无 线多媒 体接人 系统 开发与示 范 ２ ０ Ｚ ００ ５ ０ ３ ０ ）
基于QR分解的正则化邻域保持嵌入算法
基于QR分解的正则化邻域保持嵌入算法翟冬灵;王正群;徐春林【摘要】针对训练样本不足时,对数据的低维子空间估计可能会产生严重偏差的问题,提出了一种基于QR分解的正则化邻域保持嵌入算法.首先,该算法定义一个局部拉普拉斯矩阵保留原始数据的局部结构;其次,将类内散度矩阵的特征谱空间划分成三个子空间,通过倒数谱模型定义的权值函数获得新的特征向量空间,进而对高维数据进行预处理;最后,定义一个邻域保持邻接矩阵,利用QR分解获得的投影矩阵和最近邻分类器进行人脸分类.与正则化广义局部保持投影(RGDLPP)算法相比,所提算法在ORL、Yale、FERET和PIE库上识别率分别提高了2个百分点、1.5个百分点、1.5个百分点和2个百分点.实验结果表明,所提算法易于实现,在小样本(SSS)下有较高的识别率.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2016(036)006【总页数】6页(P1624-1629)【关键词】图嵌入;正则化;局部拉普拉斯矩阵;邻域保持嵌入;OR分解【作者】翟冬灵;王正群;徐春林【作者单位】扬州大学信息工程学院,江苏扬州 225127;扬州大学信息工程学院,江苏扬州 225127;北方激光科技集团有限公司,江苏扬州 225009【正文语种】中文【中图分类】TP391.4人脸识别技术是人机交互和视频监控的研究热点之一。
经过近几十年的研究，许多国内外学者提出了各类子空间分析法(Subspace Analysis Method, SAM)[1]在模式识别领域中取得了较多的成就。
然而，如何设计一个合理可靠的降维技术仍是一个开放性问题。
当人脸图像位于一个高维空间时，直接对人脸图像处理往往会遇到维数灾难问题[2]，计算的复杂度较高。
而且，一个高维的数据往往含有大量的冗余信息和噪声，这些都不利于分类。
因此，基于图嵌入的降维技术是提高算法泛化能力的有效途径之一，是一个重要的研究课题。
降维的目的是在提取有效特征的同时减少鉴别信息的丢失。