概率论与数理统计同济大学第1章
概率论与数理统计第一章
具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。 由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以 也称之为古典概型．
设试验E是古典概型，由于基本事件两两互不相容 n n 因此 1 = P( ) = P( {wi }) = P{wi } = nP{w i }
1 从而 P{w i } = n
i =1
i =1
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
AAຫໍສະໝຸດ 按差事件和对立事件的定义，显然有A B = AB
A
B
A
B
运算规律
1.交换律 A B = B A A B = B A 2.结合律 A ( B C ) = ( A B) C
A ( B C ) = ( A B) C
A B = 事件A和事件B不能同时发生
A
B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A = A
事件 A发生 事件A不发生
A A= A A=
故在每次试验中事件A ， A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
抛硬币实验
试验者
出现正面的 频率
n
2048 4040 12000 24000 80640
出现正面的 试验次 次数 数 n
nH
1061 2048 6019 12012 39699
f n (H ) =
A
n
德摩根 蒲丰 K．皮尔逊 K．皮尔逊 罗曼诺夫斯基
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4923
( i = 1, 2, , n )
同济大学概率论与数理统计第一、第二章
A B A B A A B B
•
例8 设Ai={第i个电子元件正常工作}， i=1,2,…n.用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件Ｂ。 • 串联系统： Ｂ＝A1∩A2∩┅∩An
1 2 3 n
• 并联系统： Ｂ＝A1∪A2∪┅∪An
• 1. 从n个元素中任取k个，有
n n 1 n 2 n k 1 n! C k k 1 2 1 k ! n k !
k n
种不同的结果； • 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
概率论简明教程
什么是概率？
• 例1. 盒中装有20件产品，其中有5件次品， 不放回地一件一件抽取，问：第十次取出 最后一个次品的概率是多少？
• 例2，在半圆区域0≤y≤ 2ax x 内随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角 4 不超过 /的可能性。
2
• 概率的思想在日常生活中的体现
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件. Ω包含所有样本点，因此每次试验中必定有Ω中的 一个样本点出现，故Ω是必然事件；而另一方面Ω 是Ω的子集； • 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. φ中不包含任何样本点，因此是不可能事件； φ也是Ω的子集。 • 为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事 件，作为两个极端情况。
例7 抛二枚均匀硬币， Ω={正正，正反，反正， 反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 • A与B的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反}.
概率论与数理统计第1章
A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3
A1 A2 A3
例9 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
P(AB)=P(BA)
P(BA)=P(A)P(B|A)
P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算 两个事件同时发生的概率。
推广到多个事件的乘法公式:
当P(A1A2…An-1)>0时，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
1.5事件的独立性
一、两事件的独立性 将一颗均匀骰子连掷两次，
设
A =“第一次掷出6点”， B =“第二次掷出6点”，
显然
P(B|A)=P(B)＝1/6
这就是说,已知事件A发生,并不影响事件B发
例如
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
同济大学版概率论与数理统计答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计第1章
几何概率的基本性质
⑴⑵⑶为基本性质
⑴ 对任一事件A，有0≤P(A)≤1。
⑵ P 1, P 0。
⑶ 若A1,A2,…,Am是两两互不相容的事件，则
P m Ai m PAi i1 i1 进一步，m→∞，有限可加性→可列可加性。
几何概率同样满足古典概型的⑷～⑹性质。
P(B－A) = P(B)－P(A) 。 ⑷ 任意两事件A,B，
PA B PA PB PAB 36
例3：甲袋中有2红1白3个球，乙袋中有1红2 白3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋,再从 乙袋中任取一球放入甲袋，求试验后甲袋中 球的成分不变的概率。
进一步，如果A1,A2,…,Am是两两互斥的事件，则
P m Ai m PAi
i1 i1
21
⑷ PA PA 1
⑸ 加法公式：
PA B PA PB PAB PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC
29
§1.4 概率的公理化意义 一、几何概率
引例：在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上[0,3)上的
诸数字，旋转陀螺至其停止，问B＝“圆周的接触点 位
于解：区由间于[1,刻2)上度”均的匀概，率圆为周多上少各？刻度与桌面接触是等可
能的，因此所求概率应与区间的长度成正比。又概率
应在0~1之间，故如下定义是合理的：
Ω可以为一维(长度)；二维(面积)；三维(体积)。称这
样定义的概率为几何概率。
31
例1：甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘 船的码头，它们在一昼夜内到达的时刻是等可 能的。如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊 时间为2小时，求它们任一艘都不需要等待码 头空出的概率。 例2：把长度为a的棒任意折成三段，求它们可 以构成一个三角形的概率。
同济大学 第1章概率论与数理统计习题课解析
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ．
4. 德.摩根律(对偶原则) ： 设Ai(i=1,2,…,n) 表示事件．
12. 设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的 充分必要条件是( A A．A与BC独立 C.AB与AC独立 )
B.A与 A C 独立 D. A B 与
A C 独立
13. 将一枚硬币独立抛掷两次， A1
A2 表示掷第一次出现正面，
表示掷第二次出现正面， A3 表示正、反面各一次，
同济大学第1章概率论与数理统计习题课
主要内容
事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系 1. 事件的包含(子事件)：AB;
2.事件的和：A∪B
3.事件的积: AB;
4. 差事件: A-B=A-AB=AB
5. 互斥事件(互不相容事件):AB=
6. 互逆事件: AB= 且A∪B=S
•
事件的运算法则
18.(03考研) 已知甲乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装
有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱 中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次 品的概率。 19.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区 的报名表,从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率p; (2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的 概率q.
