控制算法

本周主要学习了PD 控制、迭代学习控制和神经网络控制的基本原理，对这些基本的控制算法有了一定的了解，并利用这些控制方法对简单的二关节机器人进行了控制，做出了仿真结果，利用李亚普洛夫定理证明了各种控制方法的稳定性。

独立PD 控制
PD 控制是控制理论中一种常用且简单的方法，其原理简单、参数可调，并且物理上易于实现，因此，PD 算法已经得到了广泛的应用。

PD 控制算法的原理简单的说，就是不断的对输入与输出的差值（误差）进行比例与积分运算直至误差变为0。

采用PD 控制算法控制的机器人模型简化如下：
()(,)D q q C q q q
τ+= ，其中D 、C 、q 均为机器人参数矩阵。

若取跟踪误差为：d e q q =-（d q 为参考位置）
，那么由PD 控制的原理可得控制律为： p d u K e K e
=+ ，编程实现算法，在MATLAB 的仿真结果如下图所示：
由以上两图可以看出，适当的加大p K 与d K 的值能够改善控制结果，当然物极必反，若太大，系统就会变得不稳定，在物理上也难以实现。

由仿真结果可以得到PD 算法能够使机器人系统保持稳定，下面从数学上加以说明：
将得到的控制律带入系统模型方程：
()(,)d p D q q C q q q
K e K e +=+ ，由d e q q =-（d q 为常值）可将其化简得： ()[(,)]0d p D q e C q q K e
K e +++= ，此式即为控制系统，现在用李亚普洛夫定理证明其稳定性。

选取李亚普洛夫函数（参考）为：
11()22
T T p V e D q e e K e =
+ 因为()D q 与p K 是正定的，e 为正数，所以V 是全局正定的，对V 求导可得：
1()()2
T T T p V e D q e
e D q e e K e =++
，由D
q C q - 的斜对称性可得：
()2()T T e D q e e C q e
= 。

则：
()()(()())0T T T T T p p d V e D q e e C q e e K e e D q e C q e
K e e K e =++=++=-≤ 从而有V 的正定性与V 的负定性可得原系统是李亚普洛夫意义上的稳定。

迭代控制算法
迭代控制是一种学习控制，它是通过一定的学习律对系统输入不断的学习 ，然后通过迭代修正，从而达到某种控制目标的改善。

其基本原理和控制目标叙述如下： 对一非线性系统：
()((),(),),()((),(),)
x
t f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎨
=⎩ 其中x 为状态变量，u 为输入变量，y 为输出变量 系统的结构和参数均未知，若期望控制d u 存在，则迭代学习的目标为：给定期望输出()d y t 和每次运行的初始状态(0)k x ，要求在给定的时间范围内按照一定的学习控制算法通过多次重复的运行，使控制输入k u →d u ，而系统输出()k y t →()d y t
简单的说，迭代学习就是寻找一个控制律k u ，使得被控对象输出()d y t ，并且在有限时间内沿着整个期望轨迹实现零误差轨迹跟踪。

迭代学习适合于具有重复运动性质的被控对象。

以下对二关节的机器人，动态性能方程如下式：()(,)()M q q C q q q G q τ++=
两关节的位置指令分别为sin(3
)和cos(3)t t ,为了保证被控对象初始输出与指令初值一致，取被控对象的初始状态为03
10x ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，采用闭环PD 型迭代控制律对其进行控制：
11+1()()(()())(()())k k p d k d d k u t u t K q t q t K q t q t ++=+-+- ，
在MATLAB 中的仿真结果如下图所示：
下面从数学上对系统的稳定性加以证明：将上述动态性能方程可化为：
1()(()(,))q M q G q C q q q
τ-=-- 此为二阶微分方程，若令：
111222()()(t),(t),(),()()()x t x
t x q x q x t x
t x t x t ⎛⎫
⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则可讲上式化为状态方程： 2111121
21()()0()()(())()()[(())()(())]()()
x t x t x t t M x t x t M x t C x t x t G x t y t x t τ--⎧
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪
=
⎩ 对于上述状态方程：令21121()(())()[(())()(())]x t A x t M x t C x t x t G x t -⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭
，
110()(())B t M x t -⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭
则上式可简化为：()(())()()
()()x t A x t B t t y t x t τ⎧=+⎨=⎩ 输出误差为：()()()k d k e t y t y t =
-，对于上述系统，类PD 迭代控制律为：
1()()()(())()(())k k k k k k u t u t t P g x e t g x e
γλ+=++Γ 稳定性的证明（略），详见论文《一种机器人轨迹跟踪控制的迭代学习算法方法》
神经网络控制
神经网络控制是一种根据生物学上神经元原理，通过数学物理模型抽象出来的一种智能控制方法，由于神经网络控制算法种类众多，我仅对RBF 神经网络进行了了解和学习。

神经网络的三要素：输入、输出、神经元，神经网络的结构主要有神经元结构决定。

构建神经网络的目的就是求权重，即是通过现有的一些数据，通过不断学习，推导出网络的特性，根据推导出的特性，求未知输入数据产生的输出。

RBF 神经网络是一种严格的三层网络，其输入层只负责信号传递，不对信号做任何处理；隐含层采用径向奇函数做激活函数，完成输入空间到隐含层空间的转换，输出层采用Purelin 函数，对隐含层输出进行线性组合，产生最终对激励信号的响应信号。

综上可知，RBF 神经网络的本质是把输入数据从一个不可求解空间转换到另外一个可求解的空间，然后再可求解的空间中对数据进行求解。

这种转换是通过设定的转换函数来实现
的，在RBF 神经网络中，经常采用的是高斯函数：2
2
()exp()2x x μσ
-Φ=- 。

RBF 算法描述：
在RBF 网络结构中，12[,,...,]T
n X x x x =为网络的输入向量。

设RBF 网络的径向基向量1[,...,]T m H h h =，其中m h 为上述高斯基函数，其中网络的第j 个节点的中心适量为1[,...,]j j jn c c c =。

设网络的基宽向量为：1[,...,]
T
m B b b =，j b 为j 的基宽度参数，网络的权向量为：
1[,...,]
T
m W w w =，RBF 网络的输出为：
1122()...m m m y t w h w h w h =+++。