九年级数学-圆周角和圆心角-华师大ppt
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
28.1.10圆的认识 课件 华师大版数学九年级下册
8.如图，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC 的大小？ A C
O
B
D
9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6,以AB为直 径的半圆交BC于D，交AC于E，若∠DAC＝ 30°，则∠BAC＝＿＿＿，BD＝＿＿＿。
A
O
E
B
D
C
10.已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC 交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交 BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？ 为什么？
本课内容：
圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
思考：
如何判断一个角是不是圆周角 ?
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做 圆周角 。 练习:指出下图中的圆周角。
A
C
O D
E
×
（1）
O
O
√
×
（3）
O
×
O
（2）
（）
（3）圆心在∠BAC的外部。
A
证明:作直径AD。 O 1 ∵∠DAB= ∠DOB 2 C D 1 ∠DAC= ∠DOC B 2 1 ∴ ∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB） 2 1 即: ∠BAC= ∠BOC 2
综上所述，我们可以得到：
圆周角定理: 在同圆 或等圆 中，同弧 或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。
E C
O
A
B
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 时，船位于哪个区域？为什么？
P E C
圆心角与圆周角的关系圆周角定理PPT教学课件
❖ 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
❖ 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
∴ ∠ABC = ∠1 AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所
有另一个交点,像这样 的角,叫做圆周角.
想一想
圆周角
驶向胜利 的彼岸
❖ 当球员在B,D,E处射门时,
他所处的位置对球门AC
分别形成三个张角∠ABC,
∠ADC,∠AEC.这三个角
A
C
的大小有什么关系?.
A
E
E ●O
B
D
B
D
C
圆周角 顶点在圆上, 它的两边分别 与圆还
有另一个交点,像这样
的角,叫做圆周角.
制 乙烯
如何验证乙烯中混有SO2、CO2？
品红 溶液
酸性 品红 澄清 高锰 溶液 石灰水 酸钾
小结：在确定气体发生装置和收集装置是时应
常 考虑的因素 见
反应物的状态 固体+固体
气 体
气体发生装置
的
固体+液体 反应条件 ：是否需要加热等
制
取
与
气体密度比空气
净 化
排空气法 大——向上排气法
气体收集装置
鉴定所用试剂
C2H2 C2H4
通过装有酸性 KMnO4溶液 (或Br2水)的洗 气瓶洗气
通入装有酸性 KMnO4溶液(或 Br2水、或Br2的 四氯化碳溶液)， 是否褪色
2017春华师大九年级下27.圆周角课件
3、 如图，在直径为AB的半圆 中，O为圆心，C、D为半圆上 的两点，∠COD=500，则 ∠CAD=___2_5__º___
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。 √
二、计算
1、半径为R的圆中，有一弦分圆 周成1：4两部分，则弦所对的圆 周角的度数是 36º或14。4°
① 角的顶点在圆上.
A
.
O
B
C
② 角的两边都与圆相交.
练习：
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理
由。
不
不
是
是
是
图３
图１
图２
不
不
是
是
图４
图５
2、指出图中的圆周角。
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
O
A
C
B
思考：
• 问题：画一个圆，以A、C为弧的端点 能画多少个圆周角？它们有什么关系？
5、如图，在⊙O中，B⌒C=2D⌒E， ∠ BOC=84°，求 ∠A的度数。
解:连接CD ∵∠BOC=84º∴∠BAD= ∠BOC=42º ∵B⌒C=2D⌒E∴D⌒E为42º的弧 ∴∠DCE=42º× =21º ∴∠A=∠BDC-∠DCE=42º-21º=21º
拓展 化心动为行动
• 1.如图,在⊙O中,∠BAD =50°,求∠C的大小.
