2007年各地中考压轴题汇编(3)
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解五
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五82.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运4OD = ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得3m = 当2652m m -+=-时，解得3m =．∴当点P 运动到(3或(3或(32)-或(32)-时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．1121EB BM ∴==⨯=，EM =，4OE =．点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．x解：（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab， ∴ 抛物线的解析式为y = ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN = 1，5=CM ，∴ CN = 2，于是m =－1．、C84.（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．3∵Q （8，m ）抛物线上，∴m ＝2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴AQ =又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ ＋PB 的最小值＝AQ ＝．行于x 轴，B C D ，，三点在抛物线2425y x =上，DC 交y 轴于N 点，一条直线OE 与AB 交于E 点，与DC 交于F 点，如果E 点的横坐标为a ，四边形ADFE 的面积为1352．（1）求出B D ，两点的坐标； （2）求a 的值；（3）作ADN △的内切圆P ，切点分别为M K H ，，，求tan PFM ∠的值．设⊙P 的半径为r ，则12521)13125(21⨯⨯=++=∆r S AND ，r ＝2 在正方形PMNK 中，PM ＝MN ＝2∴413452=+=+=NF MN MF 在Rt △PMF 中，tan ∠PMF ＝1384132==MF PM图（13）A m 又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . （2）由题意，AD DGAO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2-m ，故DG=4-2m ， ···· 又BE EFBO OC=，EF=DG ，得BE=4-2m ，∴ DE=3m ， ∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2(0＜m ＜2) .注：也可通过解Rt△BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3)∵SDEFG=12m-6m 2(0＜m ＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=23，b=-23，∴2233y x =-， 又可求得抛物线P 的解析式为：2142y x x =+-，61b 三角形MND （D 为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．解：（1）证明：∵抛物线y ＝x 2－2ax ＋b 2经过点(0)M a c +，∴22()2()0a c a a c b +-++= ∴22222220a ac c a ac b ++--+=∴222b c a +=由勾股定理的逆定理得： ABC △为直角三角形（2）解：①如图所示； ∵3MNP NOP S S =△△∴3MN ON = 即4MO ON =∴2c c = 又c ＞0，∴c ＝1由于c ＝53a b ＝54a ∴a ＝35b ＝34∴当a ＝35，b ＝34，c ＝1时，MNP △为等腰直角三角形。
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之二
25.（杭州市）24.在直角梯形 中， ，高 （如图1）。动点 同时从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为 时， 的面积为 （如图2）。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在 边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图3中的线段 。
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
解：（1）∵ ，
设正方形的边长为 ，
∴ ， 或 （舍去）．
（2） ．
．
（3）①当0≤ ＜4时，重叠部分为三角形，如图①．
可得△ ∽△ ，
∴ ， = ．
∴ ．
②当4≤ ＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．
．
③当6≤ ＜8时，重叠部分为五边形，如图③．
可得， ， ．
= ．
④当8≤ ＜10时，重叠部分为五边形，如图④．
(3)分两种情况讨论：
①当
②当
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时， 为直角三角形。
28.(金华市)如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在 正半轴上，且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求等边 的边长（用 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值；
2007年全国100多个地区中考数学试题分类汇编 点、线、相交、平行
2007年中考数学试题分类-点、线、相交、平行（2007年某某）一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB ∥CD ，如图)，如果第一次转弯时的∠B ＝140°，那么，∠C 应是（ ）。
A 、140°B 、40°C 、100°D 、180°（2007年荆州市）如图是一X 简易的活动小餐桌，现测的OA ＝OB ＝30㎝，OC ＝OD ＝50㎝，桌面离地面的高度是40㎝，则两条桌腿的X 角∠COD 的度数为．（2007年滨州）如图1所示，AB CD ∥，110ABE =∠，则ECD =∠．（2007年滨州）钟表在整点时，时针与分针的夹角会出现5种度数相等的情况，请分别写出它们的度数．(2007年某某)如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______ABCD EODCBA40㎝ ABCD140°（2007年某某市）如图所示，直线a b ∥，112330'=∠，则2=∠．（2007年某某市）如图2，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ） Ａ．28Ｂ．31Ｃ．39Ｄ．42（2007年某某市）如图，AB CD ∥，40A ∠=，45D ∠=，则1∠=．（2007年某某市）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线上．