高一数学寒假补习题精选(含答案) (2)
2018_2019学年高一数学寒假作业(含解析)(打包27套)新人教A版

高一数学寒假作业(1)集合1、设集合{|,M x R x a =∈≤=则( )A. a M ∉B. a M ∈C. {}a M ∈D. {}a M ∉2、集合{}*|32x N x ∈-<的另一种表示方法是( )A. {}0,1,2,3,4B. {}1,2,3,4C. {}0,1,2,3,4,5D. {}1,2,3,4,53、集合(){}**,|4,,x y x y x N y N +=∈∈用列举法可表示为( )A. {}1,2,3,4B. ()(){}1,3,2,2C. ()(){}3,1,2,2D. ()()(){}1,3,2,2,3,14、已知集合{}1,2,3,4,5A = ,{}(,)|,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.105、已知全集{}{}|09,|1U x x A x x a =<<=<<,若非空集合A U ⊆,则实数a 的取值范围是( )B. {}|9a a ≤C. {}|19a a <<D. {}|19a a <≤6、已知集合{}2|35,Z A x x x =≤≤∈,则集合A 的真子集的个数为( )A.1B.2C.3D.47、已知集合{}{}2|320,|A x x x B x x a =-+==<,若AB ,则实数a 的取值范围是( )A. 2a ≤B. 2a <C. 2a >D. 2a ≥8、已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2,3A B ==,则()A B ⋃= ( ) A. {}1,3,4B. {}3,4C. {}3D. {}49、已知全集{}0,1,2,3,4,5U =,集合{}0,3,5M =,M ⋂{}0,3=,则满足条件的集合N 共有( )A.4个B.6个C.8个D.16个10、已知集合{}()(){}1,2,3,|120,A B x x x x Z ==+-<∈,则A B ⋃= ( )A. {}1B. {}1,2D. {1,0,1,2,3}-11、已知集合{}|13,{|0A x x B x x =≤≤<或2}x ≥,则A ⋂=__________.12、已知集合{}0,1,3M =,集合{}|3,N x x a a M ==∈,则M N ⋃=__________.13、设集合(){},|27A x y x y =+=,集合(){},|1B x y x y =-=-,则A B ⋂=__________14、已知{}(){}222||40,2110A x x x B x x a x a =+==+++-=.1.若A B B ⋃=,求a 的值.2.若A B B ⋂=,求a 的值.15、已知集合{}{}{}|37,|410,|A x x B x x C x x a =≤<=<≤=<,全集为实数集R.1.求();;R A B C A B ⋃⋂2.若,A C φ⋂≠求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析:答案:B解析:((2224270-=-<,∴,∴a M ∈.2答案及解析:答案:B解析:集合中的元素满足5x <且*x N ∈,所以集合的元素有1,2,3,4.3答案及解析:解析:注意题中所给集合的代表元素为(),x y .4答案及解析:答案:D解析:由x y A -∈,及{}1,2,3,4,5A =得x y >,当1y =时,x 可取2,3,4,5,有4个;当2y =时,x 可取3,4,5,有3个;当3y =时,x 可取4,5,有2个;当4y =时,x 可取5,有1个;故共有123410+++=,故选D.5答案及解析:答案:D解析:由A U ⊆知, A 是U 的子集,∴19a <≤.6答案及解析:答案:C解析:由题意知, 2x =-或2,即{}2,2A =-,故其真子集由3个.7答案及解析:答案:C解析:{}{}2|3201,2A x x x =-+==,要使A B ,只需2a >即可.8答案及解析:解析:因为{}1,2,3A B ⋃=, 所以(){}4A B ⋃=,故选D.9答案及解析:答案:C解析:∵{}0,3,5M =,{}0,3=, ∴∴0,3,5N N N ∉∉∈而全集U 中的1,2,4不能确定,故满足条件的集合N 有328= (个).10答案及解析:答案:C解析:()(){}{}{}|120,Z |12,Z 0,1B x x x x x x x =+-<∈=-<<∈=.又因为{}1,2,3A =,所以{}0,1,2,3A B ⋃=.11答案及解析:答案:{}|12x x ≤<解析:∵{|0B x x =<或2}x ≥. ∴{}|02x x ≤<∴A ⋂{}|12x x =≤<.12答案及解析:答案:{}0,1,3,9解析:{}{}|3,0,3,9N x x a a M ==∈=,所以{}0,1,3,9M N ⋃=.13答案及解析: 答案:58,33⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭解析:,x y 同时满足27x y +=和1x y -=-,则,x y 必是方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩,解得5383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴58,33A B ⎧⎫⎛⎫⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.14答案及解析:答案:1. {}4,0A =-若A B B ⋃=,则{}4,0B A ==-,解得1a =2.若A B B ⋂=,则①若B 为空集,则()()224141880a a a ∆=+--=+<,则1a <-;②若B 为单元素集合,则()()224141880a a a ∆=+--=+=,解得1a =-,将1a =-代入方程()222110x a x a +++-=,得20x =,得0x =,即{}0B =,符合要求;③若{}4,0B A ==-,则1a =.综上所述, 1a ≤-或1a =.解析:15答案及解析:答案:1.因为集合{}{}|37,|410,A x x B x x =≤<=<≤所以{}{}{}|37|410|310;?A B A x x x x x x ⋃==≤<⋃<≤=≤≤{|3R C A x x =<或7},x ≥则(){|3R C A B x x ⋂=<或{}{}7}|410|710.x x x x x ≥⋂<≤=≤≤2.由{}{}|37,|A x x C x x a =≤<=<又,A C φ⋂≠所以3a >.所以满足A C φ⋂≠的a 的取值范围是()3,.+∞解析:高一数学寒假作业(2)函数及其表示1、函数21y x =-的定义域是()[],12,5-∞⋃,则其值域是( )A. ()1,1,22⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦B. (),2-∞C. [)1,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D. ()0,+∞2、已知函数()f x =.则m 的取值范围是()A. (]0,4B. (]0,1C. [)4,+∞D. []0,43、若()2212f x x x +=-,则()2f 的值为( )A. 34-B. 34C. 0D. 14、函数()2f x =的定义域是( ) A. 1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数228156x x y x x -+=--的值域是( )A. (),1-∞B. ()(),11,-∞⋃+∞C. 22,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()22,,11,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6下列函数中,与表示同一个函数的是() A. B. C. D.7、已知函数()f x 是一次函数,且()()()()22315,2011f f f f -=--=,则()f x =( )A. 32x +B. 32x -C. 23x +D. 23x -8、设,f g 都是由A 到B 的映射,其对应法则如下表:表1 映射f 的对应法则表2 映射g 的对应法则则()()()()()()()1,2,3f g f f f g f 的值分别为( )A. 3,3,3B. 3,1,2C. 3,3,2D.以上都不对9已知,则( )A.B.C. D.10、向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状可以是()A. B. C. D.11、若函数()()()()2210102232x x f x x x x +-<<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩,则()f x 的值域是__________.12、若()()()f a b f a f b +=⋅且()1?2f =,则()()()()()()232012...122011f f f f f f +++=__________.13、已知函数()f x 的定义域为()1,0?-,则函数()21f x +的定义域为__________.14、已知函数()214f x x x =+-. 1.若函数()f x 的定义域为[]0,3时,求()f x 的值域;2.当函数()f x 的定义域为[,1]a a +时, ()f x 的值域为11,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求a 的值.15、已知函数()3f x +的定义域是[2,4]-,求函数()23f x +的定义域.答案以及解析1答案及解析:答案:A解析:函数21y x =-的图像是由反比例函数2y x=的图像向右平移1个单位得到的,根据图像可得答案.2答案及解析:答案:D解析:由题意得, 210mx mx ++≥对一切实数恒成立.①当0m =时,不等式变为10≥.对一切实数恒成立,符合题意;②当0m ≠时,应有20,0440m m m m >⎧⇒<≤⎨∆=-≤⎩. 综上知04m ≤≤.3答案及解析:答案:A解析:令212x +=,得12x =, ∴()211322224f ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.4答案及解析:答案:B 解析:1101,,1131033x x x x x <⎧->⎧⎪⇒⇒-<<⎨⎨+>>-⎩⎪⎩5答案及解析:答案:D 解析:∵()()()()()2235815536322x x x x x y x x x x x x ---+-===≠---++, ∴1y ≠且25y ≠-.6答案及解析:答案: D解析: 的定义域为, 与的定义域不同,故A 不正确.与的对应关系不同,故B 不正确.的定义域为,与的定义域不同,故C 不正确.的定义域为, 与表示同一个函数,故D 正确.7答案及解析:答案:B解析:()()0f x kx b k =+≠∵()()()()22315,011f f f f -=--=,∴5{1k b k b -=+= ∴3{2k b ==- ∴()32f x x =-8答案及解析:答案:A解析:()()()()()()123,233f g f g f g ====,()()()()()()3123f g f f g f ===.故选A .9答案及解析:答案: B解析: 令, 则, 故, 即.10答案及解析:答案:B解析:若水平形状是圆柱,则2π,V r h r =不变,V 是h 的正比例函数,其图象应该是过原点的直线,与已知不符.由题图可以看出,随着高度h 的增加, V 也增加,但随h 的不断变大,每增加相同的量,体积V 的增加量变小,图象上升趋势变缓,其原因只能是瓶子平行于地面的截面的半径由底到顶逐渐变小.11答案及解析:答案:(){}1,23-⋃解析:当10x -<<时, ()()220,2f x x =+∈;当02x ≤<时, ()(]11,02f x x =-∈-;当2x ≥时, ()3f x =.故函数()f x 的值域为(){}1,23-⋃.12答案及解析:答案:4022解析:令1b =,则有()()()11f a f a f +=,∴()()()112f a f f a +==,∴()()()()()()2320122,2,...,2,122011f f f f f f ===∴()()()()()()2320122,2,...,201124022122011f f f f f f ===⨯=.13答案及解析: 答案:11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析:由1210x -<+<,得112x -<<-,所以函数()21f x +的定义域为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.14答案及解析:答案:1.∵()21122f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,∴函数()f x 的图像的对称轴为直线12x =-.∴()f x 的值域为()()0,3f f ⎡⎤⎣⎦,即147,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.2.∵()min 12f x =-∴[]1,12x a a =-∈+, ∴131212212a a a ⎧≤-⎪⎪⇒-≤≤-⎨⎪+≥-⎪⎩∵区间[,1]a a +的中点为012x a =+ ①当1122a +≥-,即112a -≤≤-时,有()()max 1116f x f a =+=,即()()21111416a a +++-=, 解得34a =-或94a =- (舍去). ②当1122a +<-,即312a -≤<-时,有()()max 116f x f a ==. 即211416a a +-=,解得54a =-或14a = (舍去).综上,知34a =-或54a =-.解析:15答案及解析:答案:已知函数()3f x +的定义域是[2,4]-,所以137x ≤+≤.在函数()23f x +中, 12x ≤≤,1237x ≤+≤解得12x -≤≤所以函数()23f x +的定义域为{}|12x x -≤≤.解析:高一数学寒假作业(3)函数的基本性质1、函数()31f x x x =--+有( )A.最大值4,最小值0B.最大值0,最小值-4C.最大值4,最小值-4D.最大值、最小值都不存在 2函数在上的最大值为( ) A. B.C.D.3、函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5,最小值为1,则m 的取值范围是( )A. [)2,+∞B. []2,4C. (,2]-∞D. []0,24、若2()2f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A. (1,0)(0,1)-⋃B. ()(]1,00,1-⋃C. (0,1)D. (0,1]5、已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调递增函数,若()()2f x f x >-,则x 的取值范围是( )A. ()1,+∞B. (),1-∞C. ()0,2D. ()1,26、如果()f x 是定义在R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( )A. ()y x f x =+B. ()y xf x =C. ()2y x f x =+ D. ()2y x f x = 7、函数1()f x x x=-的图像关于( ) A. y 轴对称 B.直线y x =-对称C.原点对称D.直线y x =对称8、已知()()|2|,f x g x x ==-则下列结论正确的是( )A. ()()()h x f x g x =+是偶函数B. ()()()h x f x g x =⋅是奇函数C. ()()()2f x g x h x x⋅=-是偶函数 D. ()()2()f x h x g x =-是偶函数 9、函数()f x 的定义域为,R 且满足()f x 时偶函数, (1)f x -是奇函数,若(0.5)9,f =则(8.5)f =( )A. 9-B. 9C. 3-D. 010、下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )A.B.C. D.11、设函数()f x 在()0.2上是增函数,函数(2)f x +是偶函数,则57(1),(),()22f f f 的大小关系是__________.12、已知函数()f x 为奇函数,函数(1)f x +为偶函数, (1)1,f =则(3)f =__________.13、已知函数()[]1,1,31x f x x x -=∈+,则函数()f x 的最大值为__________,最小值为__________.14、已知函数()1f x x x=+. 1.判断()f x 在区间(]0,1和[)1,+∞上的单调性;2.求()f x 在1,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域. 15、设函数1()f x x a x=++为定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数. 1.求实数a 的值; 2.判断函数()f x 在区间()1,a ++∞上的单调性,并用定义法证明.答案以及解析1答案及解析:答案:C解析:()()()()43|3||1|221341x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--≤<⎨⎪<-⎩.2答案及解析:答案: A解析: ∵, ∴ ∴函数图像的开口向下,且对称轴为轴 ∴在上,单调递减,故当时,取得最大值,最大值为9.3答案及解析:答案:B解析:二次函数()245f x x x =-+图像的对称轴为直线2x =, 且当2x =时, ()1f x =.∵当0x =时, ()5f x =∴根据二次函数图像的对称性和函数的单调性可知,满足题意的m 的取值范围为24m ≤≤.4答案及解析:答案:D解析:()()2222x ax x a a f x =-+=--+,当1a ≤时, ()f x 在区间[]1,2上是减函数, ()11g x x =+,当0a >时, ()g x 在区间[]1,2上是减函数,故a 的取值范围是01a <≤.5答案及解析:答案:D解析:由题意知210012202x xx x x x x x >->⎧⎧⎪⎪>⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪-><⎩⎩.6答案及解析:答案:B解析:因为()f x 是奇函数,()().f x f x ∴-=-对于A,令(),y f x =则()()()(),g x x f x x f x g x -=-+-=--=- ()y x f x ∴=+是奇函数。
