数学(理)学军中学四次月考
浙江省重点中学四校联考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含解析)
浙江省重点中学四校联考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知复数（i 为虚数单位）,则z 的虚部为( )A.C.2．已知向量,,若与共线,则( )A. B.4 C. D.或43．如图,的斜二测直观图为等腰直角三角形,其中的面积为( )A.4．某同学坚持夜跑锻炼身体,他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位:千米）,其数据分别为17,21,15,8,9,13,11,10,20,6,则这组数据的75%分位数是( )A.12B.16C.17D.18.55．已知a ,b ,c 分别是三内角A ,B ,C 的对边,则“”是“为直角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上、下底面圆的半径分别为和.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）( )2024i i 1i z =-+1i 2-()4,a m =()2,2b m =-a b m =4-2-2-ABC △A B C '''A B ''=ABC ABC △sin cos a C a C b c +=+ABC △6cm 4cm 2cm 23B.D.7．如图,平行四边形中,,.现将沿起,使二面角大小为120°,则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C.D.8．正方形ABCD 边长为1,平面内一点满足,满足点的轨迹分别与CB ,CD 交于M ,N 两点,令,分别为和方向上的单位向量,t ,k 为任意二、多项选择题9．设,是不同的直线,,,是不同的平面,则下列说法不正确的是( )A.若,,则B.若,,则C.若,,,则 D.,,则10．已知,,则下列说法正确的是( )A.有最小值4B.C.有最小值有最小值1611．如图，点P 是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F 是线段的中点，则( )2πcm 224πcm 2πcm 225πcm ABCD 2AB BD DC ===45A ∠=︒BCD △BD C BD A --C ABD -10π15π20πP AP AB AD λμ=+ λμ+=1e 2e AB AD 1122te te ke ke -+-+- m n αβγ//m n //m α//n α//m α//m β//αβa α⊥b β⊥//a b //αβαβ⊥αγ⊥//βγ0a >b >42b=ab a b +2ab b +22a b +1111ABCD A B C D -11A BA.存在点P 使得B.若点P 满足，则动点P 的轨迹长度为C.若点P 满足平面时，动点P 的轨迹是正六边形D.当点P 在侧面上运动，且满足的最大值为60°三、填空题12．已知向量,满足在上的投影向量为______.（用表示）14．在中,,的外接圆为圆O ,P 为圆O 上的点,则的取值范围是_____________.四、解答题15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩（满分100分,成绩均为不低于40分的整数）分成六段:,,…,得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a 的值;1AP A C⊥AP BF ⊥//PF 11AC D 11B BCC FP =A CD P --a b 15a b ⋅= b b i +=ABC △ABC S AB AC =⋅= △2cos sin B A C =⋅ABC △PA PB ⋅ [)40,50[)50,60[)90,100（2）求样本成绩的第75百分位数;的平均成绩为65,方差是4,16．如图,在直三棱柱中,,为正方形.（1）求证:平面平面;（2）求二面角的余弦值.17．请从①;②;这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答在中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,若______,（1）求角B 的大小;（2）若,D 为AC 边上一点,,,求的面积.18．在菱形ABCD 中,,,以AB 为轴将菱形ABCD 翻折到菱形,使得平面平面ABCD ,点E 为边的中点,连接CE ,.（1）求证:平面;（2）求直线CE 与平面所成角的正弦值.19．如图,是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”,悬索的形状是平面几何中的悬链线,悬链)60,70111ABC A B C -11AB BB ==AC =11BCC 11A B C ⊥11B BCC 1A B C B --2sin cos cos cos a B B C B -=22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-a =ABC △3b =2BD =2AD DC =ABC △2AB =60BAD ∠=︒11ABC D 11ABC D ⊥1BC 1DD //CE 1ADD 1BDD线方程为（为参数,）,当时,该方程就是双曲余弦函数,类似的有双曲正弦函数.（1）类比正弦函数的二倍角公式,请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:______.（用,表示）（2）,不等式恒成立,求实数的取值范围;（3）设,证明:有唯一的正零点,并比较和e e 2x x c c c y -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭c e 2.71828≈1c =()()1cosh e e 2x x x -=+()()1sinh e e 2x x x -=-()sinh 2x =()sinh x ()cosh x []1,1x ∀∈-()()cosh 2cosh 0x m x +≥m ()()()()()cosh sinh ln cosh sinh 2g x x x x x =+++-⎡⎤⎣⎦()g x 0x 0x ln参考答案1．答案：B 解析：2．答案：D 解析：由两向量共线可知,即,解得或.故选:D.3．答案：D 解析：的斜二测直观图为等腰直角三角形,其中是的直观图,直角边长为,平面图形与直观图的面积之比为原平面图形的面积是4．答案：C解析：数据从小到大排列为:6,8,9,10,11,13,15,17,20,21,因为,所以这组数据的75%分位数为17.故选:C.5．答案：A解析：在中,由正弦定理可得:,由,可得:,所以,因为,所以,即,所以,因为,所以,所以为直角三角形,故“”是“为直角三角形”的充分条件;若为直角三角形,设,,,,(2)42m m ⋅-=⨯2280m m --=4m =2m =-ABC △A B C '''A B ''=A B C ∴'''△ABC △A B C ∴''△6= ∴6⨯=1075%7.5⨯=ABC △sin sin sin cos sin sin A C A C B C +=+πA C B +=-()sin sin sin cos sin sin A C A C A C C +=++sin sin cos sin sin A C A C C =+()0,πC ∈sin 0C >sin cos 1A A =+πsin cos 14A A A ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈ππ3π,444A ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4A -=A =ABC sin cos a C a C b c +=+ABC △ABC △π2C =3a =4b =5c =则,,所以,,所以,所以“”不是“为直角三角形”的必要条件;即“”是“为直角三角形”的充分不必要条件.故选:A.6．答案：C解析：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母，即，下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即，上底，所以杯套的表面积.故选C.7．答案：C解析：8．答案：B解析：9．答案：ABD解析：10．答案：AB解析：11．答案：AC解析：对A ：如图：当P 点位于边上时，因为平面，所以，故A 正确；对B ：如图：sin 1C =cos 0C =sin cos 3a C a C +=9b c +=sin cos a C a C b c +≠+sin cos a C a C b c +=+ABC △sin cos a C a C b c +=+ABC △4cm 2cm cm ()221076π2π24πcm 33S ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭11AB D △1A C ⊥11AB D 1AP A C ⊥当时，P 点轨迹为矩形，其中M ，N 分别为，中点，所以动点P 轨迹的周长为：，故B 错误；对C ：如图：当平面时，P 点轨迹是正六边形，其中I ，J ，K ，L ，M 均为棱的中点，故C 正确；对D ：如图：当点P 在侧面上运动，且满足为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当P 与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D 错误.故选：AC.AP BF ⊥AMND 1BB 1CC 4//PF 11AC D FIJKLM 11B BCC FP =1BCP ∠A CD P --11B C A CD P --tan 2BCP ∠=60BCP ∠≠︒解析：,又在,.13．答案：3解析：14．答案：解析：,由,得,,则有,A ,,则有,所以有,的外接圆为圆O ,P 为圆O 上的点,由正弦定理得的外接圆半径15cos 15cos 3a b a b a bθθ⋅==⇒== a b 35b b b θ= 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦cos ABC S AB AC A =⋅== △1sin 2ABC S bc A =△sin cos A A ==A =()0,πA ∈A =4=()()sin sin πsin sin cos cos sin 2cos sin B A C A C A C A C A C =--=+=+=⋅()sin cos cos sin sin 0A C A C A C -=-=()0,πC ∈0A C -=A B C ===2b c ===ABC △ABC △2sin a r A ==,中点,,与方向相同时,与方向相反时,的最大值,即的取值范围是.故答案为：.15．答案：（1）0.75（2）84（3）23解析：（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得,,解得.（2）成绩落在内的频率为,落在内的频率为,设第75百分位数为,由,得,故第75百分位数为84.（3）由图可知,成绩在的市民人数为,成绩在的市民人数为;由样本方差计算总体方差公式可得总方差为.16．答案：（1）见解析()()()2PA PB PO OA PO OB PO OA OB PO OA OB⋅=+⋅+=++⋅+⋅22PO PO==2π1cos32OA OB OA OB⎛⎫⋅=⋅⋅=-=⎪⎝⎭AB2OA OB OD+=2OD=OD()OA OB+⋅cos0=OD()OA OB+⋅cosπ=PB⋅42233+-=4233--=PA PB⋅2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()0.0050.0100.0200.0250.010101a+++++⨯=0.030a=[)40,80()0.0050.0100.0200.030100.65+++⨯=[)40,90()0.0050.0100.0200.0300.025100.9++++⨯=m()0.65800.0250.75m+-⨯=84m=[)50,601000.110⨯=[)60,701000.220⨯=105620656230⨯+⨯=={}2221s107(5662)204(6562)2330⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦解析：（1）证明:由平面为正方形因为,所以,又因为,,所以,又,且,平面,所以平面,因为,所以平面,因为平面,平面平面.（2）因为直角三角形中,.所以,所以为等边三角形.又因为为等腰三角形.所以取得中点,连结,,则,,所以为二面角的平面角.因为直角三角形中,在等边三角形中,所以在三角形中,解析：（1）若选①11B BCC 11BB =1BC =1BA =AC =222AB BC AC +=AB BC ⊥1BB BC B = 1BB BC ⊂11B BCC AB ⊥11B BCC 11//A B AB 11A B ⊥11B BCC 11A B ⊂11A B C 11A B C ⊥11B BCC 1BB C 11BB AB ==1AB =1AB C △1BB C △1B C O AO BO 1AO B C ⊥1BO B C ⊥AOB ∠1A B C B --1BB C 112BO B C ==AO AC ==AOB 222cos 2AO BO AB AOB AO BO +-∠==⋅因为,由正弦定理得,即,所以,由,得,所以,即因为,所以若选②由,化简得.由正弦定理得:因为,所以若选③,因为,所以,,所以又因为（2）由（1）知,在中,由余弦定理得,即①由于,所以,即②.由①②得:,2sin cos cos cos a B B C B -=2sin sin cos cos cos A B B B C C B =()()sin sin sin cos sin cos sin A B B B C C B B B C =+=+sin sin sin A B B A =()0,πA ∈sin 0A ≠sin B B =tan B =()0,πB ∈B =22(sin sin )sin sin sin A C B A C -=-222sin sin sin sin sin A C B A C +-=222a c b ac +-==B =()0,πB ∈B =sin =()sin sin 1cos B A A B =+0πA <<sin 0A ≠1cos B B =+πsin 6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ66B -<-<π3=B =3=ABC △2222cos b a c ac ABC =+-∠229a c ac +-=2AD DC =2133BD BA BC =+ 244cos 99BA BA BC ABC +∠+ 224236a c ac ++=a =c =所以的面积为18．