2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质讲义理含解析
高考数学一轮复习第7章立体几何第4节直线、平面平行的判定及其性质教师用书
第四节 直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定与性质(1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b . (2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]3．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥l1且n∥l2D[m∥l1且n∥l2⇒α∥β，但α∥βD/⇒m∥l1且n∥l2，∴“m∥l1且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件．]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2017·杭州二中质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号)．②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能D[A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．] [规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] (2017·宁波中学模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥βD[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．](2017·南通模拟)如图741所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC ，A 1C 1上的点．图741(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值. 【导学号：51062232】 [解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.2分连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.4分又∵OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.6分 (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，8分∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB， 又由题(1)可知A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB＝1， ∴DC AD ＝1，即AD DC＝1.15分[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] 如图742，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．图742(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离． [解] (1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .4分因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .6分 (2)由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32. 作AH ⊥PB 交PB 于点H .10分由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.15分如图743所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：图743(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .[证明] (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，GH ∥B 1C 1.4分 又∵B 1C 1∥BC ， ∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面.6分(2)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∴EF ∥BC .∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .8分 ∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，则A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .12分 ∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .15分[迁移探究] 在本例条件下，若点D 为BC 1的中点，求证：HD ∥平面A 1B 1BA . [证明] 如图所示，连接HD ，A 1B ，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B.8分又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.15分[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] 如图744所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC，SC的中点，求证：图744(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.3分又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.7分(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.10分又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.15分[思想与方法]1．线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[易错与防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．课时分层训练(三十九)直线、平面平行的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m ∥β且n∥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．]2.正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是( )图745A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1FD[由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.]3．(2017·湖州模拟)如图746所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC 交于DE，则DE与AB的位置关系是( )图746A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )【导学号：51062233】A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB[若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．] 5．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l ⊂α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)． ②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交． 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图747所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7472 [在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．(2017·衡水模拟)如图748，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．图748平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心， 所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB . 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC .] 三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图749所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.【导学号：51062234】图749[解] (1)点F ，G ，H 的位置如图所示.6分(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG .9分又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .12分 又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH .同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.15分10．(2017·绍兴质检)如图7410，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图7410求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明](1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.2分又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.6分(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.8分因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.12分因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A、B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]2．如图7412所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B ∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________. 【导学号：51062235】图74121 [设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图7413所示，在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC.2分又∵DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.6分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.8分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC.12分又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.15分。
高考数学一轮复习第7章立体几何第4讲直线平面平行的判定及性质课件
∴四边形 A1EBG 是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
核心规律 1.平行问题的转化关系
2.判断直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平 行的直线．常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线．
∴VABCDFE＝31×4×
3×2＝8 3
3 .
(2)证明：由(1)知 AO∥FG，AO＝FG， ∴四边形 AOFG 为平行四边形， ∴AG∥OF. 又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面 ADE，AG⊂平 面 ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面 BCF，BC⊂平面 BCF， ∴平面 ADE∥平面 BCF.
解析 由 m⊥n，m⊥α，可得 n∥α 或 n 在 α 内，当 n ∥β 时，α 与 β 可能相交，也可能平行，故①错．易知②③ 都正确．
触类旁通 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行 的判定定理中，条件“线在面外”易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
跟踪训练 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM＝DN，求证：MN∥平面 AA1B1B.
证明 证法一：如下图，作 ME∥BC，交 BB1 于 E，作 NF∥AD，交 AB 于 F，连接 EF，则 EF⊂平面 AA1B1B.
触类旁通 判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
高考数学总复习 第七章 立体几何 7.4 直线、平面平行的判定及其性质课件 理
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所以△DEF 的面积 S＝12×2×2＝2， 所以三棱锥 B DEF 的体积 V＝13×S×BH＝13×2×2＝43.
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角度 2 直线与平面平行性质定理的应用 如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，
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解：(1)证明：连接 AG 并延长交 PD 于 H，连接 CH. 由四边形 ABCD 是梯形，AB∥CD，且 AB＝2DC， 知FACF＝21， 又 G 为△PAD 的重心，∴GAGH＝21， 在△ACH 中，GAGH＝FACF＝21， 故 GF∥HC. 又 HC⊂平面 PDC，GF⊄平面 PDC， ∴GF∥平面 PDC.
