构建长方体巧解立几题

f ( x) > f ( x - 1) + f ( 4) = f ( 4x - 4) ,
度第一学期期末调研测试高一数学试题 , 由吉 林省榆树市弓棚高级中学 ( 130406 ) 孙桂凤 提供 )
∵f ( x) 在 ( 0, + ∞) 上是增函数 ,
・26・
C1 D AD = b +c ≥ a
2 2
2 bc
a
,
(上接第 30 页 ) ∵0 < x1 < x2 , 0 < ∴f
x1 x2 x1 x2 < 1,
x > 0, 4 ∴ x - 1 > 0, 解得 1 < x < , 3 x > 4 x - 4,
< 0, ∴f ( x1 ) < f ( x2 ) ,
R, 易知 ,
4R
2
= ( 2R )
2
=3 +(
2
11 )
2
+ 4 = 36.
2
・24・
第 3 期 高中数学教与学
πR 2 = 36 π ∴S表 = 4 . 本题 也 可 作 一 变 式 : 将 边 长 为 2 的 正 & AB C 沿高 AD 折成直二面角 B - AD - C, 问 三棱锥 B - ADC的外接球的体积是多少 ?请读 者画出草图求解 , 这里就不再赘述了 . 评注 当题目中含有“ 三个平面两两垂 直 , 相交于同一点 ” 或“ 从同一点出发的三条 棱两两相互垂直 ” 等条件时 , 一般可以构建长 方体 , 相应几何体的外接球直径就是长方体 的体对角线长 . 例 4 如图 4, 在四面体 P - AB C中 , PA =
tan β =
tan γ =
B C1 = AB A 1 C1 AA 1 =
c +a ≥ b a +b ≥ c
2 2
2
2
2 ca
b c
, ,
2 ab
三式相乘得 tan α・ tan β・ tan γ ≥ 2 2.
评注 该题解法的巧妙之处是在题意背 景下补形得到一个正方体 , 让正四面体“ 落” 在其中 , 这样在熟悉的基本图形之中 , 点 、 线、 面的位置关系一目了然 , 因此解答过程也十 分快捷 . 例 6 若 α, β , γ均为锐角且满足 co s α + 2 2 co s β + co s γ = 1, 求证 :
分析 由题设条件易联想到长方体的对 角线的性质 , 于是构造长方体求解 . 证明 如图 8, 设以 a, b, c为长宽高的长 方体 AB CD - A 1 B 1 C1 D 1 的对角线 AC1 与过点 A 的三条棱 AD, AB , AA 1 所成的角分别为 α, β ,γ ,
tan α =
高中数学教与学 2010 年
构建长方体 巧解立几题
郭爱平
(江西省遂川中学 , 343900 )
立体几何的研究对象是空间图形 , 其教 学的首要目标在于培养和提高学生的空间想 象力 , 进而建立并完善学生的空间观念 , 所以 立体几何的教学可以说是始于构图 , 行于识 图 , 止于用图 . 而构图是形成空间观念 、 培养 空间想象能力的基础 , 同时也是立体几何学 习入门的必经之路 . 对初学者来说 , 有些问题 会因想象不出它们的直观形象而难以解决 , 如果能以学生早已熟悉的几何基本图 (如正 方体 , 长方体 , 圆柱 , 圆锥等 ) 为载体构建基本 图 , 那么教师口说不明之苦便会一画了然 , 学 生百思不解之处也会一看明之 . 因此在解决 某些问题的过程中通过构建正方体或长方 体 , 往往可以达到事半功倍的效果 . 例 1 判断命题“ 在空间有三个角都是直 角的四边形是矩形 ” 是真命题还是假命题 . 解 如图 1, 在长方体中的空间四边形
SA, SB , SC两两垂直 , 且 SA = 3, SB = = 4, 求该球的表面积 .
原命题为假命题 .
11, SC
评注 有的命题在平面几何中是真命 题 , 但在立体几何中不一定是真命题 , 还需要 经过论证 . 本题通过构建一个长方体 , 得到一 个反例 , 对说明问题干脆 、 有效 . α β 例 2 三个平面 , , γ两两垂直 , 且交于 同一点 P, 空间一点 Q 到三个平面的距离分别 为 3, 4, 12, 求 P, Q 两点间的距离 . 分析 如图 3, 因为 SA, SB , SC 两两互相 垂直 , 故可以将这相交的三条线段为棱构建 一个长方体 , 该长方体是球的内接长方体 , 其 体对角线的长等于球的直径 , 设球的半径为
tan αtan βtan γ ≥ 2 2.