答案：（1）见解析解析：（1）,平面,平面,平面同理可得平面.又,BE ,平面,平面平面,平面,平面.（2）法1:取中点F ,则EFDC 是平行四边形,所以.所以DF与平面所成角即CE 与平面所成角.等体积法:易得:,到平面解得所以直线CE 与平面法2:取中点F ,则EFDC 是平行四边形,所以.从而CE 与平面所成角即为DF 与平面所成角,设为.过作交AB 于G ,过G 作交于H ,过G 作交于K .ABC △11πsin sin 223S ac B ==⋅=1//BE AD BE ⊄1ADD 1A D ⊂1ADD //BE ∴1ADD //BC 1ADD BE BC B = BC ⊂BCE ∴//BCE 1ADD CE ⊂ BCE //CE ∴1ADD 1AD //CE DF 1BDD 1BDD 11F BDD D BFD V V --=12BD BD ==1DD =1BDD =△1BFD =△D BFD 113F BDD V d -=⨯113D BFD -=d =BDD =1AD //CE DF 1BDD 1BDD θ1D 1D G AB ⊥GH BD ⊥BD 1GK D H ⊥1D H因为平面平面,平面平面,又平面,所以平面,又平面,所以,又,,,平面,从而平面,因为平面,所以,又,,,平面,从而平面.所以的长即为到平面的距离由.又,所以到平面的距离设为即为到平面的距离,即又在中,,所以,得.所以所以直线CE 与平面19．答案：（1）见解析（2）（3）见解析ABCD ⊥11ABC D ABCD 11ABC D AB =1D G ⊂11ABC D 1D G AB⊥1D G ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D G BD ⊥GH BD ⊥1D G GH G = 1D G GH ⊂1D GH BD ⊥1D GH GK ⊂1D GH BD GK ⊥1GK D H ⊥1BD D H H = BD 1D H ⊂1BDD GK ⊥1BDD GK G 1BDD 1D G ===1//GF BD F 1BDD hG 1BDD h GK ==1D G DG ==1DD =1ADD △1DD =12AD AD ==()22221142DF AD AD DD +=+2DF =sin h DF θ==BDD 1m ≥-解析：（1）（2）依题意,,不等式,函数在上单调递增,,令显然函数上单调递减,在上单调递增,,又,于是,,因此,,显然函数在上单调递减,当时,,从而,所以实数m 的取值范围是.（3）依题意,,显然在上为增函数,且,,则在上存在唯一的实数,使,所以有唯一的正零点;由,得,两边同时取对数得,于是,而在上是增函数,则有,因此,所以()()()()()22e e e e e e sinh 22sinh cosh 22x x x x x x x x x ----+-===[]1,1x ∀∈-22e e e e cosh 2cosh 0022x x x xx m x m --+++≥⇔+⋅≥e x u =[]1,1-1e ,e u -⎡⎤∈⎣⎦e e x x t u -=+=t u =+1e ,1-⎤⎦[]1,e 12,e e t -⎡⎤∈+⎣⎦()2222e e e e 22x x x x t --+=+-=-[]1,1x ∀∈-22cosh 2cosh 0022t mt x m x -+≥⇔+≥12,e e t -⎡⎤∀∈+⎣⎦2m t t ≥-2y t t=-12,e e -⎡⎤+⎣⎦2t =max 1y =-1m ≥-1m ≥-()e 2,0x g x x x =+-≥()e 2x g x x =+-[)0,∞+()010g =-<13022g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ()00g x =()g x 0x 00e 20x x +-=00e 2x x =-()00ln 2x x =-()()2000000434ln ln 2ln ln 2433x x x x x x ⎡⎤-=-+=-+⎢⎥⎣⎦()22000211x x x -+=--+10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2003024x x <-+<()200443ln 2ln 0334x x ⎡⎤⎛⎫-+<⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x <。
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一下学期4月期中考试数学试题及答案
2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一下学期4月期中考试数学试题★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（8个单选题,每题4分；2个多选题,每题5分；共42分）1．复数z＝﹣i的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣i解：z＝﹣i的虚部为﹣,故选：B．2．已知向量＝（k,3）,＝（1,4）,＝（2,1）且（2﹣3）⊥,则实数k＝（）A．﹣B．0 C．3 D．解：∵＝（k,3）,＝（1,4）,＝（2,1）∴2﹣3＝（2k﹣3,﹣6）,∵（2﹣3）⊥,∴（2﹣3）•＝0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0,解得,k＝3．故选：C．3．若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a＝80,b＝100,A＝30°,则B的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．不确定解：因为a＝80,b＝100,A＝30°,由正弦定理得,,所以sin B＝,因为a＜b,所以B＞A,故B有两解．故选：C．4．一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．2解：设圆锥的底面半径为r,∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,∴圆锥的母线长为3r,又∵圆锥的表面积为π,∴πr（r+3r）＝π,解得：r＝,l＝,故圆锥的高h＝＝,故选：B．5．已知向量,不共线,且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反,则实数λ的值为（）A．1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣解：与的方向相反,且不共线,∴存在μ＜0,使,∴,解得或1（舍去）．故选：B．6．设复数z满足＝i,则|z|＝（）A．1 B．C．D．2解：∵复数z满足＝i,∴1+z＝i﹣zi,∴z（1+i）＝i﹣1,∴z＝＝i,∴|z|＝1,故选：A．7．若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,。
浙江省杭州市学军四校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
学军中学四校区2022学年第一学期期末联考高一数学试卷命题人：王馥审题人：顾侠一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()()3,0P a a ≠，则A ．sin 0α>B ．sin 0α<C ．cos 0α>D ．cos 0α<2．“a ＞b 2”是b >”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若扇形的周长为16cm ，圆心角为2rad ，则扇形的面积为（）A ．212cm B ．214cm C ．216cm D ．218cm 4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A ．0.5v t=B ．()20.51v t =-C ．0.5log v t =D ．2log v t=5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．20226．函数()ay x b x c =--的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（）A ．a<0，0b >，0c =B ．0a >，0b >，0c =C ．a<0，0b =，0c >D ．a<0，0b =，0c =7．已知3log 2a =，11log 5b =，lg 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c<a<bC ．c b a<<D ．a c b<<8．已知函数()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,且123x x x <<，则()()()()()()2123222f x f x f x +++的值为（）A ．4B ．2C ．()22a +D ．2a +二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（）A ．1ab ≤BC ．222a b +≥D ．212a b+>10．已知非零实数a ，b ，若()f x ，()g x 为定义在R 上的周期函数，则（）A ．函数()f ax b +必为周期函数B ．函数()af x b +必为周期函数C ．函数()()f g x 必为周期函数D ．函数()()f x g x +必为周期函数11．已知函数()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x 为偶函数，点()1,1A x -，()2,1B x -是()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为2，则下列说法正确的是（）A ．π2=ωB ．π2ϕ=C ．()11f =-D ．()f x 在()111,1x x -+上单调递增12．设函数()()4,,f x x t g x x=+=-若存在[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，使得121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++，则t 的值可能是（）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数3y x αα=-，则此函数的定义域为________．14．已知θ是第二象限角，()3cos π25θ+=，则tan θ=________．15．如图所示，摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每30min 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min 后距离地面的高度为________m ．16．设,a b ∈R .若当||1x ≤时，恒有2|()|1x a b -+≤，则a b +的取值范围是____.四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．17．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.18．已知集合{A x y ==，集合{}121B x m x m =+≤≤-，集合{}310,C x x x Z =≤<∈.（1）求A C 的子集的个数；（2）若命题“x A B ∀∈⋃，都有x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.19．已知函数()()2sin f x x ω=，其中常数0ω>．(1)若()y f x =在π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；(2)令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在区间[],a b 上至少含有30个零点，求b a -的最小值．20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．21．已知函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R a ∈．(1)若方程()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；(2)设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x ，[]2,1x b b ∈+时，满足()()12ln 4f x f x -≤，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】根据三角函数定义可得sin α=cos α=.【详解】解：由三角函数的定义可知，sin α=符号不确定，cos 0α=>，故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x x ααα===≠；（2）角α终边任意一点(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα==≠.2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若0,1a b ==-b >，而201a b=<=b >不能推出2a b >，当2a b >b >，当0b ≥b >，当0b <b b >->，所以当2a b >时，b >，所以“a ＞b 2”是b >”的充分不必要条件，故选：A 3．C 【分析】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =，再计算面积得到答案.【详解】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =；扇形的面积2124162S =⨯⨯=.故选：C4．