高一数学寒假作业补充练习答案

高一年级数学寒假作业一答案解析一、单项选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 U = R ,集合{}2|320A x x x =-+>,则U C A =( ) A. (1,2) B. [1,2 ] C. (-2,-1 ) D. [ -2,-1] 【答案】B ;【解析】因为A ()(),12,=-∞+∞,U = R ,所以U C A =[ 1,2] .2. 设13331log ,4,log 24a b c ===,则a ,b ,c 的大小关系为( ).A. c >a> bB. b> a> cC. c> b> aD. b> c> a 【答案】D ;【解析】0,1,01a b c <><<,所以 b> c> a .3. 如图,已知点 C 为△OAB 边AB 上一点,且AC=2CB ,若存在实数m ,n ,使得OC mOA nOB =+,则m- n 的值为( ).A.13-B. 0C.13D.23【答案】A ;【解析】由等和线定理,易得1233OC OA OB =+,所以m- n =13-.4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示,则ϕ的值为( ). A.6πB.6π- C.4π- D.4π【答案】D ;【解析】由图可知,322T π=,所以223T πω==,所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又因为328f π⎛⎫=⎪⎝⎭,所以232382k ππϕπ⨯+=+,解得()24k k Z πϕπ=+∈,因为2πϕ<,所以4πϕ=.5. 函数()2211log 113xx f x x -⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭的定义域是 ( ) A. [1,+∞ ) B. (0,1) C. (-1,0 ] D. (−∞ −1] 【答案】C ;【解析】由对数的真数大于 0 ,与二次根式非负,得101x x ->+且21103x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭, 解得11x -<<且x ≤0,所以定义域为 (-1,0 ].6. 设a ,b 是实数,已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (a ,1 ),B(-2,b ),且1sin 3θ=,则ab的值为( ). A. -4 B.-2 C. 4 D. ±4 【答案】A ;【解析】由三角函数的定义,221314a b==++,且a< 0,解得2,222b a ==-4a b=-. 7. 函数()2sin2xy x x R =∈的图象大致为( ).【答案】D ;【解析】由该函数为奇函数,排除选项 A ,B ,由2x π=时,函数值为 0,可排除选项C ,故选D .8. 若函数()()lg 12f x x =-+,则对于任意的()12,1,x x ∈+∞,()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是( ).A.()()122f x f x +≥122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()()122f x f x +≤122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭C.()()122f x f x +=122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭D.不确定【答案】B ;【解析】观察图象,可得函数“凹凸性”如图,故选 B .二、多项选择题:本小题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9. 下列计算结果为有理数的有( ).A.23log 3log 2⋅B. lg2 +lg5C.1ln22e - D.5sin6π 【答案】ABCD ;【解析】23log 3log 21⋅=;lg2+ lg5=1;1ln220e -=;51sin62π=, 故选 ABCD .10. 对于定义在 R 上的函数()f x ,下列判断错误的有( ). A.若()()22f f ->,则函数()f x 是 R 的单调增函数 B.若()()22f f -≠,则函数()f x 不是偶函数 C.若()00f =,则函数()f x 是奇函数D.函数()f x 在区间 (−∞,0]上是单调增函数,在区间 (0,+∞)上也是单调增函数,则()f x 是 R 上的单调增函数【答案】ACD ;【解析】A 选项,由()()22f f ->,则()f x 在 R 上必定不是增函数; B 选项,正确;C 选项,()2f x x =,满足()00f =,但不是奇函数;D 选项,该函数为分段函数,在 x =0 处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故错误.11. 设 a 为实数,则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC ;【解析】41y x =+是偶函数,且在 [0,+∞ ) 上递增,画出草图,可知y=a 与该函数的交点个数可能为 0,1,2.12. 设函数()f x 的定义域为D ,若对于任意x ∈D ,存在y ∈D 使()()2f x f y C-=(C 为常数)成立,则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C .下列四个函数中,满足所在定义域上“半差值”为1的函数是( ). A.()31y x x R =+∈ B. ()2x y x R =∈C. ()()ln 0,y x x =∈+∞ D. y=sin2x+1( x ∈R) 【答案】AC ;【解析】即对任意定义域中的 x ,存在 y ,使得f(y)=f(x)-2;由于AC 值域为R ,故满足;对于B ,当x=0时,函数值为1,此时不存在自变量y ,使得函数值为-1,故B 不满足;对于D ,当2x π=-时,函数值为−1,此时不存在自变量y ,使得函数值为−3,故D 不满足,所以选AC .三、填空题:本小题共4小题,每小题5分,共20分.13. 设m 为实数,若函数()22f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数,则m 的取值围是. 【答案】m ≤−4;【解析】()f x 为开口向上的二次函数,对称轴为直线2mx =-,要使得函数在(−∞,2)上递减,则22m-≥,解得4m ≤-. 14. 把函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到图象为1C ;再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到图象为2C ,则2C 对应的解析式为. 【答案】2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】1C :sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,2C :2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.15. 若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=,其中θ∈[0,π],则BC 的最大值为. 【答案】3;【解析】()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+所以()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++因为[]0,θπ∈,令[]sin 0,1t θ=∈,所以22342,BC t t =++所以当t=1时,取最大值 9,所以BC 的最大值为 3.16. 已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩,那么()()3f f =;若存在实数 a ,使得()()()f a f f a =,则a 的个数是.【答案】 1 ;4; 【解析】()()()311;ff f =-=令()f a t =,即满足()f t t =,①t=1,即a=±1时,经检验,均满足题意;②t <1,即 −1 <a <1或 a >1时,()2f t t =,由2t t =,解得t =0或1(舍去);再由()0t f a ==解得a = 0或 2 ;③t > 1,即a < − 1时,()2f t t =-,由t=2−t ,解得 t = 1 (舍去); 综上所述:共有 4 个 a .四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)设 t 为实数,已知向量()()1,2,1,.a b t ==- ⑴若 t = 3,求a b +和a b -的值;⑵若向量a b +与3a b -所成角为 135° ,求 t 的值.【答案】⑴a b += 5,5a b -=;⑵ t = 2;【解析】⑴当 t = 3时,()1,3b =-,()0,5a b +=,()2,1a b -=- 所以a b += 5,5a b -=; ⑵()0,2a b t +=+,()34,23a b t -=-,()()(3223cos135232a b a b t t a b a bt +⋅-+-===-+⋅-+, 平方化简得:23440t t --=,解得1222,.3t t ==- 经检验,当23t =-时,夹角为 45° 舍去,故 t = 2. 18. (12 分)设实数 x 满足 sinx+ cos x= c ,其中 c 为常数. ⑴ 当时,求44sin cos x x +的数值;⑵ 求值:()33443cos cos 2sin cos x x x xππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-(用含 c 的式子表示). 【答案】⑴12;⑵212c c +;【解析】⑴,平方得: 1+ 2sinx cosx = 2,所以sinx cosx=12; ()24422221sin cos sin cos 2sin cos 2x x x x x x +=+-=; (2)()()()33334422223cos cos sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x xx x x x ππ⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭==-+-+ 由sinx+ cos x= c ,所以平方得:1+ 2sinx cosx = 2c ,sinx cosx =212c -所以原式=221122c c c c++=. 19. (12 分)设 a 为正实数.如图,一个水轮的半径为a m ,水轮圆心 O 距离水面2am ,已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈.当水轮上的点 P 从水中浮现时(即图中点0P )开始计算时间.⑴ 将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数; ⑵ 点 P 第一次达到最高点需要多少时间.【答案】⑴sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 4s ;【解析】⑴ 如图,以水轮圆心 O 为原点,与水面平行的直线为 x 轴建立直 角坐标系.当t= 0时,点 P 的坐标为3,2a ⎫-⎪⎪⎝⎭,角度为6π-;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈,可知水轮转动的角速度为6πrad / s,所以 t 时刻,角度为66t ππ-;根据三角函数定义,可得sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 当32a h =时,sin 166t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以2662t k ππππ-=+,解得t=4+12k ()k N ∈,所以当k= 0时, t = 4,即第一次达到最高点时需要 4s . 20. (12 分)设向量()11,a x y =,()22,b x y =,其中0a ≠. ⑴ 若//a b ,求证:12210x y x y -=; ⑵ 若12210x y x y -=,求证://a b .【解析】()11,a x y =,()22,b x y =,其中0a ≠,所以11,x y 不全为 0,不妨设10x ≠; ⑴ 如果//a b ,则存在实数λ,使得b a λ= ,即()()()221111,,,x y x y x y λλλ==,所以2121x x y y λλ=⎧⎨=⎩,则()()122111110x y x y x y x y λλ-=-=⑵ 反之,如果12210x y x y -=,因为10x ≠,所以()()22221222111111,,,,x xx y y x y x y x y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ , 令21x x λ=,则b a λ=,所以//a b . 21. (12 分)⑴ 运用函数单调性定义,证明:函数()31f x x x=-在区间 (0,+∞)上是单调减函数;⑵ 设 a 为实数, 0 <a < 1 ,若 0 <x < y ,试比较33y x a a -和4334x y x y a a ++-的大小,并说明理由.【答案】⑴ 答案见解析;⑵33y x a a -<4334x y x y a a ++- 【解析】⑴ 对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()()()()222121211212213333121211x x x x x x f x f x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为210,x x ->22332121120,0x x x x x x ++>>,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x > ,所以函数()f x 在区间 (0,+∞) 上是单调减函数;⑵ 因为 0<a<1,所以()x g x a =在R 上是单调减函数, 因为 0< x< y ,所以 0<3x<3y , 0< 4x+ 3y<3x+4y , 所以()()33330y x g y g x a a <⇒-< ,且()()4334g x y g x y +>+⇒43340x y x y a a ++->, 所以33y x a a -<4334x y x y a a ++-. 22. (12 分) ⑴ 已知函数()()11,1x f x x x R x -=≠-∈+,试判断函数()f x 的单调性,并说明理由;⑵ 已知函数()()1lg1,1x g x x x R x -=≠±∈+. (i )判断()g x 的奇偶性,并说明理由;(ii )求证:对于任意的x ,y ∈R ,且x ≠±1 ,y ≠±1,xy ≠−1都有()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭①.【答案】⑴()f x 在(−∞,−1)和(-1,+∞)上单调递增;⑵答案见解析; 【解析】⑴ 对任意的()12,,1x x ∈-∞-,且12x x <, 则()()()()()12121212122111111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++, 因为()()12120,110x x x x -<++>,所以()()120f x f x -<,即()()12f x f x <,所以函数()f x 在区间(−∞,−1)上是单调递增,同理可得()f x 在区间(-1,+∞)上单调递增;⑵(i )()g x 的定义域为()()(),11,11,-∞--+∞,对任意的()()(),11,11,x ∈-∞--+∞,有()()(),11,11,x -∈-∞--+∞,且()()1111lglg lg lg101111x x x x g x g x x x x x ⎛⎫------+-=+=⋅== ⎪+-++-+⎝⎭, 所以()g x 为奇函数,又()()22g g ≠-,所以()g x 不是偶函数; (ii )对于任意的x,y ∈R ,且x ≠±1 ,y ≠±1,xy ≠−1,因为()()111111lg lg lg lg 111111x y x y x y g x g y x y x y x y ⎛⎫------+=+=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭, 所以111lg lg lg 1111x yx y x y xy xyg x y xy x y xy xy+-⎛⎫++--+=== ⎪+++++⎝⎭++()()1111x y g x g y x y --⋅=+++; 高一年级数学寒假作业二答案解析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
【高一】2021年高一数学上册寒假作业题(含答案)

【高一】2021年高一数学上册寒假作业题(含答案)高一年级数学寒假作业(2)
2021年1月20日―1月22日完成
(指对数函数、幂函数、函数零点)
(作业用时:120分钟)
一、题
1.若函数既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是.