证明：∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
∠AOB=2∠BOC
O
∠ACB=2∠BAC A
C
规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问B题,
华师大版数学九年级下第7讲 圆心角,圆周角定理
OABCCA EFDO B第7讲 圆心角，圆周角定理知识要点梳理：一、圆心角的定义：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(∠AOB 是弧AB 所对的圆心角)二、圆心角定理及推论：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、圆周角的定义：如图所示，∠ACB 的顶点在圆周上，像这样的角叫做圆周角(∠ACB 是弧AB 所对的圆周角)． 四、圆周角的定理及推论：(1)定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半． (2)推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆的内接四边形对角互补，对角互补的四边形是圆的内接四边形 经典例题：例1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠DCB=30°，则∠ACD= °， ∠ABD= °例2、如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB=2∠BOC ．求证：∠ACB=2∠BAC例3、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
求证：∠D=∠BODC BA例4.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，求BD 的长．例5.如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作AC DE ⊥,交AC 于点E ．连接OD 、OE （1）求证：DE ⊥OD ；（2）若AB=3DE ，且48=∆ABC S ,求OE 的长。
经典练习：一．选择题1．如图1，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）．A ．140°B ．110°C ．120°D ．130°OBA C2143OB ACD(1) (2) (3) 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ） A ．∠4<∠1<∠2<∠3 B ．∠4<∠1=∠3<∠2C ．∠4<∠1<∠3<∠2D ．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB ⊥AD ，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC 等于（ ）．A ．3B ．3C ．5-123 D ．54．如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA=CD ，且∠ACD=40°，则∠CAB=（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.28．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2 B．8 C ． D．29．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二．填空题1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2．如图4，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于．4．如图5，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•O BAE DOBC21EDOB C(4) (5) (6)5．如图6，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．OBA CD6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC=50°，则∠BDC 的大小是 ．8．如图，一块直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD 的度数为 ．9．如图，点O 为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D 在BA 的延长线上，AD=AC ，则∠D= ．10．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为 ．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F= ． 三．解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？O BA CP30°B ANOMP OBA C y xM2．如图，已知AB=AC ，∠APC=60°（1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若BC=4cm ，求⊙O 的面积．3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．4．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．能力拓展1.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上， ∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.222．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．6．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC•AF=DF•FE．7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．课后巩固：1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°AODBC2.如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=__________度。
华师大版《圆周角》课件
回顾
1.什么叫做圆心角？ 1.什么叫做圆心角？圆心角的顶点和两边分 什么叫做圆心角 别是什么？在同圆或等圆中， 别是什么？在同圆或等圆中，圆心角与它所 对的弧有什么关系？ 对的弧有什么关系？ 圆心 相交 顶点在____，角的两边与圆____，这样的角 顶点在____，角的两边与圆____， ____ ____ 圆心 叫做圆心角。圆心角的顶点是圆的____，两 叫做圆心角。圆心角的顶点是圆的____， ____ 边是圆的____ 在同圆或等圆中， ____。 边是圆的半径 。在同圆或等圆中，如果两个 ____ 圆心角相等，那么它们所对的两条弧______ ______； 圆心角相等，那么它们所对的两条弧______； 也相等 弧的度数与它所对的圆心角的度数____ ____。 弧的度数与它所对的圆心角的度数____。 相等
●
D
C
课堂小结
1.圆周角定理及其逆定理：在同圆或等圆中， 1.圆周角定理及其逆定理：在同圆或等圆中，同 圆周角定理及其逆定理 相等 弧或等弧所对的圆周角____ ____， 弧或等弧所对的圆周角____，都等于它所对的圆 一半____； 相等 ____。 心角的____ 相等的圆周角所对的弧____ 心角的____；相等的圆周角所对的弧____。 2.圆周角定理的推论及其逆定理： 2.圆周角定理的推论及其逆定理：半圆或直径所 圆周角定理的推论及其逆定理 直径 直角 ° 对的圆周角是____ 90° ____；____的圆周角所对的弦是 对的圆周角是____；____的圆周角所对的弦是 ____。 ____。 3.圆周角定理及其推论给我们一种启示： 3.圆周角定理及其推论给我们一种启示：在解决 圆周角定理及其推论给我们一种启示 和圆有关的问题时，常常作辅助线构造同弧所对 和圆有关的问题时，常常作辅助线构造同弧所对 的圆周角；若条件中出现了直径，常常构造直径 的圆周角；若条件中出现了直径，常常构造直径 所对的圆周角，以产生特殊三角形—直角三角形 直角三角形。 所对的圆周角，以产生特殊三角形 直角三角形。
圆周角和圆心角的关系.ppt
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
闻喜县实验中学 景运晖
学习目标
1、 认识圆周角；
2、 探究并证明圆周角和圆心角的关系； 3、会用圆周角和圆心角的关系进行简单的推理和计算。
一、知识回顾 圆心角 O A B 顶点在________的角叫做圆心角,如图中∠AOB。
二、认识圆周角
A
1、定义
A O O B C A B C
。
第 1题
第2题
第3题
圆周角与圆心角的大小关系
O
一条弧对1个圆心角，对无数个圆周角 从圆心与圆周角的位置关系来看，我们可以将这无数个圆心角分成三类：圆 心在圆周角的边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部。
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节二：猜测、度量
B
.