D 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数2log v t =的图象类似，所以选项D 最能反映,t v 之间的函数关系.故选：D.5．B 【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.6．A 【分析】分0,0b c =>、0,0b c >=两种情况讨论即可.【详解】函数()ay x b x c =--的定义域为{},x x b x c ≠≠①当0,0b c =>时，ay x x c=-，当()0,x c ∈时，y 与a 同号，当(),x c ∈+∞时，y 与a 同号，与图中信息矛盾；②当0,0b c >=时，()ay x b x =-，由图可得，当()x b ∈+∞,时，0y <，所以a<0，然后可验证当0,0b c >=，a<0时，图中信息都满足，故选：A 7．B 【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为235125,11==，所以112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为42310=232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>，所以a c >，即c<a<b ，故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．A 【分析】令()f x t =，结合函数的图象，将方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,转化为()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，进而由()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222t t=++，利用韦达定理求解.【详解】因为函数()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩图像如下：令()f x t =，则()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，由韦达定理知：122t t a +=--,1222t t a =+则()11f x t =，()()232f x f x t ==，所以()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++，()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++，()2224244a a =+--+=.故选：A 9．ACD 【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，2a b =+≥1ab ≤，故A 正确；对于B ，令1,1a b ==不成立，故B 错误；对于C ，由A 选项得1ab ≤，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，故C 正确；对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅=+ ⎪⎭>⎝，故D 正确；故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．ABC 【分析】()f ax b +是周期为ma的函数，A 正确，()af x b +是周期为m 的函数，B 正确，(())f g x 是周期为n 的函数，C 正确，当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.【详解】设()f x 周期为,()m g x 周期为,0n m ≠，0n ≠，对选项A ：()()m f ax b f ax b m f ax b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()f ax b +是周期为m a 的函数，正确；对选项B ：则()()af x b af x m b +=++，所以()af x b +是周期为m 的函数，正确；对选项C ：(())(())f g x f g x n =+，所以(())f g x 是周期为n 的函数，正确；对选项D ：当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，若()()f x g x +是周期函数，设周期为T ，则π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠，π是无理数，所以上式无解，所以此时()()f x g x +不是周期函数，错误.故选：ABC 11．AC 【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由()1f x =-，得()4sin 11ωϕ+-=-x ，即()sin 0x ωϕ+=，12x x - 的最小值为2，22T ∴=,即4T =，即2π4ω=，则π2=ω，故选项A 正确；对于B ，()f x 为偶函数，ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k ，πϕ≤ ，0k ∴=时π2ϕ=，1k =-时π2ϕ=-，故选项B 错误；对于C ，综上()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f 或者()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x ，则()11f =-，故选项C 正确；对于D ，()1,1- A x ，()2,1B x -，14cos 11π2-=-x ，即10π2cos =x ，即1x 是函数πcos 2y x=的零点，()111,1-+ x x 的区间长度为2，是半个周期，则函数在()111,1x x -+上不具备单调性，故选项D 错误.故选：AC.12．BCD 【分析】根据题意可得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ，令4()()()F x f x g x x t x =-=++([1,4]x ∈)，结合对勾函数的性质可得函数()F x 的单调性，则4()5t F x t +≤≤+，进而有(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，结合4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 使得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 成立，令4()()()F x f x g x x t x=-=++，[1,4]x ∈，因为对勾函数4y x x=+在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以函数()F x 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，由(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+，得4()5t F x t +≤≤+，即*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤，所以(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，又4()()5n n t f x g x t +≤-≤+，则4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩，即952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，因为N ,3n n *∈≥，951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得64t -≤≤-.故选：BCD.13．()(),00,∞-+∞U .【分析】根据幂函数的定义，求得13a =-，得到y =.【详解】由幂函数3y x αα=-，可得31α-=，解得13a =-，即13y x -==，则满足0x ≠，即幂函数3y x αα=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .故答案为：()(),00,∞-+∞U .14．2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得tan 2θ=或tan 2θ=-，再根据θ是第二象限角即可得tan 2θ=-.【详解】由诱导公式可得()3cos π2cos 25θθ+=-=，所以3cos 25θ=-；根据二倍角公式可得222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，解得tan 2θ=或tan 2θ=-，又因为θ是第二象限角，所以tan 2θ=-.故答案为：2-15．37.5##752【分析】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，然后根据条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，因为摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，所以12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩，解得55,65A k ==，因为每30min 转一圈，所以2π30T ω==，15πω=，当0=t 时，10h =，所以sin 1ϕ=-，所以可取π2ϕ=-，所以ππ55sin 65152h ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当5t =时，π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．[【分析】构造函数2()()f x x a =-，则将题目转化为当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤，分1a ≤-，1a ≥，10a -<≤，01a <<讨论，即可得到结果.【详解】设函数2()()f x x a =-，则当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤.当1a ≤-时，()f x 在[1,1]-上递增，则2(1)(1)1f a b =--≤，且2(1)(1)1f a b -=----≥，从而22222a a b a a ----≤≤，则22222a a a a ----≤，于是12a ≥-，矛盾；同理，当1a ≥，()f x 在[1,1]-上递减，则2(1)(1)1f a b =-≥--，且2(1)(1)1f a b -=--≤-，从而22222a a b a a -+---≤≤，则22222a a a a -+-≤--，于是12a ≤，矛盾；当10a -<≤，212b a a --≤≤,则22110a a a -≥-⇒-≤，10b -≤≤当01a <<，212b a a ---≤≤，则22110a a a --≥-⇒-≤，10b -≤≤由此得，a b +的取值范围是[.当且仅当1a =1b =-时，a b +=，当且仅当0a b ==时，0a b +=.故答案为:[17．(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin 10αβ-=，所以()cos 10αβ-==，则()sin sin 5105102βααβ=--=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.18．（1）8个；（2）3m .【解析】（1）求出集合{|25}A x x =-和{3,4,5,6,7,8,9}C =，再求A C ，根据集合子集的个数2n可得答案；（2）由题意可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论可得答案.【详解】（1）由23100x x -++≥解得25x -，所以{|25}A x x =- ，又因为{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z ，所以{3,4,5}A C ⋂=，所以A C 的子集的个数为328=个.（2）因为命题“x A B ∀∈⋃都有x A ∈”是真命题，所以A B A ⋃=，即B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩解得23m，综上所述：3m.19．(1)30,4⎛⎤ ⎝⎦(2)43π6【分析】（1）求条件可得π2πππ,[2π,2π4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，由此可求ω的取值范围，（2）由函数图象变换结论求函数()y g x =的解析式，要使b a -最小，则130,a x b x ==，研究1sin 2t =-的零点进而可以求出结果．【详解】（1）由题设2ππ11ππ34122T ω+=≤=，∴1211ω≤，∴304ω<≤，当π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，Z k ∈，解得3034k ω<≤+，Z k ∈．综上，ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）由题设()2sin 2f x x =，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位得ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令()0g x =得π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令π43t x =+，设()y g x =在区间[],a b 上的30个零点分别为1230,,,x x x ，则113030ππ4,,433t x t x =+=+ ，1sin 2t =-在ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上有30个零点，要使b a -最小，则130,a x b x ==，因为sin y t =在每个周期内各有两个函数值为12-，所以15个周期里面有30个零点，则b a -最小时，若113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=，则301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以30143π6x x -=，即b a -的最小值为43π6．