2.函数的定义域为.
3.函数的值域为.
w_4.函数的零点为.
5.若函数的图象过两点和,则的
值为.
6.已知函数,若,则实数的取值范围
为.
7.在的条件下,,若不等式在上成立,则的取值集合为.
8.三个数0.76,60.7,的大小关系为(用号连接).
9.函数恒过一个定点,则实数
.
10.设函数,则满足的的取值范围是.
11.已知幂函数的图象过点,则不等式的解集为________.
12.函数的单调递增区间为.
13.已知函数且.当时函数的零点为,则.
14.已知函数(为常数),若时,恒成立,则的取值范围为.
二、解答题
15.(自编)计算下列各式的值:
;(2)
16.已知函数,当其值域为时,求的取值范围.
17.已知函数.
(1)求函数的定义域;(2)判断函数的单调性.
18.已知函数,若正实数满足且 ,若在区间上的最大值为2,求的值.
19.已知函数 (1)求函数的定义域;(2)记函数求函数g(x)的值域;(3)若不等式有解,求实数的取值范围.
20.已知函数.
(1)求证:函数必有零点.
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【高一】高一数学上册寒假练习题(带参考答案)

【高一】高一数学上册寒假练习题(带参考答案)一.(每小题3分,共计30分)1.如果已知直线相切,则三条边分别为长度为a、B和C的三角形a.是锐角三角形b.是直角三角形c.是钝角三角形d.不存在2.A=3表示线ax+2Y+3A=0和线3x+(A-1)y=A-7平行且不重合a.充分非必要条件?b.必要非充分条件?c、充分必要条件?d、既不充分也不必要?3.点m(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是()a、相切B.相交C.分开D.相切或相交4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()a、 1 B.2 C.3 D.45.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面()a、它不能是直角三角形。
B.最多有一个直角三角形c.至多有两个直角三角形d.可能都是直角三角形6.假设函数是R上的偶数函数,且,下列公式必须为真a.b.c.d.7.给定函数,值为5的函数的值为a.b.或c.d.或8.以下陈述是错误的a.b.c.d.9.下列公式是错误的a.b.c、 d。
10.函数①②③在第一象限内的图象如图①如中所示,实数的大小关系为a.b.②c、 d。
二.题(每小题4分,共计24分)11.给定固定点a(0,1),点B在直线x+y=0上移动。
当线段AB最短时,点B的坐标为_______12.若幂函数的图象过点,则的值为13.已知f(x)是一个定义在上的奇数函数∪. 当时,,f(x)的图象如右图所示,那么f(x)的值域是.14.在下列陈述中,正确的是①任取,均有,② 当时有,,③是增函数,④的最小值为1,⑤ 在同一坐标系中,和的图像是轴对称的15.函数,则___________.十六三.解答题:(共46分,其中17题10分,其他各题12分)解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.已知功能(1)当时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数的取值范围,使其成为区间上的单调函数,并指出相应的单调性18.让函数,在哪里。
南阳市高一数学寒假提分训练题(含答案) (2)

南阳市高一数学寒假提分训练题2一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则A ∩(∁U B )=( )A. {1,3}B. {2}C. {2,3}D. {3} 2. 下列函数中,与y =x 相同的函数是( )A.B. y =lg10xC.D.3. f (x )=(m -1)x 2+2mx +3为偶函数,则f (x )在区间(2,5)上( )A. 有增有减B. 增减性不确定C. 是增函数D. 是减函数 4. 若函数满足,则是()A.B.C.D. 或 5. 已知a =0.71.3,b =30.2,c =log 0.25,则a 、b 、c 之间的大小关系为( )A. a <c <bB. c <b <aC. b <c <aD. c <a <b6. 函数f (x )=3x的零点所在的一个区间是( )A. (-2,-1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,2)7. 定义在R 上的奇函数f (x ),当x >0时,f (x )=()x-2,则f (-1)=( )A. -2B. 2C. -D.8. 已知直线l 1:2x +3my -m +2=0和l 2:mx +6y -4=0,若l 1∥l 2,则l 1与l 2之间的距离为( )A. B.C.D.9. 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A. 若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB. 若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥αC. 若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥nD. 若m ⊥α,m ⊥n ,则n ⊥α10. 设如图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. π+12B. π+18C. 36π+18D. 9π+4211. 已知直线x -2y +n =0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,若∠AOB =60°,则实数n 的值为( )A. B. C. D.12. 已知奇函数g (x )是R 上的减函数,且f (x )=g (x )+2,若f (m )+f (m -2)>4,则实数m 的取值范围是( )A. (-∞,1)B. (-∞,3)C. (1,+∞)D. (3,+∞)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知函数f(x)=,则f[f(8)]的值是______.14.函数y=log2(x2+2x+5)的值域为______.15.设2m>2n>4,则log m2与log n2大小关系是______.16.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知函数f(x)=(m2+2m),当m为何值时f(x)是:(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)二次函数?(4)幂函数?18.已知直线l的方程为4x+3y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:(Ⅰ)l′与l平行且过点(-1,-3);(Ⅱ)l′与l垂直且过点(-1,-3).19.已知圆C的圆心为(1,1),直线x+y-4=0与圆C相切.(1)求圆C的标准方程;(2)若直线l过点(2,3),且被圆C所截得弦长为2,求直线l的方程.20.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB中点,F为CD1中点.(1)求证:EF∥平面ADD1A1;(2)求直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值.21.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,AC=1,AA1=BC=2,点D在侧棱AA1上.(1)若D为AA1的中点,求证:C1D⊥平面BCD;(2)若A1D=,求二面角B-C1D-C的大小.22.已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且.(1)求a,b的值;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)已知f(t)+f(t-1)<0,求t的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解:∵U={1,2,3,4,5},B={2,5},∴∁U B={1,3,4},又∵A={1,2,3},∴A∩(∁U B)={1,2,3}∩{1,3,4}={1,3}.故选:A.利用集合的补集的定义求出集合B的补集;再利用集合的交集的定义求出A∩C U B本题考查补集与交集的混合运算,是会考常见题型,属于基础题.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题,根据两个函数的定义域相同,对应法则也相同,即可判断它们是同一函数.【解答】解:对于A,y==|x|(x∈R),与函数y=x的对应法则不同,不是同一函数;对于B,y=lg10x=x(x∈R),与函数y=x的定义域相同,对应法则也相同,是同一函数;对于C,y==x(x≠0),与函数y=x的定义域不同,不是同一函数;对于D,y=+1=x(x≥1),与函数y=x的定义域不同,不是同一函数.故选B.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,关键是求出m的值.根据题意,由二次函数的性质分析可得若f(x)为偶函数,则必有x==0,解可得m=0,即可得函数的解析式,结合二次函数的性质分析可得答案.【解答】解:根据题意,f(x)=(m-1)x2+2mx+3为二次函数,其对称轴为x=,若f(x)为偶函数,则必有x==0,解可得m=0,则f(x)=-x2+3在区间(2,5)上为减函数;故选:D.4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复合函数解析式的求法,采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决.属于基础题.利用换元法,令t=3x+2,则x=代入f(x)中,即可求得f(t),然后将t换为x即可得f(x)的解析式.【解答】解:令t=3x+2,则x=,所以f(t)=9×+8=3t+2.所以f(x)=3x+2.故选B.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵0<a=0.71.3<1,b=30.2>1,c=log0.25<0,∴c<a<b.故选D.6.【答案】C【解析】解:由函数f(x)=3x在R上是增函数,f(0)=1-2<0,f(1)=3+-2>0,且f(0)f(1)<0,可得函数在区间(0,1)上有唯一零点.故选:C.由函数的解析式可得f(0)f(1)<0,再根据f(x)是R上的增函数,可得函数在区间(0,1)上有唯一零点,由此可得选项.本题主要考查求函数的值,函数零点的判定定理,属于基本知识的考查.7.【答案】A【解析】解:根据题意,当x>0时,f(x)=()x-2,则f(1)=()1-2=2,又由函数f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-2;故选:A.根据题意,由函数的解析式可得f(1)的值,又由函数f(x)为奇函数,则f(-1)=-f (1),即可得答案.本题考查函数的奇偶性的应用,涉及函数解析式,属于基础图.8.【答案】B【解析】解:由,解得m=±2,m=-2时舍去,∴m=2,因此两条直线方程分别化为:x+3y=0,x+3y-2=0.则l1与l2之间的距离==.故选:B.由,解得m=±2,m=-2时舍去,可得m=2,再利用平行线之间的距离公式即可得出.本题考查了直线平行的充要条件及其距离,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.【答案】C【解析】解:对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或者异面;故A错误;对于B,若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行或者n在α内;故B错误;对于C,若m⊥α,n⊂α,根据线面垂直的性质可得m⊥n;故C正确;对于D,若m∥α,m⊥n,则n⊥α或者n⊂α;故D错误;故选:C.利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析解答.本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理是关键.10.【答案】D【解析】解:由三视图知几何体的上部是球,下部是长方体,且球的直径为3,;长方体的长、高分别为3、2,由俯视图知长方体的宽等于球的直径3,∴几何体的表面积S=4π×+2×(2×3+2×3+3×3)=9π+42.故选:D.由三视图知几何体的上部是球,下部是长方体,且球的直径为3,;长方体的长、宽、高分别为3、3、2,把数据代入表面积公式计算可得答案.本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量.11.【答案】C【解析】解:由题意,圆心到直线的距离为,∴=,∴n=±,故选:C.确定圆心到直线的距离为,利用点到直线的距离公式,建立方程,即可求出实数n的值.本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.12.【答案】A【解析】解:根据题意,f(x)=g(x)+2,若f(m)+f(m-2)>4,即g(m)+2+g(m-2)+2>4,则有g(m)>-g(m-2);g(x)是为奇函数,且在R上的减函数,则g(m)>-g(m-2)⇒g(m)>g(2-m)⇒m<2-m,解可得:m<1,即m的取值范围为(-∞,1);故选:A.根据题意,由f(x)=g(x)+2可得f(m)+f(m-2)>4⇒g(m)>-g(m-2);结合函数g(x)的奇偶性与单调性分析可得g(m)>-g(m-2)⇒g(m)>g(2-m)⇒m<2-m,解可得m的取值范围,即可得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意得到关于x的不等式.13.【答案】【解析】解:∵函数f(x)=,∴f(8)==-3,∴f[f(8)]=f(-3)=3-3=.故答案为:.推导出f(8)==-3,从而f[f(8)]=f(-3),由此能求出结果.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.【答案】[2,+∞)【解析】解:因为x2+2x+5=(x+1)2+4≥4,所以log2(x2+2x+5)≥log24=2,故答案为:[2,+∞).先由二次函数值域得到真数的值域为[4,+∞),再根据对数函数的单调性得到所求函数的值域.本题考查了函数的值域,属基础题.15.【答案】log m2<log n2【解析】解:∵2m>2n>22,∴m>n>2,∴log2m>log2n>1即<,∴log m2<log n2故答案为:log m2<log n2根据指数函数和对数函数的图象和性质比较即可本题考查了指数函数和对数函数的图象和性质,属于基础题16.【答案】③④【解析】解:展开图复原的正方体如图,不难看出:①BM与ED平行;错误的,是异面直线;②CN与BE是异面直线,错误;是平行线;③CN与BM成60°;正确;④DM与BN是异面直线.正确判断正确的答案为③④故答案为:③④将展开图复原为几何体,如图,根据正方体的几何牲,分别四个命题的真假,容易判断选项的正误,求出结果.本题考查异面直线的判定,异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系,几何体的折叠与展开,考查空间想象能力,是基础题.17.【答案】解:(1)∵f(x)=(m2+2m)是正比例函数,∴,解得m=1,∴m=1时,f(x)是正比例函数.(2)∵f(x)=(m2+2m)是反比例函数,∴,解得m=-1,∴m=-1时,f(x)是反比例函数.(3)∵f(x)=(m2+2m)是二次函数,∴,解得m=或m=,∴m=或m=时,f(x)是二次函数.(4)∵f(x)=(m2+2m)是幂函数,∴m2+2m=1,解得m=-1或m=-1-,∴m=-1+或m=-1-时,f(x)是幂函数.【解析】由已知条件,分别利用正比例函数、反比例函数、二次函数、幂函数的定义,能求出m的值.本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数、幂函数的定义,是基础题.18.【答案】解:(Ⅰ)由l′∥l,则可设l′的方程为:4x+3y+C=0.∵l′过点(-1,-3),∴4×(-1)+3×(-3)+C=0,解得:C=13,∴l′的方程为:4x+3y+13=0.(Ⅱ)由l′⊥l,则可设l′:3x-4y+m=0,∵l′过(-1,-3),∴3×(-1)-4×(-3)+m=0,解得:m=-9,∴l′的方程为:3x-4y-9=0.【解析】(Ⅰ)由l′∥l,则可设l′的方程为:4x+3y+C=0.把点(-1,-3)代入解得即可.(Ⅱ)由l′⊥l,则可设l′:3x-4y+m=0,把点(-1,-3)代入解得即可.