嘉定区2016年高三数学文科一模试卷

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）时间120分钟 满分 150分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=+-+∞→221lim 22n n n n ____________． 2．设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-+=R x x x xB ,011，则=B A __________． 3．若函数x a x f =)(（0>a 且1≠a ）的反函数的图像过点)1,3(-，则=a _________． 4．已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是_________． 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱11B A 的中点，则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为π2，侧面积也为π2，则该圆锥的体积为______________． 7．已知012cos sin =αα，则=α2sin ____________． 8．某程序框图如图所示，则该程序运行后 输出的S 值是_____________．9．过点)2,1(P 的直线与圆422=+y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则实数a 的值 为___________．10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是____________． 11．设)12,(k PA =，)5,4(=PB ，),10(k PC =，则=k _________时，点A ，B ，C共线．12．已知*N ∈n ，若80222211221=++++--n n n n n n C C C ，则=n _______．开始 1←k ，0←S2015≤k)1(1++←k k S S1+←k k输出S结束是否13．设数列}{n a 满足21=a ，nn a a 111-=+，记数列前n 项的积为n P ，则2016P 的值为 __________．14．对于函数)(x f y =，若存在定义域D 内某个区间],[b a ，使得)(x f y =在],[b a 上的 值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =在定义域D 上封闭．如果函数||14)(x xx f +-=在R 上封闭，那么=-a b _____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”是“2πϕ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面； ④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外． 其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．若椭圆122=+my x 的焦距为2，则m 的值是（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 18．已知等比数列}{n a 中，各项都是正数，且13a ，321a ，22a 成等差数列，则7698a a a a ++等 于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知R ∈x ，设)c o s s i n ,c o s 2(x x x m += ，)cos sin ,sin 3(x x x n -=，记函数n m x f⋅=)(．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2)(=C f ，3=c ，3=+b a ，求△ABC 的面积S ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设函数xxa a k x f --⋅=)(（0>a 且1≠a ）是奇函数．（1）求常数k 的值；（2）设1>a ，试判断函数)(x f y =在R 上的单调性，并解关于x 的不等式0)12()(2<-+x f x f ．α ① ②22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线py x 22=，准线方程为01=+y ，直线l 过定点),0(t T （0>t ）且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求抛物线的方程；（2）OB OA ⋅是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）当1=t 时，设TB AT ⋅=λ，记)(||λf AB =，求)(λf 的解析式．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数n n n y i x z ⋅+=，其中n x R ∈n y ，*N ∈n ，i 为虚数单位，n n z i z ⋅+=+)1(1，i z 431+=，复数n z 在复平面上对应的点为n Z ．（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当14+=k n （*N ∈k ）时，n OZ ∥1OZ ；（3）求数列}{n n y x ⋅的前100项之和．2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（文）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分） 1．21 2．},01{R ∈<≤-x x x （或)0,1[-） 3．314．2 5．510arccos 6．π337．54 8．20162015 9．43 10．10911．2-或11 12．4 13．1 14．6二．选择题（每题5分，满分20分）15．B 16．C 17．A 18．D三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大． ………………………………………………………………（2分） 解法一：此时，梯形ABED 的面积等于400202=（2cm ）， …………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 2030-=DE ，AD AB DE S ABED ⋅+=)(21， 即40020)tan 2060(21=⋅-⋅α，解得1tan =α，︒=45α． ………………（5分） 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． ……………（6分） 解法二：此时，△BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200=∆BEC S （2cm ）， ………………………………………………（3分） 因为α=∠CBE ，所以αtan 21212⋅⋅=⋅⋅=∆BC CE BC S BEC ，即200tan 200=α， 解得1tan =α，︒=45α． …………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是︒45． …………（6分）α ︒60 AB C D A B CD③ ④E F（2）如图④，当︒=60α时，设上液面为BF ，因为︒<=∠6023arctanCBD ， 所以点F 在线段AD 上， …………………………………………（1分） 此时︒=∠30ABF ，31030tan =︒⋅=AB AF ，=∆ABF S 315021=⋅⋅AF AB （2cm ）， …………………………（3分） 剩余溶液的体积为33000203150=⨯（3cm ）， …………………（4分） 由题意，原来溶液的体积为80003cm ，因为3000330008000<-，所以倒出的溶液不满30003cm ． ……（5分）所以，要倒出不少于30003cm 的溶液，当︒=60α时，不能实现要求．