20．(1)()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．(1){}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．(2)4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得2(3)(4)10a x a x -+--=，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于0即可求解；（2）易知函数1()ln()f x a x=+为定义域上为减函数，将问题转化成()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，再构造二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由[]1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭得2(3)(4)10a x a x -+--=；即[(3)1](1)0a x x --+=当3a =时，=1x -，经检验，满足题意；当2a =时，121x x ==-，经检验，满足题意；当2a ≠且3a ≠时，12121,1,3x x x x a ==-≠-，若1x 是原方程的解，当且仅当11230a a x +=->，即32a >，若2x 是原方程的解，当且仅当2110a a x +=-+>，即1a >，故当1x 是原方程的解，2x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且，无解，当2x 是原方程的解，1x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且，解得31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上，a 的取值范围为{}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）不妨令121b x x b ≤≤≤+，则1211a a x x +>+，由于ln y x =单调递增，1y a x =+单调递减，所以函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[b ,1]b +上为减函数；()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，因为当1x ，2[x b ∈,1]b +，满足12|()()|ln4f x f x -≤，故只需11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，因为0a >，所以函数()233(1)1g b ab a b =++-为开口向上的二次函数，且对称轴为102a a+-<，故()g x 在1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，当14b =时，y 有最小值33151(1)1164164a a a ++-=-，由1510164a -≥，得415a ≥，故a 的取值范围为4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．。
浙江省杭州市学军中学2019 学年第二学期高三年级数学月考试卷(word版含答案)
浙江省杭州市学军中学2019 学年第二学期高三年级月考数学试卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；.4.考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}2.双曲线22221(0,0x ya ba b-=>>)的离心率为3,则其渐近线方程为2.2A y x=±3.B y x=±.2C y x=±.3D y x=±3.设x，y满足约束条件23302330,30x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z=2x+y的最小值是A-9 B.-15 C.1 D.94.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π5.已知直线a,b分别在两个不同的平面a,β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件。
C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数2sin()cosx xf xx x+=+在[-π,π]的图像大致为7.已知a,b 为实数，随机变量X,Y 的分布列如下:若E(Y)=P(Y=-1),随机变量ξ满足ξ=XY ，其中随机变量XY 相互独立,则E(ξ)取值范围的是3.[,1]4A - 1.[,0]18B - 1.[,1]18C 3.[,1]4D 8.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,直线l 过点F 且与抛物线交于点M,N(点N 在轴上方)，点E 为轴上F 右侧的一点,若||||3||,123,MNE NF EF MF S ∆===则p=A.1B.2C.3D.99.已知函数2(4),53(),(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩若函数g(x)=f(x)-|k(x+1)|有9个零点，则实数k 的取值范围是 1111.(,)(,)4664A --⋃1111.(,)(,)3553B --⋃ 11.(,)64C11.(,)53D 10.已知函数()1,x f x e x =--数列{}n a 的前n 项和为,n S ，且满足111,(),2n n a a f a +==则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是A.521|43|a a a <-B.78a a ≤C.101a >D.10026S >非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.若复数31i z i+=- (i 为虚数单位),则z|=___，复数z 对应的点在坐标平面的第____象限. 12.在二项式262()x x -的展开式中，常数项是____，所有二项式系数之和是______.13.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积是b 13,cos ,3C ==则c=___;sin 2sin B C=___. 14.某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放,若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.15.已知e r 为单位向量，平面向量,a b r r 满足||||1,a e b e +=-=r r r r a b ⋅r r 的取值范围是____.16.已知a,b ∈R,且满足2ab-4a+3b-8=0,则22238a b a b ++-的最小值是_____.17.在长方体1111ABCD A B C D -中，14,1,AB BC AA E ===是底面ABCD 的中心，又1(0),2AF AB λλ=≤≤u u u r u u u r 则当λ=____时，长方体过点1,,A E F 的截面面积的最小值为____. 三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分14分)设函数2()sin cos (2f x x x x ωωωω=-->0),且y=f(x) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.4π (I)求ω的值;(II)求f(x)在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值.19.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,底面四边形ABCD 中，1,2AB BC AD ==∠BAD=∠ABC=90°,又E 是PD 的中点. （I ）证明：直线CE//平面PAB ；（II ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M-AB-D 的余弦值。
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区学军中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列方程中，是一元二次方程的是( )A. 3x2=(x−2)(3x+1)B. 1x2+x+3=1C. x(x2−1)=0D. (x−2)(x+2)+4=02.下列事件中是必然事件的是( )A. 某射击运动员射击一次，命中靶心B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上C. 三角形内角和是360°D. 当x是实数时，x2≥03.二次函数y=4(x−3)2+7的顶点坐标是( )A. (−3,7)B. (3,7)C. (−3,−7)D. (3,−7)4.下列条件中，能确定一个圆的是( )A. 以点O为圆心B. 以10cm长为半径C. 以点A为圆心，4cm长为半径D. 经过已知点M5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−2x−1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )A. y=(x+1)2+1B. y=(x−3)2+1C. y=(x−3)2−5D. y=(x+1)2+26.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为( )A. 34B. 12C. 13D. 147.如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=23，将三角板绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为( )A. (3,6)B. (3,−6)C. (3,33)D. (3,−33)8.已知二次函数y=3(x−1)2+k的图象上有三点A(2,y1)，B(2,y2)，C(−5,y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y3>y1>y2D. y3>y2>y19.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为( )元．A. 50B. 90C. 80D. 7010.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)，且对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac>0；②16a+4b+c=0；③若m>n>0，则x=1+m时的函数值大于x=1−n时的函数值；④点(−c,0)一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是( )2aA. ①②B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2024届浙江杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题(含答案解析)
2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。
2021-2022学年浙江省杭州学军中学西溪校区高二下学期4月期中数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州学军中学西溪校区高二下学期4月期中数学试题一、单选题1．设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B =（ ） A ．()1,1- B ．()0,1 C ．[)0,1 D ．()1,+∞【答案】C【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,A B ，再求交集即可. 【详解】根据题意，可得{}{}11,0A x x B x x =-<<=≥， 故{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=. 故选：C .2．若()2i i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为()()()2i 12i 12i 2i 2i 25i i 5i 5z -+====+++-，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为12,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A3．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O 的球面上.若该圆锥的底面半径为高为6，则球O 的表面积为（ ） A ．32π B ．48πC ．64πD ．80π【答案】C【分析】设球心到圆锥底面的距离为d ，由题设可得关于d 的方程，求出其解后可得球的半径，从而可求其表面积.【详解】因为6> 设球心到圆锥底面的距离为d ，则有222(6)d d --=，解得2d =，则圆半径64R d =-=，表面积2464S R ππ==. 故选：C4．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为20x y +=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB CD 【答案】C【分析】根据渐近线方程，求得ba ，结合离心率公式即可求得结果.【详解】渐近线方程可化为12by x x a=-=-，故2,a b c ==，故离心率为ca .