本题考查了相互平行和垂直的直线的斜率之间的关系,属于基础题.19.【答案】解:(1)圆心C(1,1)到直线x+y-4=0的距离d==.∵直线x+y-4=0与圆C相切,∴r=d=.∴圆的标准方程为:(x-1)2+(y-1)2=2.(2)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程:y-3=k(x-2),即:kx-y+3-2k=0,圆心到直线l的距离d=,又d2+1=2,∴d=1.解得:k=.∴直线l的方程为:3x-4y+6=0.②当l的斜率不存在时,x=2,代入圆的方程可得:(y-1)2=1,解得y=0或2,可得弦长=2,满足条件.故l的方程为:3x-4y+6=0或x=2.【解析】本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.(1)利用点到直线的距离可得:圆心C(1,1)到直线x+y-4=0的距离d.根据直线x+y-4=0与圆C相切,可得r=d.即可得出圆的标准方程.(2)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程:y-3=k(x-2),即:kx-y+3-2k=0,可得圆心到直线l的距离d,又d2+1=2,可得:k.即可得出直线l的方程.②当l的斜率不存在时,x=2,代入圆的方程可得:(y-1)2=1,解得y可得弦长,即可验证是否满足条件.20.【答案】解:(1)证明:取DD1中点M,连接MA,MF,有,所以AEFM是平行四边形,所以EF∥AM,又AM⊂平面ADD1A1,EF⊄平面ADD1A1,所以EF∥平面ADD1A1,得证.(2)因为EF∥AM,AD⊥平面CDD1C1,所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等,又在Rt△AMD中,有,所以直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值为.【解析】本题考查直线与平面所成角,直线与平面平行的判定定理的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力,属于中档题.(1)取DD1中点M,连接MA,MF,证明EF∥AM,然后证明EF∥平面ADD1A1.(2)说明∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等,在Rt△AMD中,解三角形求解直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值即可.21.【答案】解:(1)证明:由已知,AA1⊥BC,AC⊥BC,则BC⊥平面AA1C1C.因为C1D⊂平面AA1C1C,则BC⊥C1D.①因为D为AA1的中点,则AD=AC=1,又AD⊥AC,则△CAD为等腰直角三角形,所以∠ADC=45°.同理∠A1DC1=45°.所以∠CDC1=90°,即CD⊥C1D.②结合①②知,BC∩CD=C,BC,CD⊂平面BCD,∴C1D⊥平面BCD.(2)作CE⊥C1D,垂足为E,连BE,如图.因为BC⊥平面AA1C1C,则BC⊥C1D,所以C1D⊥平面BCE,则C1D⊥BE,所以∠BEC为二面角B-C1D-C的平面角.因为A1D=,A1C1=1,则C1D=.在△CC1D中,CC1=2,CC1边上的高为1,则其面积为1.所以××CE=1,得CE=.在Rt△BCE中,tan∠BEC==,则∠BEC=60°,所以二面角的大小为60°.【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.属于一般题.(1)证明BC⊥平面AA1C1C.推出BC⊥C1D,证明CD⊥C1D,即可证明C1D⊥平面BCD.(2)作CE⊥C1D,垂足为E,连BE,说明∠BEC为二面角B-C1D-C的平面角.Rt△BCE中,tan∠BEC=求解即可.22.【答案】(1)解:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f(0)=0,即有b=0,又,则=,解得a=1.∴a=1,b=0.(2)证明:由于f(x)=,可设-1<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=-=,∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,(x12+1)(x22+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,则f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解:∵f(t)+f(t-1)<0,∴f(t)<-f(t-1)∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f(t)<f(1-t),∵f(x)在(-1,1)上是增函数,∴-1<t<1,且-1<1-t<1,且t<1-t,∴-1<t<1且0<t<2且t<,∴0<t<.则t的取值范围是(0,).【解析】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(0)=0可求b,由可求a,进而可求f(x);(2)运用函数的单调性的定义证明:设自变量,作差,变形,定符号,下结论.(3)由奇函数的定义,得到f(t)<f(1-t),再由函数的单调性,得到不等式组,解出即可.本题主要考查了奇函数的性质:f(0)=0的应用,利用该条件可以简化基本运算,函数单调性的定义的证明及应用,属于中档题.。
高一数学寒假作业及答案

高一数学寒假作业及答案集合及其运算一、填空题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.集合{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 ▲2.如果集合A={x|ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是 ▲ 3.设A={x|1<x <2},B={x|x <a}满足A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 ▲4.满足{1,2,3} ≠⊂M ≠⊂{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 ▲ 5.全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},B={2,3,4},则A C I ∪B C I = ▲6.集合A={a 2,a +1,-1},B={2a -1,| a -2 |, 3a 2+4},A ∩B={-1},则a 的值是 ▲ 7.已知集合M={(x ,y)|4x +y=6},P={(x ,y)|3x +2y=7},则M ∩P 等于 ▲ 8.设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x|x ∈Z 且|x|≤5 },则A ∪B 中元素的个数为 ▲ 9.集合M={a|a-56∈N ,且a ∈Z},用列举法表示集合M= ▲ 10.设集合A={x|x 2+x -6=0},B={x|mx +1=0},且A ∪B=A ,则m 的取值范围是 ▲ 答案:1. 2.3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、解答题:(共4题,11题10分,12题12分13、14题14分,共50分) 11.已知集合A ={x |-1<x <3},A ∩B =∅,A ∪B =R ,求集合B .12.已知集合A={-3,4},B={x|x2-2px+q=0},B≠φ,且B⊆A,求实数p,q的值.13.已知集合A={x∈R|x2-2x-8=0},B={x∈R|x2+ax+a2-12=0},B⊆A,求实数a的取值集合.14.集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若∅A∩B,A∩C=∅,求a的值.高一数学寒假作业(二)函 数(A )一、填空题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知函数5)(-=ax x f ,f(-1)=1,则=)3(f ▲ 2.函数223)(-+=x x x g 的值域为 ▲ 3.把函数x x x f 2)(2-=的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到函数图象对应解析式为 ▲4.一次函数)(x f ,满足 19))((+=x x f f ,则)(x f = ▲ 5.下列函数:①y=2x +1②y=3x 2+1③y=x2④y=2x 2+x +1,其中在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 ▲ (填序号)6.函数)(x f 的图像与函数g(x)=3-2x 关于坐标原点对称,则=)(x f ▲7. 函数2x x y -=)(R x ∈的递减区间为 ▲8.已知函数f(x)=a-121+x ,若f(x)为奇函数,则a = ▲ 9.得到函数3lg 10x y +=的图像只需把函数lg y x =的图像上所有的点 ▲10.已知二次函数)()(2R x c bx ax x f ∈++=的部分对应值如下表:则函数)(x f 的最 ▲ 值为 ▲答案:1. 2.3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、解答题:(共4题,11题10分12题12分,13、14题14分,共50分) 11.已知)1(11)(-≠+=x xx f ,)(,2)(2R x x x g ∈+=. (1)求)2(),2(g f 的值;(2)求)]2([g f 的值.12.函数f(x)在其定义域(-1,1)上单调递增,且f(a-1)<f(1-a 2), 求a 的取值范围。
常州市高一数学寒假作业-习题精编(含答案) (2)
常州市高一数学寒假作业-习题精编2一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.如图所示的Venn图中,若A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},则阴影部分表示的集合是()A. {1,2,3,4,5,6,7}B. {1,2,3,4,5}C. {3,4,5,6,7}D. {1,2,6,7}2.若a>b,则下列各式正确的是()A. a-2>b-2B. 2-a>2-bC. -2a>-2bD. a2>b23.下列函数中,能用二分法求零点的是()A. B.C. D.4.下列选项中,两个函数表示同一个函数的是()A. y=,y=1B. y=,y=|x|C. y=x,y=ln e xD. y=,y=5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AD1和B1C所成的角是()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(2,),则函数f(x)为()A. 奇函数且在(0,+∞)上单调递增B. 偶函数且在(0,+∞)上单调递减C. 非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D. 非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减7.已知函数f(x)=,若f(f(-1)=6,则实数a的值为()A. 1B.C. 2D. 48.函数y=1g(1-x)+的定义域是()A. [-2,1]B. [-1,1)C. [-1,2]D. (1,2]9.在如图所示的多面体ABCDB1C1D1中,四边形ABCD、四边形BCC1B1、四边形CDC1C1都是边长为6的正方形,则此多面体ABCDB1C1D1的体积()A. 72B. 144C. 180D. 21610.函数f(x)=|x3|•ln的图象大致为()A. B.C. D.11.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若α⊥β,m⊂α,则m⊥β④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ其中正确命题的序号是()A. ①和②B. ①和④C. ②和③D. ③和④12.若函数y=f(x)图象上存在不同的两点A,B关于y轴对称,则称点对[A,B]是函数y=f(x)的一对“黄金点对”(注:点对[A,B]与[B,A]可看作同一对“黄金点对”).已知函数f(x)=,则此函数的“黄金点对“有()A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.若a=log3,b=()0.5,则a、b的大小关系是______.(用“<”连接)14.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为4的直角三角形,俯视图是半径为2的四分之一圆周和两条半径,则这个几何体的体积为______.15.直三棱柱ABC-A1B1C1,内接于球O,且AB⊥BC,AB=3.BC=4.AA1=4,则球O的表面积______.16.已知偶函数f(x),x∈R,满足f(1-x)=f(1+x),且当0<x<1时,f(x)=ln(x+),e为自然数,则当2<x<3时,函数f(x)的解析式为______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.化简或求下列各式的值.(Ⅰ)(2a3b)•(-5a b)÷(4);(Ⅱ)(lg5)2+lg5•lg20+.18.已知集合A={x|x2-7x+6<0},B={x|4-t<x<t},R为实数集.(Ⅰ)当t=4时,求A∪B及A∩∁R B;(Ⅱ)若A∪B=A,求实数t的取值范围.19.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(Ⅰ)AB∥平面A1B1C;(Ⅱ)平面ABB1A1⊥平面A1BC.20.已知函数f(x)=-,若x∈R,f(x)满足f(-x)=-f(x).(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)判断函数f(x)(x∈R)的单调性,并说明理由;(Ⅲ)若对任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(-k)<0恒成立,求k的取值范围.21.如图所示,已知长方形ABCD,AD=2CD=4,M、N分别为AD、BC的中点,将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置,且使平面MNFE⊥平面ABCD.(1)求证:直线CM⊥面DFN;(2)求点C到平面FDM的距离.22.已知函数f(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)的定义域为[2,3],值域为[1,4];设g(x)=.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若不等式g(2x)-k2x≥0在x∈[1,2]上恒成立,求实数k的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查根据Venn图表示集合的关系,集合的交集、并集运算,是基础题.根据图象确定阴影部分的集合元素特点,利用集合的交集和并集进行求解即可.【解答】解:阴影部分对应的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B},因为A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},所以A∪B={1,2,3,4,5,6,7},A∩B={3,4,5},∴阴影部分的集合为{1,2,6,7},故选:D.2.【答案】A【解析】解:因为a>b,所以a-2>b-2,故选项A正确,2-a<2-b,故选项B错误,-2a>-2b,故选项C错误,a2,b2无法比较大小,故选项D错误,故选:A.由不等式的基本性质,逐一检验即可.本题考查了不等式的基本性质,属简单题.3.【答案】D【解析】解:由题意以及零点判定定理可知:只有选项D能够应用二分法求解函数的零点,故选:D.利用零点判定定理以及函数的图象,判断选项即可.本题考查了的判定定理的应用,二分法求解函数的零点,是基本知识的考查.4.【答案】C【解析】解:A.的定义域为{x|x≠0},y=1的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B.和y=|x|的解析式不同,不是同一函数;C.y=x的定义域为R,y=ln e x=x的定义域为R,定义域和解析式都相同,是同一个函数;D.,,解析式不同,不是同一个函数.故选:C.根据函数的定义域,即可判断选项A的两个函数不是同一个函数,根据函数解析式不同,即可判断选项B,D的两函数都不是同一个函数,从而为同一个函数的只能选C.