2
以上几例是通过构建熟知的基本图形长 方体来求解的 , 这些数学问题从表面一看 , 似 乎与长方体无关 , 易使人陷入“ 山穷水尽疑无 路” 之境 , 如解题时能仔细观察 , 注意到题目 的条件或结论的结构特点 , 充分展开联想 , 发 挥思维的创造性 , 构造长方体这个基本图形 , 可使解题思路简单 、 明畅 , 解法灵活 、 巧妙 , 从 而达到“ 柳暗花明又一村 ” 的效果 . 事实上 , 长 方体的作用不仅如此 , 在其他很多地方 (如求 空间角 、 空间距离等 ) 长方体都会发挥它惊人 的作用 . 构造思想是中学数学的重要思想方 法 , 在立体几何中 , 构建长方体来解题是构造 思想的重要体现 , 它不仅给我们的解题带来 极大的方便 , 而且能有效地促进学生创新能 力的发展 .
2 2 2 2 2 2 2 2
a = 1,
OB , OC 为棱补成一个正方体 OA EB - CFDG, 让正四面体 AB CD 内接于该正方体 (如图 7 ) ,
= (
13 ) , 解得 b = 2, 2 c = 3. 10 ) ,
于是 , 在正方体的背景下 , 很容易得到如下判 断: ①O - AB C 是正三棱锥 , 故 A 正确 . ②直线 AD 与 OB 所成的角就是直线 AD 与 A E 所成的角 , 而 ∠DA E = 45 ° , 故 C 正确 . ③二面角 D - OB - A的平面角为 ∠DB E,
∴不等式 f ( x ) - f ( x - 1 ) > 2 的解集为
x|பைடு நூலகம்1 < x <
∴f ( x ) 在 ( 0, + ∞) 上是增函数 .
( 3 ) ∵f ( 2 ) = 1,
4 . 3
(试题系吉林省长春市 2009 ～ 2010 学年
∴f ( 4 ) = f ( 2 ) + f ( 2 ) = 2, 由 f ( x ) - f ( x - 1 ) > 2, 得
V P - AB C = V长方体 - 4V三棱锥
1 1 = abc - 4 × × abc 3 2
・2 5 ・
高中数学教与学 2010 年
而 ∠DB E = 45 ° , 故 D 正确 . 可见本题答案为 B. 事实上 , 直线 OB ∥
A E, 而直线 A E 与平面 ACD 交于点 A, 故直线 OB ∥平面 ACD 是错误的 .
( C ) 直线 AD 与 OB 所成的角是 45 ° ( D ) 二面角 D - OB - A 为 45 °
分析 注意到 OA, OB , OC 两两垂直 , 且 四面体 AB CD 是一个正四面体 , 因此可以 OA, 设 DA = a, DB = b, DC = c, 则
a + b = ( 5) , b +c = ( c +a
AB CD 中有三个角是直角 , 但它不是矩形 , 故
解 如图 2, 由点 Q 分别向面 α, β ,γ 作垂 线 , 垂足分别为 M , N , H, 面 QM H交 PA 于 G, 面
QN H 交 PB 于 F, 面 QM N 交 PC于 E, 得长方体 QN EM - HFPG. 因为 PQ
2
= QM +QN +QH
2
2
2
= 169, 所以 PQ = 13, 即 P, Q 两点间的距离等
于 13. 本题还可以作一变式 :把一半径为 a 的篮 球放在墙角 , 当它与墙角的 3 个面都相切时 , 请问球心到墙角的距离是多少 ?解答比较简 单 , 请读者思考 .
例 3 在球面上有 4 个点 S, A, B , C, 若
1 . 3
13, PB = AC =
10, PC = AB = 5.
( 1 ) 求这个四面体的体积 ; ( 2 ) 求这个四面体外接球的表面积 .
例 5 ( 2009 年江西高考题 ) 如图 6, 正四 面体 AB CD 的顶点 A, B , C 分别在两两垂直的 三条射线 O x, O y, O z 上 , 则在下列命题中 , 错 误的为 ( )
BC = =
1 abc = 2. 3
( 2 ) 易知四面体 P - AB C 的外接球与长
方体 ADB E - FCGP 的外接球是同一个球 , 设 外接球半径为 R, 则有
4R
2
= ( 2R )
2
= a + b + c = 14,
2
2
2
πR 2 = 14 π ∴S球 = 4 . 评注 长方体与四面体有着密不可分的 关系 , 任何一个长方体都可以分割成多个四 面体 , 如果一个四面体的 3 组对棱长分别相 等 , 且有一个面为锐角三角形 , 则四面体可以 补成一个长方体 (当四面体为正四面体时 , 长 方体就变成正方体 ) , 同时 , 还有如下结论 : 四 面体的体积是其外接长方体体积的
( A ) O - AB C 是正三棱锥 ( B ) 直线 OB ∥平面 ACD
分析 ( 1 ) 本题若通过计算底面积与高 再求体积会碰到很复杂的运算 , 但如果利用 长方体 6 个面的对角线为棱组成四面体时 , 这 个四面体的对棱恰好相等 , 于是把它补成一 个长方体 ADB E - FCGP (如图 5 ) .