●
A .
O
在上图中，你能等到弧AB所对圆周角的度数等于它所对弧上圆周角度数的一半吗？
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节三：推理证明
A C A C A C
O B
O
O
B
B
① ②
③
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节三：推理证明
A
C
所用知识：①外角等于不相邻的 两个内角之和；②圆的半径相等
O B
∠B=
1 2
∠AOC
三、探究圆周角与圆心角的关系 环节三：推理证明
A
D
C
O
连接BO并延长作直径，将问题
A
O
O B
D
B
C 第4题
C
第1、2、3题图
课堂小结
1、圆周角定义
2、一条弧上，已知圆心角的度数可求圆周角的度数，已知 圆周角的度数可求圆心角的度数。 3、数学思想：分类讨论，转化、归纳
圆心角-课件ppt
O
C B
8.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,
D是CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C
E
D
A O
B
圆内接四边形：
（顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形）
1.如图,在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
2.若∠BAD=80°,求∠C的大小.
A
3.若∠BCD=120°,求∠A的大小.
思考：如何证明？
已知EA=3,EB=6,EC=8,则ED=___
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定
是否会遇到暗礁,如图,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过
A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点,
∠ACB就是”危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于”
危险角”时,就有可能触礁.
(1)当船与两个灯塔的夹角∠a 等于“危险角”时,船位于哪 个区域?为什么?
C
C
●O
B
●O
B
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
.
即：∠ABC = 1 ∠AOC
2
四、巩固训练：
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大
小.
解: ∠A= 1∠BOC=25°.
2
B C
●O A
2.练习:在下列各图中， ∠α１＝ 150°，∠α２＝ 60°，
C
７５º α１
A D
E
.O
C
B
5.(1)如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E，则△ACE 与△ DBE有什么关系？并说明理由。
A D
E
.O
C
B
5.(2) 线段EA、EB、EC、ED有什么关系？并说明理 由。
圆周角和圆心角、弧的关系PPT课件
感悟新知
OA OC BOC
A A
C C
A
1 2
BOC .
知2－练
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
感悟新知
归纳
知2－讲
已知∠BAC＝50°，故根据三角形内
角和定理，可求出∠ABC的度数，再
根据“同弧所对的圆周角相等”，可得结果．
∵ AB AC ，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝
1 2
×(180°－50°)
＝65°.∴∠AEC＝∠ABC＝65°，故选A.
感悟新知
总结
知3－讲
在一个圆中求一个圆周角的度数，可以从三个
C
O
A
B
顶点在圆上，并且两 边都和圆相交的角叫 圆周角．如：∠ACB．
感悟新知
例 1 如图所示，∠BAC 是圆周角的是( A )
知1－练
导引：顶点A必须在圆上，故排除D；AB , AC 必须分 别与圆相交，B，C都不符合，故排除B，C.
感悟新知
归纳
知1－讲
解答本例运用了定义法和排除法．要判断一个角是不是 圆周角，必须抓住圆周角定义中的两个特征：①角的顶 点在圆上，②角的两边都与圆相交，①与②缺一不可.
成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上 的圆周角和劣弧上的圆周角.
感悟新知
例 3 [中考·黔西南州]如图，在⊙O中，AB AC， 知3－练 ∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为( A ) A．65° B．75° C．50° D．55°
华师版九年级数学下册第27章圆PPT教学课件1
A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35，
B
75 .
⌒ ⌒ 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ， ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， · O C A
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．