考查函数的定义,判断两函数是否为同一个函数的方法:看定义域和解析式是否都相同.5.【答案】D【解析】解:∵AD1∥BC1,∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角就是直线B1C和BC1的夹角,∵BCC1B1是正方形,∴直线B1C和BC1垂直,∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角为90°.故选D.正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线B1C所成的角就是直线B1C和BC1的夹角,由此能求出结果.本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.6.【答案】C【解析】解:幂函数f(x)=x a的图象经过点(2,),∴2a=,解得a=,∴函数f(x)=,∴函数f(x)是非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增.故选:C.求出a=,从而函数f(x)=,由此得到函数f(x)是非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增.本题考查命题真假的判断,考查幂函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.【答案】A【解析】解:函数f(x)=,若f(f(-1)=6,可得f(-1)=4,f(f(-1))=f(4)=4a+log24=6,解得a=1.故选:A.利用分段函数的解析式,由里及外逐步求解函数值得到方程求解即可.本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.8.【答案】B【解析】解:要使原函数有意义,则:;解得-1≤x<1;∴原函数的定义域是:[-1,1).故选:B.可看出,要使得原函数有意义,则需满足,解出x的范围即可.考查函数定义域的概念及求法,对数函数的定义域,一元二次不等式的解法.9.【答案】B【解析】解:把该几何体不成正方体ABCD-A1B1C1D1,此多面体ABCDB1C1D1的体积V=V-V=63-=144.故选:B.把该几何体不成正方体ABCD-A1B1C1D1,此多面体ABCDB1C1D1的体积V=V-V,即可.考查四棱锥体积的求法,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题.10.【答案】A【解析】解:f(-x)=|x3|•ln=)=-|x3|•ln=-f(x),则函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除B,D,f()=ln=ln<0,排除C,故选:A.判断函数的奇偶性和对称性,利用特殊点的函数值是否对应进行排除即可.本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键.11.【答案】B【解析】解:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n成立,故①正确,②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β不成立,两个平面没有关系,故②错误③若α⊥β,m⊂α,则m⊥β不成立,可能m与β相交,故③错误,④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ,成立,故④正确,故正确的是①④,故选:B.根据空间直线和平面平行,垂直的性质分别进行判断即可.本题主要考查命题的真假判断,涉及空间直线和平面平行和垂直的判定和性质,考查学生的空间想象能力.12.【答案】D【解析】解:由题意知函数f(x)=2x,x<0关于y轴对称的函数为y=2-x=()x,x>0,作出函数f(x)和y=()x,x>0的图象,由图象知当x>0时,f(x)和y=()x,x>0的图象有3个交点.所以函数f(x)的““黄金点对“有3对.故选:D.根据“黄金点对“,只需要作出当x<0时,函数f(x)关于y对称的函数的解析式以及图象,利用两个图象交点个数进行求解即可.本题主要考查分段函数的应用,结合“黄金点对“的定义,作出当x<0时,函数f(x)关于y对称的函数的解析式以及图象,利用数形结合是解决本题的关键.13.【答案】a<b【解析】解:;∴a<b.故答案为:a<b.容易看出,,从而可得出a,b的大小关系.考查对数函数的单调性,减函数的定义,指数函数的值域.14.【答案】【解析】解:由三视图可知几何体为圆锥的,圆锥的底面半径为1,母线长为2,∴圆锥的高为.∴V=××π×12×=.故答案为:.几何体为圆锥的,根据三视图的数据计算体积即可.本题考查了圆锥的三视图和体积计算,属于基础题.15.【答案】41π【解析】解:直三棱柱中,易知AB,BC,BB1两两垂直,可知其为长方体的一部分,利用长方体外接球直径为其体对角线长,可知其直径为=,∴=41π,故答案为:41π.利用三线垂直联想长方体,而长方体外接球直径为其体对角线长,容易得到球半径,得解.此题考查了三棱柱外接球,难度不大.16.【答案】f(x)=ln(x-2+)【解析】解:因为f(x)是偶函数,满足f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=f(x-1),所以f(x)周期是2.当2<x<3时,0<x-2<1,所以f(x-2)=ln(x-2+)=f(x),所以函数f(x)的解析式为f(x)=ln(x-2+).故答案为:f(x)=ln(x-2+).由f(1-x)=f(1+x),再由偶函数性质得到函数周期,再求当2<x<3时f(x)解析式.本题考查函数的奇偶性,周期性应用求解析式,属于中档题.17.【答案】解:(Ⅰ)原式=;(Ⅱ)原式=lg5(lg5+lg20)+lg4=2(lg5+lg2)=2.【解析】(Ⅰ)进行分数指数幂的运算即可;(Ⅱ)进行对数的运算即可.考查分数指数幂和对数的运算,以及对数的换底公式.18.【答案】解:(Ⅰ)解二次不等式x2-7x+6<0得:1<x<6,即A,当t=4时,B=,C R B=,所以A∪B=,A∩C R B=,故答案为:A∪B=,A∩C R B=(Ⅱ)由A∪B=A,得:B⊆A,①当4-t≥t即t≤2时,B=∅,满足题意,②B≠∅时,由B⊆A得:,解得:2<t≤3,综合①②得:实数t的取值范围为:t≤3,故答案为:t≤3.【解析】(Ⅰ)由二次不等式的解法得:A,由集合的交、并、补的运算得:B=,C R B=,所以A∪B=,A∩C R B=,(Ⅱ)由集合间的包含关系得:因为A∪B=A,得:B⊆A,讨论①B=∅,②B≠∅时,运算即可得解本题考查了二次不等式的解法、集合的交、并、补的运算及集合间的包含关系,属简单题.19.【答案】证明:(Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵AB∥A1B1,且AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,∴AB∥平面A1B1C.(Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,∵BC⊥AB,BC⊥BB1,AB∩BB1=B,∴BC⊥平面ABB1A1,∵BC⊂平面A1BC,∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.【解析】(Ⅰ)推导出AB∥A1B1,由此能证明AB∥平面A1B1C.(Ⅱ)推导出BC⊥AB,BC⊥BB1,从而∴BC⊥平面ABB1A1,由此能证明平面ABB1A1⊥平面A1BC.本题考查线面平行、面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.20.【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)=-,x∈R,且f(-x)=-f(x),∴-=-+,∴a=+=+=1;(Ⅱ)f(x)=-是定义域R上的单调减函数,证明如下:任取x1、x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(-)-(-)=-=,由(+1)(+1)>0,当x1<x2时,<,∴->0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)是定义域R上的单调减函数;(Ⅲ)对任意的t∈R,不等式f(t2-4t)+f(-k)<0恒成立,则f(t2-4t)<-f(-k)=f(k),根据f(x)是定义域R上的单调减函数,得t2-4t>k,设f(t)=t2-4t,t∈R,则f(t)=(t-2)2-4≥-4,∴k的取值范围是k<-4.【解析】(Ⅰ)根据f(-x)=-f(x)代入求得a的值;(Ⅱ)f(x)是定义域R上的单调减函数,利用定义证明即可;(Ⅲ)根据题意把不等式化为t2-4t>k,求出f(t)=t2-4t的最小值,即可得出k的取值范围.本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是中档题.21.【答案】证明:(1)∵长方形ABCD,AD=2CD=4,M、N分别为AD、BC的中点,将长方形ABCD沿MN折到MNFE位置,且使平面MNFE⊥平面ABCD.∴DN⊥CM,CM⊥FN,又DN∩FN=N,∴CM⊥平面DFN.解:(2)以M为原点,MN为x轴,MA为y轴,ME为z轴,建立空间直角坐标系,则C(2,-2,0),D(0,-2,0),F(2,0,2),M(0,0,0),=(2,-2,0),=(0,-2,0),=(2,0,2),设平面FDM 的法向量=(x,y,z),则,取x=1,得=(1,0,-1),∴点C到平面FDM的距离d ===.【解析】(1)推导出DN⊥CM,CM⊥FN,由此能证明CM⊥平面DFN.(2)以M为原点,MN为x轴,MA为y轴,ME为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点C到平面FDM的距离.本题考查线面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.22.【答案】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)其图象对称轴为直线x=2,函数的定义域为[2,3],值域为[1,4],∴,解得:a=3,b=12;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f(x)=3x2-12x+13,g(x)==.若不等式g(2x)-k2x≥0在x∈[1,2]上恒成立,则k≤()2-2()+1在x∈[1,2]上恒成立,2x∈[2,4],∈[,],当=,即x=1时,()2-2()+1取最小值,故k ≤.【解析】本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查函数恒成立问题问题,考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用,是中档题.(Ⅰ)根据函数f(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)的定义域为[2,3],值域为[1,4],其图象对称轴为直线x=2,且g(x)的最小值为1,最大值为4,列出方程可得实数a,b的值;(Ⅱ)若不等式g(2x)-k2x≥0在x∈[1,2]上恒成立,分离变量k,在x∈[1,2]上恒成立,进而得到实数k的取值范围.第11页,共11页。
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (2)
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选2一、选择题(本大题共12小题,共48.0分)1.设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩N)=()A. {1,2}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}2.已知倾斜角为45°的直线经过A(2,4),B(1,m)两点,则m=()A. 3B. -3C. 5D. -13.若函数,则f(f(10))=()A. lg101B. 2C. 1D. 04.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()A. (-2,1,-4)B. (-2,-1,-4)C. (2,1,-4)D. (2,-1,4)5.若平面α∥平面β,a⊊α,b⊊β,则直线a与b的位置关系是()A. 平行或异面B. 相交C. 异面D. 平行6.设,则()A. y2>y1>y3B. y3>y1>y2C. y1>y2>y3D. y1>y3>y27.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π8.函数的零点所在的一个区间是()A. B. C. (1,2) D. (2,3)9.M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为()A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交10.设l、m、n表示不同的直线,α、β、γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β;则正确的命题个数为()A. 4B. 3C. 2D. 111.过坐标原点O作圆(x-3)2+(y-4)2=1时两条切线,切点为A、B,直线AB被圆A. B. C. D.12.正三角形ABC中,点D为BC的中点,把△ABD沿AD折起,点B的对应点为B',当三棱锥B'-ADC体积的最大值为时,三棱锥B'-ADC的外接球的体积为()A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题,共16.0分)13.函数y=的定义域是______.14.空间三个平面如果每两个都相交那么它们的交线最多有______条.15.已知两条不重合的直线l1:ax+3y-1=0和l2:2x+(a-1)y+1=0平行,则实数a的值为______.16.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16,则该正四棱锥内切球的表面积为______.三、解答题(本大题共6小题,共56.0分)17.化简求值(1)(2)18.求满足下列条件的直线或圆的方程:(1)求与直线x-2y=0的斜率相同,且过点(2,3)的直线方程;(2)求过三点O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.19.已知函数是定义在(-1,1)上是奇函数,且.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.20.已知圆C过P(2,6),Q(-2,2)两点,且圆心C在直线3x+y=0上.(1)求圆C的方程.(2)若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.21.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥底面ABC,AA1=BC=3,A1B=AC=4,AB=5,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1CE;(2)求证:A1A⊥平面A1BC;(3)求三棱锥A1﹣ACE的体积.22.已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.(1)求△ABC的顶点B、C的坐标;(2)若圆M经过不同的三点A、B、P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵M={1,2,3},N={2,3,4},∴M∩N={2,3},则∁U(M∩N)={1,4},故选:D.先根据交集的定义求出M∩N,再依据补集的定义求出∁U(M∩N).本题考查两个集合的交集、补集的定义,以及求两个集合的交集、补集的方法.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及由两点求直线的斜率,此题属于基础题型.首先根据斜率公式得到直线AB的斜率k,再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率,进而求出a的值.【解答】∵直线经过两点A(2,4),B(1,m),∴直线AB的斜率k==4-m,又∵直线的倾斜角为45°,∴k=tan45°=1,∴m=3.故选:A.3.【答案】D【解析】解:∵函数,∴f(10)=lg10=1,f(f(10))=f(1)=12-1=0.故选:D.推导出f(10)=lg10=1,从而f(f(10))=f(1),由此能求出结果.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.