…（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）x x x x x x n m x f 2cos 2sin 3cos sin cos sin 32)(22-=-+=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx ． ……………………………………（3分）所以)(x f 的最小正周期是π=T ． ………………………（4分） 由226222πππππ+≤-≤-k x k ，Z ∈k ， ……………………（6分）得函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-3,6ππππk k （Z ∈k ）． ……（7分） （2）由2)(=C f ，得162sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πC ， …………………………（1分） 因为π<<C 0，所以611626πππ<-<-C ， 所以262ππ=-C ，3π=C ． ………………………………（3分）在△ABC 中，由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， …………（4分）得ab b a ab b a 3)(3222-+=-+=，即2=ab ， ………………（5分）所以△ABC 的面积2323221sin 21=⨯⨯==C ab S ． …………（7分）21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．（1）解法一：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，因为)(x f 是奇函数，所以01)0(=-=k f ，1=k ．…………………………………………………………（3分）当1=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x x -=-=--，)(x f 是奇函数． 所以，所求k 的值为1． …………………………………………………………（6分） 解法二：函数x x a a k x f --⋅=)(的定义域为R ，由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， …………………………………（2分） 即x x x xa k a a ak ⋅-=-⋅--，0))(1(=+--x x a a k ， ………………………（4分）因为0>+-xxaa ，所以，1=k ． ……………………………………………（6分）（2）由（1），x x a a x f --=)(，任取1x ，R ∈2x ，且21x x <，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=---=-+--2121221111)()()()()(21x x x x x x x xa a a a a aa x f x f ，因为1>a ，21x x <，所以021<-xx a a ，又01121>++x x a，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，所以函数)(x f 在R 上是单调递增函数． ………………（4分）（注：也可以这样解答：1>a ，x a y =在R 上是增函数，xxa ay ⎪⎭⎫⎝⎛==-1在R 上是减函数，则x a y --=在R 上是增函数，所以x x a a x f --=)(在R 上是增函数．）由0)12()(2<-+x f x f ，得)12()(2--<x f x f ，即)21()(2x f x f -<， ……（6分） 所以x x 212-<，即0122<-+x x ，解得)21,21(+---∈x ． …………（8分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分． （1）由题意，12-=-p，2=p ， ………………………………………………（2分） 故抛物线方程为y x 42=． …………………………………………………………（4分） （2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线t kx y l +=:，则⎩⎨⎧-==+⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=.4,40444,212122t x x k x x t kx x yx t kx y …………………………（2分） 于是，2212122121)()1(t x x kt x x k y y x x OB OA ++++=+=⋅t t 42-=， ……（4分） 因为点),0(t T 是定点，所以t 是定值，所以OB OA ⋅是定值，此定值为t t 42-．…（6分）（3）)1,0(T ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,20x x TB ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==λλλλ4,20x x TB AT ，故)41,(200x x A ⋅-+-λλλ， ………………（2分）因为点A 在抛物线y x 42=上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=4142022x x λλλ，得λ420=x ．……（4分） 又T 为抛物线的焦点，故24412||)(2020++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=++==x x y y AB f B A λλλ21++=λλ，即21)(++=λλλf （0>λ）． ………………………………（6分）23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．（1）i i i z 71)43)(1(2+-=++=，i z 683+-=，i z 2144--=．…………（4分） （算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11)1(z i z n n ⋅+=-， ………………（1分） 当14+=k n 时，k k n i i )4()1()1(41-=+=+-， ………………………（3分） 令k)4(-=λ，则1z z n ⋅=λ，即则存在非零实数k)4(-=λ（*N ∈k ），使得1n OZ OZ λ=． …………（5分）所以，当14+=k n （*N ∈k ）时，n OZ ∥1OZ ． ……………………（6分）（3）因为n n n z z i z 4)1(44-=+=+，故n n x x 44-=+，n n y y 44-=+， …………（2分） 所以n n n n y x y x 1644=++， …………………………………………………………（3分） 又1211=y x ，722-=y x ，4833-=y x ，2844=y x ， …………………………（4分）)()(8877665544332211100100332211y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +++++++=++++ )(100100999998989797y x y x y x y x +++++1002521161161)2848712(-=--⋅+--=， ……………………………………（7分）所以数列}{n n y x 的前100项之和为10021-． ……………………………………（8分）。