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(2)(2019·山东泰安二模)已知 m，n 是两条不同直线，α，β，γ 是三
个不同平面，下列命题正确的是( D )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β C．若 m∥α，m∥β，则 α∥β
D．若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n
解析：对于 A，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 可能平行，可能
获得的结论证明一些空 平行、线面平行及面面平行的判
间图形的平行关系的简 定及应用，题型为解答题中的一
单命题.
问.
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课堂探究(tànjiū) 考点突 破
真题模拟(mónǐ)演练
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课堂探究 考点突破
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第七章
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质课件
►名师点拨 空间平行的探索性问题求解方法 (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件。 (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合 乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设。
(1)求证：AM＝CM；点O，连OM，OC， 则OM綊12PA，OC綊AD。
又∵PA⊥面ABCD，∴Rt△AOM中， AM2＝AO2＋OM2＝1＋14＝54， 在Rt△COM中，CM2＝OM2＋OC2＝54， ∴AM＝CM。
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5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置 关系为__平__行______。
解析：如图。 连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平 面ACE，所以BD1∥平面ACE。
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
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2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a
∥b。
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确； 对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确； 对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也 不正确。 答案：A
理 直线就和□3 交__线__
2020高考数学一轮复习第七章立体几何第4讲直线、平面平行的判定与性质课件
∵PD⊥平面 ABCD，
∴三棱锥 P－BCD 的体积 V 三棱锥 P－BCD＝13PD·S△BCD＝13×2×12×2×2 3＝433，
∴三棱锥
E－PBD
的体积
V
三棱锥
E－PBD＝2 3
3 .
角度2 线面平行的性质 例如图3 ，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩
(2)过点 B 作 BH⊥AD 于点 H， ∵DE⊥平面 ABCD，BH⊂平面 ABCD， ∴DE⊥BH. ∵AD⊂平面 ADEF，DE⊂平面 ADEF，AD∩DE＝D， ∴BH⊥平面 ADEF. ∴BH 是三棱锥 B－DEF 的高． 在 Rt△ABH 中，∠BAD＝60°，AB＝2，故 BH＝ 3.
∴EF∥平面 PCD．
②∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD⊥AB，AD∥BC．
又 AD⊂平面 PAD，BC⊄平面 PAD，
∴BC∥平面 PAD．
∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB，AD⊂平面 ABCD， ∴AD⊥平面 PAB，∴AD⊥BP，平面 PAD⊥平 Nhomakorabea PAB．
2．(2019·安徽滁州期末)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个 不同的平面，则下列说法中正确的是( B )
A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B．若m⊂α，α∥β，则m∥β C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β [解析] 两个平行平面中的两条直线可能异面，A错误；两个平行平面中任 一个平面内的直线都与另一个平面平行，B正确；C中直线n也可能在平面α内， C错误；任一二面角的平面角的两条边与二面角的棱垂直，但这个二面角不一定 是直二面角，D错误．故选B．
2020版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第4讲 直线、平面平行的判定与性质课件 理
(4)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是______(填序号)． ①AD1∥BC1； ②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1. 答案 ①②④
答案
解析 如图，因为AB綊C1D1，
所以四边形AD1C1B为平行四边形． 故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；
2．小题热身
(1)如果直线a平行于平面α，直线b∥a，则b与α的位置关系是( )
A．b与α相交 B．b∥α或b⊂α
C．b⊂α
D．b∥α
答案 B
解析 两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面 相交，所以由直线b∥a，可知若b与α相交，则a与α也相交，而由题目已 知，直线a平行于平面α，所以b与α不可能相交，所以b∥α或b⊂α.故选B.
求证：MN∥平面PDC.
证明 在正三角形ABC中，BM＝2 3. 在△ACD中，∵M为AC的中点，DM⊥AC， ∴AD＝CD，又∵∠ADC＝120°， ∴DM＝23 3，则MBMD＝3. 在等腰直角三角形PAB中，PA＝AB＝4， ∴PB＝4 2，则BNNP＝3，∴BNNP＝MBMD，∴MN∥PD. 又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC， ∴MN∥平面PDC.