【答案】B【解析】解:∵在空间直角坐标系中,点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为:(x,-y,-z),∴点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为:(-2,-1,-4).故选:B.先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标.本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.5.【答案】A【解析】解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AD⊂平面ABCD,A1D1⊂平面A1B1C1D1,AD∥A1D1;AB⊂平面ABCD,A1D1⊂平面A1B1C1D1,AB与A1D1异面.∴若平面α∥平面β,a⊊α,b⊊β,则直线a与b的位置关系是平行或异面.故选:A.以正方体为载体,列举出所成情况,由此能判断直线a与b的位置关系.本题考查两条直线的位置关系的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.由题意利用指数函数的单调性和特殊点,得出结论.【解答】解:对于,∵y=0.9x在R上是减函数,故有1>y1>y2.∵y=1.2x在R上是增函数,y3=1.20.1>1.20=1,∴y3>y1>y2,故选:B.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求表面积,空间立体几何三视图,属于基础题.空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理求出,写出表面积,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,求出圆柱的表面积,注意不包括重合的平面.【解答】解:由三视图知,空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是2,∴在轴截面中圆锥的母线长是=4,∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π.∴空间组合体的表面积是.故选C.8.【答案】B【解析】解:∵函数,是连续函数,当:x=时,f()=<0;f(1)=e-1+2=e+1>0.故选:B.函数,判断f()的符号;f(1)=e+1>0.即可判断出函数的零点所在的情区间.本题考查了函数零点的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9.【答案】C【解析】解:由圆的方程得到圆心坐标为(0,0),半径r=a,由M为圆内一点得到:<a,则圆心到已知直线的距离d=>=a=r,所以直线与圆的位置关系为:相离.故选:C.由圆的方程找出圆心坐标与半径,因为M为圆内一点,所以M到圆心的距离小于圆的半径,利用两点间的距离公式表示出一个不等式,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d,根据求出的不等式即可得到d大于半径r,得到直线与圆的位置关系是相离.此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法,灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题.10.【答案】D【解析】解:①,若m∥l,且m⊥α,由线面垂直的性质定理可得l⊥α,故①正确;②,若α⊥β,m∥α,n⊥β,若过m的平面与α的交线为α,β的交线,可得m⊥n;若过m的平面与α的交线与α,β的交线垂直,可得m∥n,故②错误;③,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ或α,γ相交,故③错误;④,若m⊥n,m⊥α,n∥β,可能α∥β,此时m⊥β,满足条件,故④错误.故选:D.由线面垂直的性质定理可判断①;由线面平行的性质定理和线面、面面垂直的性质定理可判断②;由面面垂直的性质定理可判断③;由面面平行的性质定理可判断④.本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断,主要考查平行和垂直的判断和性质,考查推理能力和空间想象能力,属于基础题.11.【答案】A【解析】解:根据题意,设圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为M,则M(3,4),圆的半径为1,则|OM|==5,|OA|===2,则S△AOM=×|OA|×|MA|=×|OM|×(),解可得:|AB|=,和|OA|的值,由三角形面积公式可得S△AOM=×|OA|×|MA|=×|OM|×(),代入数据计算可得答案.本题考查直线与圆的位置关系,涉及圆的切线方程,属于基础题.12.【答案】D【解析】解:当三棱锥B′-ADC体积最大时,B′在面ADC上的射影即为D,设△ABC边长为2a,则DB′=DC=a,AD=,∴,∴a=1,∴DB′=DC=1,,由三线两两垂直联想长方体,可知外接球直径为=,∴体积为=,故选:D.由三棱锥体积最大得到B′D⊥面ADC,利用三线两两垂直联想长方体,求解不难.此题考查了三棱锥的体积,三棱锥的外接球等,难度适中.13.【答案】[-1,0)∪(0,+∞)【解析】解:要使函数有意义,须,解得x≥-1且x≠0∴函数的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).故答案为[-1,0)∪(0,+∞).根据影响定义域的因素知,分母不为零,且被开方式非负,即,解此不等式组即可求得函数的定义域.此题是个基础题.考查函数定义域及其求法,注意影响函数定义域的因素有:分母不等于零,偶次方根的被开方式非负,对数的真数大于零等.14.【答案】3【解析】解:当两个平面相交时,两个平面有且仅有一条交线,故空间三个平面如果每两个都相交那么它们的交线最多有3条,故答案为:3由平面的基本性质得:空间三个平面如果每两个都相交那么它们的交线最多有3条,得解.本题考查了平面的基本性质,属简单题.15.【答案】3【解析】解:∵两条不重合的直线l1:ax+3y-1=0和l2:2x+(a-1)y+1=0平行,∴,故答案为:3.利用直线与直线平行的性质直接求解.本题考查实数值的求法,考查直线与直线平行的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.16.【答案】(32-16)π【解析】【分析】本题考查正四棱锥内切球的表面积的求法,涉及到正四棱锥、球等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想,是中档题.由棱长都相等正四棱锥S-ABCD侧面积为16,求出棱长为4,设球心为O,四棱锥是S-ABCD,则五个几何体:O-SAB、O-SBC、O-SDC、O-SAD、O-ABCD的体积和等于整个四棱锥的体积,而这五个几何体的高都是球半径r,由此能求出该正四棱锥内切球的半径,从而求出内切球的表面积.【解答】解:设棱长都相等正四棱锥S-ABCD的棱长为a,∵其侧面积为16,∴4×()=16,解得a=4,过S作SE⊥平面ABCD,垂足为E,连结BE,则BE==2,SE==2,设球心为O,则五个几何体:O-SAB、O-SBC、O-SDC、O-SAD、O-ABCD的体积和等于整个四棱锥S-ABCD的体积,而这五个几何体的高都是球半径r,∴=,解得r=,该正四棱锥内切球的表面积为S=4π()2=(32-16)π.故答案为:(32-16)π.17.【答案】解:(1)原式=+×=+2=.(2)原式=+2-1×(-2)-++=25+4-3+10+=37.【解析】(1)利用指数运算性质即可得出.(2)利用指数与对数运算性质即可得出.本题考查了指数与对数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.程是y-3=(x-2),化为一般式方程为x-2y+4=0;(2)设过三点O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,解得D=-8,E=6,F=0.即圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,故圆的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.【解析】(1)用点斜式写出直线方程,再化为一般式方程;(2)设过三点O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把三个点的坐标代入求出D、E、F的值,可得圆的方程.本题考查直线方程以及圆的标准方程的求解,利用待定系数法求出圆的一般方程是解决本题的关键,是中档题.19.【答案】解:(1)由题意可知f(-x)=-f(x),∴,∴b=0.…(3分)∴,∵,∴a=1,∴.…(6分)(2)f(x)在(-1,1)上递增,证明如下:设-1<x1<x2<1,则:f(x1)-f(x2)=,∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,∴1-x1x2>0,,∴,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在(-1,1)上是增函数.…(12分)【解析】(1)根据函数的奇偶性求出b的值,根据求出a的值,从而求出f(x)的解析式即可;(2)根据函数单调性的定义证明即可.本题考查了函数的奇偶性、单调性问题,考查根据函数单调性的定义证明函数的单调性问题,是一道中档题.20.【答案】解:(1)方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有,解得,故所求圆的方程为x2+y2+4x-12y+24=0.(2)如图所示,|AB|=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,∴|AD|=2,|AC|=4.在Rt△ACD中,可得|CD|=2.当直线l的斜率不存在时,满足题意,此时方程为x=0.当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:=2,得k=,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.【解析】(1)把点P、Q的坐标和圆心坐标代入圆的标准方程,利用待定系数法求得系数的值;(2)分类讨论,斜率存在和斜率不存在两种情况.①当直线l的斜率不存在时,满足题意,易得直线方程;②当直线l的斜率存在时,设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y-5=kx,由点到直线的距离公式求得k的值.本题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有两点间的距离公式,点到直线的距离公式,圆的标准方程,属于中档题.21.【答案】证明:(1)连接AC1,设A1C∩AC1=F,则F为AC1的中点,因为E为AB的中点,所以EF∥BC1.又BC1⊄平面A1CE,EF⊂平面A1CE,所以BC1∥平面A1CE.(2)在△ABC中,由BC=3,AC=4,AB=5,得∠ACB=90°,即AC⊥BC;在△A1AB中,同理可得A1A⊥A1B.因为侧面ACC1A1⊥底面ABC,侧面ACC1A1∩底面ABC=AC,平面ABC,所以BC⊥平面ACC1A1.又A1A⊂平面ACC1A1,所以BC⊥A1A,又A1B∩BC=B,平面A1BC,所以A1A⊥平面A1BC.解:(3)因为A1A⊥平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,所以A1A⊥A1C.在直角△AA1C中,由AA1=3及AC=4,得.所以=.【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.(1)连接AC1,设A1C∩AC1=F,则F为AC1的中点,从而EF∥BC1.由此能证明BC1∥平面A1CE.(2)推导出AC⊥BC,A1A⊥A1B,BC⊥A1A,由此能证明A1A⊥平面A1BC.(3)推导出A1A⊥A1C.再由,能求出三棱锥A1-ACE的体积.22.【答案】解:(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,所以直线AC的方程为:x=0,又直线CD的方程为:2x-2y-1=0,联立得解得,所以,设B(b,0),则AB的中点,代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以B(2,0);(2)由A(0,1),B(2,0)可得,圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,注意到BP也是圆M的弦,所以,圆心在直线上,设圆心M坐标为,因为圆心M在直线4x-2y-3=0上,所以2m-2n+1=0①,又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P,所以k MP=-1,即,整理得m-2n-2=0②,由①②解得m=-3,,所以,圆心,半径,则所求圆方程为+=,化简得x2+y2+x+5y-6=0.【解析】(1)由AC边上的高BH所在直线的方程为y=0即x轴,得到AC边所在直线的方程为x=0即y轴,把x=0与2x-2y-1=0联立即可求出C的坐标,因为点B在x轴上,可设B的坐标为(b,0)利用中点坐标公式求出AB的中点D的坐标,把D的坐标代入到中线CD的方程中即可求出b的值,得到B的坐标;(2)根据A和B的坐标求出线段AB的垂直平分线方程,根据B和P的坐标求出线段BP的垂直平分线方程,设出圆心M的坐标,代入AB垂直平分线方程得到①,然后根据斜率为1的方程与圆相切,利用两直线垂直时斜率乘积为-1得到直线MP的斜率为-1,根据M和P的坐标表示出直线MP的斜率让其等于-1得到②,联立①②即可求出圆心M的坐标,然后利用两点间的距离公式求出线段MA的长度即为圆的半径,根据所求的圆心M和半径写出圆的方程即可.此题考查学生掌握三角形的中线所在直线的方程及高所在直线的方程的求法与应用,掌握两直线垂直时斜率满足的关系,掌握直线与圆相切时满足的条件,灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值,是一道中档题.。
2020-2021学年高一数学人教B版(2019)寒假作业(2)
2020-2021学年高一数学人教B 版(2019)寒假作业(2)常用逻辑用语1.3x >是2x >的( )A. 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.命题“]21,3,320x x x ⎡∀∈--+≤⎣”的否定为( ) A.]20001,3,320x x x ⎡∃∈--+>⎣ B.]21,3,320x x x ⎡∀∉--+>⎣ C.]21,3,320x x x ⎡∀∈--+>⎣D.]20001,3,320x x x ⎡∃∉--+>⎣3.古人常说:“没有金刚钻,不揽瓷器活”,则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的( ) A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.“2a b c +>”的一个充分条件是( ) A.a c >或b c >B.a c >且b c <C.a c >且b c >D.a c >或b c <5.设x y ∈R ,,则“2x ≥,且2y ≥”是“224x y +≥”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 6.命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是 ( ) A.所有能被2整除的整数都是奇数 B.所有不能被2整除的整数都不是奇数 C.存在一个能被2整除的整数是奇数 D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数7.设:p 实数,x y 满足1x >且1y >,:q 实数,x y 满足2x y +>,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A.,0x x ∀∈>R B.00,0x x ∃∈>R C.00,0x x ∃∈≤RD.,0x x ∀∈≤R9.下列有关命题的说法正确的是( )A .命题“若24x =,则2x =”的否命题为:“若24x =,则2x ≠”B .“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C .命题“x ∃∈R 使得3210x x -+≤”的否定是:“对x ∀∈R 均有3210x x -+≤”D .命题“若x y =,则cos cos x y =”的逆否命题为真命题10.已知条件:12p x +>,条件:q x a >,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,则a 的取值范围是( ) A .1a ≥B .1a ≤C .3a ≥-D .3a ≤-11.