故选：C .5．已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．1【答案】A【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，利用二项式展开式的通项公式1C r n rr r n T ab -+=求出24x y 的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅， 令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2rrr r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅，令5214r r -=⎧⎨+=⎩，解得r =3，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-，又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80， 所以4080m -=，解得2m =-. 故选：A.6．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（ ）A．BC．-D． 【答案】D【分析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得tan α的值，利用二倍角公式可得出sin 22sin cos ααα=，在所得代数式上除以22sin cos αα+，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，代入tan α的值计算即可得解.【详解】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1331sincos 3cos sin 2222，整理得2sin αα=，tanα∴=因此，222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 11ααααααααα⎛⨯ ⎝⎭=====++⎛+ ⎝⎭. 故选：D.【点睛】易错点点睛：已知tan m α=，求关于sin α、cos α的齐次式的值，应注意以下两点：（1）一定是关于sin α、cos α的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式； （2）因为cos 0α≠，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表达式，然后代入tan m α=的值，从而完成被求式的求值.7．设函数3()33f x x x =-+，若0,,>∈a b c R ，且()()()()()-=---f x f a x a x b x c ，则1144bc +++的取值范围是（ ） A ．813⎛⎝⎦B ．23⎡⎢⎣⎦C ．813⎛⎝⎭D ．23⎡⎢⎣⎦【答案】A【分析】由题意可得b ，c 是方程2230x ax a ++-=的两解，由根与系数的关系（即韦达定理）得2,3+=-=-b c a bc a ，由0∆≥求得02a <≤，代入并化简得211844413ab c a a -+=++-+，令8[6,8)t a =-∈，利用换元法和函数的单调性即可求出答案．【详解】解：∵3()33f x x x =-+，∴()3322()()33()3-=--+=-++-=f x f a x x a a x a x ax a ()()()---x a x b x c ，∴b ，c 是方程2230x ax a ++-=的两解，则2,3+=-=-b c a bc a ，由()22430(0)∆=--≥>a a a ，解得：02a <≤，∴21188444()16413++-+==+++++-+b c a b c bc b c a a ， 令8[6,8)t a =-∈，则8a t =-，∴21114544124512t b c t t t t+==++-++-， 令45()12g t t t=+-，则()g t在递减，在递增，则min 313()12,(6),(8)28====g t g g g ，故111845441312b c t t⎛+=∈ ++⎝⎦+-， 故选：A ．8．已知实数1()a b ∈+∞，，，且()22e 2ln 1a a b b +=++，e 为自然对数的底数，则（ ） A ．1b a << B ．2a b a << C ．2e a a b << D ．2e e a a b <<【答案】D【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式【详解】因为22()e 2ln 1a a b b +=++，所以2ln e 212(ln 1)2(e ln 1)a b a b b b --=--=--，函数()()()e 1e 10,x xf x x f x f x =--⇒->'=在(0,)+∞上单调递增，且()00f =，因为()1ln 0ln 0b b f b >⇒>⇒>所以(2)2(ln )(ln )f a f b f b =>，所以2ln a b >，即2e a b <，又2e 212(e 1)a a a a -->--，所以(2)2(ln )2()f a f b f a =>，所以ln a b <，即e a b <，综上，2e e a a b <<. 故选：D 二、多选题9．（多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球，先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件C 是互斥事件B ．事件A 与事件C 不是独立事件C ．13()30P C =D ．()12P C A =【答案】BCD【分析】根据互斥事件的定义即可判断A ；根据相互独立事件的定义即可判断B ；分第一次取白球和红球两种情况讨论，从而可判断C ；根据条件概率公式即可判断D. 【详解】对于A ：事件B 与事件C 能同时发生，事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ：事件A 发生与否与事件C 有关，故B 正确：对于C ：1111332211115656C C C C 13()C C C C 30P C =⨯+⨯=，故C 正确；对于D ：()11331156C C 9C C 30P AC =⋅=，()1315C 3C 5P A ==， 所以()()()9513032P AC P C A P A ==⨯=，故D 正确． 故选：BCD.10．过点(A 作圆221:4C x y +=的切线l ，P 是圆222:40C x y x +-=上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A ．切线l40y -+=B ．圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线方程为1x = C ．点P 到直线l 的距离的最小值为1D ．点O 为坐标原点，则AO OP ⋅的最大值为4 【答案】ABD 【分析】A.由OA k =，得到l k 再利用点斜式写出切线方程；B. 由224x y +=和2240x y x +-=两式相减求解判断；C.先求得点()22,0C 到直线l 的距离，再减去半径即可；D.设(),P x y ，得到3t AO OP x y=⋅=-0y t --=与圆相切求解判断.【详解】A.因为OA k =所以l k则过点(A的切线为1y x -=，40y -+=，故正确；B. 由224x y +=和2240x y x +-=两式相减得1x =，故正确；C.点()22,0C 到直线l 的距离2d ==，所以点P 到直线l 的距离的最小值为2d -=D.设(),P x y ，则()()3,1,,AO OP x y =-=，所以3t AO OP x y =⋅=-0y t --=，点()22,0C 到直线l 的距离等于半径得：2d =，解得4t =或 4t =，则AO OP ⋅的最大值为4，故正确； 故选：ABD11．我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥.在直角三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ､SB ､SC 两两垂直，设SA=a ，SB=b ，SC=c ，点S 在底面ABC 的射影为点D ，三条侧棱SA ､SB ､SC 与底面所成的角分别为α､β､γ，下列结论正确的有（ ）A ．D 为△ABC 的外心B ．△ABC 为锐角三角形 C ．若a b c >>，则αβγ<<D ．222sin sin sin 1αβγ++=【答案】BCD【分析】对于A ，连接AD 并延长交BC 于E ，连接SE ，可证得BC AD ⊥，同理可证得,BD AC CD AB ⊥⊥，从而可判断，对于B ，由勾股定理结合余弦定理判断，对于C ，SD h =，可得sin ,sin ,sin h h ha b c αβγ===，然后结合已知条件判断，对于D ，利用由等面积法求解判断【详解】连接AD 并延长交BC 于E ，连接SE ，因为SD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以SD BC ⊥，因为SA ､SB ､SC 两两垂直，所以SA ⊥平面SBC ，因为BC ⊂平面SBC ， 所以SA BC ⊥，因为SD SA S ⋂=，所以BC ⊥平面SAE ，因为AE ⊂平面SAE ，所以BC AE ⊥，即BC AD ⊥，同理可证得,BD AC CD AB ⊥⊥，故D 应为ABC 的垂心，故选项A 不正确；由勾股定理可得，222222222,,AB a b AC a c BC b c =+=+=+， 在ABC 中，由余弦定理得，222222222222222222cos 022AB AC BC BAC AB AC a b a c a b a c+-∠===>⋅++++，所以BAC ∠为锐角，同理可得,ABC ACB ∠∠都为锐角，所以ABC 为锐角三角形，故选项B正确；设SD h =，则由题意得sin ,sin ,sin h h h a b cαβγ===， 若a b c >>，则sin sin sin αβγ<<，因为α､β､γ都为锐角，所以αβγ<<，选项C 正确；由选项A 可知，SA ⊥平面SBC ，因为SE ⊂平面SBC ，所以SA SE ⊥，由等面积法可得2222SE h b c a SE ==++22222222222221111a b a c b c h a b c a b c ++==++， 故2222222111sin sin sin 1h a b c αβγ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭.故选项D 正确.故选：BCD 12．已知函数()sincos 22x xf x =( ) A ．()f x 的图象关于2x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 的最小值为1D ．()f x 的最大值为342【答案】ACD【分析】A ：验证()f x π-与()f x 是否相等即可；B ：验证()f x π+与()f x 相等，从而可知π为f (x )的一个周期，再验证f (x )在(0，π)的单调性即可判断π为最小正周期；C 、D ：由B 选项即求f (x )最大值和最小值.【详解】()()f x f x π-==，故选项A 正确；∵()()f x f x π+， 故π为()f x 的一个周期. 当(0,)x π∈时，()f x =此时3322cossin()cos sin 22x x x x f x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥==- ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令()0f x '=，得cossin 22x x=，故,242x x ππ==.∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最小正周期为π，选项B错误；由上可知()f x 在[0,]x π∈上的最小值为()(0)1f f π==，最大值为3422f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x 的周期性可知，选项CD 均正确. 故选：ACD. 三、填空题13．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为_________. 【答案】2π3120 【分析】根据向量,a b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，利用向量的数量积运算求解. 【详解】因为向量,a b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+， 所以22()cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅=， 解得1cos ,2a b =-，因为[],0,a b π∈， 所以2,3a b π=，故答案为：23π14．斜率为2的直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，点(1,1)P 为弦AB 的中点，则抛物线的准线方程为_______________ 【答案】1x =-【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得p 的值，即可得到答案；【详解】设直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，与22y px =联立得： 24(42)10x p x -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，()242160p =+->∴1242224px x p ++==⇒=，满足0> 抛物线的准线方程为：12px =-=-， 故答案为：1x =-15．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()112f x f x -++=，当]1[0x ∈，时，()22f x x x =-，若()f x x b ≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为___________.