（3分）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分） （3）“2007”在哪条射线上？（3分）ABCDab70°31°abc12．（2007年某某省）图10-1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）．将它们拼成如图10-2的新几何体，则该新几何体的体积为cm 3．（计算结果保留 ）（2007年某某省）用M ，N ，P ，Q 各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图6-1—图6-4是由M ，N ，P ，Q 中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．那么，下列组合图形中，表示P&Q 的是（ ）（2007年某某省）如图1，直线a ，b 相交于点O ，若∠1等于40°，则∠2等于（ ）图10-2图10-1M&PN&PN&QM&Q图6-1图6-2图6-3图6-4A ．B ．C ．D ．A ．50°B ．60°C ．140°D ．160°（2007年某某市）如图，已知a b ∥，170∠=，则2∠=．（2007年某某市）如图1，直线c 截二平行直线a 、b ，则下列式子中一定成立的是 （ ） A ．∠1=∠5 B ． ∠1=∠4 C ． ∠1=∠3 D ． ∠1=∠2（2007年某某市）如图，能判定EB ∥AC 的条件是（ ）。
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解之四
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之四63.（某某市）26. 如图，ABCD 中，4AB =，3BC =，120BAD =∠，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF AB ⊥于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE x =，DEF △的面积为S ．（1）求证：BEF CEG △∽△；（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值X 围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？ 解: （1）证明略；（2）由（1）DG 为DEF △中EF 边上的高，在Rt BFE △中，60B =∠，sin EF BE B x ==， 在Rt CEG △中，3CE x =-，3(3)cos602xCG x -=-=， 112xDG DC CG -∴=+=，213288S EF DG x x ∴==-+， 其中03x <≤． （3）308a =-<，对称轴112x =，∴当03x <≤时，S 随x 的增大而增大，∴当3x =，即E 与C 重合时，S 有最大值．S =最大64.(某某省某某) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重合时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积． （1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值AC B DEF G是多少？（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．解: （1）相等理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是矩形， 所以,,EGH EGF ECN ECP CGQ CGM S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===所以,EGH ECP CGM EGF ECN CGQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=-- 即：S S '=（2）AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，设AE ＝x ，则EC ＝5－x ，34(5),,55PC x MC x =-=所以12(5)25S PC MC x x ==-，即21212(05)255S x x x =-+≤≤ 配方得：2125()3252S x =--+，所以当52x =时， S 有最大值3（3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝52或AE ＝3.6时，ABE ∆是等腰三角形65.(某某省某某市)28. 两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图1所示的位置放置A 与C 重合，O 与E 重合． （1）求图1中，A B D ，，三点的坐标．（2）Rt AOB △固定不动，Rt CED △沿x 轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D 点运动到与B 点重合时停止，设运动x 秒后Rt CED △和Rt AOB △重叠部分面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（3）当Rt CED △以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x =秒时Rt CED △运动到如图2所示的位置，求经过A G C ，，三点的抛物线的解析式． （4）现有一半径为2，圆心P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问P 在运动过程中是xN MQ PHGFEDCBA图11QPNM HGF ED CB A 图10否存在P 与x 轴或y 轴相切的情况，若存在请求出P 的坐标，若不存在请说明理由．解：（1）(06)A ，，(60)B ，，(60)D -， （2）当03x <≤时，位置如图Ａ所示，作GH DB ⊥，垂足为H ，可知：2OE x =，EH x =，62DO x =-，6DH x =-，22()GHD IOD IOHG y S S S ∴==-△△梯形22112(6)(62)22x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦223263122x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当36x ≤≤时，位置如图Ｂ所示． 可知：122DB x =-212DGBy S DB ⎫∴==⎪⎪⎝⎭△2212)12362x x x ⎤=-=-+⎥⎣⎦（求梯形IOHG 的面积及DGB △的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）y ∴与x 的函数关系式为：22312(03)1236(36)x x x y x x x ⎧-+<⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤ （3）图2中，作GH OE ⊥，垂足为H ，当4x =时，28OE x ==，1224DB x =-=122GH DH DB ∴===，1666242OH HB DB =-=-=-=图Ｂ∴可知：(06)A ，，(42)G ，，(86)C ，∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：221(4)22644x y x x =-+=-+ （4）当P 在运动过程中，存在P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，当P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±，由02x =-得：011y =，1(211)P ∴-，由02x =，得03y =，2(23)P ∴，当P 与x 轴相切时，有02y = 21(4)204y x =-+>02y ∴=，得：04x =，3(42)P ∴，综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：1(211)P -，，2(23)P ，，3(42)P ，66.