“05x <<”是“24x -<”的________条件.12.以下说法是否正确: 24a >①是2a >的充分条件;()()120x x ++=②是2x =-的充要条件; 22a b =③是a b =的充要条件;a b <④是22ac bc <的必要条件.请把正确的序号填在横线上___________ .13.若“24x >”是“x a <”的必要不充分条件,则a 的最大值为________14.已知集合{}|5A x x =>,集合{}|B x x a =>,若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 15.设{}{}:11,:||A x x B x b a x b a αβ=-<<=-<<+.(1)设2a=,若α是β的充分不必要条件,求实数b的取值范围;(2)在什么条件下,可使α是β的必要不充分条件答案以及解析1.答案:A解析:若“3x >”成立,则“2x >”一定成立;反之若“2x >”成立,例如 2.5x =,“3x >”不一定成立; 所以“3x >”是“2x >”的充分不必要条件, 故选A. 2.答案:A解析:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,∴命题“[]21,3,320x x x ∀∈--+”的否定为[]20001,3,320x x x ∃∈--+>. 故选A. 3.答案:B解析:“没有金刚钻,不揽瓷器活”的逆否命题为“揽瓷器活则有金刚钻”; 根据互为逆否命题的真假性相同,可得“揽瓷器活”是“有金刚钻”的充分条件, 则“有金刚钻”是“揽瓷器活”的必要条件. 4.答案:C解析:对于A ,a c >或b c >不能保证2a b c +>成立,故A 不符合题意;对于B ,a c >且bc <不能保证2a b c +>成立,故B 不符合题意;对于C ,a c >且b c >,由不等式的性质知,2a b c +>,故C 符合题意;对于D ,a c >或b c <不能保证2a b c +>成立,故D 不符合题意.故选C. 5.答案:A解析:若2x ≥且1,y ≥则224,1x y ≥≥,所以225x y +≥,所以224x y +≥成立. 若224x y +≥,不妨设3,0x y =-=.满足224x y +≥,但2x ≥且1y ≥不成立. 所以“2x ≥且1y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件. 故选A. 6.答案:D解析:命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是 “存在一个不能被2整除的整数不是奇数”,故选D. 7.答案:A解析:由1x >且1y >,可得:2x y +>,反之不成立:例如取13,2x y ==. p ∴是q 的充分不必要条件.故选A .8.答案:D解析:由词语“有些”知原命题为特称命题,故其否定为全称命题,因为命题的否定只否定结论,故选D. 9.答案:D解析:对于A ,因为命题“若24x =,则2x =”的否命题为:“若24x ≠,则2x ≠”,故A 错;对于B ,“1x =-”是“220x x --=”的充分不必要条件,故B 错;对于C , 命题“R x ∃∈使得3210x x -+≤”的否定是:“对R x ∀∈ 均有3210x x -+>”,故C错;对于D , 命题“若x y =,则cos cos x y =”是真命题,故其逆否命题为真命题,所以D 正确,故选D. 10.答案:A解析:∵:12p x +>, ∴:1p x >或3x <-,∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件, ∴q 是p 充分不必要条件, ∴p 定义为集合,p q 定义为集合q , ∵:,:1q x a p x >>或3x <-, ∴1a ≥ 故选:A 11.答案:充分 解析:24,424,26x x x -<∴-<-<∴-<<,由数轴表示不等式(如图),可以看出,0526x x <<⇒-<<,即“05x <<”是“24x -<”的充分条件.12.答案:③④解析:对于①,242a a >⇔>或2a <-,24a ∴>成立推不出2a >,∴①错; 对于②,()()1201x x x ++=⇔=-或2x =-推不出2x =-,∴②错;对于③,22a b a b =⇔=,∴③对;对于④,22,ac bc a b <⇒<∴④对. 故答案为③④ 13.答案:-2解析:由题意,{|}x x a <是{|22}x x x ><-或的真子集,故2a ≤- 14.答案:(,5)-∞ 解析:命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件,AB ∴.故5a <15.答案:(1)2a =,:{|22}B x b x b β∴=-<<+.若α是β的充分不必要条件, 则AB ,即2121b b -≤-⎧⎨+≥⎩ (两等号不能同时成立),解得,1[]1b ∈-.(2)若α是β的必要不充分条件,则B A ,即11b a b a -≥-⎧⎨+≤⎩,且两个等号不同时成立. 即1,1a b a <≤-时,可使α是β的必要不充分条件.。
高一上学期数学寒假作业二
启明班寒假作业二学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.若函数2(0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭两零点间的最小距离为2π,则ω=( )A .1B .2C .3D .42.已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,其图象与直线1y =的相邻两个交点的距离分别为3π和23π,若13 f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则ϕ的值为( )A .6π B .6π- C .3π- D .3π3.设函数())f x x ωϕ=-,x ∈R ,其中0ω>,||ϕπ<.若08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,58f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的最小正周期大于2π,则( )A .13ω=,1124πϕ=B .13ω=,712πϕ=-C .23ω=,1112πϕ=D .23ω=,12πϕ=-4.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减,则实数ω的取值范围是( )A .2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[)1,2D .3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.已知函数()()sin f x x α=+在,43x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增,则α的值可以是( )A .3π-B .4π-C .4π D .3π 6.若函数()()()sin πf x x ϕϕ=+<在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调,则ϕ的值为( )A .2π3-或π3B .π3-或2π3C .5π6-或6π D .π6-或5π6 7.若函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()πcos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减,则b a -的最大值为( )A .π3B .π2C .6πD .π 8.若函数()2sin 23f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是奇函数,则ϕ的值可以是( )A .56π B .2π C .23π-D .2π-9.函数()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数的一个充分条件( )A .6πϕ=B .6πϕ=-C .3πϕ=D .3πϕ=-10.已知函数()sin 22f x x x =,若函数()y f x ϕ=-为奇函数,则||ϕ的最小值是( ) A .12π B .6π C .3π D .712π 11.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则||ϕ的最小值为( )A .π6B .π3C .2π3D .4π312.将函数2sin()3y x π=+的图象向左平移()0m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A .12π B .6π C .3π D .23π13.已知函数()21cos cos (0,)2f x x x x a x R ωωω=+->∈在[]0,π内有且仅有三条对称轴,则ω的取值范围是( ) A .27,36⎛⎫ ⎪⎝⎭B .75[,)63C .513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D .138,63⎛⎫ ⎪⎝⎭14.已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在(π,2π)内不存在对称中心,则ω的取值范围为( ).A .12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C .10,6⎛⎤⎥⎝⎦ D .1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦15.若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(),2ππ内没有最值,则ω的取值范围是( )A .1120,,1233⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B .1170,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦C .70,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D .12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.若函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0ω>)在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭有最大值无最小值,则ω的取值范围是( )A .48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B .48,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C .416,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D .416,33⎛⎤ ⎥⎝⎦17.已知函数()()sin cos 0f x x a x a =+>的最大值为2,若方程()f x b =在区间13π0,6⎛⎫⎪⎝⎭内有三个实数根123,,x x x ,且123x x x <<,则1232x x x ++等于( )A .8π3 B .10π3C .4πD .25π618.已知函数()()22cos 10,2xf x x x ωωω=->∈R ,若函数()f x 在区间(),2ππ上没有零点,则ω的取值范围是( ) A .55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B .211,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .511,612⎛⎫⎪⎝⎭D .250,,1211312⎛⎫ ⎪⎝⎝⎛⎤ ⎥⎦⎭19.已知函数()()1sin 0f x x x ωωω=+>在()0,π上有且只有3个零点,则实数ω的取值范围是( ) A .1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦B .137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦C .725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦20.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象的两相邻对称轴之间的距离为2π,且3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数,则ϕ=( )A .6π B .6π- C .3π- D .3π21.若直线12x π=是曲线()sin 04y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴,且函数sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,则ω的最小值为( )A .9B .15C .21D .3322.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,且在区间[]0,π上只取得一次最大值,则ω的取值范围是( )A .30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦ C .28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦23.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,若函数()f x 的一个零点为6π.其图像的一条对称轴为直线512x π=,且()f x 在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调,则ω的最大值为( )A .2B .6C .10D .1424.已知函数()sin()(0,0)f x A x ωϕωϕπ=+><<为偶函数,在0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减,且在该区间上没有零点,则ω的取值范围为( ) A .30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题25.已知函数()cos f x x x ωω-(0)ω>的最小正周期为π,则ω=___.26.已知函数()()sin f x x ω=(0ω>)在区间ππ,123⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增,在区间π5π,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,则ω的值是______.27.已知函数()sin 2062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,则ϕ的取值范围为_________.28.将函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6π个单位长度,得到函数()y g x =的图像,若函数()y g x =为偶函数,则ω的最小值为_________.29.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<,且()f x 与()3f x π+均为偶函数,则ω的最小值是______.30.已知函数()()ππsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π4x =对称,则ϕ=__________.31.若函数sin y x ω=(0ω>)在区间[]0,2上恰好取到3次最小值,请写出一个符合题意的ω的值:___________. 32.已知函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值,那么正实数ω的取值范围是________.33.设函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,若()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点,则实数ω的取值范围为______.34.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>,若函数()f x 的图像在区间π()0,x ∈上恰有2个零点,则实数ω的取值范围为__________. 35.函数()()4sin 6f x x πωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ,若,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心,且()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调,则ω的最小值为_________.36.已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数,()f x 在区间π7π,312⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调,则ω的最大值为_________.37.已知函数()2sin f x x ω=(0ω>)在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点,则实数ω的取值范围是_______. 38.已知函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0ω>,2πϕ<),若()0f T =(T 为周期),4x π=是函数()f x 图像的一条对称轴,()f x 在区间3,816ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的值为______.。
