公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数
(完整版)公倍数和公因数
第三单元：公倍数和公因数目标导航1、 认识公倍数和最小公倍数、公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数、因数和它们的公因数。
2、 学会用列举的方法找到10以内两个数的最小公倍数和100以内两个数的最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，发现求两个数的最大公因数和最小公倍数的一些简捷的方法，并能根据两个数的关系选择用合理的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
3、 自主探索求三个数的最小公倍数的方法，在解决实际问题的过程中提高学习数学的能力。
基础巩固题1、2、6的倍数有：（ ）；8的倍数有：（ ）；6和8的公倍数有：（ ）；6和8的最小公倍数是：（ ）。
3、填空（1）48既能被8整除，又能被6整除，所以48是8和6的最小公倍数。
（ ）（2）先将18和24分解质因数，再求出它们的最小公倍数。
18＝( ) 24＝( ) 18和24的最小公倍数( )。
（分解质因数只针对于合数，质数4的倍数 5的倍数4和5的公倍数指除了1和它本身之外的数，如：2、3、5、7等）（3）4和5的最小公倍数是（ ），16和24的最小公倍数是（ ）。
（4）下面这些图形，如果这样排列下去，在第（ ）个时都是有颜色的图形呢。
4、求下列各组数的最小公倍数。
7和9 15和45 12和1824和16 11和6 4、5和65、1路和2路公共汽车早上6时同时从起始站发车，1路车每5分钟发一辆车，2路车第4分钟发一辆车。
完成下表并回答问题： 1路车 6：002路车 6：00（1）几时这两路车第二次同时发车？（2）解决这个问题就是求（ ）。
6、 一个汽车总站有甲、乙两路车。
甲路车每3分钟发一次车；乙路车每5分钟发一次车。
甲、乙两路车第二次同时发车的时间与第一次同时发车的时间至少间隔多少分钟？7、8、18的因数有：（ ）；24的因数有：（ ）；18和24的公因数有：（ ）；18和24的最大公因数有：（ ）。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数公因数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。
在数学中，我们常常需要求两个数的最大公因数和最小公倍数。
首先，我们需要了解一些基本知识。
两个自然数如果公因数只有1，那么它们就是互素数。
而分子、分母是互素数的分数则被称为简分数。
求最大公因数的方法有分解素因数法和短除法。
最小公倍数的求法有分解素因数和短除法，即用最大公因数乘以各自独有的因数。
对于两个数的最大公因数和最小公倍数，有三种基本情况：特殊互素、较大数是较小数的倍数、一般关系。
对于特殊情况，我们可以直接求解，而对于一般情况，我们可以使用列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法等方法来求解最大公因数。
对于最小公倍数的求解，我们可以使用列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法等方法。
最后，我们需要记住，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；当两个数是互质关系时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
12的倍数为12、24、36、48.一种方法是单列举法，比如求18和12的最小公倍数，先找出18的倍数：18、36、54、72，再从小到大找这些倍数中哪个同时也是另一个数的倍数，最小公倍数为36.另一种方法是大数翻倍法，将较大的数翻倍，每次翻倍后检查结果是否也是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。
比如求18和12的最小公倍数，可以将18翻倍，得到36，而36又是12的倍数，因此36是18和12的最小公倍数。
还有一种方法是短除法，先用两个数同时除以一个质数（要能整除），再同时除以另一个质数，直到得到两个互质的商为止，最后将所有的除数和商相乘即可得到最小公倍数。
对于问题1，（1）既是30的因数又是45的因数的数共有4个，其中最大的是15；（2）既是30的倍数又是45的倍数的数最小是90.对于问题2，将168分解质因数得到2×2×2×3×7，其中一个因数必为7，因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任意两个数的公因数都是1，因此这三个连续自然数只能是6、7和8，它们的和为21.随堂练：1、既是30的倍数又是45的倍数还是75的倍数的数最小是450；2、三个连续自然数的最小公倍数是660，这三个连续自然数分别是220、221和222.最小公倍数和最大公因数在数学中有着广泛的应用。
五年级数学下册最大公因数和最小公倍数知识点
五年级数学下册最大公因数和最小公倍数知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN（没有教不会的学生，只有不会教的老师）1、因数和倍数在整数除法中，（第一个条件）如果商是整数而没有余数，（第二个条件）结论是：我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
2、一个数的倍数的求法：依次乘以非0自然数。
加省略号。
3、一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（除数和商）。
4、2的倍数特征（能被2整除）：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
5、3的倍数特征（能被3整除）：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
6、5的倍数特征（能被5整除）：个位上是0或5的数，是5的倍数。
7、2的倍数特征（能被2整除）：奇数、偶数。
因数个数质数、合数。
质合判断看因数，奇偶判断被2除，质2和3应记住，奇单偶双分清楚。
8、20以内质数：口诀2、3、5、7、11（一十一）13、19和179、分数：①整体：一个物体、一些物体、一个单位都可以看作一个整体。
②单位“1”：把一个整体用自然数1来表示。
③分数：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数。