(某某省永州市) 25、在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=°，5AB =，10BC =，tan 2ADC ∠=．（1）求DC 的长；（2）E 为梯形内一点，F 为梯形外一点，若BF DE =，FBC CDE ∠=∠，试判断ECF △的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BE EC ⊥，:4:3BE EC =，求DE 的长．解（1）过A 点作AG DC ⊥，垂足为G90AB CD BCD ABC ∴∠=∠=∥， ∴四边形ABCG 为矩形510CG AB AG BC ∴====，tan 2AGADG DG∠==510DG DC DG CG ∴=∴=+=，（2）DE BF FBC CDE BC DC =∠=∠=，，DEC BFC ∴△≌△EC CF ECD FCB ∴=∠=∠，9090BCE ECD ECF ∠+∠=∠=，ECF ∴△是等腰直角三角形（3）过F 点作FH BE ⊥BE EC CF CE CE CF =⊥，⊥，∴四边形ECFH 是正方形，6FH EC ∴==:4:390BE EC BEC =∠=， 222BC BE EC ∴=+68ECBE ∴==，2BH BE EH ∴=-=DE BF ∴===67.(某某省某某市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解之二
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之二25.（某某市）24. 在直角梯形ABCD 中，90C ∠=︒，高6CD cm =（如图1）。
动点,P Q 同时从点B 出发，点P 沿,,BA AD DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1/cm s 。
而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。
设,P Q 同时从点B 出发，经过的时间为()t s 时，BPQ ∆的面积为()2y cm （如图2）。
分别以,t y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。
（1）分别求出梯形中,BA AD 的长度； （2）写出图3中,M N 两点的坐标；（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值X 围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。
解: （1）设动点出发t 秒后，点P 到达点A 且点Q 正好到达点C 时，BC BA t ==，则1630,102BPQ S t t ∆=⨯⨯=∴=（秒）则()()10,2BA cm AD cm ==； （2）可得坐标为()()10,30,12,30M N （3）当点P 在BA 上时，()213sin 010210y t t B t t =⨯⨯⨯=≤<； 当点P 在DC 上时，()()1101859012182y t t t =⨯⨯-=-+<≤ 图象略（图1）（图2）26.（某某市）27．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP 交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．解：(1)如图2，点P即为所画点．(答案不唯一，但点P不能画在AC中点)。
2007年广东省中考数学压轴题全解全析
2007年广东省中考数学压轴题全解全析2008年中考在即，备受广大师生关注的中考数学中的压轴题，因为这些试题有较强的选拔性，往往在很大的程度上决定了考试的成败，为帮助大家迎接今年的中考，特对2007年广东省各市中考数学压轴题加以整理，希望对大家有所帮助。
1.(深圳) 如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =相交于A B ，两点．（1）求线段A B 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段A B 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？ （3）如图8，线段A B 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出O M O C O D ，，的长，并验证等式222111+=是否成立．（4）如图9，在R t AB C △中，90A C B=∠，C D A B ⊥，垂足为D ，设B C a =，A C b =，A B c =．C D b =，试说明：222111abh+=．解（1） ∴A （-4，-2），B （6，3）分别过A 、B 两点作x AE ⊥轴，y BF ⊥轴，垂足分别为E 、F∴AB =OA+OB 22223624+++=55=（2）设扇形的半径为x ，则弧长为)255(x -，扇形的面积为y则)255(21x x y -=x x5252+-=16125)455(2+--=x∵01<-=a ∴当455=x 时，函数有最大值16125=最大y（3）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ∵CD 垂直平分AB ，点M 为垂足∴255225521=-=-=OA AB OM ∵COM EOA OMC AEO ∠=∠∠=∠,图7 图8图9D∴△AEO ∽△CMO ∴COAO OMOE =∴CO52254=∴45415225=⋅⋅=CO同理可得 25=OD∴542520)52()54(112222==+=+OD OC∴5412=OM∴222111OMODOC=+（4）等式222111hba=+成立．理由如下：∵AB CD ACB⊥=∠,90∴2222121b aABh AB ab +=⋅=∴h c ab ⋅=∴ 2222h cba ⋅= ∴22222)(h b aba += ∴22222222222)(hb a hb a hb a ba +=∴222221ba bah+=∴222111bah+=∴222111hba=+2. （梅州 11分）如图12，直角梯形A B C D 中，90643A B C D A A B A D D C ∠====∥，°，，，，动点P 从点A 出发，沿A D C B →→→方向移动，动点Q 从点A 出发，在A B 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段P Q 平分梯形A B C D 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当P Q A C ∥时，求x y ，的值；（3）当P 不在B C 边上时，线段P Q 能否平分梯形A B C D 的 面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．