【答案】14--0.25 【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值. 【详解】因为()()112f x f x ++-=，故()f x 的图象关于()1,1中心对称当[1,0]x ∈-时，()2()2f x f x x x =--=+，故()f x 的图象如图所示：结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可，即21124b x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，故14b ≤-，故答案为：14-.四、双空题16．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n 个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n 个图形的面积为___________.【答案】 143n -⎛⎫ ⎪⎝⎭1834559n -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，周长为n L ，面积为n S 1P 有1b 条边，边长1a ；2P 有214b b =条边，边长2113=a a ；3P 有2314b b =条边，边长23113a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；分析可知113n n a a -=，即113nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；14n n b b -=，即114n n b b -=⋅当第1个图中的三角形的周长为1时，即11a =，13b =所以11143433n n n n n n L a b --⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由图形可知n P 是在1n P -每条边上生成一个小三角形，即211n n n n S S b --+=即211n n n n S S a b ---=⋅，21212n n n n S S a b -----=⋅，，22121S S a b =⋅-利用累加法可得)222111122n n n n n S S a b a b a b ----⋅+⋅++⋅数列{}n a 是以13为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，故{}21n n a b -⋅是以49为公比的等比数列， 当第1个图中的三角形的面积为1时，11S =，211=，此时21a =，22a =1P 有13b =条边，则11222222111124499451191n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⋅+⋅++⋅⎝⎭⎝⎭⎝=⎭=- 所以1131459n n S S -⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎪， 所以1834559n n S -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 故答案为：143n -⎛⎫⎪⎝⎭，1834559n -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与n S 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法. 五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)2222sin a c b bc A +-=.(1)求角B 的大小；(2)设M ，N 分别为BC ，AC 的中点，AM 与BN 交于点P ，若2a c =，求sin ∠MPN 的值. 【答案】(1)3π【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，代入即可求出结果. （2）在ABC 中由余弦定理求出,26A C ππ==，再由sin sin()MPN MAC BNA ∠=∠+∠，在BAN 中，求出sin ,cos BNA BNA ∠∠，代入即可求出答案. 【详解】(1)在ABC 中，由余弦定理可得2222cos a c b ac B =+-，)2222sin a c b bc A +-=cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，得tan B = B 为ABC 的内角，故3B π=.(2)由3B π=和2a c =，根据余弦定理得22222cos 3b a c ac B c =+-=，故b =，易知,26A C ππ==.sin sin()MPN MAC BNA ∠=∠+∠，由,M N 分别为,BC AC 的中点可得，6MAC C π∠==，在BAN 中，2tan c BNA b ∠==sin BNA BNA ∠∠=故1sin sin 62714MPN BNA π⎛⎫∠=+∠=⨯= ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a ，当12[)2k k n -∈,时，2k n a =，N k *∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)求2a ，20a ；(2)求使得2022n S <成立的正整数n 的最大值. 【答案】(1)24a =，2032a =； (2)51.【分析】（1）利用给定定义直接计算作答.（2）根据给定定义，对于k 值确定出2kn a =的所有n 值，再分析2022n S <时n 值区间，再列式计算作答.【详解】(1)因当12[)2k k n -∈,时，2k n a =，N k *∈，而)21222,2-⎡∈⎣，则2224a ==，又)515202,2-⎡∈⎣，则520232a ==，所以24a =，2032a =.(2)因当12[)2k k n -∈,时，2k n a =，N k *∈， 当01[22)n ∈,时，112a =，当12[22)n ∈,时，2232a a ==，当23[22)n ∈,时，34572a a a ====，当34[22)n ∈,时，489152a a a ====，当45[22)n ∈,时，51617312a a a ====，当56[22)n ∈,时，63233632a a a ====，而12345357931222428216222222682S =+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=，又1234563579116322242821623222222222022S =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++>，则有2022n S <时，3163n <<，由6631(31)262082(312)22n S n n S <=+-⋅=+-⋅得：3351531511616n <+=，而N n *∈，于是得max 51n =， 所以使得2022n S ＜成立的正整数n 的最大值是51.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥(1)求证：1A F ⊥平面1B DE ；(2)若4AB AC ==，且三棱锥111B AC F -的体积为83，求平面11AC F 与平面11BCC B 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； 34【分析】（1）先证明DE ⊥平面AA 1B 1B ，再由线面垂直得出DE ⊥A 1F ，再证线面垂直即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求二面角即可. 【详解】(1)因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE 为ABC 的中位线，且DE //AC因为ABC －A 1B 1C 1为棱柱，所以AC //A 1C 1 所以DE //A 1C 1.在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 因为DE ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥AA 1. 又因为A 1C 1⊥A 1B 1， 所以DE ⊥A 1B 1. 因为AA 1∩A 1B 1=A 1，AA 1、A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ， 所以DE ⊥平面AA 1B 1B .又A 1F ⊂平面AA 1B 1B ，所以DE ⊥A 1F ，又因为A 1F ⊥B 1D ，DE ∩B 1D =D ，且DE 、B 1D ⊂平面B 1DE 所以A 1F ⊥平面B 1DE .(2)以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （2，0，0）因为三棱锥B 1－A 1C 1F 的体积为所以111111111844323B A C F F A B C V V B F --=⨯=⨯⨯⨯=，解得B 1F =1，因为B 1D ⊥A 1F ，且D 是AB 的中点 所以A 1B 1F ≌B 1BD ，由1111A B B F B B DB = 得 1412B B = 所以B 1B =8，则F （4，0，7），A 1（0，0，8），B 1（4，0，8），C 1（0，4，8） 因为E 为BC 的中点，AB =AC ，所以AE ⊥BC ， 所以AE ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1的法向量为(2,2,0)AE = 设平面A 1C 1F 的法向量为(,,)n x y z = 因为1(4,0,1)A F =-，11(0,4,0)AC =由1110A F n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得4040x z y -=⎧⎨=⎩ 令1x =，则0,4y z ==， 故(1,0.4)n =，则21cos ,||||AE n AE nAE n ⋅⨯+<>===⋅所以平面A 1C 1F 与平面BCC 1B 120．2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0==p p ．①试证明14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小． 【答案】(1)分布列见解析，1()2E X = (2)①证明见解析；②1010p q <【分析】（1）先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；（2）递推求解，记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n -次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，满足()11111101333n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-+.【详解】(1)解析1：分布列与期望依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p =⨯⨯⨯=，门将在前三次扑出点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，030315125(0)66216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12131525(1)6672P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123155(2)6672P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033151(3)66216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：期望12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （1）解析2：二项分布依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为111133326p =⨯⨯⨯=，门将在前三次扑出点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知13,6X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，3315()66k k kP X k C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =．X 的分布列为：期望11()362E X =⨯=．(2)解析：递推求解①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n -次传球之前球在甲脚下的概率为1n p -，第1n -次传球之前球不在甲脚下的概率为11n p --，则()11111101333n n n n p p p p ---=⋅+-⋅=-+，从而1111434n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11344p -=，∴14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项．公比为13-的等比数列．②由①可知1311434n n p -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，91031114344p ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，()101011134q p =->，故1010p q <．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点()1,0F ，且椭圆C ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A 、B 为C 上不同的两点，动点M 、N 满足：()2OM OA OB λλ=+-，()2ON OA OB λλ=-+，且M 在C 上．