④分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
⑤分数与除法关系分数的基本性质。
⑥分数的分类：真分数、假分数、带分数。
10、因数和倍数、公因数、最大公因数、公倍数最小公倍数理解：公因数、最大公因数；公倍数、最小公倍数的意义。
11、求最大公因数方法：（约分）求12和16的最大公因数①列举法②圈画法③短除法2④分解质因数法（甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（）．）⑤辗转相除法最大公因数不难算，三种类型最常见。
倍数关系是小数，互质是1不用算。
以上两种都不是，短除法来最简便。
1、找出下列各数的最大公因数。
5和13 6和7 5和8 4和686和12 9和3 25和102、用短除法求下列各组数的最大公因数．56和42 225和15 84和10554、72和90 60、90和12012、求最小公倍数方法：（通分）求6、8最小公倍数①列举法②圈画法③短除法④分解质因数法⑤翻番法最大公因数不难算，三种类型最常见。
最大公因数 最小公倍数 通分 约分
找最大公因数1、几个数相同的因数叫作这个数的公因数；其中最大的一个叫作它们的最大公因数。
2、列举法求两个数的公因数和最大公因数的方法：先分别找出两个数各自所有的因数，再从中找出两个数的公因数，其中最大的一个就是这两个数的最大公因数。
3、短除法求两个数的最大公因数：如用短除法求18和27的最大公因数，用18和27的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是不是互质；若不是互质，再接着往下除，一直除到商是互质为止，然后把所有的除数相乘，所得的积就是18和27的最大公因数。
18和27的最大公因数是3×3=9。
一、约分1、把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。
2、分子、分母只含有公因数1的分数，叫作最简分数。
3、约分的方法：（1）逐次约分法：用分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数；（2）一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。
二、最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。
其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。
2、求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法：先分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数；（2）试除法：先写出两个数中较大数的倍数，再用这些数按从小到大的顺序依次除以较小数，第一个能被较小数整除的数就是它们的最小公倍数。
短除法求最小公倍数：如用短除法求18和27的最小公倍数，用18和27的最小质因数3去除这两个数，看这两个数的商是不是互质；若不是互质，再接着往下除，一直除到商是互质为止，然后把所有的除数和商相乘，所得的积就是18和27的最小公倍数。
18和27的最小公倍数是3×3×2×3=54。
三、分数的大小1、比较分数大小的方法：画图比较法，通分比较法。
2、通分的含义：把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫做通分。
3、通分的方法：用原来几个分数分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母，再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点公因数和公倍数知识点回顾】1、公因数1）互素数：公因数只有1的两个自然数叫做互素数。
2）简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
3）求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法：分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数，有3种基本情况，区别如下：两个数的关系最大公因素最小公倍数特互素（7和8）1两个数的积（7×8=56）殊较大数是较小数的倍数较小数（12）较大数（48）关（12和48）系一般关系（12和18）用短除法将除数连乘将除数和商连乘2×3=6）（2×3×2×3=36）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：1、特殊情况：1）倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12.）2）互质干系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1）求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数：18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、271、3、9最后找出最大公因数：9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数末了找出最大公因数：9③短除法：3.18.273 6.92.3除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18139就是18和27的最大公因数279（2）求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。
公因数和公倍数知识点
公因数和公倍数知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数（1）互素数:公因数只有１的两个自然数叫做互素数。
(2)简分数：分子、分母是互素数的分数叫做简分数。
(３)求最大公因数的方法：分解素因数法和短除法。
2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法，即用最大公因数×各自独有的因数。