解：（1）过C 作C E A B ⊥于E ，则34C D A E C E ===，，可得5B C =，所以梯形A B C D 的周长为18． ····················································································· 1分 P Q 平分A B C D 的周长，所以9x y +=， ··································································· 2分 因为06y ≤≤，所以39x ≤≤， 所求关系式为：939y x x =-+，≤≤． ················ 3分（2）依题意，P 只能在B C 边上，79x ≤≤． 126P B x B Q y =-=-，，因为P Q A C ∥，所以B P Q B C A △∽△，所以B P B Q B CB A=，得 ······································ 4分12656x y --=，即6542x y -=， 解方程组96542x y x y +=⎧⎨-=⎩， 得87121111x y ==，． ······ 6分 ABCD P Q图12（3）梯形A B C D 的面积为18． ························································································ 7分 当P 不在B C 边上，则37x ≤≤（a ）当34x <≤时，P 在A D 边上，12A P Q S x y =△．如果线段P Q 能平分梯形A B C D 的面积，则有192x y =······················································· 8分 可得：918.x y x y +=⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，；（63x y ==，舍去）． ····················································· 9分（b ）当47x ≤≤时，点P 在D C 边上，此时14(4)2A D P Q S x y =⨯-+．如果线段P Q 能平分梯形A B C D 的面积，则有14(4)92x y ⨯-+=，可得92217.x y x y +=⎧⎨+=⎩，此方程组无解． 所以当3x =时，线段P Q 能平分梯形A B C D 的面积．11分3. （韶关 9分）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解之三
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之三45.（某某省某某市）24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．解：（1）点(30)A -，，(10)C ，4AC ∴=，3tan 434BC BAC AC =⨯=⨯=∠，B 点坐标为(13)，设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，由0(3)3k b k b=⨯-+⎧⎨=+⎩ 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为3944y x =+ （2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ， 在Rt ABC △和Rt ADB △中，BAC DAB =∠∠Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，D ∴点为所求又4tan tan 3ADB ABC ==∠∠， 49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷=∠第24题图第24题图1134OD OC CD ∴=+=，1304D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，（3）这样的m 存在在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB = 如图1，当PQ BD ∥时，APQ ABD △∽△则133413534mm+-=+，解得259m =如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△则133413534mm+-=+，解得12536m =46.(某某市)24. 已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点 P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两 点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?（2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为x （cm ），试确定y 与x 之间的关系式． 解：⑴根据题意：AP ＝tcm ，BQ ＝tcm ． △ABC 中，AB ＝BC ＝3cm ，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t)cm ．△PBQ 中，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ ＝12BP ．第24题图2A P即t ＝12(3－t)，t ＝1(秒)．当∠BPQ＝90°时，BP ＝12BQ ．3－t ＝12t ，t ＝2(秒)．答：当t ＝1秒或t ＝2秒时，△PBQ 是直角三角形．⑵过P 作PM⊥BC 于M ． Rt△BPM 中，sin∠B＝PM PB，∴PM＝PB·sin∠B＝2(3－t)．∴S △PBQ ＝12BQ·PM＝12· t ·2(3－t)．∴y＝S △ABC －S △PBQ＝12×322－122(3－t)2444．∴y 与t 的关系式为： y 2444-+．假设存在某一时刻t ，使得四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23， 则S 四边形APQC ＝23S △AB C ．2444＝23×12×322．∴t 2－3 t ＋3＝0． ∵(－3) 2－4×1×3＜0 ∴方程无解．∴无论t 取何值，四边形APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的23．⑶在Rt△PQM 中， MQ ＝BM BQ -＝()312t -．MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x 2＝[32(1－t)]2＋2(3－t)]2＝()()2293219644t t t t -++-+ ＝()23412124t t -+＝3t 2－9t ＋9．∴t 2－3t ＝()2193x -．2444+，)234t t -()21943x -+212x ．∴y 与x 的关系式为：y 212x ．47.(某某省某某市) 29．如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．解: （1）60BAO =∠．