同济大学概率论与数理统计第一、第二章

（２）观察某交通道口在一个小时内 的汽车流量； 的汽车流量；
＝｛０ ＝｛０，１，２，３，…｝ ｝
（３）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽 取一个，测试它的寿命． 取一个，测试它的寿命．
Ω＝［０，＋∞） ＝［０，＋∞
（４）向一个直径为５０ 的靶子射击，观 向一个直径为５０cm的靶子射击 ５０ 的靶子射击， 察弹着点的位置． 察弹着点的位置． ＝｛（x,y）|x2+y2≤25２} ＝｛（ ）
概率论简明教程
什么是概率？ 什么是概率？
• 例1. 盒中装有 件产品，其中有 件次品， 盒中装有20件产品 其中有5件次品 件产品， 件次品， 不放回地一件一件抽取， 不放回地一件一件抽取，问：第十次取出 最后一个次品的概率是多少？ 最后一个次品的概率是多少？
• 例2，在半圆区域 ，在半圆区域0≤y≤ 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角 入一点，求该点与原点的连线与 轴的夹角 4 的可能性。 不超过 π /的可能性。
二 样本空间
将随机试验的结果与集合对应起来： 将随机试验的结果与集合对应起来： 一个随机试验， 一个随机试验，每一个可能出现的结 果称为样本点，记为ω； 果称为样本点，记为 ； 全体样本点组成的集合称为样本空间， 全体样本点组成的集合称为样本空间， 记 。也即样本空间是试验的所有可能结果 组成的集合，集合中的元素就是样本点。 组成的集合，集合中的元素就是样本点。
•
在随机事件中， 在随机事件中，有的可以看成是由某 些事件复合而成的， 些事件复合而成的，而有些事件则不能分 解为其它事件的组合， 解为其它事件的组合，这种不能分解成其 它事件组合的最简单的随机事件称为基本 事件。 事件。 • 一般地说， 一般地说，只含一个样本点的随机事 件称为基本事件． 件称为基本事件．
例5． 掷一颗骰子，观察其出现的点数， ． 掷一颗骰子，观察其出现的点数， 出现i点 出现奇数点}. 令Ai={出现 点} , B={出现奇数点 出现 出现奇数点 则 Ai＝{i} 为基本事件，i=1,2, …,6； ＝ 为基本事件， ； Ｂ＝｛１ 为随机（复合） Ｂ＝｛１，３，５｝为随机（复合）事 件。 • 其中 ={1，2，3，4，5，6} ， ， ， ， ，
概率论所讨论的试验称为随机试验， 概率论所讨论的试验称为随机试验，它具 有以下三个特点： 有以下三个特点： • 在相同的条件下试验可以重复进行； 在相同的条件下试验可以重复进行； • 每次试验的结果具有多重可能性，但是试 每次试验的结果具有多重可能性， 验之前可以明确试验的所有可能结果； 验之前可以明确试验的所有可能结果； • 在试验前不能准确地预言该次试验将出现 哪种结果。 哪种结果。
比如掷一颗骰子，观察其出现的点数， 比如掷一颗骰子，观察其出现的点数， • ={1，2，3，4，5，6} ， ， ， ， ， ， • 令B={出现奇数点 ｛１，３，５｝. 出现奇数点}=｛ 出现奇数点 • 我们看到 是 的子集 我们看到B是
•
称某事件发生， 称某事件发生，当且仅当该集合所包含的某一 个样本点在试验中出现。 个样本点在试验中出现。
抛二枚均匀硬币， 正正， 例7 抛二枚均匀硬币， ={正正，正反，反正， 正正 正反，反正， 反反} 反反 。 A={第一次出现正面 ={正正，正反 ， 第一次出现正面} 正正 正反}， 正正， 第一次出现正面 B={第二次出现正面 正正，反正 。 第二次出现正面}={正正 第二次出现正面 正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 与 的和事件 第一次或第二次出现正面， 的和事件∶ 示为 A∪B={正正，正反，反正 。 正正， ∪ 正正 正反，反正} • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 的积事件∶ 与 的积事件 第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正 。 正正} 正正 • A与B的差事件 的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 与 的差事件 ∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反 正反}. 正反
三 随机事件
从两个角度来定义：概率论的角度； 从两个角度来定义：概率论的角度；集合 的角度。 的角度。 • 在概率论中，把试验的结果称为事件；每次 在概率论中，把试验的结果称为事件； 试验中可能发生也可能不发生、 试验中可能发生也可能不发生、而在大量试 验中具有某种规律性的事件称为随机事件； 验中具有某种规律性的事件称为随机事件； 从集合的角度， 从集合的角度，一个随机试验所对应样本空 间的子集称为随机事件． 间的子集称为随机事件． • 用大写字母 、B、C等表示随机事件。 用大写字母A、 、 等表示随机事件 等表示随机事件。
一 随机试验
• 概率论是一门研究随机现象及其统计规律 性的学科 • 随机现象 随机现象——在个别试验中呈现不确定的 在个别试验中呈现不确定的 结果， 结果，而在大量重复试验中结果呈现某种 规律性的现象。 规律性的现象。 这种规律性称为统计规律性。 这种规律性称为统计规律性。