（i ）求证：点N 在C 上；（ii ）若AB 过焦点F ，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)22154x y += (2)（i ）证明见解析；（ii ）1353,,2442⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【分析】（1）根据已知条件可得出a 、c ，可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）（i ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出2211154x y +=，2222154x y +=，将点M 的坐标代入椭圆C 的方程可得出()()221212222154x x y y λλλλ⎛⎫+-+-⋅+= ⎪⎝⎭，然后将点N 的坐标也代入椭圆C 的方程，证得()()22121222154x x y y λλλλ-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即可证得结论成立； （ii ）对直线AB 是否与x 轴重合进行分类讨论，在直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，结合（i ）中的等式可得出关于λ的不等式，可求出λ的取值范围；在直线AB 与x 轴重合时，求出点A 、B 的坐标，可得出点M 的坐标，求出λ的值.综合可得出实数λ的取值范围.【详解】(1)解：由已知可得1c =，c e a ==a =2b =， 故椭圆C 的方程为22154x y +=. (2)解：（i ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则2211154x y +=，2222154x y +=，因为()2OM OA OB λλ=+-，则点()()()12122,2M x x y y λλλ+-+-， 同理可得点()()()12122,2N x x y y λλλλ-+-+，因为点M 在椭圆C 上，则()()22121222154x x y y λλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=，整理可得()()221212222154x x y y λλλλ⎛⎫+-+-⋅+= ⎪⎝⎭，所以，()()()()2221212212122222215454x x y y x x y y λλλλλλλλ-+-+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=-++-+= ⎪⎝⎭， 故点N 也在椭圆C 上.（ii ）若直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立2214520x my x y =+⎧⎨+=⎩，可得()22458160m y my ++-=， ()()22264644532010m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得122845m y y m +=-+，1221645y y m =-+， ()()()2212121212252011145m x x my my m y y m y y m -=++=+++=+， 由()()221212222154x x y y λλλλ⎛⎫+-+-⋅+= ⎪⎝⎭可得()22224324424145m m λλλλ+-++-⋅=+， 整理可得22223453115324,161161164m m m λλ+⎛⎫⎡⎫-=-⋅=-+∈-- ⎪⎪⎢++⎝⎭⎣⎭，解得1324λ<≤或5342λ≤<；若直线AB 与x 轴重合，可设()A 、)B，则(),0M ，由题意可得=12λ=或32. 综上所述，实数λ的取值范围是1353,,2442⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明； 【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =--所以定义域为0,6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =- 所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x '=+-，令()0f x '>解得3x > 令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-； 22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数， 且(3)1ln30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x = 即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增， 且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，()20a g x x x '=-=得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>； 所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e =-⇒>；因为10x <<2x >21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a tx t ∴=- 而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>， 令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t '=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t -'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=； 故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=； 12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。
浙江杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题+答案
绝密★启用前杭州学军中学2024届高中毕业生适应性测试数学命题，审校：杭州学军中学高三数学备课组2024.4本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选､多选､错选均不得分.1.在复平面内表示复数()()1i i −+a 的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),1∞− B.(),1∞−− C.()1,∞+ D.()1,∞−+2.设,a b为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为12−b ，则2−=a b （ ）3.设集合{}2414,8120 =+=−+A y x yB xx x x∣ ，则∩=A B （ ） A.{}28x x ∣ B.{}26x x ∣ C.{}46x x ∣ D.{}68x x ∣ 4.已知2sin cos ,cos sin 13+=+=A B A B，则()sin +=A B （ ） A.518− B.49 C.13− D.165.波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)+=≠>x a x b a b 的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2=x ay 交于点,⊥R RQ OQ .已知=x OQ 是方程32+=x a x b 的一个解，则点P 的坐标为（ ）A.2,0 b aB.,0 b aC.2,0a b D.,0 a b6.小蒋同学喜欢吃饺子.某日他前往食堂购买16个饺子，其中有X 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且()1,0,1,,1617===P X i i .在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ）A.45B.1316C.1417D.56 7.若函数()ln =−+−f x x x x x a 有且仅有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A.()1,00,e e −∪ B.()2,00,e e −∪ C.()2,00,3e −∪ D.()1,00,3e −∪8.以半径为1的球的球心O 为原点建立空间直角坐标系，与球O 相切的平面α分别与,,x y z 轴交于,,A B C三点，=OC ，则22|4|+OA OB 的最小值为（ ）A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设函数()cos sin =+f x x x ，则（ ） A.()f x 是偶函数 B.()f x 的最小正周期为π C.()f x的值域为 −D.()f x 在区间7,4ππ单调递增 10.在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ） A.212=+y c x c x B.12+=+x c y x c C.21e +=x c y c D.()12ln =++y c x c11.已知()1212,>x x x x 是方程()2*210−−=∈x px p N 的两根，数列{}n a 满足12=a ，(){}2122,23,−−==+n n n n a p a pa a n b 满足()1=n n b f x ，其中()sin2π=f x x x .则（ ）A.2342=+a pB.()12+−=n n n f a x b C.存在实数r ，使得对任意的正整数n ，都有<n b r D.不存在实数r ，使得对任意的正整数n ，都有>n b r 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过椭圆2222:1(0,0)+=>>x y C a b a b 的右顶点与上顶点的直线斜率为53−，则C 的离心率为__________.13.将()()*21+∈n n N 个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面ABCD 的中心为O ，过O 的直线l 与平面ABCD 垂直，以O 为顶点，l 为对称轴的抛物线()201+yax y n 可以被完全放入立体图形中.若1=n ，则a 的最小值为__________；若a 有解，则n 的最大值为__________.14.若函数()()23434sin 4ππ=−++−f x axx a a x （其中0>a ）在区间[]0,5上恰有4个零点，则a 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分）平面1234,,,αααα两两平行，且αi 与1α+i 的距离均为,1,2,3=d i .已知正方体1111−ABCD A B C D 的棱长为1，且112314,,,αααα∈∈∈∈A B C D .（1）求d ；（2）求1α与平面1A BD 夹角的余弦值. 16.（15分）斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图画成平行于′y 轴（由y 轴顺时针旋转45 得到）的线段，且长度为原来的12，平行于x 轴的线段不变.如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD定义如下图像变换：1T 表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；()2T i 表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的1+i i倍”.（1）记正方形ABCD 经过两次1T 变换后所得图形为2222A B C D ，求22,A B 的坐标；（2）在第i 次复合变换中，将图形先进行一次1T 变换，再进行一次()2T i 变换，1,2=i ，,n .记正方形ABCD 进行n 次复合变换后所得图形为n n n n A B C D .过n A 作n n C D 的垂线，垂足为n H ，若<n nn nD H m H C 恒成立，求m 的取值范围. 17.（15分） 已知函数()()1122e ,e e e 1−=+−=++xx x xf x m mg x . （1）当0=m 时，证明：()e −<x f x ； （2）当0<x 时，()<g x t ，求t 的最小值；（3）若()f x 在区间()0,∞+存在零点，求m 的取值范围.18.（17分）设双曲线22:12−=x C y ，直线:=+l y x m 与C 交于,A B 两点.（1）求m 的取值范围；（2）已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得⋅=⋅=PA PB QA QB t.（i ）当4=t 时，求,P Q 到点()2,−−m m 的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2=t 时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),−m m ，求d 的取值范围. 19.（17分）在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UnionBound （布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound 不等式为：记随机事件1,,n A A ，则()()121=∪∪∪∑nn i i P A A A P A .其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题：（1）有n 个不同的球，其中k 个有数字标号.每次等概率随机抽取n 个球中的一个球.抽完后放回.记抽取t 次球后k 个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为()P t ，现在给定常数p ，则满足()P t p 的t 的最小值为多少？请用UnionBound 估计其近似的最小值，结果不用取整.这里n 相当大且远大于k ；（2）然而实际情况中，UnionBound 精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.已知概率容斥原理：记随机事件1,,n A A ，则()()121211211(1).−=<<<∪∪∪=−∑∑k k nk n a a a k a a a nP A A A P A A A .试问在（1）的情况下，用容斥原理求出的精确的t 的最小值是多少（结果不用取整）？n 相当大且远大于k . （1）（2）问参考数据：当x 相当大时，取111e −=xx .绝密★启用前杭州学军中学2024届高中毕业生适应性测试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