解析
由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1， 所以AD1∥平面BDC1，故④正确．
解析
经典题型冲关
题型一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 线面平行判定定理的应用 1．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与 BD的交点M恰好是AC的中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°，点N在PB 上，且PN＝ 2.
届数学一轮复习第七章立体几何第四节平行关系教师文档教案文
第四节平行关系授课提示:对应学生用书第131页［基础梳理]1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行)因为l∥a，aα，lα，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）因为l∥α，lβ，α∩β＝b，所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”)因为a∥β,b∥β，a∩b＝P，aα，bα，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行因为α∥β,α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b1．判定定理序号文字语言图形语言符号语言判定定理2如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行错误!⇒α∥β判定定理3平行于同一个平面的两个平面平行错误!⇒α∥γ2.性质定理序号文字语言图形语言符号语言性质定理2如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面α∥β且aα⇒a∥β性质定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线α∥β且l⊥α⇒l⊥β3。
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化，解决平行关系的判定时,一般遵循从“低维"到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行"；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用．[四基自测］1．(易错点：线面平行的性质)下列命题中正确的是() A．若a，b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα,则b∥α答案：D2．(基础点:线面平行的判定）下列四个正方体图形中,A，B为正方体的两个顶点，M,N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(）A．①③B．②③C．①④ D．②④答案：C3．（基础点：空间平行关系的判定）在正方体ABCD。
2020版高考数学一轮复习第七章立体几何第41讲直线平面平行的判定及其性质学案20200507216
第41讲直线、平面平行的判定及其性质考纲要求考情分析命题趋势1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.2017·江苏卷，152016·全国卷Ⅱ，142016·四川卷，18与直线、平面平行有关的命题判断；线线平行的证明；线面平行的证明；面面平行的证明；由线面平行或面面平行探求动点的位置.分值：4～6分1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与__此平面内__的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)__l∥a__，__a⊂α__，__l⊄α__⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__交线__与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)__l∥α__，__l⊂β__，__α∩β＝b__⇒l∥b文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条__相交直线__与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)__a∥β__，__b∥β__，__a∩b＝P__，__a⊂α，____b⊂α__⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面__相交__，那么它们的__交线__平行__α∥β__，__α∩γ＝a__，__β∩γ＝b__⇒a∥b1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)(4)平行于同一平面的两条直线平行．( ×)(5)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.( ×)解析(1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．(2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面．(3)错误．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(4)错误．两条直线平行或相交或异面．(5)错误．直线a∥β或直线a⊂β.2．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( D)A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( A)A．32B．22C．33D．13解析如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D．易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C．∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m，n所成的角为60°，其正弦值为32.选A．4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是( A)A．0 B．1C．2 D．3解析对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为__平行__.解析如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.一直线与平面平行的判定与性质判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【例1】(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．解析(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ADB∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因为AD⊂平面ADB，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC．二平面与平面平行的判定与性质判定面面平行的四种方法(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC．∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.三空间平行关系的探索性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．【例3】如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE, AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在线段CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.解析(1)证明：由DA⊥平面ABE及AD∥BC，得BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，所以AE ⊥BC ， 因为BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BF ⊥AE ， 又BC ∩BF ＝B ，BC ，BF ⊂平面BCE ，所以AE ⊥平面BCE . 