3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有３种基本情况，区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素（７和８） 1 两个数的积（7×8=５6）较大数是较小数的倍数(12和48）较小数(1２) 较大数(48）一般关系（12和1８) 用短除法将除数连乘(2×３=6) 将除数和商连乘（2×3×2×3=3６）4、求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况：(１）倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
(如；6和12的最大公因数是6,最小公倍数是1２。
）(2）互质关系的两个数,最大公因数是１,最小公倍数是它们的乘积。
（如，5和7的最大公因数时1,最小公倍数是５×７＝３５)二、一般情况:（1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①列举法：如，求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数１8的因数有：1、2、3、６、９、１82７的因数有:１、３、9、27再找出两个数的公因数：１8的因数有:1、2、３、6、9、1827的因数有:1、3、９、271、3、９最后找出最大公因数： 9②单列举法:如,求1８和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:１8的因数有:１、２、３、６、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数: 9③短除法:３ 18 ２73 6 92 ３除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3＝9 ④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。
公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数知识点复习：知识点复习：1、公因数：2、最大公因数：3、公倍数：4、最小公倍数：5、1、公因数：2、最大公因数：3、公倍数：4、最小公倍数：5、求几个数的最大公因数与最小公倍数的常用方法：倍数法、分解质因数法、短除法倍数法、分解质因数法、短除法 6、100 以内的质数有：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97. 7 、最大的公因数是 1 的两个自然数，叫做互质数操练练习：一、判断下列说法是否正确。
（1）16 是 2 和 4 的公倍数。
（）（2）5 的公倍数是 20。
（）（3）3 和 5 的公倍数中有 15、30。
1 / 5（）（4）12 是 3 和 4 的最小公倍数。
（）（5）几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个．（）（6）两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（）（7）如果三个自然数两两互质，它们的最大公因数是 1，最小公倍数就是三个数的乘积．（）（8）如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数．（）（9）一个数的因数必定小于它的倍数．（）二、按要求写数。
（1）12 的因数有：（2）18 的因数有: （3）12 和 18 的公因数有：（4）12 和 18 的最大公因数是: （5）几个公有的因数叫做它们的（），其中最大的一个叫做这几个数的（）。
（6）在下面集合圈内，分别填上下列数的因数和公因数，再说说它们的最大公因数是多少。
9 的因数 18 的因数 24 的因数 32 的因数9 和 18 的公因数 24 和 32 的公因数 9 和18 的最大的公因数是（） 24 和 32 的最大公因数是（）三、选择题。
最大公因数和最小公倍数总结
最大公因数和最小公倍数总结一、最大公因数（GCD）1.定义：最大公因数，也被称为最大公约数，是指一组数中能够同时整除所有这些数的最大的正整数。
2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最大公因数是所有数的因数中的最小公因数。
-辗转相除法：将两个数进行相除，余数为0时，被除数即为最大公因数；余数不为0时，将除数作为被除数，余数作为除数进行下一次相除，直到余数为0为止。
二、最小公倍数（LCM）1.定义：最小公倍数是指能够同时整除一组数的最小的正整数。
2.求解方法：-因数分解法：将各个数进行因数分解后，最小公倍数是所有数的因数的最大公倍数。
-辗转相乘法：将两个数进行相乘，再除以它们的最大公因数，得到的商即为最小公倍数。
三、最大公因数和最小公倍数的性质1.互质关系：如果两个数的最大公因数是1，则它们被称为互质数或互质的。
互质数的最小公倍数等于它们的乘积。
2.二者关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。
3.分数化简：当分数的分子和分母有相同的因数时，可以将分子和分母都除以最大公因数，使分数化简为最简形式。
4.方程求解：在求解含有多个未知数的方程时，可以通过求解各个未知数的最大公因数来减少未知数的个数，进而简化方程。
四、应用举例1.分数化简：将分数4/8化简为最简形式。
首先可以找到4和8的最大公因数为4，然后将分子和分母都除以4，得到1/2，即为最简形式。
2.方程求解：解方程2x+3y=10。
首先可以观察到2和3的最大公因数为1，因此可以将方程同时除以最大公因数1，得到2x+3y=10。
这样一来，只剩下两个未知数x和y，方程的求解就更加简化了。
通过对最大公因数和最小公倍数的学习和理解，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。
在数学中，最大公因数和最小公倍数是数论的基础，更是数学计算的重要工具。
掌握了最大公因数和最小公倍数的求解方法和应用技巧，对数学学科的理解和运用都将得到很大的提升。
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公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数
知识点复习：
1、公因数：
2、最大公因数：
3、公倍数：
4、最小公倍数：
5、求几个数的最大公因数与最小公倍数的常用方法：倍数法、分解质因数法、短除法
6、100以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.
