圆周角定理(公开课)
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《圆周角》公开课教学PPT课件
24.1.4 圆 周 角
A O
C B
A
O
C B
A O
B
C
教学目标
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理以及 推论，并应用它们进行证明和计算 2.通过圆周角定理的证明使学生理解分类讨 论以及转化的数学思想
教学重难点
教学重点：圆周角的概念及圆周角定理和
推论
教学难点：分类讨论证明圆周角定理
B
小 强
D
情境引入
圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，
这个圆叫做这个多边形的外接圆
A
D
思考:
.O
圆内接四边形的四
个角有什么关系？ B
C
探究四 圆内接四边形的对角互补
证明：连接OB,OD
1
∵A= 2 1
C=
1 2
2
A
且1+2=360 °
∴A+C=180 ° 同理：B+D=180 °
1
C
应用新知
如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线 上一点，若B=110 °，求ADE的度数
A
B
.O
ED
C
反思小结 1.知识点 C
(1)圆周角的概念： (2)圆周角的性质：
A
O
B
C
AD
O
A
B
O
B
C
反思小结 2、数学思想方法
(1)分类思想
A
O·
B
C
A
O·
B
C D
A
O·
D BC
∠BAC_=__∠BDC
一样有利
探究三
思考：半圆（或直径）所对的圆周角有
什么特殊性？
A O
C B
A
O
C B
A O
B
C
教学目标
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理以及 推论，并应用它们进行证明和计算 2.通过圆周角定理的证明使学生理解分类讨 论以及转化的数学思想
教学重难点
教学重点：圆周角的概念及圆周角定理和
推论
教学难点：分类讨论证明圆周角定理
B
小 强
D
情境引入
圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，
这个圆叫做这个多边形的外接圆
A
D
思考:
.O
圆内接四边形的四
个角有什么关系？ B
C
探究四 圆内接四边形的对角互补
证明：连接OB,OD
1
∵A= 2 1
C=
1 2
2
A
且1+2=360 °
∴A+C=180 ° 同理：B+D=180 °
1
C
应用新知
如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线 上一点，若B=110 °，求ADE的度数
A
B
.O
ED
C
反思小结 1.知识点 C
(1)圆周角的概念： (2)圆周角的性质：
A
O
B
C
AD
O
A
B
O
B
C
反思小结 2、数学思想方法
(1)分类思想
A
O·
B
C
A
O·
B
C D
A
O·
D BC
∠BAC_=__∠BDC
一样有利
探究三
思考：半圆（或直径）所对的圆周角有
什么特殊性？
圆周角定理(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB旳
度数．
C
60°
A
E
O
B
50°
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O旳直径，A是⊙O上一点， AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为何？ （2）判断△FAB旳形状，并阐明理由．
( (
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O旳直径，D是⊙O上旳任
二、探究知识 证明猜测
我们来分析上页旳前两种情况，第三种情况请同学 们完毕证明．
（2）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它 所正确圆心角旳二分之一？
A
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠C．
O
又∵ ∠BOC=∠A+∠C，
∴ BAC 1 BOC． 2
B
C
二、探究知识 证明猜测
（3）如图，怎样证明一条弧所正确圆周角等于它
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页
§24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 旳顶点和边有哪些特点？
顶点在圆上，而且两边都和圆相交旳角 C
O
A
B
二、探究知识
请说说我们是怎样给圆心角下定义旳，试回答？
顶点在圆心旳角叫圆心角。
顶点在圆上，而且两边都和
圆相交旳角叫做圆周角．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样旳关系？ 并证明你旳结论？
ACB 1 AOB 2
C
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
《圆周角》课件优秀(完整版)1
课堂小结
类比
圆心角
圆周角
∠BOD＝120°，则∠BCD为_________. 例5 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C,使AC=AB，BD与CD有什么关系. 例3 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60º, ∠ADC=70º. 例2 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC. ∠BOD＝120°，则∠BCD为_________. （同一条弧所对的圆周角相等）
87
6
5
C
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线.
⌒ ⌒ 如图，四边形ABCD是☉O的
；
（2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？ 求证：(1)∠DAC＝∠DBA；
则∠A的度数为____
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC的一边上
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连接CE.
∠A+ ∠C=1800 同理 ∠B+ ∠D=1800
圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补.
练习 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延 长线上一点，若∠A=110º，则∠DCB=_____,
∠DCE=____.
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中， ∠BOD＝120°，则∠BCD为_________.
∠BAC为圆周角.
辨析 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
B
A
O·
C （1） √ A
O·
B
C
顶点不在圆上
圆周角定理课件(PPT 17页)
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
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O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠
圆周角定理 课件
要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
圆周角定理
1.圆周角定理
文字语言
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的_一__半___
图形语言
符号语言 作用
在⊙O 中，B︵C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝_12_∠__B_O_C__
确定பைடு நூலகம்中两个角的大小关系
2.圆心角定理
文字语言
圆心角的度数等于它_所__对_弧___ 的度数
规律方法 此题充分利用了“直径所对的圆 周角是直角”这一特征，并在此基础上对前 面所学知识进行适当的综合.
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和 弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程 中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供 了一种新方法.