因为BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(2)在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ， 在△BEC 中，过点G 作GN ∥BC 交CE 于点N ，连接MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE .因为MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，所以MG ∥平面ADE ，又GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， 所以GN ∥平面ADE ，又MG ∩GN ＝G ，所以平面MGN ∥平面ADE ， 因为MN ⊂平面MGN ，所以MN ∥平面ADE .故当点N 为线段CE 上靠近C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .1．有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 命题①，l 可以在平面α内，不正确；命题②，直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a 可以在平面α内，不正确；命题④正确．2．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题： ①若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β； ③若m ，n 为异面直线，n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β. 其中正确命题的个数是( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 ①若n ⊥α，n ⊥β，则n 为平面α与β的公垂线，则α∥β，故①正确； ②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，三点可能在平面β的异侧，此时α与β相交，故②错误；③若n ，m 为异面直线．n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，根据面面平行的判定定理，可得③正确．故选B ．3．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC ． 证明 (1)∵在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，AB ＝2，则AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ， 又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ． 在Rt △PAB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点，则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连接DB 交AC 于点F ， ∵DC12AB ，∴DF ＝12FB ． 取PM 的中点G ，连接DG ，FM ， 则DG ∥FM ，又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC ．连接GN ，则GN ∥MC ，GN ⊄平面AMC ，MC ⊂平面AMC ． ∴GN ∥平面AMC ，又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ， 又DN ⊂平面DNG ，∴DN ∥平面AMC ．4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?解析 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .证明如下： ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA ． ∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又∵D 1B ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，∴D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ，QB ⊂平面D 1BQ ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO .易错点 忽视判定定理和性质定理的使用条件错因分析：如下面的例子中，已知α∥β，a ⊂α，b ⊂β，那么a 与b 不一定平行，还可能异面．【例1】 已知三个平面α，β，γ，满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A ，B ，C ，直线b 与这三个平面依次交于点E ，F ，G ，求证：AB BC ＝EF FG.证明 (1)当a ，b 共面时，设a ，b 共面θ，连接AE ，BF ，CG . ∵α∥β∥γ，α∩θ＝AE ，β∩θ＝BF ，γ∩θ＝CG ， ∴AE ∥BF ∥CG .据平行线分线段成比例可知AB BC ＝EF FG； (2)当a ，b 异面时，如图(1)，连接AG 交β于点O ，连接OB ，OF .∵β∥γ，β∩面ACG ＝OB ，γ∩面ACG ＝CG ， ∴OB ∥CG ， 同理可得OF ∥AE ， ∴AB BC ＝AO OG ，AO OG ＝EF FG ，∴AB BC ＝EFFG.【跟踪训练1】 (2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ．(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．解析 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下： 连接CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB ．(2)证明：连接BM ，由已知得，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ， 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ．从而PA ⊥BD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ．所以四边形BCDM 是平行四边形．所以BM ＝CD ＝BC ，BCDM 是菱形，∴BD ⊥MC ，又MC ∥AB ，所以BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ．又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD ．课时达标 第41讲[解密考纲]对直线、平面平行的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面平行的判定与性质，常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．(2018·广东揭阳模拟)设两个不同的平面α，β，两条不同的直线a，b，且a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为“a∥β，b∥β”，若a∥b，则α与β不一定平行，反之若“α∥β”，则一定“a∥β，b∥β”，故选B．2．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( B)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF 15BD，所以EF∥平面BCD．又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG 12BD，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形．3．设a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是( D) A．