（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）(10)P t -（05t ≤≤）1(22)(10)2S t t =+-2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当92t =时，S有最大值为1214， 此时112P ⎛ ⎝⎭．（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，由OPH OPM △∽△得：11.53OM ==， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个．（第29题图①）Ax t （第29题图②）②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得1217.83OQ =+=．而构成直角时交y 轴于03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，20.217.83=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．48.(某某省东营市)24. 根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42； 17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12； 20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2， 因为□2－○2=（□＋○）（□－○）； 所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29． 解得，□＝20，○＝9．故229202911-=⨯． （或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92． ⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：1129122813271426⨯<⨯<⨯<⨯<152516241723⨯<⨯<⨯<182219212020⨯<⨯<⨯．⑶ ① 若40=+b a ，a ，b 是自然数，则ab ≤202＝400． ② 若a ＋b ＝40，则ab ≤202＝400．③ 若a ＋b ＝m ，a ，b 是自然数，则ab ≤22m ⎛⎫⎪⎝⎭．④ 若a ＋b ＝m ，则ab ≤22m ⎛⎫⎪⎝⎭．⑤ 若a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝a 3＋b 3＝…＝a n ＋b n ＝40．且 | a 1－b 1|≥|a 2－b 2|≥|a 3－b 3|≥…≥| a n －b n |， 则 a 1b 1≤a 2b 2≤a 3b 3≤…≤ a n b n ．⑥若a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝a 3＋b 3＝…＝a n ＋b n ＝m ．且 | a 1－b 1|≥|a 2－b 2|≥|a 3－b 3|≥…≥| a n －b n |， 则a 1b 1≤a 2b 2≤a 3b 3≤…≤ a n b n ．49.(某某枣庄)25. 已知：如图，在△ABC 中，D 为A 月边上一点，∠A =36°，AC =BC ，AC 2=AB ·AD ． (1)试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形， (2)若AB =1，求AC 的长，(3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形．解：(1)在△ABC 中，AC =BC ，∠A ＝36°，∴∠B =∠A =36°，∠ACB =108°在△ABC 与△CAD 中，∠A =∠B =36°． ∵AC 2=AB ·AD ，∴AC AD ADAB AC BC==． ∴△ABC ∽△CAD ． ∴∠ACD =∠B =36°．∴∠CDB =72°，∠DCB =108°-36°=72°． ∴△ADC 和△BDC 都是等腰三角形． (2)设AC ＝x ，则AD =1-BD =1-BC =1-2x ∴x 2=1×(1-x )，即x 2＋x -1＝0．解得121515,22x x -+--== （舍去)．∴512AC -=(3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分． ①有4个等腰三角形，得1分； ②有6个等腰三角形，得2分； ③有8个等腰三角形，得4分．50.(某某省滨州市)26. 如图12-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值X 围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．图12-1AEF 图12-2A BOEF解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△． BE BOCO CF=∴． BE x =∵，CF y =，OB OC === 2(12)y x x=∴≤≤． （3）EF 与O 相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OECO OF =∴． BE OEBO OF =∴． 即BE BO OE OF =． 又45B EOF ∠=∠=∵°，A EFOCB AEFOC B（图12－1）（图12－2）BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径． EF ∴与O 相切．51.(日照市)24. 如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x ．(Ⅰ)求证：AF=EC ；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C .（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x ︰b 的值；（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？ 解: (Ⅰ)证明：∵AB=a ，AD=b ，BE=x ，S 梯形ABEF =S 梯形CDFE ． ∴21a (x +AF )=21a (EC +b -AF )， ∴2AF =EC +(b -x )． 又∵EC ＝b -x ， ∴2AF =2EC ，即AF=EC ；(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一）， ∵EC ∥E ′B ′， ∴B E EC ''=BD DC'.由EC ＝b -x ，E ′B ′=EB =x ，DB ′=DC +CB ′=2a ， 得aax x b 2=-， ∴x ︰b =32；当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二）， 在梯形AE ′B ′D 中，∵EC ∥E ′B ′,点C 是DB ′的中点，∴CE =21(AD + E ′B ′)， 即b -x ＝21（b ＋x ），∴x ︰b =31．(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ． 证明：连接BF ． ∵FD ∥BE , FD =BE ，∴四边形FBED 是平行四边形，∴FB ∥DE ， FB =DE ,又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点， ∴DE =EE ′，∴FB ∥EE ′, FB = EE ′， ∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ．如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE ′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M =a .．∵x ︰b =31， ∴EM =31BC =31b ．若BE′与EF 垂直，则有∠GBE +∠BEG =90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′+∠ME ′E =90°， ∴∠GBE =∠ME ′E .在R t△BME ′中，tan ∠E ′BM = tan ∠GBE =BM M E '=b a32．在R t△EME ′中，tan ∠ME ′E =M E EM '=ab31，∴b a 32＝a b 31． 又∵a ＞0，b ＞0，=ba32， ∴当=ba32时，BE′与EF 垂直.52.(某某省聊城市)25. 某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A 和公园B 的绿化面积．已知公园A B ，分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮21608m 和21200m 出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：公园A公园B路程（千米）运算单价（元）路程（千米）运费单价（元） 甲地 30 0.25 32 0.25 乙地220.3300.3（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）65m 12060图1图2（1）分别求出公园A B ，需铺设草坪的面积；（结果精确到21m ） （2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．解：（1）设公园A B ，需铺设草坪的面积分别为12S S ，，根据题意，得16232622322221800S =⨯-⨯-⨯+⨯=．设图2中圆的半径为R ，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为252， 所以25cos302R =°，有R =．于是，2212012565252π2100836022S =⨯-⨯⨯-⨯≈．所以公园A B ，需铺设草坪的面积分别为21800m 和10082m ．（2）设总运费为y 元，公园A 向甲地购买草皮x 2m ，向乙地购买草皮(1800)x -2m ． 由于公园A B ，需要购买的草皮面积总数为180010082808+=（2m ）， 甲、乙两地出售的草皮面积总数为2160812002808(m )+=． 所以，公园B 向甲地购买草皮2(1608)m x -， 向乙地购买草皮21200(1800)(600)(m )x x --=-．于是，有01608018001200x x ⎧⎪⎨-⎪⎩，．≤≤≤≤所以6001608x ≤≤． 又由题意，得300.25220.3(1800)320.25(1608)300.3(600)y x x x x =⨯+⨯-+⨯-+⨯-···1.919344x =+．因为函数 1.919344y x =+随x 的增大而增大，所以，当600x =时，有最小值 1.96001934420484y =⨯+=（元）．因此，公园A 在甲地购买6002m ，在乙地购买2180********(m )-=；公园B 在甲地购买16086001008-=（2m ）． 此时，运送草皮的总运费最省．53.(某某省某某市非课改区)26. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CGAD CD=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．解: （1）证明：在ADC △和EGC △中Rt ADC EGC ∠=∠=∠，C C ∠=∠ADC EGC ∴△∽△EG CGAD CD∴=（2）FD 与DG 垂直 证明如下：在四边形AFEG 中，90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ∴四边形AFEG 为矩形AF EG ∴=由（1）知EG CGAD CD=AF CGAD CD∴=EB （第26题）EB （第26题）ABC △为直角三角形，AD BC ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴∠+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥（3）当AD AC =时，FDG △为等腰直角三角形， 理由如下：AB AC =，90BAC ∠= AD DC ∴=由（2）知：AFD CGD △∽△1FD ADGD DC ∴== FD DG ∴= 又90FDG ∠=FDG ∴△FDG ∴△为等腰直角三角形54.(某某省某某市)23. 已知：如图14，在ABC △中，D 为AB 边上一点，36A ∠=，AC BC =，2AC AB AD =．（1）试说明：ADC △和BDC △都是等腰三角形； （2）若1AB =，求AC 的值；（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数）解：（1）在ABC △中，AC BC =，36108B A ACB ∴∠=∠=∠=，．在ABC △与CAD △中，36A B ∠=∠=；ＡＤＢ图142AC AB AD =，AC AB ABAD AC BC ∴==． ABC CAD ∴△∽△ 721083672CDB DCB ∴∠=∠=-=，．ADC ∴△和BDC △都是等腰三角形．4分（2）设AC x =，则()211x x =⨯-，即210x x +-=．解得x x =∴=（负根舍去）．55.(某某省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．36363636 363672 72108(有8个等腰三角形)解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值X 围是1＜x ＜6．① 根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．56.(某某市) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点C 。
2007年中考数学压轴题及答案
2007年广东省各市数学中考压轴题解析1、（2007 广东省中山市）第22题：如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E 、F分别从顶点B 、C 同时开始以相同速度沿BC 、CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，对应边EG ＝BC ，B 、E 、C 、G 在一直线上。
(1)若BE ＝a ，求DH 的长；(2)当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。
解：（1）连结EF ，则FH ∥BE 且FH=BE ，在Rt △DFH 中，DF=3a －a=2a ，FH=a ，∠DFH=900所以，DH=a FH DF DH 522=+= （2）设BC=x ，△DHE 的面积为y ， 依题意得，EG H CD H G CD E S S S y ∆∆-+=梯形x a x x a x a a ⨯⨯-⨯++-⨯⨯=321)3(21)3(321 22292321a ax x +-=故2222827)23(21292321a a x a ax x y +-=+-= 当时a x 23=，即BE=BC 21=时，E 是BC 的中点，y 取最小值。
