10-4三重积分的计算

在式 (10.4.4) 中，如果被积函数仅为 z 函数 f ( z ) ，且每个 Dz 的面积易计 算．则采用先二后一法可很快可将三重积分化为下列定积分计算，
f ( z )dxdydz
d c
f ( z ) Dz的面积dz ．
还有另外两种情分 zdxdydz, ，其中 是由抛物面 z ( x 2 y 2 ) 与平 2 D

f ( x, y, z )dxdydz f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w))
Dz
上的二重积分．需注意的是，当 z 在 [c, d ] 上变化时，平面区域 Dz 也随之 变化，即 Dz 与 z 有关．
10
这就是三重积分的先二后一法．也还有其它两种形式，请思考．
如果将先二后一法中的二重积分再转化为二次积分，则三重积分同样 可以转化为三次积分计算．
三重积分的先二后一法适用类型：
V dxdydz dx dy y

1
1
2
6 x 2 y 2
0
0
dz
4
1 53 y 49 dx (6 x y )dy ( 2 x 2 )dx ． 0 0 0 6 4 6 2 2 2
9
㈢ 先二后一法
如果空间有界闭区域 介于平面 z c, z d (c d ) 之间， 且对每一 z [c, d ] ， 用过点 (0,0, z ) ， 且平行于 xOy 坐标面的平面截 得平面区域 Dz （见图 10-4-5） ，

z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ． 当 点 ( x, y) 在 Dxy 上 变 动 时 ， 积 分

z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz 是 Dxy 上 x, y 的二元函数．
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
面 z 4 所围成的空间区域．
解 的图形如图 10-4-6 所示，
注意到被积函数仅是 z 的函数，且用过点 (0,0, z ) ， 平行于 xOy 坐标面的平面截 ， 所得的平面区域 Dz 为闭 圆盘 x 2 y 2 2 z ，其面积为 2πz (0 z 4) ．
故采用先二后一法可得
Dxy z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]dxdy ．
z2 ( x y , )
上式记成
f ( x ,y z ,
) xdy d z d x yd d
Dxy
z1 ( x y , )
f x y z ( ,z ． , )d (1 0 . 4 . 1)
将曲面 分成下底、上顶和侧面三个部分，设下底和上顶的方程分别为
1 : z z1 ( x, y),
2 : z z2 ( x, y) ，其中 z1 ( x, y), z2 ( x, y) 均为 Dxy 上的连续
函数，且 z1 ( x, y) z2 ( x, y) ．
于是 可表示为
2
2
2
x
用“先二后一 ”

z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
14
10.4.2 三重积分的换元法
x x(u, v, w), 定理 10.4.1 设 f ( x, y, z ) 在空间有界闭区域 上连续， 变换 T : y y (u, v, w), z z (u, v, w)

是由三个坐标面与平面 x y z 1 所围成的闭区域．
解 注意到被积函数仅为 x 的函数，则用过点 ( x,0,0) ，平行于 yOz 坐标面的 平面截 ，所得的平面区域 Dx 为直角边长为 1 x 的等腰直角三角形（如图
1 10-4-7） ，其面积为 (1 x)2 (0 x 1) ， 2
{( x, y, z ) z1 ( x, y) z z2 ( x, y), ( x, y) Dxy } ．
2
{( x, y, z ) z1 ( x, y) z z2 ( x, y), ( x, y) Dxy }
先对任意固定的点 ( x, y) Dxy ， 在区间 [ z1 ( x, y), z2 ( x, y)] 上， 以 z 为积分变量， 计算定积分
㈡ 三次积分法
在式 (10.4.1) 中，如果 Dxy 为 x 型区域，即 Dxy 可表示为
y1 ( x) y y2 ( x), a x b ，
此时，
则有
{( x, y, z) z1 ( x, y) z z2 ( x, y), y1 ( x) y y2 ( x), a x b} ，
所以
{ (x y , z, ) 1 yz 2 y x , y ( , Dxy) ．
}
由式 (10.4.1) ，
zdxdydz dxdy