若a⊥α且a⊥b，则b∥αB．若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC．若a∥α且a∥β，则α∥βD．若γ∥α且γ∥β，则α∥β解析对于A项，若a⊥α且a⊥b，则b∥α或b⊂α，故A项不正确；对于B项，若γ⊥α且γ⊥β，则α∥β或α与β相交，故B项不正确；对于C项，若a∥α且a∥β，则α∥β或α与β相交，故C项不正确．排除A，B，C项，故选D．4．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( A)A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP .5．已知a ，b 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是( C ) A ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则 a ∥b B ．若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β C ．若a ∥b ，α∩β＝a ，则b ∥α或b ∥β D ．若直线a 与b 异面，a ⊂α，b ⊂β，则α∥β解析 对于A 项，a 与b 还可能相交或异面，此时a 与b 不平行，故A 项不正确；对于B 项，α与β可能相交，此时设α∩β＝m ，则a ∥m ，b ∥m ，故B 项不正确；对于D 项，α与β可能相交，如图所示，故D 项不正确，故选C ．6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中所有正确命题的序号是( B )A ．③④B ．②③C ．①②D ．①②③④解析 ①不正确，n 可能在α内．②正确，垂直于同一平面的两直线平行．③正确，垂直于同一直线的两平面平行．④不正确，m ，n 可能为异面直线．故选B ．二、填空题7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__2__.解析 因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF∥AC ，又E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得EF ＝12AC ，又在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.8．(2018·北京模拟)设α，β，γ是三个不同平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__①③__(把所有正确的题号填上)．解析 ①可以，由a ∥γ得a 与γ没有公共点，由b ⊂β，α∩β＝a ，b ⊂γ知，a ，b 在面β内，且没有公共点，故平行．②a ∥γ，b ∥β不可以．举出反例如下：使β∥γ，b ⊂γ，a ⊂β，则此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b .这些条件无法确定两直线的位置关系．③可以，由b ∥β，α∩β＝a 知，a ，b 无公共点，再由a ⊂γ，b ⊂γ，可得两直线平行．9．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，PA ∥平面MQB ，则实数t ＝__13__.解析 连接AC 交BQ 于N ，交BD 于O ， 连接MN ，如图，则O 为BD 的中点．又∵BQ 为△ABD 边AD 上中线， ∴N 为正△ABD 的中心． 令菱形ABCD 的边长为a ， 则AC ＝3a ，AN ＝33a . ∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC ∩平面MQB ＝MN ∴PA ∥MN ，∴PM ∶PC ＝AN ∶AC ， 即PM ＝13PC ，∴t ＝13.三、解答题10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△PAB 的重心．求证：平面 A ′ B ′ C ′∥平面 ABC ．证明连接PA′，PC′并延长，分别交BC，AB于M，N. ∵A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，∴M，N分别是BC，AB的中点．连接MN，由PA′PM＝PC′PN＝23知A′C′∥MN，∵MN⊂平面ABC，∴A′C′∥平面ABC．同理，A′B′∥平面ABC，而A′C′和A′B′是平面A′B′C′内的相交直线，∴平面A′B′C′∥平面ABC．11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．解析当点F为棱C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE，证明如下：分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE.因为四边形C1CDD1与B1BCC1都为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q是CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AQ，求A1F与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围．解析 设平面AD 1Q 与直线BC 交于点G ，连接AG ，QG ，则G 为BC 的中点．分别取B 1B ，B 1C 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，如图所示．∵A 1M ∥D 1Q ，A 1M ⊄平面D 1AQ ，D 1Q ⊂平面D 1AQ ，∴A 1M ∥平面D 1AQ .同理可得MN ∥平面D 1AQ .∵A 1M ，MN 是平面A 1MN 内的两条相交直线，∴平面A 1MN ∥平面D 1AQ .由此结合A 1F ∥平面D 1AQ ，可得直线A 1F ⊂平面A 1MN ，即点F 是线段MN 上的动点． 设直线A 1F 与平面BCC 1B 1所成角为θ，移动点F 并加以观察，可得当点F 与M (或N )重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角等于∠A 1MB 1，此时所成角θ达到最小值，满足tan θ＝A 1B 1B 1M＝2；当点F 与MN 的中点重合时，A 1F 与平面BCC 1B 1所成角达到最大值，满足tan θ＝A 1B 122B 1M ＝2 2.∴A 1F 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围为[2,22]．。
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第4讲直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理3.必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．1．概念辨析(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) 答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如果直线a平行于平面α，直线b∥a，则b与α的位置关系是( )A．b与α相交B．b∥α或b⊂αC ．b ⊂αD ．b ∥α答案 B解析 两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线b ∥a ，可知若b 与α相交，则a 与α也相交，而由题目已知，直线a 平行于平面α，所以b 与α不可能相交，所以b ∥α或b ⊂α.故选B.(2)下列命题中成立的个数是( )①直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线l 在平面α外，则l ∥α； ③若直线l ∥b ，直线b ⊂α，则l ∥α；④若直线l ∥b ，直线b ⊂α，那么直线l 就平行于平面α内的无数条直线． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 当直线l 在平面内时，结论不成立，∴①错误．若直线l 在平面α外，则l ∥α或l 与α相交，∴②错误．根据线面平行的定义可知，直线l 在平面外时，结论才成立，∴③错误．根据平行公理可知，若直线l ∥b ，直线b ⊂α，那么直线l 就平行于平面α内的无数条直线，∴④正确．故成立的只有④，所以A 正确．