△DHE 的面积y 的最小值是2827a 2、（2007 广东省佛山市）第24题：如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 为2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m ． （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高4.5m ，宽2.4m ，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？解：（1）根据题意，A （－4，2）；D （4，2）；E （0，6） 设物线的解析式为c ax y +=2，将A （－4，2）；E （0，6）D(第22题图)BCAE FGH3a3a第24题图代入caxy+=2得，⎪⎩⎪⎨⎧=-=641ca，故6412+-=xy（2）取,2.1=x解得5454.56)2.1(412=+⨯-=y>4.5,则该辆货运卡车能安全通过隧道。
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2007年各地中考压轴题汇编（3）19、（浙江义乌）如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ， 使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =（1分） ∴A （-1，0）B （3，0）；（1分）将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）（1分） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1（2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不扣分） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），（1分） E （2(,23)x x x --（1分）∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++（2分） ∴当12x =时，PE 的最大值=94（1分）（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -+-（结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分） 20、（湖北天门）如图所示，在平面直角坐标系内，点A 和点C 的坐标分别为(4，8)、(0，5)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过OB 上的动点D 作直线y ＝kx ＋b 平行于AC ，与AB 相交于点E ，连结CD ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F 。
(1)求经过A 、C 两点的直线的解析式；(2)当点D 在OB 上移动时，能否使四边形CDEF 成为矩形？若能，求出此时k 、－b 的指；若不能，请说明理由；(3)如果将直线AC 作上下平移，交y 轴于C ’，交AB 于A ’，连结DC ’，过点E 作EF ’∥DC ’，交A ’C ’于F ’，那么能否使四边形C ’DEF ’为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。
21、（江西南昌）实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形A B C D 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是 ， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形A B C D 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形A B C D 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．解：（1）(52)，，()e c d +，，()c e a d +-，． ···························································· 2分 （2）分别过点A B C D ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1111A B C D ，，，， 分别过A D ，作1AE BB ⊥于E ，1D F C C ⊥于点F ． 在平行四边形A B C D 中，C D B A =，又11BB C C ∥，180EBA ABC BCF ABC BCF FCD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=．x图1x图2x图3)x图4)xDE B AF C D ∴∠=∠．又90BEA CFD ∠=∠= ，B E AC FD ∴△≌△． ·································································································· 5分 AE DF a c ∴==-，B E C F d b ==-．设()C x y ，．由e x a c -=-，得x e c a =+-．由y f d b -=-，得y f d b =+-．()C e c a f d b ∴+-+-，． ································ 7分 （此问解法多种，可参照评分）（3）m a c e +=+，n b d f +=+或m c e a =+-，n d f b =+-．························· 9分 （4）若G S 为平行四边形的对角线，由（3）可得1(27)P c c -，．要使1P 在抛物线上， 则有274(53)(2)c c c c c =--⨯--，即20c c -=．10c ∴=（舍去），21c =．此时1(27)P -，． ································································ 10分 若SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32)P c c ，，同理可得1c =，此时2(32)P ，． 若G H 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2)c c -，，同理可得1c =，此时3(12)P -，． 综上所述，当1c =时，抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形．符合条件的点有1(27)P -，，2(32)P ，，3(12)P -，． ······················································ 12分22、（浙江温州）在A B C ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。