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学军中学2009学年高三第4次月考数学试题（理科）一、选择题1．设全集=+--=≥+-==b a a A C bx a x x A R U U 则],,1(},0|{,（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．02．已知(1,2),(3,4),(2,2),(3,5)A B C D --，则向量AB在向量CD 上的投影为 （ ）A．5B．5- C ．2 D ．53. 如图，程序框图执行后，其循环体执行的次数是 （ ）A ．500B ．499C ．1000D ．9984．已知βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(,ππβα-∈，则=+βα （ ）A ．3π或32π-B ．3π-或32π C ．32π-D ．3π5．设命题P ：如果()y f x =是可导函数，则()0'0f x =是 函数()y f x =在0x x =处取得极值的充要条件； 命题Q ：在ABC ∆中，)42(cos )42(cos 22ππ+<+>B A B A 是成立的充分不必要条件，则 （ ）A ．P 假Q 真B ．P 且Q 为真C ．P 或Q 为假D ．P 真Q 假6．将连续)3(2≥n n 个正整数填入n n ⨯的方格中，使其每行、每列、每条对角线上的各数 之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方数阵，记)(n f 为n 阶幻方数阵对角线上 各数之和，如图就是一个3阶幻方数阵，可知15)3(=f 。
若将等差数列3，4，5，6，, 的前16 项填入44⨯方格中，可得到一个4阶幻方数阵，则=)4(f （ ） A ．44 B ．42 C ．40 D ．36（第3题）7.已知无穷等比数列}{n a 的前n 项的积为n T ，且11>a ，120092008>a a ，0)1)(1(20092008<--a a ，则这个数列中使n T >1成立的最大正整数n 的值等于（ ）A ．2008B ．2009C ．4016D ．40178．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意实数x都有)23()(+-=x f x f ，且1)1(=-f ,2)0(-=f ，则)2008()2()1(f f f +∙∙∙++的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．1 ( ) 9．在计算机算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数， []x 是不超过x 的最大整数． 例如：[][][]3.13, 2.63,00=-=-=．设函数()21122x xf x =-+，则函数()()y f x f x =+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}2,0-10．设1a >，定义()111122f n n n n=+++++ ，如果对2n ∀≥，不等式()127log a f n b +>17log 7a b ++恒成立，则实数b 的取值范围是 （ ）A ．292,17⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．()0,4D ．()1,+∞ 二、填空题 11.定义：a b ad bc cd=-.若复数z 满足112z i ii=-+-，则z 等于 .12.在一个样本的频率分布直方图中，共有4个小矩形，这4个小矩形的面积由小到大成 等差数列{}n a .已知122a a =，且样本容量为300，则小矩形面积最大的一组的频数为 .13. 曲线13--=x xe y x在0=x 处的切线与x 轴、y 轴围成的面积是 .14．若62)1(axx +的二项展开式中3x 的系数为25，则=a . （用数字作答）15．2009年浙江省新课程自选模块考试试卷中共有18道试题，要求考生从中选取6道题 进行解答，其中考生甲第1，2，9，15，16，17，18题一定不选，考生乙第3，9，15，16，17，18题一定不选，且考生甲与乙选取的6道题没有一题是相同的，则满足条件的选法种数共有 .（用数字作答）16．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(1>>-+=b a by ax z 的最大值为11，则ba31+的最小值是 .17．已知如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O,2,3,A B A C B C ===则AO BC ⋅等于 .三、解答题18．（本题满分14分）若)0,(sin ),sin ,cos 3(x b x x a ωωω==，其中)25,21(-∈ω，函数)(,21)()(x f b b a x f 且-⋅+=的图象关于直线3π=x 对称.（1）求)(x f 的解析式； （2）将)(x f y =的图象向左平移3π个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到)(x g y =的图象；若函数)(x g y =，)3,2(ππ∈x 的图象与a y =的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值.19．（本题满分14分）设数列{}n a 满足1a a =，11n n a ca c +=+-，*n N ∈，其中a 、c 为实数，且0c ≠.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12a =，12c =，(1),*n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（3）在（2）的条件下，若存在自然数M m ,使M S m n <<对*∈N n 恒成立，求m M -的最小值.20．（本题满分14分）设函数321()()3f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（1）求证：01b a<≤；（2）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围.B21．（本题满分15分） 设函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，0()1f x <<，且对于任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=． （1）求(0)f ；（2）试判断函数()f x 在),0[+∞上是否存在最小值，若存在，求该最小值；若不存在，说明理由；（3）设数列}{n a 各项都是正数，且满足1(0)a f =，22111()()n n n n f a a f a a ++-=--（*n N ∈），又设1()2na nb =，12n n S b b b =+++ ，12231111n n n T a a a a a a +=+++， 当2≥n 时，试比较n S 与n T 的大小，并说明理由．22．（本题满分15分）已知b a ,是方程)(01442R k kx x ∈=--的两个不等实根，函数12)(2+-=x k x x f 的定义域为],[b a .（1）当0=k 时，求函数)(x f 的值域；（2）证明：函数)(x f 在其定义域],[b a 上是增函数； （3）在（1）的条件下，设函数)210,2121(533)(23<<≤≤-+-=m x x m x x g ，若对任意的]21,21[1-∈x ，总存在]21,21[2-∈x ，使得)()(12x g x f =成立，求实数m 的取值范围.学军中学2009学年高三第4次月考数学答卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，填涂在答题卡上）二、填空题（每小题4分，共28分）11．12．13．14．15．16．17．三、计算题（共5大题，共72分）18．(14分)20．(14分)学军中学2009学年高三第4次月考数学答案（理科）二、填空题（每小题4分，共28分）11．i +1 12． 120 13．41 14． 215． 1974 16． 2611+ 17．52三、计算题（共5大题，共72分）18． 解：（1）),0,(sin ),sin ,cos 3(x b x x a ωωω== )s i n ,s i n c o s 3(x x x b a ωωω+=+∴ 21s i n c o s s i n 321)()(2-+=-⋅+=x x x b b a x f ωωω2122c o s 12s i n 23--+=xx ωω)62s i n (2c o s 212s i n 23πωωω-=-=x x x)(x f 的图象关于直线3π=x 对称,123,,2632+=∈+=-⋅∴k Z k k ωππππω解得,,11,2512321),25,21(Z k k k ∈<<-<+<-∴-∈ω 1,0==∴ωk)62s i n ()(π-=∴x x f（2）将)62sin(π-=x y 的图象向左平移3π个单位得到,2c o s )22s i n (]6)3(2s i n [x x x y =+=-+=πππ再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到 .c o s )(x x g y ==函数.cos )(x x g y ==，)3,2(ππ∈x 的图象与a y =的图象的三个交点坐标分别为ππ32),(),,(),,(321321<<<<x x x a x a x a x 且，则由已知结合如图图象的对称性有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=ππ22,232213122x x x x x x x 得34,,4,2231222321πππ==-=-=x x x x x x x x 解得代入.2134c o s -==∴πa19． （1）1)1(1+-=-n n c a a ；（2）nn n S 222+-=； （3）220．解答：（1）2()2f x ax bx c '=++，由题意及导数的几何意义得(1)20f a b c '=++=，（1）2()2f m am bm c a '=++=-， （2）又a b c <<，可得424a a b c c <++<，即404a c <<，故0,0,a c <> 由（1）得2c a b =--，代入a b c <<，再由0a <，得113b a-<<， （3）将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根． 故其判别式2480b ab ∆=+≥得2b a-≤，或b a≥0， （4）由（3），（4）得01b a<≤；（2）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->， 知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，又由(1)20f a b c '=++=知，11x =为方程（*）的一个实根，则有根与系数的关系得122122,10b b x x x x aa+=-=--<<，当2x x <或1x x >时，()0f x '<，当21x x x <<时，()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ，由题设知21[,][,]x x s t =， 因此122||||2b s t x x a-=-=+，由（Ⅰ）知01b a<≤得||s t -的取值范围为[2,4)；21 . (1)令0y =,1x =-得(1)(1)(0)f f f -=-，又(1)0f ->∴(0)1f =（2）∵0x <时，()0f x >∴0x >时，()()()1f x x f x f x -=-=得1()0()f x f x =>-，故对于x R ∈，()0f x >任取实数1x ，2x ，且12x x <，则120x x -<∴120()1f x x <-< ∴11221222()[()]()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-< ∴()f x 在R 上为增函数∴()f x 在),0[+∞上存在最小值，1)0()(min ==f x f ；（3）由22111()()n n n n f a a f a a ++-=--得2211()()1(0)n n n n f a a f a a f ++---==即2211()(0)n n n n f a a a a f ++---=，又()f x 在R 上为增函数∴22110n n n n a a a a ++---=∴11()(1)0n n n n a a a a +++--=，又数列}{n a 各项都是正数∴11n n a a +-=，*n N ∈∴数列}{n a 为等差数列，1(1)1(0)1n a a n f n n =+-⋅=+-= ∵11111(1)1n n a a n n n n +==-++，∴12231111111n n n T a a a a a a n +=+++=-+而231211111()()()122222n n n n S b b b =+++=++++=- 当2n ≥时，n C C C n n n n n +>+++=+=1)11(2210 ，故1121nn <+ ∴n n T S >综上，n n T S >（*n N ∈且2≥n ）22． （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,54； （2）证明0)('>x f ； （3）31010≤<m。