2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半 径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度 数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来， 弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
要点一 圆周角定理及其推论 例 1 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3cm 的弦 AB，求此
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
圆周角公开课PPT
•
10.剪纸艺术传达着人们美好的情感， 美化着 人们的 生活， 而且能 够填补 创作者 精神上 的空缺 ，使沉 浸于艺 术中的 人们忘 掉一切 烦恼。 或许这 便是它 能在民 间顽强 地生长 ，延续 至今而 生命力 旺盛不 衰的原 因吧。
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17．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延 长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D
(2)设 BC＝x，则 AC＝x－2，在 Rt△ABC 中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2
＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴
∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋ 7
18．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任意一点(点P不与点A，B 重合)，连接PA，PB，PC，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M. (1)填空：∠APC＝_____6_0_度，∠BPC＝______6_0_度； (2)求证：△ACM≌△BCP； (3)若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．
圆周角初中数学原创课件
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．
(2)∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠A+∠M=180 0
∵∠BMO=120°,∴∠A=60 0
∴∠ABO=30 0 ,∴AB=2AO
∵AO=4，∴AB=8,⊙C的半径为4.
例题分析
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，
A
A
A
A
B
B
D
C
D
C
△ABC
E
E
C
B
F
四边形ABCD
B
D
C
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
情境导入
观察下列图形与圆的位置关系
多边形的顶点都在圆上
新知探究
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A
A
O
B
B
C
△ABC为⊙O的内接三角形；
24.1.4 圆周角
教学目标
知识技能：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解掌握圆周角定理及其推理.
3.能应用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情感目标:
1.通过圆周角定理的证明及推论的得到向学生渗透由“特殊到一般”，再
由“一般到特殊”的研究问题方法，体会分类讨论、化归的思想方法。变
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(3)求圆心C的坐标．
(3)∵过点C作CE⟂BO，
∴
∵AC=CB,
E
∟
∴BE=EO
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标．
(2)∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠A+∠M=180 0
∵∠BMO=120°,∴∠A=60 0
∴∠ABO=30 0 ,∴AB=2AO
∵AO=4，∴AB=8,⊙C的半径为4.
例题分析
如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，
A
A
A
A
B
B
D
C
D
C
△ABC
E
E
C
B
F
四边形ABCD
B
D
C
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
情境导入
观察下列图形与圆的位置关系
多边形的顶点都在圆上
新知探究
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
A
A
O
B
B
C
△ABC为⊙O的内接三角形；
24.1.4 圆周角
教学目标
知识技能：
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解掌握圆周角定理及其推理.
3.能应用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.
情感目标:
1.通过圆周角定理的证明及推论的得到向学生渗透由“特殊到一般”，再
由“一般到特殊”的研究问题方法，体会分类讨论、化归的思想方法。变
点A的坐标为(0,4)，M是⊙C上一点，∠BMO＝120°.
(3)求圆心C的坐标．
(3)∵过点C作CE⟂BO，
∴
∵AC=CB,
E
∟
∴BE=EO
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·
O
B
三、应用新知
例、如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． C 解：连接 OD，AD，BD， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB=ADB=90°． O A B 在 Rt△ABC 中， BC= AB 2 AC 2 = 102 62 =8（cm）
二、探究知识 探究2
思考： 一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧 所对的圆周角之间有什么关系？ 同弧或等弧所对的圆周角相等．
A D
O B
C
二、探究知识
定 理
C
D
A O
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
·
B
E
推
论
A
C2 C1 C3
半圆（或直径）所对的圆周角 是直角， 90°的圆周角所对的弦 是直径．
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
二、探究知识
图中∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？ 并证明你的结论？
C
1 ACB AOB 2
O
A
B
二、探究知识
（1）在圆上任取 BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
A O O B C B C B C A A O
分情况讨论的思想方法
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周 角的位置关系有几种情况？
二、探究知识
证明猜想
我们来分析上页的前两种情况，第三种情况请同学 们完成证明． （2）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？ A ∵ OA=OC， ∴ ∠A=∠C． 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， 1 ∴ BAC BOC． 2 O B
（2）判断△FAB的形状，并说明理由．
(
(
四、巩固新知
4．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任
意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使
DC＝BD，判断△ABC的形状：
A O
．
B
D
C
D
四、巩固新知
问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任 一点，你能确定∠BAC的度数吗? 问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90º，弦BC经
A O
过心O吗？为什么？ A B O 图1 C
B
●
C
图2
四、巩固新知
1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°， 则∠ABC＝________．
C A O B
人教版数学九年级上 讲课内容：课本85-88页 §24.1.4 圆周角(1)
一、问题情境
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 C
O A B
二、探究知识
请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？ 顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
C
二、探究知识
证明猜想
（3）如图，如何证明一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半？ 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． A ∵ OA=OB， ∴ ∠BAD=∠B． 又∵ ∠BOD=∠BAD+∠B， 1 O ∴ BAD BOD． 2 1 同理， CAD COD． B 2 C D 1 ∴ BAC BAD CAD BOC． 2
四、巩固新知
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于 点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的 度数． C
60°
A
E O
50°
B
D
四、巩固新知
3.已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，
AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？