例3，掷一颗骰子，对比两种结果： ，掷一颗骰子，对比两种结果： 骰子下落；出现6点 骰子下落；出现 点
• 如果一组事件中任意两个事件都互不相容，那么 如果一组事件中任意两个事件都互不相容， 称这组事件两两互不相容。（ 。（任意一组基本事件 称这组事件两两互不相容。（任意一组基本事件 总是两两互不相容） 总是两两互不相容） • （7）对立事件：事件 -A称为事件 的对立事件 称为事件A的对立事件 ）对立事件： 称为事件 ），记 （ （逆、余），记Ā.（B-A=B∩Ā） ） A∪ Ā = ∪ A∩ Ā=φ
A∩B ∩
Ａ
Ｂ
• 可推广至有限交或可列交 • A1 , A 2 , L , A n 同时发生，记 同时发生，
A1 I A2 ILI An = I Ai A1 A2 L An
i =1 n
• A1 , A2 , L , An , L 同时发生，记 同时发生，
A1 I A 2 I L I A n I L =
• （3）和（并）事件：当且仅当事件 与事 事件：当且仅当事件A与事 ） 中至少有一个发生时， 件B中至少有一个发生时，称A与B的和事 中至少有一个发生时 与 的和事 件发生， 件发生，记A∪B。可推广至有限或可列和。 ∪ 。可推广至有限或可列和。
Ａ
Ｂ
• 可推广至有限或可列和： 可推广至有限或可列和： A1 , A 2 , L , A n • 至少有一发生，记 至少有一发生，
• 例如 抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数， 抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数， ＝｛正正正 正正反、正反正、正反反、 正正正、 ＝｛正正正、正正反、正反正、正反反、 反正正、反正反、反反正、反反反｝ 反正正、反正反、反反正、反反反｝ 出现一次正面}＝｛正反反、 Ａ={出现一次正面 ＝｛正反反、反正反、反反正｝， A是该 出现一次正面 ＝｛正反反 反正反、反反正｝， 是该 随机试验的一个结果也是样本空间的子集。 随机试验的一个结果也是样本空间的子集。 当第一次正面，第二、 当第一次正面，第二、三次反面这一样本点在试验中出现 表示事件Ａ发生了，其余类似。 时，表示事件Ａ发生了，其余类似。
例4 抛一枚均匀硬币三次， （１）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上 的次数； 的次数； （２）观察某交通道口在一个小时内的汽车 流量； 流量； （３）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取 一个，测试它的寿命． 一个，测试它的寿命． 向一个直径为５０ 的靶子射击， ５０cm的靶子射击 （４）向一个直径为５０ 的靶子射击，观 察弹着点的位置． 察弹着点的位置．
四、事件之间的关系与运算
• （1）事件的包含：若事件 发生必然导致 ）事件的包含：若事件A发生必然导致 事件B发生 则称事件B包含事件 发生， 包含事件A。 事件 发生，则称事件 包含事件 。
Ｂ Ａ
• （2）事件的相等：若事件 包含事件 ， 包含事件B， ）事件的相等：若事件A包含事件 事件B也包含事件 也包含事件A，则称事件A与事件 与事件B相 事件 也包含事件 ，则称事件 与事件 相 等。记A=B.
• 又：C={点数小于 ；D={点数大于 点数小于7}； 点数大于7} 点数小于 点数大于 每次试验C为必然会发生的事件；Ｄ为不可 为必然会发生的事件；Ｄ 每次试验 为必然会发生的事件；Ｄ为不可 能发生的事件； 能发生的事件；
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件 每次试验中一定发生的事件称为必然事件. 包含所有样本点， 包含所有样本点，因此每次试验中必定有 中的 一个样本点出现， 是必然事件； 一个样本点出现，故 是必然事件；而另一方面 的子集； 是 的子集； • 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. φ中不包含任何样本点，因此是不可能事件； 中不包含任何样本点， 中不包含任何样本点 因此是不可能事件； φ也是 的子集。 也是 的子集。 • 为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事 为讨论问题方便， 作为两个极端情况。 件，作为两个极端情况。
2ax − x 2 内随机地投
• 概率的思想在日常生活中的体现
日常用语“可能、大概、也许”有两层意思：不 确定性和把握的程度。 形象化说： 形象化说：用[0，1]内的一个数值来表达对某种结 ， 内的一个数值来表达对某种结 果出现的可能性大小的定量描述 。
第一章 随机事件
§1.1 随机事件
一 二 三 四 随机试验 样本空间 随机事件 随机事件之间的关 L
i =1
• （5）差事件：当且仅当事件A发生而事件 ）差事件：当且仅当事件 发生而事件 B不发生时，称事件 与B的差事件发生， 不发生时， 的差事件发生， 不发生时 称事件A与 的差事件发生 记 A-B。 。
Ｂ
A-B
Ｂ
Ａ
• （6）互不相容事件：如果 ）互不相容事件：如果A∩B=φ，则称 ， 事件A与事件 互不相容（互斥）． 与事件B互不相容 事件 与事件 互不相容（互斥）．
即：
Ω = {ω1 , ω2 ,L , ωn ,L}