Dxy
Dxy
2 y 1 y
3 zdz ( y )dxdy ． 2 Dxy
由二重积分的奇偶对称性知， ydxdy 0 ，故

x y z 1 所围成的闭区域．
解 如图 10-4-3 所示， 在 xOy 坐标面上的投影区域
Dxy 为 x 0, y 0 和 x y 1 所围成的三角形区域：
0 y 1 x,0 x 1 .
且 的下底为 1 ： z 0 ，上顶为 2 ： z 1 x y ，则
2 z d x d y d z d z z d x d y z 2 π z d z 2 π z dz D 0 Dz 0 0 4 4 4
128 π． 3
12
例 10.4.5 利用先二后一法计算例 10.4.2 中的三重积分 xdxdydz ， 其中
3
例 10.4.1 计算三重积分 zdxdydz ，其中 是由平面 z 1 y ， z 2 y

和圆柱面 x 2 y 2 1 所围的空间有界闭区域．
解 如图 10-4-2， 在 xOy 坐标面上的投影区域为 Dxy ： 且下底为 1 ： 上顶为 2 ： z 1 y ， z 2 y， x 2 y 2 1．
3 3 3 z d x d y d z d x d y d x d y π． 2 2 Dxy 2 Dxy
4
这就是三重积分的先一后二计算方法, 先对 z 计算定积分，后对 x,y 计算 二重积分. 除了上式外，还有先对 x 计算定积分，后对 y, z 计算二重积分， 以及先对 y 计算定积分，后对 x, z 计算二重积分的计算方法．
则 可表示为
{( x, y, z) | ( x, y) Dz , c z d} ．
可以证明，

f ( x, y, z )dxdydz dz f ( x, y, z )dxdy ，
c Dz
d
(10.4.4)
其中 f ( x, y, z )dxdy 是对于任意固定的 z [c, d ] ， f ( x, y, z ) 在平面区域 Dz
{( x, y, z) | 0 z 1 x y,0 y 1 x,0 x 1} ．
所以由式 (10.4.2) ，
xdxdydz dx
0 1 1 x 0
dy
1 x y 0
xdz dx
0
1
1 x 0
1 1 1 x(1 x y )dy x(1 x) 2 dx ． 2 0 24
f ( x, y, z )dxdydz
d c
dy
x2 ( y ) x1 ( y )
dx
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ．
(10.4.3)
这就是三重积分的三次积分法．
需要指出的是， 如果平行于 z 轴且穿过区域 的直线与边界曲面的交点 多于两个，则将 分成若干个子区域，使得平行于 z 轴且穿过每个子区域 的直线与其边界曲面的交点不超过两个， 再计算每个子区域上的三重积分， 最后， 上的三重积分即为各子区域上的三重积分之和.
然后再将
f ( x, y, z )dz 在 Dxy 上以 x, y 为积分变量计算二重积分
Dxy
[
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]dxdy ．
可以证明，如果 f ( x, y, z ) 在 上连续，则有
f ( x, y, z )dxdydz [
(2) 如果平行于 y 轴且穿过区域 的直线与 的边界曲面的交点不超过两 个，则计算三重积分时，先对 y 积分，然后再根据 在 xoz 坐标面上的投影 区域 Dxz 的表示，化为再 x 后 z，或再 z 后 x 的三次积分.
7
例 10.4.2 计算三重积分 xdxdydz ，其中 是由三个坐标面与平面
f ( x, y, z )dxdydz
b a
dx
y2 ( x ) y1 ( x )
dy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ．
(10.4.2)
5
同理，如果 Dxy 为 y 型区域： x1 ( y) x x2 ( y), c y d ， 则有
将空间 O uvw 上的有界闭区域 一对一地变为空间 O xyz 上的有界闭区 域 ，且 x(u, v, w), y(u, v, w) ， z (u, v, w) 在 上具有一阶连续偏导数，其雅可 比行列式