j 1
n
j ) P( B j )
概率论与数理统计同济大学第1章
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.1.13 设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6,P A P B ==试在下列两种情况中分别求出()P A B 与()P A B .(1) 事件,A B 互不相容;(2)事件,A B 有包含关系.1.14 一个盒子中装有10只晶体管,其中有3只是不合格品.现在作不放回抽样：接连取2次,每次随机地取1只.试求下列事件的概率.(1)2只都是合格品;(2)1只是合格品,1只是不合格品;(3)至少有1只是合格品.1.15 某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.1.16 设,A B 是两个相互独立的事件,已知()0.3,P A =()0.65P A B = .试求()P B .1.18 设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的.1.19 把一枚硬币独立的掷两次.事件i A 表示“掷第i 次时出现正面”,1,2i =;事件3A 表示“正、反面各出现一次”.试证,123,,A A A 两两独立,但不相互独立.1.20 有2n 个元件,每个元件的可靠度都是p .试求下列两个系统的可靠度.假定每个元件是否正常工作是相互独立的.(1)每n 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并联;(2)每两个元件并联成一个子系统,再把这n 个子系统串联.次命中的概率;(2)至少有4次命中的概率;(3)至多有4次命中的概率.1.24 某厂生产的钢琴中有70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80％可以出厂,20％被定为不合格品不能出厂.现该厂生产了(2)n 架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求：(1)任意一架钢琴能出厂的概率;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率;(3)全部钢琴都能出厂的概率.1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4,1/3,5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2,1/4,1/5,试求：(1)从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率;(2)从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,此人属于乙班的概率. 1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中1弹的概率.1.27 已知甲袋中装有a只红球,b只白球;乙袋中装有c只红球,d只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.1.30 一个盒子装有6只乒乓球,其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.(1)试求第二次取出的球全是新球的概率;(2)已知第二次取出的球全是新球,试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率.。
概率论与数理统计 1章共64页文档
n
Ai是指事A件 1， An同时发生的事件。
i1
可列多个事件的积事件
是指一列 A1， 事An件 ， 全都发生的事件Ai ，记 i1
例4：设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，写出下列事件的
表达式： 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。
也可这样定义：
不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。
注意：基本事件是相对的，不是绝对的。
例2：在下列试验中，试用集合表示下列事件。 1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。 解：{出现偶数点}={2，4，6}。
{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件， {出现偶数点} ={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点} 但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。
这些试验具有如下特点：
1）试验可以在相同的条件下重复进行。
2）试验可能出现的所有结果种类已知
3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试 验结果必是所有可能结果中的某一个。
具有这些特点的试验称为随机试验。
说明：
1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。
3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，
1)、交换律 A∪B=B∪A AB=BA
称为统计规律性。
概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性
§1.2 随机事件
样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本 空间。常用Ω表示。
样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。
例1：
试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规 定带有国徽图案的是正面。
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1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？
1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.
1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.
1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.
1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.
1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.
1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.
1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.
1.13 设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6,P A P B ==试在下列两种情况中分别求出()P A B 与()P A B .(1) 事件,A B 互不相容;(2)事件,A B 有包含关系.
1.14 一个盒子中装有10只晶体管,其中有3只是不合格品.现在作不放回抽样：接连取2次,每次随机地取1只.试求下列事件的概率.(1)2只都是合格品;(2)1只是合格品,1只是不合格品;(3)至少有1只是合格品.
1.15 某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.
1.16 设,A B 是两个相互独立的事件,已知()0.3,P A =()0.65P A B = .试求()P B .
1.18 设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的.
1.19 把一枚硬币独立的掷两次.事件i A 表示“掷第i 次时出现正面”,1,2i =;事件3A 表示“正、反面各出现一次”.试证,123,,A A A 两两独立,但不相互独立.
1.20 有2n 个元件,每个元件的可靠度都是p .试求下列两个系统的可靠度.假定每个元件是否正常工作是相互独立的.(1)每n 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并联;(2)每两个元件并联成一个子系统,再把这n 个子系统串联.
次命中的概率;(2)至少有4次命中的概率;(3)至多有4次命中的概率.
1.24 某厂生产的钢琴中有70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80％可以出厂,20％被定为不合格品不能出厂.现该厂生产了(2)
n 架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求：(1)任意一架钢琴能出厂的概率;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率;(3)全部钢琴都能出厂的概率.
1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4,1/3,5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2,1/4,1/5,试求：(1)从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率;(2)从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,此人属于乙班的概率. 1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中1弹的概率.
1.27 已知甲袋中装有a只红球,b只白球;乙袋中装有c只红球,d只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.
1.30 一个盒子装有6只乒乓球,其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.(1)试求第二次取出的球全是新球的概率;(2)已知第二次取出的球全是新球,试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率.。