7、最大的公因数是1的两个自然数，叫做互质数
操练练习：
一、判断下列说法是否正确。
（1）16是2和4的公倍数。
（）
（2）5的公倍数是20。
（）
（3）3和5的公倍数中有15、30。
（）
（4）12是3和4的最小公倍数。
（）
（5）几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个．（）
（6）两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（）
（7）如果三个自然数两两互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数就是三个数的乘积．（）
（8）如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数．（）
（9）一个数的因数必定小于它的倍数．（）
二、按要求写数。
（1）12的因数有：
（2）18的因数有:
（3）12和18的公因数有：
（4）12和18的最大公因数是:
（5）几个公有的因数叫做它们的（），其中最大的一个叫做这几个数的（）。
（6）在下面集合圈内，分别填上下列数的因数和公因数，再说说它们的最大公因数是多少。
9的因数 18的因数 24的因数 32的因数
和32的公因数
9和18的最大的公因数是（） 24和32的最大公因数是（）
三、选择题。
1．96是16和12的（）
①公倍数②最小公倍数③公因数
2．几个质数的连乘积是（）
①合数②质数③最大公因数④最小公倍数
3．甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（）
①15 ②甲③乙④甲×乙
4．12是24和36的（）
①因数②质因数③最大公约数
5．一个数的最大因数（）它的最小倍数．
①＞②＜③＝
6．甲＝2×2×5，乙＝2×3×5，那么甲、乙的最小公倍数是（）
①600 ②300 ③60 ④10
四、用短除法求出下列数的最大公因数和最小公倍数并填空。
1． 18和36的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
2． 45和135的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
3． 18和72的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
4． 16和24的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
5、 13和39的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
6、 44和121的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
7、 69和96的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
8、 30和75的最小公倍数是（），最大公因数是（）。
强化训练：
一、填空。
1、甲＝2×3×5，乙＝2×3×7，甲和乙的最大公因数是（）．
2、甲数＝２×３×５，乙数＝７×１１×１３，甲数和乙数的最大公因数是（）。
3、（）的两个数，叫做互质数．
4、两个数为互质数，这两个数的最大公因数是（）．
5、所有自然数的公因数为（）．
6、8与9的最小公倍数是（）；48、12和16的最大公因数是（）；
7、30和45的最大公因数是（）；150和25的最小公倍数是（）．
二、判断（对的打“√”，错的打“×”）．
1、30 、15和5的最大公因数是30．（）
2、最小的合数和最小的质数这两个数不是互质数．（）
3、相邻的两个自然数一定是互质数．（）
4、两个数的公因数的个数是有限的. ( )
5、1和任意非零自然数的最大公因数是1. （）
三、找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
（短除法）
5和10 12和15 24和36 15和19
65和39 48和108 144和36 28和98
四、应用题
1、两根铁丝分别长65米和91米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，这根绳子最多有多长？
2、五年级一班有48人，二班有54人，如果把两个班的学生都平均分成若干组，要使两个班每个小组的人数相等，每组最多有多少人?
3、有一张长方形的纸，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干张同样大小的正方形纸而没有剩余，剪出的小正方形的边长最长是多少厘米？
乘除法专题复习
（1）78×102 56×101 125×81 25×44
31×99 42×98 25×39 125×79
（2）小丽一家去公园去玩，去时的速度是12千米／时，共行了3小时。
返回时因为逆风，速度比去时每小时慢了3千米，返回时用了几小时？
（3）小红读一本298页的书，每天读24页，预计从8月20日开始读，到9月1日开学，她能在开学前读完这本书吗？
（4）李叔叔一个星期做完了225个零件。
照这样计算，十一月份全月能做多少个零件？
（5）有860箱矿泉水要运往超市，如果一辆卡车一次能运70箱，这些牛奶要几辆卡车才能运完？
（6）杨老师带了418元去买体育用品。
小篮球9元/个，小足球16元/个，乒乓球拍25元/副。
(1)如果买小足球，最多能买多少个？还剩多少元？
(2)最多能买多少副乒乓球拍？剩下的钱买小篮球，能买多少个？。