(3)如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.答案 52解析 因为α∥β，所以CD ∥AB ，所以PC PA ＝CD AB.因为PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，所以AB ＝52. (4)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是________(填序号)． ①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1； ④AD 1∥平面BDC 1. 答案 ①②④解析如图，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．题型一直线与平面平行的判定与性质角度1 线面平行判定定理的应用1．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，又PA＝AB＝4，∠CDA＝120°，点N在PB上，且PN＝ 2.求证：MN∥平面PDC.证明在正三角形ABC中，BM＝2 3.在△ACD中，∵M为AC的中点，DM⊥AC，∴AD ＝CD ，又∵∠ADC ＝120°， ∴DM ＝233，则BM MD＝3.在等腰直角三角形PAB 中，PA ＝AB ＝4， ∴PB ＝42，则BNNP ＝3，∴BN NP ＝BM MD，∴MN ∥PD . 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， ∴MN ∥平面PDC .角度2 线面平行性质定理的应用2．如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．证明 ∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .同理HG ∥CD ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∴CD ∥EF ，HE ∥AB ， ∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．1．判定线面平行的四种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． 2．用线面平行的判定定理证明线面平行(1)关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线．(2)方法：合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．(3)易错：容易漏掉说明直线在平面外． 3．用线面平行的性质定理证明线线平行(1)定势：看到线面平行想到用性质定理．(2)关键：合理选择过已知直线的平面与已知平面相交．1．(2016·全国卷Ⅲ改编)如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．证明：MN ∥平面PAB .证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .2．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和PA 作平面PAHG 交平面BMD 于GH .求证：PA ∥GH .证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.题型二平面与平面平行的判定与性质如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明 (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，则GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .又G ，E 分别为A 1B 1，AB 的中点，A 1B 1綊AB ， ∴A 1G 綊EB .∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .条件探究 在举例说明中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求AD DC的值．解 连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O . 所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 同理可证AD 1∥DC 1，则A 1D 1D 1C 1＝DC AD， 所以DC AD ＝1，即AD DC＝1.1．判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行． (2)证明两平面垂直于同一条直线． (3)证明两平面与第三个平面平行．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．1．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB，G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.证明取FC的中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC.又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.2．(2018·河南郑州模拟)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.题型三立体几何中的探索性问题在如图所示的多面体中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°，BC ＝2AD＝4DE＝4.(1)在AC 上求作点P ，使PE ∥平面ABF ，请写出作法并说明理由；(2)求三棱锥A －CDE 的高．解 (1)取BC 的中点G ，连接DG ，交AC 于点P ，连接EG ，EP .此时P 为所求作的点(如图所示)．下面给出证明：∵BC ＝2AD ，G 为BC 的中点，∴BG ＝AD .又∵BC ∥AD ，∴四边形BGDA 是平行四边形，故DG ∥AB ，即DP ∥AB .又AB ⊂平面ABF ，DP ⊄平面ABF ，∴DP ∥平面ABF .∵AF ∥DE ，AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ，∴DE ∥平面ABF .又∵DP ⊂平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面ABF ，∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面ABF .(2)在等腰梯形ABCD 中，∵∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝4， ∴可求得梯形的高为3，从而△ACD 的面积为12×2×3＝ 3. ∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE 是三棱锥E －ACD 的高．设三棱锥A －CDE 的高为h .由V A －CDE ＝V E －ACD ，可得13×S △CDE ×h ＝13S △ACD ×DE ， 即12×2×1×h ＝3×1，解得h ＝ 3. 故三棱锥A －CDE 的高为 3.线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．(2018·合肥三模)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.点E 是直线CD 的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由；(2)求三棱锥M －BC 1E 的体积．解 (1)如图，在棱C 1D 1上取点N ，使D 1N ＝A 1M ＝1.又∵D 1N ∥A 1M ，∴MN ∥A 1D 1∥AD .∴四边形AMND 为平行四边形，∴AM ∥DN .过C1作C1E∥DN交CD于E，连接BE，∴DN∥平面BC1E，AM∥平面BC1E，∴平面BC1E即为所求，此时CE＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，∴V M－BC1E＝V A－BC1E＝V C1－ABE＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12×3×3×4＝6.。