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十堰市高一数学寒假补习题精选2一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则∁U A=()A. {1,3}B. {3,7,9}C. {3,5,9}D. {3,9}2.函数y=2cos x-1的最大值、最小值分别是()A. 2,-2B. 1,-3C. 1,-1D. 2,-13.函数f(x)=-x的图象关于()A. y轴对称B. 直线y=-x对称C. 坐标原点对称D. 直线y=x对称4.若向量,向量,则=()A. (-2,-4)B. (3,4)C. (6,10)D. (-6,-10)5.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数为()A. 1B. 4C. 1 或4D. 2 或46.方程log3x+x=3的解所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)7.已知α∈(,π),sinα=,则tan(α+)等于()A. B. 7 C. D.8.在(0,2π)内,使sin x-cos x<0成立的x取值范围是()A. (,)B. (0,)C. (,π)∪(,2π)D. (0,)∪(,2π)9.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则()A. y3>y1>y2B. y2>y1>y3C. y1>y2>y3D. y1>y3>y210.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为()A. 1B.C. -1D. -411.已知a>0且a≠1,函数y=a x与y=log a(-x)的图象可能是()A. B. C. D.12.设D为△ABC中BC边上的中点,且O为AD边上靠近点A的三等分点,则()A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.函数f(x)=的单调递减区间是______.14.如果幂函数f(x)的图象过点(16,),那么f(64)=______.15.设α为钝角,且3sin2α=cosα,则sinα=______.16.关于平面向量有下列三个命题:①若•=•,则=;②已知=(k,3),=(-2,6),若∥,则k=-1;③(+)•(-)=0.其中正确的命题为______.(写出所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设U=R,A={x|2x-3≤1},B={x|2<x<5},C={x|a≤x≤a+1}(a为实数).(1)求A∩B;(2)若B∪C=B,求a的取值范围.18.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0),f(x)图象相邻最高点和最低点的横坐标相差,初相为.(Ⅰ)求f(x)的表达式;(Ⅱ)求函数f(x)在上的值域.19.已知函数f(x)=b•a x(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若不等式在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.20.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x(1)求f(x)最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.21.已知=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|-|=,求证:⊥;(2)设=(0,1),若+=,求α,β的值.22.已知f(x)=(x2-ax-a).(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间及值域;(2)若f(x)在(-∞,-)上为增函数,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解:从全集U中,去掉1,5,7,剩下的元素构成C U A.故选:D.从U中去掉A中的元素就可.集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合.2.【答案】B【解析】解:∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,函数取得最大值为2-1=1,当cos x=-1时,函数取得最小值为-2-1=-3,故最大值,最小值分别为1,-3,故选:B.根据三角形函数的有界性,即可求出函数的最值.本题主要考查函数的最值的求法,利用三角函数的有界性是解决本题的关键,比较基础.3.【答案】C【解析】解:∵f(-x)=-+x=-f(x)∴是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称故选:C.根据函数f(x)的奇偶性即可得到答案.本题主要考查函数奇偶性的性质,是高考必考题型.4.【答案】A【解析】解:∵向量,向量,∴,∴=(-4,-7)-(-2,-3)=(-2,-4).故选:A.由向量,向量,知,再由,能求出结果.本题考查平面向量的坐标运算,是基础题.解题时要认真解答,仔细运算.5.【答案】C【解析】解:设扇形的圆心角为αrad,半径为Rcm,则,解得α=1或α=4.故选:C.设出扇形的圆心角为αrad,半径为Rcm,根据扇形的周长为6 cm,面积是2cm2,列出方程组,求出扇形的圆心角的弧度数.本题考查扇形面积公式,考查方程思想,考查计算能力,是基础题.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点的判定定理,求解本题的关键是将方程有根的问题转化为函数有零点的问题从而利用零点存在性定理判断函数的零点所在的区间,即得函数的解所在的区间.解题时根据题设条件灵活转化,可以降低解题的难度.转化的过程就是换新的高级解题工具的过程.可构造函数f(x)=log3x+x-3,方程log3x+x=3的解所在的区间是函数f(x)=log3x+x-3零点所在的区间,由零点存在的定理对四个选项中的区间进行验证即可.【解答】解:构造函数f(x)=log3x+x-3,方程log3x+x=3的解所在的区间是函数f(x)=log3x+x-3零点所在的区间,由于f(0)不存在,f(1)=-2<0,f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0故零点存在于区间(2,3)方程log3x+x=3的解所在的区间是(2,3)故选C.7.【答案】A【解析】解:已知,则,∴=,故选:A.先根据sinα的值求出tanα,然后根据两角和与差的正切公式可得答案.本题主要考查两角和与差的正切公式.属基础题.8.【答案】D【解析】【分析】本题求(0,2π)内使sin x<cos x成立的x取值范围,着重考查了三角函数式的化简和正弦函数的图象与性质等知识,属于基础题.化简得sin(x-)<0,结合正弦函数的图象解关于x的不等式得到-+2kπ<x<+2kπ,分别取k=0和k=1,并将得到的范围与(0,2π)取交集,可得答案.【解答】解:sin x-cos x<0化简得sin(x-)<0令-π+2kπ<x-<2kπ(k∈Z),得-+2kπ<x<+2kπ取k=0,得-<x<;取k=1,得<x<再将以上范围与(0,2π)取交集,可得x∈(0,)∪(,2π)故选D.9.【答案】D【解析】解:利用幂的运算性质可得,y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=()-1.5=21.5,再由y=2x是增函数,知y1>y3>y2.故选:D.先上面的三个数都化成同一个底,再由指数函数的单调性判断大小.指数式比较大小时,应先将底化相同,再利用单调性比较大小,若不能化为相同,可考虑找中间变量,如0,1来比较.10.【答案】A【解析】解:∵角α的终边上有一点P(1,3),∴x=1,y=3,r=|OP|=,∴sinα==,cosα==,则===1,故选:A.由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα 和cosα的值,再利用诱导公式进行化简所给的式子,可得结果.本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,属于基础题.11.【答案】B【解析】解:若0<a<1,曲线y=a x函数图象下降,即为减函数,且函数图象过(0,1),而曲线y=log a(-x)函数图象上升,即为增函数,且函数图象过(-1,0),以上图象均不符号这些条件;若a>1,则曲线y=a x上升,即为增函数,且函数图象过(0,1),而函数y=log a(-x)下降,即为减函数,且函数图象过(-1,0),只有选项B满足条件.故选:B.根据a的取值分两种情况考虑:当0<a<1时,根据指数函数的图象与性质得到y=a x为减函数,即图象下降,且恒过(0,1),而对数函数为增函数,即图象上升,且恒过(-1,0),但是四个选项中的图象没有符合这些条件;当a>1时,同理判断发现只有选项B的图象满足题意,进而得到正确的选项为B.12.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量加法、减法及数乘的几何意义,向量的数乘运算,属于基础题可先画出图形,根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出.【解答】解:∵D为△ABC中BC边上的中点,∴=(+),∵O为AD边上靠近点A的三等分点,∴=,∴=(+),∴=-=-(+)=(-)-(+)=-+.故选:A.13.【答案】(2,+∞)【解析】解:令t=x2-4x-5,∴t在(2,+∞)上是增函数又∵f(x)=在(2,+∞)是减函数根据复合函数的单调性可知:函数f(x)=y=()的单调递减区间为(2,+∞)故答案为:(2,+∞)利用复合函数的单调性求解,先将函数转化为两个基本函数t=x2-4x+3,t>0,y=log0.5t,由同增异减的结论求解.本题主要考查复合函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,这类题,弹性空间大,可难可易.14.【答案】【解析】解:∵幂函数的图象经过点(16,),∴=16α∴4α=-1,α=-∴f(x)=,∴f(64)═,故答案为:.先设出幂函数解析式,再通过经过点(16,),解得参数a的值,从而求得其解析式,再代入64求值.本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题.幂函数要求较低,但在构造函数和幂的运算中应用较多.不能忽视.15.【答案】【解析】解:∵α为钝角,∴cosα≠0,∵3sin2α=cosα,即6sinαcosα=cosα,则sinα=,故答案为:.由题意利用二倍角公式,求得sinα的值.本题主要考查二倍角公式的应用,属于基础题.16.【答案】②③【解析】【分析】本题考查向量的数量积的定义和性质,以及共线向量的坐标表示,考查方程思想和运算能力,属于基础题.由向量数量积不满足消去律,可判断①;由向量共线的坐标表示可判断②;由向量数量积的性质:向量的平方即为模的平方,可判断③.【解答】解:①若•=•,可得•-•=•(-)=0,不一定有=,故①错误;②已知=(k,3),=(-2,6),若∥,可得6k=-6,则k=-1,故②正确;③(+)•(-)=-=1-1=0,故③正确.故答案为:②③.17.【答案】解:(Ⅰ)∵2x-3≤1∴x≤3,∴A∩B={x|2<x≤3};(Ⅱ)由B∪C=B得C⊆B,∴即2<a<4,∴a∈(2,4).【解析】(Ⅰ)先确定集合A,然后直接利用交集运算得答案;(Ⅱ)由B∪C=B得C⊆B得即2<a<4.本题主要考查集合的基本运算,利用集合的关系是解决本题的关键.18.【答案】解:(I)依题意函数f(x)的周期为π,∴ω==2,又初相为,∴φ=,从而f(x)=sin(2x+),(II)因为x∈[0,],所以≤2x+≤,∴-≤sin(2x+)≤1;∴函数f(x)=sin(2x+)的值域为[-,1].【解析】(Ⅰ)依题意,可求得数f(x)的周期为π,从而可求得ω,初相φ=,从而可得f(x)的表达式;(Ⅱ)由x∈[0,],可得≤2x+≤,利用正弦函数的单调性即可求得函数的值域.本题考查由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查复合三角函数的单调性与最值,属于中档题.19.【答案】解:(I)由题意得,∴a=2,b=3,…(2分)∴f(x)=3•2x…(4分)(II)设,则y=g(x)在R上为减函数.…(7分)∴当x≤1时,…(9分)∵在x∈(-∞,1]上恒成立,…(10分)∴g(x)min≥2m+1,…(11分)∴,∴∴m的取值范围为:.…(12分)【解析】(I)将点的坐标,代入函数解析式,即可求得f(x)的解析式;(II)求出在x∈(-∞,1]上的最小值,不等式在x∈(-∞,1]上恒成立,转化为g(x)min≥2m+1,从而可求实数m的取值范围.本题考查函数解析式的确定,考查恒成立问题,求出函数的最值是关键.20.【答案】解:,(1)函数的最小正周期T=.(2)∵,∴∴,即时,∴,即时,f(x)min=0.故得f(x)在区间上的最大值为,最小值为0.【解析】(1)利用二倍角和辅助角化简f(x),结合三角函数的图象及性质可得最小正周期.(2)x∈上,求解内层函数的范围,结合三角函数的图象及性质可得最大值和最小值.本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.21.【答案】解:(1)由=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),则=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),由=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2,得cosαcosβ+sinαsinβ=0.所以.即;(2)由得,①2+②2得:.因为0<β<α<π,所以0<α-β<π.所以,,代入②得:.因为.所以.所以,.【解析】(1)由给出的向量的坐标,求出的坐标,由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0,由此得到结论;(2)由向量坐标的加法运算求出+,由+=(0,1)列式整理得到,结合给出的角的范围即可求得α,β的值.本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量的模,考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数,解答的关键是注意角的范围,是基础的运算题.22.【答案】解:(1)f(x)=(x2+x+1),由z=x2+x+1(z>0,可得x∈R),且z在(-∞,-)递减,在(-,+∞)递增,即有y =z在(0,+∞)递减,可得y=f(x)的增区间为(-∞,-),减区间为(-,+∞);由x2+x+1=(x +)2+≥,可得f(x)=(x2+x+1)≤log,即值域为(-∞,log];(2)f(x)在(-∞,-)上为增函数,可得,解得-1≤a ≤.【解析】(1)可设z=x2+x+1,y =z,由对数函数的单调性和二次函数的单调性,可得单调区间和值域;(2)由题意可得,解不等式可得所求范围.本题考查复合函数的单调性的判断和运用,注意运用对数函数和二次函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.第11页,共11页。